Критическую силу вычисляем формуле эйлера. Устойчивость сжатых стержней

Иркутский государственный университет путей сообщения

Лабораторная работа № 16

по дисциплине«Сопротивление материалов»

ОПЫТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ

ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗГИБЕ

Кафедра ПМ

Лабораторная работа № 16

Опытное определение критических сил при продольном изгибе

Цель работы: исследование явления потери устойчивости сжатого стального стержня в упругой

стадии. Экспериментальное определение значений критических нагрузок сжатых

стержней при различных способах закрепления и сравнение их с теоретическими

значениями.

Общие положения

Сжатые стержни недостаточно проверять на прочность по известному условию:

,

где [σ] – допускаемое напряжение для материала стержня, P – сжимающая сила, F – площадь поперечного сечения.

В практической деятельности инженеры имеют дело с подвергающимися сжатию гибкими стержнями, тонкими сжатыми пластинами, тонкостенными конструкциями, выход из строя которых вызывается ен потерей несущей способности, а потерей устойчивости.

Под потерей устойчивости понимается потеря первоначальной формы равновесия.

В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость элементов конструкций, работа­ющих на сжатие.

Рассмотрим длинный тонкий стержень (рис. 1), нагруженный осевой сжимающей силой P .

P < P кр P > P кр

Рис. 1. Стержень, нагруженный осевой сжимающей силой P .

При малых значениях силы F стер­жень сжимается, оставаясь прямолинейным. Причем, если стержень отклонить от этого положения небольшой поперечной нагрузкой, то он изогнется, но при снятии ее стержень возвращается в прямолинейное состояние. Это значит, что при данной силе P прямолинейная форма равновесия стержня устойчива.

Если продолжить увеличивать сжимающую силу P , то при неко­тором ее значении прямолинейная форма равновесия становит­ся неустойчивой и возникает новая форма равновесия стержня - криволинейная (рис. 1, б). Вследствие изгиба стержня в его сече­ниях появится изгибающий момент, который вызовет дополнитель­ные напряжения, и стержень может внезапно разрушиться.

Искривление длинного стержня, сжимаемого продольной силой, называется продольным изгибом .

Наибольшее значение сжимающей силы, при котором прямоли­нейная форма равновесия стержня устойчива, называется критичес­ким - P кр .

При достижении критической нагрузки происходит резкое каче­ственное изменение первоначальной формы равновесия, что ведет к выходу конструкции из строя. Поэтому критическая сила рассмат­ривается как разрушающая нагрузка.

Формулы Эйлера и Ясинского

Задачу определения критической силы сжатого стержня впер­вые решил член Петербургской академии наук Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

(1)

где Е – модуль упругости материала стержня; J min - наименьший момент инерции поперечного сечения стержня (поскольку искривление стержня при потере устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, т. е. поперечные сечения стержня повора­чиваются вокруг оси, относительно которой момент инерции ми­нимален, т.е. либо вокруг оси x , либо вокруг оси y );

(μ·l ) – приведенная длина стержня, это произведение длины стержня l на коэффициент μ, зависящий от способов закреп­ления концов стержня.

Коэффициент μ называют коэффициентом приведения длины ;его значение для наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня приведены на рис. 2:

а - оба конца стержня закреплены шарнирно и могут сближаться;

б - один конец жестко защемлен, другой свободен;

в - один конец закреплен шарнирно, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

г - один конец жестко защемлен, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

д - один конец заделан жестко, на другом шарнирно-подвижная опора;

е - оба конца жестко защемлены, но могут сближаться.

Из этих примеров видно, что коэффициент μ представляет со­бой величину, обратную числу полуволн упругой линии стержня при потере устойчивости.

Рис. 2. Коэффициент μ для наиболее часто

встречающихся случаев закрепления концов стержня.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, также называется критическим.

Определим его исходя из формулы Эйлера:

(2)

Геометрическую характеристику сечения i min , определяемую по формуле

называют радиусом инерции сечения (относительно оси с J min ). Для прямоугольного сечения

С учетом (3) формула (2) примет вид:

(4)

Отношение приведенной длины стержня к минимальному ра­диусу инерции его поперечного сечения по предложению профес­сора Санкт-Петербургского института инженеров путей сообще­ния Ф.С. Ясинского (1856-1899) называют гибкостью стержня и обозначают буквой λ :

В этой безразмерной величине одновременно отражаются такие параметры: длина стержня, способ его закрепления и характеристи­ка поперечного сечения.

Окончательно, подставив (5) в формулу (4), получим

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что материал стер­жня упруг и следует закону Гука. Следовательно, формулу Эйлера можно применять только при напряжениях, меньших предела про­порциональности σ пц , т. е. когда

Этим условием определяется предел применимости формулы Эйлера:

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, называют предельной гибкостью :

ее значение зависит от физико-механических свойств материала стержня.

Для низкоуглеродистой стали Ст. 3, у которой σ пц = 200 МПа, Е = 2· 10 5 МПа:

Аналогично можно вычислить значение предельной гибкости для других материалов: для чугуна λ пред = 80, для сосны λ пред = 110.

Таким образом, формула Эйлера применима для стержней, гиб­кость которых больше или равна предельной гибкости , т. е.

λ ≥ λ пред

Понимать это надо так: если гибкость стержня больше предельной гибкости, то критическую силу надо определять по формуле Эйлера.

При λ < λ пред формула Эйлера для стержней неприменима. В этих случаях, когда гибкость стержней меньше предельной, при расчетах пользуются эмпирической формулой Ясинского :

σ кр = a – b·λ , (7)

где а и b - определяемые опытным путем коэффициенты, по­стоянные для данного материала; они имеют размерность напря­жения.

При некотором значении гибкости λ о напряжение σ кр , вычис­ленное по формуле (7), становится равным предельному напря­жению при сжатии, т. е. пределу текучести σ т для пластичных мате­риалов или пределу прочности при сжатии σ вс – для хрупких материалов. Стер­жни малой гибкости (λ < λ о )рассчитывают не на устойчивость, а на прочность при простом сжатии.

Таким образом, в зависимости от гибкости расчет сжатых стер­жней на устойчивость производится различно.

Во всем предыдущем изложении мы определяли поперечные размеры стержней из условий прочности. Однако разрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит той формы, которая ему придана конструктором; при этом изменится и характер напряженного состояния в стержне.

Наиболее типичным примером является работа стержня, сжатого силами Р . До сих пор для проверки прочности мы имели условие

Это условие предполагает, что стержень все время, вплоть до разрушения работает на осевое сжатие. Уже простейший опыт показывает, что далеко не всегда возможно разрушить стержень путем доведения напряжений сжатия до предела текучести или до предела прочности материала.

Если мы подвергнем продольному сжатию тонкую деревянную линейку, то она может сломаться, изогнувшись; перед изломом сжимающие силы, при которых произойдет разрушение линейки, будут значительно меньше тех, которые вызвали бы при простом сжатии напряжение, равное пределу прочности материала. Разрушение линейки произойдет потому, что она не сможет сохранить приданную ей форму прямолинейного, сжатого стержня, а искривится, что вызовет появление изгибающих моментов от сжимающих сил Р и, стало быть, добавочные напряжения от изгиба; линейка потеряет устойчивость.

Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна; надо, чтобы все ее элементы были устойчивы : они должны при действии нагрузок деформироваться в таких пределах, чтобы характер их работы оставался неизменным. Поэтому в целом ряде случаев, в частности, для сжатых стержней, помимо проверки на прочность, необходима и проверка на устойчивость. Для осуществления этой проверки надо ближе ознакомиться с условиями, при которых устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня нарушается.

Рис.1. Расчетная схема

Возьмем достаточно длинный по сравнению с его поперечными размерами стержень, шарнирно-прикрепленный к опорам (Рис.1), и нагрузим его сверху центрально силой Р , постепенно возрастающей. Мы увидим, что пока сила Р сравнительно мала, стержень будет сохранять прямолинейную форму. При попытках отклонить его в сторону, например путем приложения кратковременно действующей горизонтальной силы, он будет после ряда колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной форме, как только будет удалена добавочная сила, вызвавшая отклонение.

При постепенном увеличении силы Р стержень будет все медленнее возвращаться к первоначальному положению при проверках его устойчивости; наконец, можно довести силу Р до такой величины, при которой стержень, после небольшого отклонения его в сторону, уже не выпрямится, а останется искривленным. Если мы, не удаляя силы Р , выпрямим стержень, он уже, как правило, не сможет сохранить прямолинейную форму. Другими словами, при этом значении силы Р , называемом критическим , мы будем иметь такое состояние равновесия, когда исключается вероятность сохранения стержнем заданной ему прямолинейной формы).

Переход к критическому значению силы Р происходит внезапно ; стоит нам очень немного уменьшить сжимающую силу по сравнению с ее критической величиной, как прямолинейная форма равновесия вновь делается устойчивой.

С другой стороны, при очень небольшом превышении сжимающей силой Р ее критического значения прямолинейная форма стержня делается крайне неустойчивой ; достаточно при этом небольшого эксцентриситета приложенной силы, неоднородности материала по сечению, чтобы стержень искривился, и не только не вернулся к прежней форме, а продолжал искривляться под действием все возрастающих при искривлении изгибающих моментов; процесс искривления заканчивается либо достижением совершенно новой (устойчивой) формы равновесия, либо разрушением.

Исходя из этого, мы должны практически считать критическую величину сжимающей силы эквивалентной нагрузке, «разрушающей» сжатый стержень, выводящей его (и связанную с ним конструкцию) из условий нормальной работы. Конечно, при этом надо помнить, что «разрушение» стержня нагрузкой, превышающей критическую, может происходить при непременном условии беспрепятственного возрастания искривления стержня; поэтому если при боковом выпучивании стержень встретит боковую опору, ограничивающую его дальнейшее искривление, то разрушение может и не наступить.

Обычно подобная возможность является исключением; поэтому практически следует считать критическую сжимающую силу низшим пределом «разрушающей» стержень силы.

Рис.2. Аналогия понятия устойчивости из механики твердого тела

Явление потери устойчивости при сжатии можно по аналогии иллюстрировать следующим примером из механики твердого тела (рис.2). Будем вкатывать цилиндр на наклонную плоскость ab , которая потом переходит в короткую горизонтальную площадку bс и наклонную плоскость обратного направления cd . Пока мы поднимаем цилиндр по плоскости ab , поддерживая его при помощи упора, перпендикулярного к наклонной плоскости, он будет в.состоянии устойчивого равновесия; на площадке bс его равновесие делается безразличным; стоит же нам поместить цилиндр в точку с, как его равновесие сделается неустойчивым— при малейшем толчке вправо цилиндр начнет двигаться вниз.

Описанную выше физическую картину потери устойчивости сжатым стержнем легко осуществить в действительности в любой механической лаборатории на очень элементарной установке. Это описание не является какой-то теоретической, идеализированной схемой, а отражает поведение реального стержня под действием сжимающих сил.

Потерю устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня иногда называют «продольным изгибом», так как она влечет за собой значительное искривление стержня под действием продольных сил. Для проверки на устойчивость сохранился и до сих пор термин «проверка на продольный изгиб», являющийся условным, так как здесь речь должна идти не о проверке на изгиб, а о проверке на устойчивость прямолинейной формы стержня.

Установив понятие о критической силе, как о «разрушающей» нагрузке, выводящей стержень из условий его нормальной работы, мы легко можем составить условие для проверки на устойчивость, аналогичное условию прочности.

Критическая сила вызывает в сжатом стержне напряжение, называемое «критическим напряжением» и обозначаемое буквой . Критические напряжения являются опасными напряжениями для сжатого стержня. Поэтому, чтобы обеспечить устойчивость прямолинейной формы стержня, сжатого силами Р , необходимо к условию прочности добавить еще условие устойчивости:

где — допускаемое напряжение на устойчивость, равное критическому, деленному на коэффициент запаса на устойчивость, т. е. .

Для возможности осуществить проверку на устойчивость мы должны показать, как определять и как выбрать коэффициент запаса .

Формула Эйлера для определения критической силы.

Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.

Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.

Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»

Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:

Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у , а изгибающий момент равен

По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у — отрицательным и .)

Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:

деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через приводим его к виду:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид.

Рассмотрим стержень длиной /, один конец которого закреплен жестко, а на другом свободном конце приложена центральная сжимающая сила F (рис. 15.8).

Рис . 15.8.

Общее решение задачи, записанное в виде формулы (15.15), в этом случае остается в силе. Что же касается граничных условий, то они запишутся в следующем виде:

Искомое решение можно найти и иначе. Условно продолжим стержень вправо от защемленной опоры на длину / симметрично левой части, и тогда вместо граничных условий (15.21), получим новые условия:

Таким образом, новая задача фактически совпала с рассмотренной выше задачей Эйлера. Различие состоит только в том, что в конечном результате (15.20) длину / следует заменить на 21:

Формулу Эйлера можно обобщить также на другие случаи закрепления концов стержня. Для этого в расчетную формулу Эйлера вводится поправочный коэффициент р, называемый коэффициентом приведения длины стержня:

Коэффициент численно равен обратному числу от количества полуволн синусоиды, укладывающихся вдоль изогнутой оси стержня. На рис. 15.9 представлены различные виды крепления концов стержня и соответствующие им коэффициенты приведения длины.

Можно показать, что для первых трех стержней, изображенных на рис. 15.9, а - в, значения коэффициента приведенной длины точное. Что же касается четвертой задачи, то для нее значение приведенной длины определено приближенно. Рассмотрим задачу определения р для этого случая (рис. 15.9, г).

Уравнение деформированной оси стержня имеет вид

Здесь R - величина горизонтальной реактивной силы верхней опоры.

Рис. 15.9.

После преобразования уравнения (15.25) с учетом формулы (15.13) получим

Уравнение (15.26), в отличие от уравнения (15.14), является неоднородным. Его общее решение запишется так же, как и общее решение соответствующего однородного уравнения (15.14). Частное решение имеет вид

Таким образом, решение уравнение (15.25) запишется в форме

В этом решении величина R играет роль третьей неизвестной константы, п поэтому для решения этой задачи необходимо сформулировать третье граничное условие:

Используя граничные условия, получим систему трех нелинейных уравнений

Раскрывая определитель, приходим к следующему нелинейному уравнению:

Решение нелинейного уравнения (15.29) можно получить как численно, так и графически. Для наглядности выберем второй способ решения. Построим графики следующих функций: у = tgkl, у = kl (рис. 15.10).

Рис. 15.10. Графики функций у = tg kl, у = kl

Точка пересечения графиков С соответствует значению корня kl ~ 4,5, откуда

В формулу для критической силы входит главный центральный момент инерции относительно оси Oz - / Ю1 . = так как мы загодя сделали предположение о том, что стержень теряет устойчивость и изгибается в направлении, перпендикулярном к оси Ох. Однако, как уже отмечалось, если при этом условия закрепления опор позволяют стержню деформироваться в любом направлении равновероятно, то стержень потеряет устойчивость в том направлении, в котором момент инерции его поперечного сечения имеет минимальное значение 7 min .

Если же условия закрепления более сложные, то для оценки критической силы необходим дополнительный анализ. Для примера рассмотрим стержень (рис. 15.11), левая опора которого жестко заделана. Что касается правой опоры, то здесь заданы условия подвижной заделки, разрешающей перемещения и повороты в плоскости ху и запрещающие их в плоскости zx. Поперечное сечение стержня - прямоугольное с отношением сторон Н = 2В.

Рис. 15.11.

Закреплению стержня в плоскости ху соответствует коэффициент приведения длины р = 2 (см. рис. 15.8), а в плоскости xz - р = 0,5 (см. рис. 15.9, а).

Подсчитаем критические силы в предположении о том, что потеря устойчивости произойдет: 1) в плоскости ху и 2) в плоскости xz:

Сравнивая значения, заключаем: потеря устойчивости произойдет в плоскости ху , поскольку этому варианту соответствует меньшее значение критической силы.

Задача определения критической силы была впервые поставлена и решена математиком Л.Эйлером*, в дальнейшем она была обобщена на другие случаи концевых закреплений стержня.

Эта формула имеет вид:

где Е – модуль упругости первого рода материала стержня;

I min – минимальный главный центральный момент инерции поперечного сечения стержня;

l – длина стержня;

m - коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа закрепления его концов;

m l – приведенная длина стержня.

На рис. 8.2 показаны наиболее распространенные способы закрепления концов сжатого стержня (штриховыми линиями изображены примерные формы упругих линий стержней при нагрузках, больших критических):

1) оба конца стержня закреплены шарнирно - m = 1 (рис. 8.2,а);

2) один конец жестко защемлен, а другой свободен - m = 2 (рис. 8.2,б);

3) оба конца жестко защемлены, но могут сближаться - m = 0,5 (рис. 8.2,в); 4) один конец стержня закреплен жестко, а другой – шарнирно - m = 0,7 (рис. 8.2,г).

m = 0,7

m = 0,5

m = 2

m = 1

F

F

F

а)

б)

в)

г)

Рис. 8.2

F

Формула Эйлера справедлива лишь при условии, что потеря устойчивости происходит в пределах упругих деформаций стержня, т.е. в пределах действия закона Гука.

Если обе части формулы Эйлера (8.3) разделить на площадь поперечного сечения стержня А, то получим так называемое критическое напряжение s кр , т.е. то напряжение, которое возникает в сечении стержня под действием критической силы F kp . При этом критическое напряжение не должно превышать предела пропорциональности:

где i min – минимальный радиус инерции.

Момент инерции берется минимальный потому, что стержень стремится изогнуться в плоскости наименьшей жесткости.

Разделим числитель и знаменатель формулы (8.4) на минимальный момент инерции I min , представленный формулой (8.5):

где - безразмерная величина называемая гибкостью стержня.

Условие применимости формулы Эйлера удобно выразить через гибкость стержня. Выразим из неравенства (8.6) значение l:

Правую часть этого неравенства обозначают l пред и называют предельной гибкостью стержня из данного материала, т.е.

Таким образом, получим окончательное условие применимости формулы Эйлера - l ³ l пред. Формула Эйлера применима, когда гибкость стержня не меньше предельной гибкости .

Так, например, для стали Ст.3 (Е = 2*10 5 Мпа; s пц = 200 МПа):

т.е. формула Эйлера применима в этом случае при l ³ 100.

Аналогично можно вычислить предельную гибкость и для других материалов.

В конструкциях нередко встречаются стержни, у которых l < l пред. Расчет таких стержней ведется по эмпирической формуле, выведенной профессором Ф.С.Ясинским* на основании обширного опытного материала:

где a, b, c – коэффициенты, зависящие от свойств материала.

В таблице приведены значения а, b и c для некоторых материалов, а также значения гибкостей, в пределах которых применима формула (8.9).

Таблица 8.1

При гибкости l < l 0 стержни можно рассчитывать на прочность без учета опасности потери устойчивости.

Из формул Эйлера и Ясинского следует, что значение критической силы возрастает с увеличением минимального момента инерции поперечного сечения стержня. Так как устойчивость стержня определяется значением минимального момента инерции его поперечного сечения, то, очевидно, рациональны сечения, у которых главные моменты инерции равны между собой. Стойка, имеющая такое сечение, обладает равноустойчивостью во всех направлениях. Из сечений такого типа следует выбирать такие, которые обладают наибольшим моментом инерции при наименьшей площади (затрате материала). Таким сечением является кольцевое сечение.

На рис. 8.3 представлена диаграмма зависимости критического напряжения в стержне от его гибкости. В зависимости от гибкости стержни условно делят на три категории. Стержни большой гибкости (l ³ l пред) рассчитывают на устойчивость по формуле Эйлера; стержни средней гибкости (l 0 £l £l пред) рассчитывают на устойчивость по формуле Ясинского; стержни малой гибкости (l рассчитывают не на устойчивость, а на прочность.

ДЕТАЛИ МАШИН

«Соединения деталей машин»

В процессе изготовления машины некоторые ее детали соединяют между собой, при этом образуются неразъемные или разъемные соединения.

Неразъемными называют соединения, которые невозможно разобрать без разрушения или повреждения деталей. К ним относятся заклепочные, сварные и клеевые соединения.

Разъемными называют соединения, которые можно разбирать и вновь собирать без повреждения деталей. К разъемным соединениям относятся резьбовые, шпоночные, зубчатые (шлицевые) и другие.

Л е к ц и я 7

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Понятие об устойчивости сжатого стержня. Формула Эйлера. Зависимость критической силы от способа закрепления стержня. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского. Расчет на устойчивость.

Понятие об устойчивости сжатого стержня

Рассмотрим стержень с прямой осью, нагруженный продольной сжимающей силой F. В зависимости от величины силы и параметров стержня (материал, длина, форма и размеры поперечного сечения) его прямолинейная форма равновесия может быть устойчивой или не устойчивой.

Д ля определения вида равновесия стержня подействуем на него небольшой поперечной нагрузкой Q. В результате стержень перейдет в новое положение равновесия с изогнутой осью. Если после прекращения действия поперечной нагрузки стержень возвращается в исходное (прямолинейное) положение, то прямолинейная форма равновесия является устойчивой (рис 7.1а). В том случае, когда после прекращения действия поперечной силы Q стержень не возвращается в первоначальное положение, прямолинейная форма равновесия является неустойчивой (рис 7.1б).

Таким образом, устойчивостью называется способность стержня после некоторого отклонения от первоначального положения в результате действия какой-либо возмущающей нагрузки самопроизвольно возвращаться в исходное положение при прекращении действия этой нагрузки. Наименьшая продольная сжимающая сила, при которой прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой.

Рассмотренная схема работы центрального сжатого стержня носит теоретический характер. На практике сжимающая сила может действовать с некоторым эксцентриситетом, а стержень может иметь некоторую (хотя бы и небольшую) начальную кривизну. Поэтому с самого начала продольного нагружения стержня наблюдается его изгиб. Исследования показывают, что пока сжимающая сила меньше критической силы, прогибы стержня будут небольшими. При приближении силы к критическому значению прогибы начинают неограниченно возрастать. Этот критерий (неограниченный рост прогибов при ограниченном росте сжимающей силы) и принимается за критерий потери устойчивости.

Потеря устойчивости упругого равновесия имеет место не только при сжатии стержня, но и при его кручении, изгибе и более сложных видах деформации.

Формула Эйлера

Рассмотрим стержень с прямой осью, закрепленный посредством двух шарнирных опор (рис 7.2). Примем, что действующая на стержень продольная сжимающая сила достигла критического значения, и стержень изогнулся в плоскости наименьшей жесткости. Плоскость наименьшей жесткости расположена перпендикулярно к той главной центральной оси сечения, относительно которой осевой момент инерции сечения имеет минимальное значение.

(7.1)

где М – изгибающий момент; I min – минимальный момент инерции сечения.

Из рис. 7.2 находим изгибающий момент

(7.2)

На рис. 7.2 изгибающий момент, обусловленный действием критической силы, положителен, а прогиб – отрицателен. С целью согласования принятых знаков в зависимости (7.2) поставлен знак минус.

Подставляя (7.2) в (7.1), для определения функции прогиба получаем дифференциальное уравнение

(7.3)

(7.4)

Из курса высшей математики известно, что решение уравнения (7.3) имеет вид

где A, B – постоянные интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования в (7.5) используем краевые условия

Для изогнутого стержня коэффициенты A и B не могут одновременно быть равными нулю (иначе стержень не будет изогнутым). Поэтому

Приравнивая (7.6) и (7.4), находим

(7.7)

Практическое значение имеет наименьшее, отличное от нуля, значение критической силы. Поэтому, подставив в (7.7) n=1, окончательно будем иметь

(7.8)

Зависимость (7.8) называется формулой Эйлера.

Зависимость критической силы

от способа закрепления стержня

Формула (7.8) получена для случая закрепления стержня посредством двух шарнирных опор, расположенных на его краях. При других способах закрепления стержня для определения критической силы используется обобщенная формула Эйлера

(7.9)

где μ – коэффициент приведения длины, учитывающий способ закрепления стержня.

Наиболее распространенные способы закрепления стержня и соответствующие им коэффициенты приведения длины показаны на рис. 7.3.

Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

П ри выводе формулы Эйлера было использовано условие, что в момент потери устойчивости выполняется закон Гука. Напряжение в стержне в момент потери устойчивости равно

где
- гибкость стержня; A – площадь поперечного сечения стержня.

В момент потери устойчивости закон Гука будет выполняться при условии

где σ пц – предел пропорциональности материала стержня;
- первая предельная гибкость стержня. Для стали Ст3 λ пр1 = 100.

Таким образом, формула Эйлера справедлива при выполнении условия (7.10).

Если гибкость стержня расположена в интервале
то стержень будет терять устойчивость в области упруго-пластических деформаций и формулу Эйлера использовать нельзя. В этом случае критическая сила определяется по экспериментальной формуле Ясинского

где a, b – экспериментальные коэффициенты. Для стали Ст3 a = 310 Мпа, b = 1,14 Мпа.

Вторая предельная гибкость стержня определяется по формуле

где σ т – предел текучести материала стержня. Для стали Ст3 λ пр2 = 60.

При выполнении условия λ ≤ λ пр2 критическое напряжение (по Ясинскому) будет превышать предел текучести материала стержня. Поэтому в этом случае для определения критической силы используется соотношение

(7.12)

В качестве примера на рис. 7.4 показана зависимость критического напряжения от гибкости стержня для стали Ст3.

Расчет на устойчивость

Расчет на устойчивость выполняется с использованием условия устойчивости

(7.13)

Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость;

- коэффициент запаса устойчивости.

Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость находится по допускаемому напряжению при расчете на сжатие

(7.14)

где φ – коэффициент продольного изгиба (или снижения основного допускаемого напряжения). Данный коэффициент изменяется в пределах 0 ≤ φ ≤ 1.

Учитывая, что для пластичных материалов

из формул (7.13) и (7.14) следует

(7.15)

Значения коэффициента продольного изгиба в зависимости от материала и гибкости стержня приводятся в справочной литературе.

Наиболее интересен проектный расчет из условия устойчивости. При данном виде расчета известны: расчетная схема (коэффициент μ), внешняя сжимающая сила F, материал (допускаемое напряжение [σ]) и длина l стержня, форма его поперечного сечения. Необходимо определить размеры поперечного сечения.

Трудность заключается в том, что неизвестно по какой формуле определять критическое напряжение, т.к. без размеров поперечного сечения нельзя определить гибкость стержня. Поэтому расчет выполняется методом последовательных приближений:

1) Принимаем начальное значение = 0,5. Определяем площадь поперечного сечения

2) По площади находим размеры поперечного сечения.

3) Используя полученные размеры поперечного сечения, вычисляем гибкость стержня, а по гибкости – конечное значение коэффициента продольного изгиба .

4) При несовпадении значений и выполняем второе приближение. Начальное значение φ во втором приближении принимаем равным
. И так далее.

Расчеты повторяем до тех пор, пока начальное и конечное значения коэффициента φ будут отличаться не более чем на 5%. В качестве ответа принимаем значения размеров, полученных в последнем приближении.