Главная
На свободную тему
Модели которые используют в биологии. Модель активной среды

Модели которые используют в биологии. Модель активной среды

Современная биология широко применяет математические и компьютерные методы. Без использования математических методов было бы невозможным выполнение таких глобальных проектов, как геном человека, расшифровка пространственной структуры сложных биомакромолекул, дистанционная диагностика, компьютерное моделирование новых эффективных лекарств («драг- дизайн»), планирование мероприятий по предотвращению распространения эпидемий, анализ экологических последствий работы промышленных объектов, биотехнологические производства и многое другое.

Бурное внедрение математических методов в биологию в последние десятилетия связано в первую очередь с развитием экспериментальных физико-химических методов биологических исследований. Рентгеноструктурный и спектроскопические (ЯМР, ЭПР) методы, анализ последовательности ДНК невозможны без математической обработки результатов эксперимента.

С другой стороны, применение математических методов способствовало пониманию законов, лежащих в основе многих биологических процессов. Многочисленные примеры приведены в рекомендованной литературе. Среди них - свойства циклических колебаний численностей популяций, принцип конкурентного исключения Гаузе для конкурирующих видов, пороговая теорема в математической эпидемиологии, условия распространения нервного импульса, условия возникновения разного типа автоволновых процессов в активных тканях, в частности в сердечной мышце и многие другие.

Биологические задачи инициировали создание новых математических теорий, которые обогатили саму математику. Первая известная математическая модель численности популяции кроликов Леонардо из Пизы (13 век) представляет собой ряд Фибоначчи. Более поздние примеры новых математических постановок дают задачи рождения и гибели, диффузионные процессы, системы с кросс-диффузией в уравнениях с частными производными, новые типы краевых задач для уравнений переноса, эволюционная теория игр, системы репликаторных уравнений. Основы современной статистики были заложены Р. Фишером, который также изучал биологические проблемы.

Математические модели в биологии

Первые систематические исследования, посвященные математическим моделям в биологии, принадлежат А.Д. Лотке (1910-1920 гг). Его модели и сейчас не утратили значения. Основателем современной математической теории биологических популяций справедливо считается итальянский математик Вито Вольтерра , разработавший математическую теорию биологических сообществ, аппаратом которой служат дифференциальные и интегро- дифференциальные уравнения. (Vito Volterra. Lecons sur la Theorie Mathematique de la Lutte pour la Vie. Paris, 1931). В последующие десятилетия популяционная динамика развивалась, в основном, в русле высказанных в этой книге идей. В.Вольтерра принадлежит самая знаменитая «биологическая модель» сосуществования видов типа (1928 г.), которая входит во все учебники по теории колебаний. Русский перевод книги Вольтерра вышел в 1976 г. под названием: «Математическая теория борьбы за существование» под редакцией и с послесловием Ю.М.Свирежева, где рассматривается история развития математической экологии в период 1931‑1976 гг. Начиная с сороковых годов 20 века, математические модели заняли прочное место в : работы Моно (1942), Новика и Сцилларда (1950) позволили описать закономерности роста популяций одноклеточных организмов.

Основополагающей для развития математических моделей пространственно-временного поведения биологических систем стала работа Алана Тьюринга, “ Химические основы морфогенеза” (Turing, 1952) заложившая основу динамического подхода к моделированию распределенных биологических систем. В ней впервые показана возможность существования в активной кинетической среде стационарных и неоднородных структур. Полученные в этой работе фундаментальные результаты легли в основу большого числа моделей морфогенеза, описывающих раскраску шкур животных (Murray 1993; Мюррей, 2009), образование раковин (Meinhardt 1995), морских звезд и других живых организмов.

Важную роль сыграли математические модели в изучении механизмов генерации нервного импульса . А. Ходжкин и Э. Хаксли наряду с экспериментальным исследованием предложили модель, описывающую процессы ионного транспорта через мембрану и прохождение импульса потенциала вдоль мембраны. Работа британских ученых была удостоена Нобелевской премии 1963 г. (вместе с сэром Джоном Эклсом, Австралия).

Объяснению механизма сердечных аритмий при помощи аксиоматических моделей возбудимой среды была посвящена первая в этой области работа Н. Винера и А. Розенблюта (Wiener and Rosenblueth 1946). Русский перевод опубликован в книге: Кибернетический сборник. Вып.3. М. ИЛ, 1961. В более общей форме сходные идеи были развиты советскими учеными Гельфандом и Цетлиным (Гельфанд и др., 1963; Гельфанд и др., 1966), а затем и другими авторами на моделях клеточных автоматов. При построении моделей учитывали, что процесс возникновения и распространения возбуждения в биологических объектах, в частности, в нервных тканях обладает рядом четко выраженных свойств, отправляясь от которых можно построить формальную модель этого явления.

Российские научные школы

Российские научные школы внесли большой вклад в развитие математической биологии. А.Н. Колмогоров , И.Г. Петровский , Н.С. Пискунов в 1937 г. в работе “Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме” решили задачу о предельной скорости перемещения фронта волны и определили предельную форму фронта. Эта работа стала классической и положила начало развитию теоретического и экспериментального изучения автоволновых явлений в системах разной природы.

Российским биофизикам В.И. Кринскому , Г.Р. Иваницкому и др. принадлежит серия блестящих работ, положивших начало экспериментальному изучению и теоретическому описанию возбудимых тканей (Иваницкий, Кринский, Сельков. «Математическая биофизика клетки». 1978). В настоящее время направление по изучению и компьютерному моделированию процессов нервного проведения и распространения волн в сердечной мышце интенсивно развивается. Последние достижения в этой области представлены в книге «Динамические модели процессов в клетках и субклеточных наноструктурах», 2010. Наиболее продвинутые модели учитывают сопряжение электрических и механо-химических процессов, структурную и геометрическую неоднородность сердца.

Российским ученым Б.П. Белоусовым (Белоусов 1959, 1981) был открыт класс химических реакций, позволяющих наблюдать на опыте практически все известные в настоящее время типы поведения распределенных систем. А.М. Жаботинский с сотрудниками подробно исследовали свойства этих реакций и условия их протекания, им также была предложена первая математическая модель наблюдаемого явления (Жаботинский, 1975). В дальнейшем реакцию Белоусова-Жаботинского (BZ-реакцию), как модель распределенной системы, демонстрирующей различные типы пространственно-временной организации, исследовали в сотнях лабораторий мира (Field. and Burger 1985; Филд and Бургер 1988; Ванаг, 2008). Был разработан ряд моделей для описания протекающих процессов, наиболее известными являются модель «Орегонатор», предложенная исследователями из университета Орегоны, США (Field., Koros et al. 1972; Field. and Noyes 1974), и модель «пущинатор», предложенная исследователями из Научного центра биологических исследований г. Пущино (Rovinsky and Zhabotinsky 1984).

Российские ученые внесли большой вклад в развитие математической теории . Это, в первую очередь, работы коллективов Института Математических проблем биологии РАН (до 1992 г. - Научный Вычислительный центр РАН) под руководством А.М.Молчанова (А.Д.Бызыкин, Ф.С.Березовская, А.И.Хибник) и коллектива сотрудников Вычислительного центра РАН под руководством Ю.М.Свирежева (Д.О. , А. Тарко, В. Разжевайкин, Д. Саранча, Н. В. Белотелов, В. Пасечник, В.В. Шакин и др.). В ВЦ РАН под руководством академика Н.Н.Моисеева в 70-80 годы 20 века проводились работы по глобальному и региональному моделированию. Здесь была создана знаменитая модель «ядерной зимы».

Значительный вклад в развитие методов моделирования процессов в энергопреобразующих мембранах внесли ученые МГУ. Кинетические модели первичных процессов фотосинтеза разработаны учеными Биологического (А.Б. Рубин , Г.Ю. Ризниченко , Н.Е. Беляева) и физического (А.К.Кукушкин, А.Н. Тихонов , В.А.Караваев, С.А. Кузнецова). В последние годы на кафедре биофизики Биологического факультета МГУ активно ведутся работы по разработке нового метода прямого многочастичного компьютерного моделирования процессов в субклеточных системах (А.Б.Рубин, Г.Ю.Ризниченко, И.Б. Коваленко. Д.М.Устинин)

Большую роль в становлении математической биологии России сыграли научные разработки и книги коллектива авторов Ю.М. Романовского , Н.В. Степановой (Физический факультет МГУ) и Д.С. Чернавского (ФИАН): « Математические модели в биофизике» М., 1976; « Математическая биофизика» М., 1984; « Математическое моделирование в биофизике. Введение в теоретическую биофизику » М-Ижевск, 2004. В них рассматриваются основы биологической кинетики, модели эволюции и развития в биологии, модели роста клеточных популяций, автоволны в распределенных кинетических системах, статистические аспекты биологической кинетики. Это направление продолжает развиваться в ФИАНе (А А. Полежаев, В.И. Волков и др.)

Учреждения, где проводятся работы по математическому моделированию в биологии

В современной России работы по математическому моделированию в биологии проводятся в ряде научно-исследовательских институтов и ВУЗов. Одно из ведущих мест принадлежит научному центру в г. Пущино, где в 1972 г. был организован научный вычислительный центр РАН (Директор - А.М. Молчанов), который в 1992 г. получил статус Института математических проблем биологии РАН. Нынешний директор ИМПБ - В.Д.Лахно, который также является председателем Научного Совета РАН по математической биологии и биоинформатике. ИМПБ РАН является ведущим научным учреждением по данной проблеме и издает электронный журнал «Математическая биология и биоинформатика»

Работы по математическому моделированию биологических процессов ведутся также в других учреждениях Пущинского научного центра РАН: Институте биофизики клетки РАН. директор - чл.-корр. РАН Е.Е.Фесенко (в основном по молекулярно-динамическому и квантово-механическому моделированию процессов в биомакромолекулах) и Институте теоретической и экспериментальной биофизики РАН, директор - чл.-корр. РАН Г.Р.Иваницкий (моделирование процессов самоорганизации в активных средах, автоволновны в живых клетках и биополимерах).

В научной школе академика Г. И Марчука активно развиваются методы моделирования применительно к медицине, в частности, разрабатываются модели иммунитета и распространения эпидемий.

Исследования биологических систем с использованием математических моделей проводятся в Институте биофизики СО РАН (Красноярск, Институте генетики СО РАН (Новосибирск), в университетах Нижнего Новгорода, Саратова, Ростова-на-Дону, Ярославля, в Государственном университете «Московский физико-технический институт», в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ» и др.

Работы по математическому моделированию в биологии в МГУ активно ведутся на Биологическом факультете (модели первичных процессов фотосинтеза и других процессов в субклеточных и клеточных системах, молекулярная динамика белков и биомембран), Физическом факультете МГУ (модели молекулярных машин) , факультете Вычислительной математики и кибернетики (популяционная динамика, математическая экология, эволюционные модели, модели управления), Механико-математическом факультете (модели вестибулярного аппарата, модели растительных сообществ).

Периодические издания

Статьи по математическим моделям в биологии регулярно публикуются в журналах:

  • «Биофизика» (М., 1956 —),
  • «Bulletin of Mathematical Biophysics» (1939 —1972); «Bulletin of Mathematical Biology» (1972-); Jurnal of Theoretical biology (1961 —),
  • Journal of Mathematical biology (1974-);
  • Ecological modeling (1975—),
  • Компьютерные исследования и моделирование (2009 —).

Отдельные статьи по математическому моделированию также печатаются в журналах:

  • Успехи физических наук (1918 -)
  • Вестник Московского университета
  • BioSystems (1967)
  • Journal of Biological Systems (1993)
  • Computational and Mathematical Methods in Medicine (1997)
  • Mathematical Biosciences (1967)
  • Mathematical Biosciences and Engineering
  • PNAS (1915)
  • Science Magazine (1880)
  • Journal Nature (1869)
  • Acta Biotheoretica (1935)
  • Comments on Theoretical Biology
  • Rivista de Biologia / Biology Forum (1996)
  • Systema Naturae / Annali di Biologia Teorica (1998)
  • Theoretical and Applied Genetics (1929)
  • Theoretical Medicine and Bioethics (1980)
  • Theoretical Population Biology ()
  • Theory in Biosciences / Theorie in den Biowissenschaften
  • Mathematical Modeling of Natural Phenomena (2006)

Издания

Книги по математическому моделированию в биологии публикуются издательством РХД-ИКИ в серии «Биофизика. Математическая биология», Наука, URSS и другими издательствами научной и образовательной литературы.

Иваницкий Г.Р., Кринской В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. Наука, 1978

Мюррей Д. Математическая биология. Том 1. Введение. Изд. ИКИ-РХД, М-Ижевск, 2009

Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терехин А.Т. Высшая математика и ее приложения к биологии. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели. Академия. М., 2009

Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Изд. РХД, М-Ижевск, 2003 .

Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. Изд. ИКИ-РХД, М-Ижевск, 2004

Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. Изд. ИКИ-РХД, 2004

Рубин А.Б. Биофизика. Т. I. М., 2004. Т. 2. М., 2004 (изд. 3-е)

Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М., Наука. 1978

Свирежев Ю.М. Нелинейные волны. Диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М., Наука, 1987

Смирнова О.А. радиация и организм млекопитающих: модельный подход. Изд. РХД, М-Ижевск, 2006

В настоящем учебном пособии хорошо представлены основные современные математические модели для анализа биофизических процессов, живых систем в экологии. Книга состоит из трех разделов, в которых описаны базовые модели в биофизике, динамике популяций и экологии, а также даны соответствующие описательные примеры, представлены методы расчета и статистические данные. На данный момент некоторые из приводимых статистических данных устарели. Однако это существенно не влияет на процесс обучения математическому моделированию биологических процессов, и произошедшие изменения при необходимости могут быть учтены преподавателями.

Шаг 1. Выбирайте книги в каталоге и нажимаете кнопку «Купить»;

Шаг 2. Переходите в раздел «Корзина»;

Шаг 3. Укажите необходимое количество, заполните данные в блоках Получатель и Доставка;

Шаг 4. Нажимаете кнопку «Перейти к оплате».

На данный момент приобрести печатные книги, электронные доступы или книги в подарок библиотеке на сайте ЭБС возможно только по стопроцентной предварительной оплате. После оплаты Вам будет предоставлен доступ к полному тексту учебника в рамках Электронной библиотеки или мы начинаем готовить для Вас заказ в типографии.

Внимание! Просим не менять способ оплаты по заказам. Если Вы уже выбрали какой-либо способ оплаты и не удалось совершить платеж, необходимо переоформить заказ заново и оплатить его другим удобным способом.

Оплатить заказ можно одним из предложенных способов:

  1. Безналичный способ:
    • Банковская карта: необходимо заполнить все поля формы. Некоторые банки просят подтвердить оплату – для этого на Ваш номер телефона придет смс-код.
    • Онлайн-банкинг: банки, сотрудничающие с платежным сервисом, предложат свою форму для заполнения. Просим корректно ввести данные во все поля.
      Например, для " class="text-primary">Сбербанк Онлайн требуются номер мобильного телефона и электронная почта. Для " class="text-primary">Альфа-банка потребуются логин в сервисе Альфа-Клик и электронная почта.
    • Электронный кошелек: если у Вас есть Яндекс-кошелек или Qiwi Wallet, Вы можете оплатить заказ через них. Для этого выберите соответствующий способ оплаты и заполните предложенные поля, затем система перенаправит Вас на страницу для подтверждения выставленного счета.

    2. Мы уже говорили о том, что математический подход к изучению тех или иных явлений реального мира начинается обычно с создания соответствующих общих понятий, т. е. с построения математических моделей, обладающих существенными для нас свойствами тех систем и процессов, которые мы изучаем. Мы упоминали и о тех трудностях, с которыми Связано построение таких моделей в биологии, трудностях, обусловленных чрезвычайной сложностью биологических систем. Однако, несмотря на эти трудности, "модельный" подход к биологическим проблемам сейчас успешно развивается и уже принес определенные результаты. Мы рассмотрим некоторые модели, относящиеся к различным биологическим процессам и системам.

    Говоря о роли моделей в биологических исследованиях, важно заметить следующее. Хотя термин «модель» мы понимаем в абстрактном смысле - как некоторую систему логических понятий, а не как реальное физическое устройство, все же модель - это нечто существенно большее, чем простое описание явления или чисто качественная гипотеза, в которых еще остается достаточно места для разного рода неясностей и субъективных мнений. Напомним следующий пример, относящийся к довольно далекому прошлому. В свое время Гельмгольц, занимаясь изучением слуха, выдвинул так называемую резонансную теорию, выглядевшую правдоподобно с чисто качественной стороны. Однако проведенные позже количественные расчеты, учитывающие реальные значения масс, упругости и вязкости составляющих слуховую систему компонент, показали несостоятельность этой гипотезы. Иначе говоря, попытка превратить чисто качественную гипотезу в точную модель, допускающую ее исследование математическими методами, сразу же обнаружила несостоятельность исходных принципов. Конечно, если мы построили некоторую модель и даже получили хорошее согласие между этой моделью и результатами соответствующего биологического эксперимента, то это еще не доказывает правильности нашей модели. Вот если мы на основании изучения нашей модели сможем сделать какие-то предсказания о той биологической системе, которую мы моделируем, а затем подтвердим эти предсказания реальным экспериментом, то это будет гораздо более ценным свидетельством в пользу правильности модели.

    Но перейдем к конкретным примерам.

    2.Кровообращение

    Одной из первых, если не самой первой, работой по математическому моделированию биологических процессов следует считать работу Леонарда Эйлера, в которой он развил математическую теорию кровообращения, рассматривая в первом приближении всю кровеносную систему как состоящую из резервуара с упругими стенками, периферического сопротивления и насоса. Эти идеи Эйлера (как и некоторые другие его работы) были сперва основательно забыты, а затем возрождены в более поздних работах других авторов.

    3. Законы Менделя

    Достаточно давняя и хорошо известная, но тем не менее весьма замечательная модель в биологии - это менделевская теория наследственности. Эта модель, основанная на теоретико-вероятностных понятиях, состоит в том, что в хромосомах родительских клеток заложены определенные наборы признаков, которые при оплодотворении комбинируются между собой независимо и случайно. В дальнейшем эта основная идея подверглась весьма существенным уточнениям; так, например, было обнаружено, что разные признаки не всегда независимы друг от друга; если они связаны с одной и той же хромосомой, то они могут передаваться лишь в определенной комбинации. Далее, обнаружилось, что и разные хромосомы комбинируются не независимо, а имеет место свойство, названное сродством хромосом, нарушающее эту независимость и т. д. В настоящее время теоретико-вероятностные и статистические методы весьма широко проникли в генетические исследования и даже термин «математическая генетика» получил полные права гражданства. Сейчас в этой области ведется интенсивная работа, получено много результатов, интересных как с биологической, так и с чисто математической точки зрения. Однако в самой основе этих исследований лежит та модель, которая была создана Менделем более 100 лет назад.

    4. Модели мышцы

    Одним из интереснейших объектов физиологического исследования является мышца. Этот объект весьма доступен, и многие исследования экспериментатор может проделать просто на себе, располагая лишь сравнительно несложным оборудованием. Достаточно ясны и определенны и те функции, которые выполняет мышца в живом организме. Несмотря на все это, многочисленные попытки построить удовлетворительную модель работы мышцы не дали окончательных результатов. Ясно, что хотя мышца может растягиваться и сокращаться, подобно пружине, их свойства совершенно различны, и даже в самом первом приближении пружину нельзя рассматривать как подобие мышцы. Для пружины существует строгая зависимость между ее удлинением и приложенной к ней нагрузкой. Для мышцы это не так: мышца может менять свою длину, сохраняя натяжение, и наоборот, менять силу тяги, не изменяя длины. Проще говоря, при одной и той же длине мышца может быть расслаблена, а может быть напряжена.

    Среди различных режимов работы, возможных для мышцы, наиболее существенны так называемое изотоническое сокращение (т. е. сокращение, при котором напряжение мышцы остается постоянным) и изометрическое напряжение, при котором не меняется длина мышцы (оба ее конца неподвижно закреплены). Исследование мышцы в этих режимах важно для понимания принципов ее работы, хотя в естественных условиях активность мышцы не бывает ни чисто изотонической, ни чисто изометрической.

    Для описания соотношения между скоростью изотонического сокращения мышцы и величиной нагрузки были предложены различные математические формулы. Наиболее известная из них - так называемое характеристическое уравнение Хилла. Оно имеет вид

    (P+a)V=b(P 0 -P) ,

    - скорость сокращения, а, b и Р 0 - постоянные.

    Другие хорошо известные формулы для описания этой же связи - это уравнение Обера

    P = Р 0 e- V⁄P ±F

    и уравнение Полиссара

    V=const (А 1-P/P 0 - B 1-P/P 0) .

    Уравнение Хилла получило широкое распространение в физиологии; оно дает достаточно хорошее совпадение с экспериментом для мышц самых разных животных, хотя на самом деле оно представляет собой результат «подбора», а не вывод из некоторой модели. Два других уравнения, дающих в довольно широком диапазоне нагрузок примерно ту же зависимость, что и уравнение Хилла, получены их авторами из определенных представлений о физико-химическом механизме мышечного сокращения. Существует ряд попыток построить модель работы мышцы, рассматривая последнюю как некоторую комбинацию упругих и вязких элементов. Однако до сих пор достаточно удовлетворительной модели, отражающей все основные черты работы мышцы в различных режимах, не существует.

    5. Модели нейрона, нейронные сети

    Нервные клетки, или нейроны, это те «рабочие единицы», из которых состоит нервная система и которым организм животного или человека обязан всеми своими способностями воспринимать внешние сигналы и управлять различными частями тела. Характерная черта нервных клеток состоит в том, что такая клетка может находиться в двух состояниях - покоя и возбуждения. В этом нервные клетки сходны с такими элементами, как радиолампы или полупроводниковые триггеры, из которых собираются логические схемы вычислительных машин. За последние 15-20 лет было предпринято много попыток моделировать деятельность нервной системы, исходя из тех же принципов, на которых основана работа универсальных вычислительных машин. Еще в 40-х годах американские исследователи Мак-Каллок и Питтс ввели понятие «формального нейрона», определив его как элемент (физическая природа которого не играет роли), снабженный некоторым количеством «возбуждающих» и некоторым количеством «тормозящих» входов. Сам этот элемент может находиться в двух состояниях - «покой» или «возбуждение». Возбужденное состояние наступает в том случае, если на нейрон пришло достаточное число возбуждающих сигналов и нет тормозящих сигналов. Мак-Каллок и Питтс показали, что с помощью схем, составленных из таких элементов, можно, в принципе, реализовать любой из типов обработки информации, происходящих в живом организме. Это, однако, вовсе не означает, что мы тем самым познали действительные принципы работы нервной системы. Прежде всего, хотя для нервных клеток характерен принцип «все или ничего», т. е. наличие двух четко выраженных состояний - покой и возбуждение, отсюда вовсе не следует, что наша нервная система, подобно универсальной вычислительной машине, пользуется двоичным цифровым кодом, состоящим из нулей и единиц. Например, в нервной системе существенную роль играет, видимо, частотная модуляция, т. е. передача информации с помощью длин временных интервалов между импульсами. Вообще в нервной системе нет, видимо, такого разделения способов кодирования информации на «цифровые» дискретные) и «аналоговые» (непрерывные), какое имеется в современной вычислительной технике.

    Для того чтобы система нейронов работала как некоторое целое, необходимо, чтобы между этими нейронами были определенные связи: импульсы, генерируемые одним нейроном, должны поступать на входы других нейронов. Эти связи могут иметь правильную, регулярную структуру, а могут определяться лишь статистическими закономерностями и подвергаться тем или иным случайным изменениям. В существующих сейчас вычислительных устройствах никакой случайности в соединениях между элементами не допускается, однако имеется ряд теоретических исследований по поводу возможности построения вычислительных устройств, основанных на принципах случайных связей между элементами. Есть достаточно серьезные доводы в пользу того, что связи между реальными нейронами в нервной системе тоже носят в значительной мере статистический, а не строго регулярный характер. Однако мнения по этому поводу расходятся.

    В целом, по поводу проблемы моделирования нервной системы можно сказать следующее. Мы уже довольно много внаем об особенностях работы нейронов, т. е. тех элементов, из которых состоит нервная система. Более того, с помощью систем формальных нейронов (понимаемых в смысле Мак- Каллока и Питтса или в каком-либо ином), имитирующих основные свойства реальных нервных клеток, можно моделировать, как уже говорилось, весьма разнообразные способы обработки информации. Тем не менее мы еще довольно далеки от четкого понимания основных принципов работы нервной системы и отдельных ее частей, а следовательно, и от создания ее удовлетворительной модели * .

    * (Если мы можем создать какую-то систему, умеющую решать такие же задачи, что и какая-то другая система, то это еще не значит, что обе системы работают по одним и тем же принципам. Например, можно численно решать дифференциальное уравнение на цифровой вычислительной машине, задав ей соответствующую программу, а можно то же уравнение решать на аналоговой машине. Мы получим одинаковые или почти одинаковые результаты, но принципы обработки информации в этих двух типах машин совершенно различные. )

    6. Восприятие зрительных образов. Цветное зрение

    Зрение - один из основных каналов, по которому к нам поступают сведения о внешнем мире. Известное выражение - лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать - справедливо, между прочим, и с чисто информационной точки зрения: количество информации, которое мы воспринимаем с помощью зрения, несравненно больше, чем воспринимаемое другими органами чувств. Эта важность зрительной системы для живого организма наряду с другими соображениями (специфичность функций, возможность проведения разнообразных исследований без каких-либо повреждений системы и т. д.) стимулировала ее изучение и, в частности, попытки модельного подхода к этой проблеме.

    Глаз представляет собой орган, служащий одновременно и оптической системой и устройством для обработки информации. И с той и с другой точки зрения эта система обладает рядом удивительных свойств. Замечательна способность глаза приспосабливаться к очень широкому диапазону интенсивностей освещения и правильно воспринимать при этом все цвета. Например, находящийся в плохо освещенной комнате кусок мела отражает меньше света, чем кусок угля, вынесенный на яркий солнечный свет, тем не менее мы в каждом из этих случаев воспринимаем цвета соответствующих предметов правильно. Глаз хорошо передает относительные различия в интенсивностях освещения и даже их несколько «утрирует». Так, серая линия на ярко-белом фоне кажется нам более темной, чем сплошное поле того же серого цвета. Эта способность глаза подчеркивать контрасты освещенности связана с тем, что зрительные нейроны оказывают друг на друга тормозящее действие: если из двух соседних нейронов первый получает более сильный сигнал, чем второй, то он оказывает на второй интенсивное тормозящее действие, и на выходе этих нейронов разница в интенсивности получается больше, чем была разница в интенсивности входных сигналов. Модели, состоящие из формальных нейронов, соединенных между собой как возбуждающими, так и тормозящими связями, привлекают внимание как физиологов, так и математиков. Здесь имеются и интересные результаты и нерешенные вопросы.

    Большой интерес представляет механизм восприятия глазом различных цветов. Как известно, все оттенки цветов, воспринимаемых нашим глазом, могут быть представлены как комбинации трех основных цветов. Обычно в качестве таких основных цветов берут красный, синий и желтый цвета, отвечающие длинам волн 700, 540 и 450 Å, но этот выбор не однозначен.

    «Трехцветность» нашего зрения связана с тем, что в глазу человека имеются рецепторы трех типов, с максимумами чувствительности в желтой, синей и красной зонах соответственно. Вопрос о том, как мы с помощью этих трех рецепторов различаем большое количество цветовых оттенков, весьма не прост. Например, недостаточно ясно еще - чем именно кодируется тот или иной цвет в нашем глазу: частотой нервных импульсов, локализацией того нейрона, который преимущественно реагирует на данный оттенок цвета, или чем-либо еще. Существуют некоторые модельные представления об этом процессе восприятия оттенков, однако они еще носят довольно предварительный характер. Несомненно, впрочем, что и здесь существенную роль должны играть системы нейронов, соединенных между собой как возбуждающими, так и тормозящими связями.

    Наконец, глаз весьма интересен и как кинематическая система. Рядом остроумных опытов (многие из них были выполнены в лаборатории физиологии зрения Института проблем передачи информации в Москве) был установлен следующий на первый взгляд неожиданный факт: если некоторое изображение неподвижно относительно глаза, то глаз его не воспринимает. Наш глаз, осматривая какой-либо предмет, буквально «ощупывает» его (эти движения глаза можно при помощи соответствующей аппаратуры точно зарегистрировать). Изучение двигательного аппарата глаза и разработка соответствующих модельных представлений достаточно интересны как сами по себе, так и в связи с другими (оптическими, информационными и т. п.) свойствами нашей зрительной системы.

    Резюмируя, можно сказать, что мы еще далеки от создания вполне удовлетворительных моделей зрительной системы, хорошо описывающих все ее основные свойства. Однако ряд важных аспектов и (принципов ее работы уже достаточно ясен и может быть смоделирован в виде вычислительных программ для УЦВМ или даже в виде технических устройств.

    7. Модель активной среды. Распространение возбуждения

    Одно из весьма характерных свойств многих живых тканей, в первую очередь нервной ткани, это их способность к возбуждению и к передаче возбуждения от одних участков к соседним с ними. Примерно раз в секунду волна возбуждения пробегает по нашей сердечной мышце, заставляя ее сокращаться и гнать кровь по всему телу. По нервным волокнам возбуждение, распространяясь от периферии (органов чувств) к спинному и головному мозгу, информирует нас о внешнем мире, а в обратном направлении идут возбуждения-команды, предписывающие мышцам те или иные действия.

    Возбуждение в нервной клетке может возникнуть само по себе (как говорят, «спонтанно»), под действием возбужденной соседней клетки или же под влиянием какого-либо внешнего сигнала, скажем, электрического раздражения, идущего от некоторого источника тока. Перейдя в возбужденное состояние, клетка пребывает в нем некоторое время, а затем возбуждение исчезает, после чего наступает определенный период невосприимчивости клетки к новым раздражениям - так называемый рефрактерный период. В течение этого периода клетка не реагирует на поступающие к ней сигналы. Затем клетка снова переходит в первоначальное состояние, из которого возможен переход в состояние возбуждения. Таким образом, возбуждение нервных клеток обладает рядом четко выраженных свойств, отправляясь от которых можно построить аксиоматическую модель этого явления. Далее для исследования этой модели могут быть применены чисто математические методы.

    Представления о такой модели были развиты несколько лет тому назад в работах И. М. Гельфанда и М. Л. Цетлина, продолженных затем рядом других авторов. Сформулируем аксиоматическое описание модели, о которой идет речь.

    Будем под «возбудимой средой» понимать некоторое множество X элементов («клеток»), обладающих следующими свойствами:

    1.Каждый элемент может находиться в одном из трех состояний: покой, возбуждение и рефрактерность;

    2.От каждого возбужденного элемента возбуждение распространяется по множеству элементов, находящихся в покое, с некоторой скоростью v ;

    3.Если элемент х не был возбужден в течение некоторого определенного времени Т(х) , то по прошествии этого времени он самопроизвольно переходит в возбужденное состояние. Время Т(х) называется периодом спонтанной активности элемента х . При этом не исключается и тот случай, когда Т(х)= ∞ , т. е. когда спонтанная активность на самом деле отсутствует;

    4.Состояние возбуждения длится некоторое время τ (которое может зависеть от х ), потом элемент переходит на время R(x) в рефрактерное состояние, после чего наступает состояние покоя.

    Похожие математические модели возникают и в совсем других областях, например в теории горения, или в задачах о распространении света в неоднородной среде. Однако наличие «периода рефрактерности» является характерной чертой именно биологических процессов.

    Описанную модель можно исследовать или аналитическими методами, или с помощью реализации ее на вычислительной машине. В последнем случае мы, понятно, вынуждены считать, что множество X (возбудимая среда) состоит из некоторого конечного числа элементов (в соответствии с возможностями существующей вычислительной техники - порядка нескольких тысяч). Для аналитического исследования естественно предполагать X некоторым непрерывным многообразием (например, считать, что X - это кусок плоскости). Простейший случай такой модели получается, если принять за X некоторый отрезок (прототип нервного волокна) и предположить, что время, в течение которого каждый элемент находится в возбужденном состоянии, очень мало. Тогда процесс последовательного распространения импульсов по такому «нервному волокну» может быть описан цепочкой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Уже в этой упрощенной модели воспроизводится ряд особенностей процесса распространения, обнаруживаемых и в реальных биологических экспериментах.

    Весьма интересен как с теоретической, так и с прикладной медицинской точки зрения вопрос об условиях возникновения в такой модельной активной среде так называемой фибрилляции. Это явление, наблюдаемое экспериментально, например на сердечной мышце, состоит в том, что вместо ритмических согласованных сокращений в сердце возникают беспорядочные локальные возбуждения, лишенные периодичности и нарушающие его функционирование. Впервые теоретическое исследование этой проблемы было предпринято в работе Н. Винера и А. Розенблюта в 50-х годах. В настоящее время работы в этом направлении интенсивно ведутся у нас и дали уже ряд интересных результатов.

    В течение последних десятилетий наметился значительный прогресс в количественном (математическом) описании функций различных биосистем на различных уровнях организации жизни: молекулярном, клеточном, органном, организменном, популяционном, биогеоценологическом (экосистемном). Жизнь определяется множеством различных характеристик этих биосистем и процессов, протекающих на соответствующих уровнях организации системы и интегрированных в единое целое в процессе функционирования системы. О моделях, базирующихся на существенных постулатах о принципах функционирования системы, которые описывают и объясняют широкий круг явлений и выражают знание в компактной, формализованной форме, можно говорить, как о теории биосистемы . Построение математических моделей (теорий) биологических систем стало возможным благодаря исключительно интенсивной аналитической работе экспериментаторов: морфологов, биохимиков, физиологов, специалистов по молекулярной биологии и др. В результате этой работы кристаллизованы морфофункциональные схемы различных клеток, в рамках которых упорядоченно в пространстве и во времени протекают различные физико-химические и биохимические процессы, образующие весьма сложные переплетения.

    Вторым очень важным обстоятельством , способствующим привлечению математического аппарата в биологию, является тщательное экспериментальное определение констант скоростей многочисленных внутриклеточных реакций, определяющих функции клетки и соответствующей биосистемы. Без знания таких констант невозможно формально-математическое описание внутриклеточных процессов.

    И наконец, третьим условием , определившим успех математического моделирования в биологии, явилось развитие мощных вычислительных средств в виде персональных компьютеров, суперкомпьютеров и информационных технологий. Это связано с тем, что обычно процессы, контролирующие ту или иную функ­цию клеток или органов, многочисленны, охвачены петлями прямой и обратной связи и, следовательно, описываются сложными системами нелинейных уравнений с большим числом неизвестных. Такие уравнения не решаются аналитически, но могут быть решены численно при помощи компьютера.

    Численные эксперименты на моделях, способные воспроизводить широкий класс явлений в клетках, органах и организме, позволяют оценить правильность предположений, сделанных при построении моделей. Хотя в качестве постулатов моделей используются экспериментальные факты, необходимость некоторых допущений и предположений является важным теоретическим компонентом моделирования. Эти допущения и предположения являются гипотезами , которые могут быть подвергнуты экспериментальной проверке. Таким образом, модели становятся источниками гипотез, притом экспериментально верифицируемых. Эксперимент, направленный на проверку данной гипотезы, может опровергнуть или подтвердить ее и тем самым способствовать уточнению модели.

    Такое взаимодействие моделирования и эксперимента происходит непрерывно, приводя ко все более глубокому и точному пониманию явления:

    • эксперимент уточняет модель,
    • новая модель выдвигает новые гипотезы,
    • эксперимент уточняет новую модель и т. д.

    В настоящее время область математического моделирования живых систем объединяет ряд различных и уже устоявшихся традиционных и более современных дисциплин, названия которых звучат достаточно обще, так что трудно бывает строго разграничить зоны их специфического использования. В настоящее время особенно бурно развиваются специализированные области применения математического моделирования живых систем - математическая физиология, математическая иммунология, математическая эпидемиология, направленные на разработку математических теорий и компьютерных моделей соответствующих систем и процессов.

    Как всякая научная дисциплина, математическая (теоретическая) биология имеет свой предмет, способы, методы и процедуры исследования. В качестве предмета исследований выступают математические (компьютерные) модели биологических процессов, одновременно представляющие собой и объект исследования, и инструмент для исследования собственно биологических объектов. В связи с такой двоякой сущностью биоматематических моделей они подразумевают использование имеющихся и разработку новых способов анализа математических систем (теорий и методов соответствующих разделов математики) с целью изучения свойств самой модели как математического объекта, а также использование модели для воспроизведения и анализа экспериментальных данных, получаемых в биологических экспериментах. При этом в качестве одного из наиболее важных назначений математических моделей (и теоретической биологии в целом) является возможность предсказания биологических явлений и сценариев поведения биосистемы в определенных условиях и их теоретического обоснования до проведения соответствующих биологических экспериментов.

    Основным методом исследования и использования сложных моделей биологических систем является вычислительный компьютерный эксперимент, который требует применения адекватных методов вычислений для соответствующих математических систем, алгоритмов вычислений, технологий разработки и реализации компьютерных программ, хранения и обработки результатов компьютерного моделирования.

    Наконец, в связи с основной целью использования биоматематических моделей для познания законов функционирования биологических систем, все стадии разработки и использования математических моделей предполагают обязательную опору на теорию и практику биологической науки, и в первую очередь на результаты натурных экспериментов.

Разделы