Ряд фурье x 2. Ряды фурье

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций Функция f(x), определенная на отрезке \-1, где I > 0, называется четной, если График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция f(x), определенная на отрезке J), где I > 0, называется нечетной, если График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Пример. а) Функция является четной на отрезке |-jt, jt), так как для всех х е б) Функция является нечетной, так как Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем в) Функция f(x)=x2-x, где не принадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как Пусть функция f(x), удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке х|. Тогда для всех т.е. /(ж) cos nx является четной функцией, a f(x)sinnx - нечетной. Поэтому коэффициенты Фурье четной функции /(ж) будут равны Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид 00 Если f(x) - нечетная функция на отрезке [-тг, ir|, то произведение f(x)cosnx будет нечетной функцией, а произведение f(x) sin пх - четной функцией. Поэтому будем иметь Таким образом, ряд Фурье нечетной функции имеет вид Пример 1. Разложить в ряд Фурье на отрезке -х ^ х ^ п функцию 4 Так как эта функция четная и удовлетворяет условиям теоремы 1, то ее ряд Фурье имеет вид Находим коэффициенты Фурье. Имеем Применяя дважды интегрирование по частям, получим, что Значит, ряд Фурье данной функции выглядит так: или, в развернутом виде, Это равенство справедливо для любого х € , так как в точках х = ±ir сумма ряда совпадает со значениями функции f(x) = х2, поскольку Графики функции f(x) = х и суммы полученного ряда даны на рис. Замечание. Этот ряд Фурье позволяет найти сумму одного из сходящихся числовых рядов, а именно, при х = 0 получаем, что Пример 2. Разложить в ряд Фурье на интервале функцию /(х) = х. Функция /(х) удовлетворяет условиям теоремы 1, следовательно ее можно разложить в ряд Фурье, который в силу нечетности этой функции будет иметь вид Интегрируя по частям, находим коэффициенты Фурье Следовательно, ряд Фурье данной функции имеет вид Это равенство имеет место для всех х В точках х - ±тг сумма ряда Фурье не совпадает со значениями функции /(х) = х, так как она равна Вне отрезка [-*, я-] сумма ряда является периодическим продолжением функции /(х) = х; ее график изображен на рис. 6. § 6. Разложение функции, заданной на отрезке, в ряд по синусам или по косинусам Пусть ограниченная кусочно-монотонная функция / задана на отрезке . Значения этой функции на отрезке 0| можно доопределить различным образом. Например, можно определить функцию / на отрезке тс] так, чтобы /. В этом случае говорят, что) «продолжена на отрезок 0] четным образом»; ее ряд Фурье будет содержать только косинусы. Если же функцию /(ж) определить на отрезке [-л-, тс] так, чтобы /(, то получится нечетная функция, и тогда говорят, что / «продолжена на отрезок [-*, 0] нечетным образом»; в этом случае се ряд Фурье будет содержать только синусы. Итак, каждую ограниченную кусочно-монотонную функцию /(ж), определенную на отрезке , можно разложить в ряд Фурье и по синусам, и по косинусам. Пример 1. Функцию разложить в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам. М Данная функция при ее четном и нечетном продолжениях в отрезок |-х,0) будет ограниченной и кусочно-монотонной. а) Продолжим /(z) в отрезок 0) а) Продолжим j\x) в отрезок (-тг,0| четным образом (рис. 7), тогда ее ряд Фурье i будет иметь вид П=1 где коэффициенты Фурье равны соответственно для Следовательно, б) Продолжим /(z) в отрезок [-x,0] нечетным образом (рис. 8). Тогда ее ряд Фурье §7. Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Пусть функция fix) является периодической с периодом 21,1 ^ 0. Для разложения ее в ряд Фурье на отрезке где I > 0, сделаем замену переменной, положив х = jt. Тогда функция F(t) = / ^tj будет периодической функцией аргумента t с периодом и ее можно разложить на отрезке в ряд Фурье Возвращаясь к переменной ж, т. е. положив, получим Все теоремы, справедливые для рядов Фурье периодических функций с периодом 2тг, остаются в силе и для периодических функций с произвольным периодом 21. В частности, сохраняет свою силу и достаточный признак разложимости функции в ряд Фурье. Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 21, заданную на отрезке [-/,/] формулой (рис.9). Так как данная функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид Подставляя в ряд Фурье найденные значения коэффициентов Фурье, получим Отметим одно важное свойство периодических функций. Теорема 5. Если функция имеет период Т и интегрируема, то для любого числа а выполняется равенство m. е. интеграл no отрезку, длина которого равна периоду Т, имеет одно и то же значение независимо от положения этого отрезка на числовой оси. В самом деле, Делаем замену переменной во втором интеграле, полагая. Это дает и следовательно, Геометрически это свойство означает, что в случае площади заштрихованных на рис. 10 областей равны между собой. В частности, для функции f(x) с периодом получим при Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем Пример 2. Функция x является периодической с периодом В силу нечетности данной функции без вычисления интегралов можно утверждать, что при любом Доказанное свойство, в частности, показывает, что коэффициенты Фурье периодической функции f(x) с периодом 21 можно вычислять по формулам где а - произвольное действительное число (отметим, что функции cos - и sin имеют период 2/). Пример 3. Разложить в ряд Фурье заданную на интервале функцию с периодом 2х (рис. 11). 4 Найдем коэффициенты Фурье данной функции. Положив в формулах найдем, что для Следовательно, ряд Фурье будет выглядеть так: В точке х = jt (точка разрыва первого рода) имеем §8. Комплексная запись ряда Фурье В этом параграфе используются некоторые элементы комплексного анализа (см. главу XXX, где все, производимые здесь действия с комплексными выражениями, строго обоснованы). Пусть функция f(x) удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда на отрезке ж] ее можно представить рядом вида Используя формулы Эйлера Подставляя эти выражения в ряд (1) вместо cos пх и sin пху будем иметь Введем следующие обозначения Тогда ряд (2) примет вид Таким образом, ряд Фурье (1) представлен в комплексной форме (3). Найдем выражения коэффициентов через интегралы. Имеем Аналогично находим Окончательно формулы для с„, с_п и со можно записать так: . . Коэффициенты с„ называются комплексными коэффициентами Фурье функции Для периодической функции с периодом) комплексная форма ряда Фурье примет вид где коэффициенты Сп вычисляются по формулам Сходимость рядов (3) и (4) понимается так: ряды (3) и (4) называются сходящимися для данного значения ж, если существуют пределы Пример. Разложить в комплексный ряд Фурье функцию периода Данная функция удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Пусть Найдем комплексные коэффициенты Фурье этой функции. Имеем для нечетных для четных n, или,короче. Подставляя значения), окончательно получим Заметим, что этот ряд можно записать и так: Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций 9.1. Ортогональные системы функций Обозначим через множество всех (действительных) функций, определенных и интегрируемых на отрезке [а, 6] с квадратом, т. е. таких, для которых существует интеграл В частности, все функции f(x), непрерывные на отрезке [а, 6], принадлежат 6], и значения их интегралов Лебега совпадают со значениями интегралов Римана. Определение. Система функций, где, называется ортогональной на отрезке [а, Ь\, если Условие (1) предполагает, в частности, что ни одна из функций не равна тождественно нулю. Интеграл понимается в смысле Лебега. и назовем величину нормой функции Если в ортогональной системе для всякого п имеем, то система функций называется ортонормированной. Если система {у>„(ж)} ортогональна, то система Пример 1. Тригонометрическая система ортогональна на отрезке. Система функций является ортонормированной системой функций на, Пример 2. Косинус-система и синус-система ортонормирована. Введем обозначение являются ортогональными на отрезке (0, f|, но не ортонормированными (при I Ф- 2). так как их нормы COS Пример 3. Многочлены, определяемые равенством, называются многочленами (полиномами) Лежандра. При п = 0 имеем Можно доказать, что функции образуют ортонормированную систему функций на отрезке. Покажем, например, ортогональность полиномов Лежандра. Пусть т > п. В этом случае, интегрируя п раз по частям, находим поскольку для функции t/m = (z2 - I)m все производные до порядка m - I включительно обращаются в нуль на концах отрезка [-1,1). Определение. Система функций {pn(x)} называется ортогональной на интервале (а, Ь) свесом р(х), если: 1) для всех п = 1,2,... существуют интегралы Здесь предполагается, что весовая функция р(х) определена и положительна всюду на интервале (а, Ь) за возможным исключением конечного числа точек, где р(х) может обращаться в нуль. Выполнив дифференцирование в формуле (3), находим. Можно показать, что многочлены Чебышева-Эрмита ортогональны на интервале Пример 4. Система функций Бесселя {jL(pix)^ ортогональна на интервале нули функции Бесселя Пример 5. Рассмотрим многочлены Чебышева-Эрмита, которые могут быть определены при помощи равенства. Ряд Фурье по ортогональной системе Пусть ортогональная система функций в интервале (a, 6) и пусть ряд (cj = const) сходится на этом интервале к функции f(x): Умножая обе части последнего равенства на - фиксировано) и интегрируя по ж от а до 6, в силу ортогональности системы получим, что Эта операция имеет, вообще говоря, чисто формальный характер. Тем не менее, в некоторых случаях, например, когда ряд (4) сходится равномерно, все функции непрерывны и интервал (a, 6) конечен, эта операция законна. Но для нас сейчас важна именно формальная трактовка. Итак, пусть задана функция. Образуем числа с* по формуле (5) и напишем Ряд, стоящий в правой части, называется рядом Фурье функции f(x) относительно системы {^п(я)}- Числа Сп называются коэффициентами Фурье функции f(x) по этой системе. Знак ~ в формуле (6) означает лишь, что числа Сп связаны с функцией /(ж) формулой (5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, а тем более сходится к функции f(x)). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства этого ряда? В каком смысле он «представляет» функцию f(x)? 9.3. Сходимость в среднем Определение. Последовательность, сходится к элементу ] в среднем, если норма в пространстве Теорема 6. Если последовательность } сходится равномерно, то она сходится и в среднем. М Пусть последовательность {)} сходится равномерно на отрезке [а, Ь] к функции /(х). Это означает, что для всякого при всех достаточно больших п имеем Следовательно, откуда вытекает наше утверждение. Обратное утверждение неверно: последовательность {} может сходиться в среднем к /(х), но не быть равномерно сходящейся. Пример. Рассмотрим последовательность пх Легко видеть, что Но эта сходимость не равномерна: существует е, например, такое, что сколь бы большим ни было л, на отрезке , Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем и пусть Обозначим через с* коэффициенты Фурье функции /(х) по ортонормированной системе ь Рассмотрим линейную комбинацию где n ^ 1 - фиксированное целое число, и найдем значения постоянных, при которых интеграл принимает минимальное значение. Запишем его подробнее Интефируя почленно, в силу ортонормированности системы получим Первые два слагаемых в правой части равенства (7) не зависят, а третье слагаемое неотрицательно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при ак = ск Интеграл называют средним квадратичным приближением функции /(х) линейной комбинацией Тп(х). Таким образом, среднее квадратичное приближение функции/\ принимает минимальное значение, когда. когда Тп(х) есть 71-я частичная сумма ряда Фурье функции /(х) по системе {. Полагая ак = ск, из (7) получаем Равенство (9) называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть неотрицательна, то из него следует неравенство Бесселя Поскольку я здесь произвольно, то неравенство Бесселя можно представить в усиленной форме т. е. для всякой функции / ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой функции по ортонормированной системе } сходится. Так как система ортонормирована на отрезке [-х, тг], то неравенство (10) в переводе на привычную запись тригонометрического ряда Фурье дает соотношение do справедливое для любой функции /(х) с интегрируемым квадратом. Если f2(x) интегрируема, то в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части неравенства (11) получаем, что. Равенство Парсе валя Для некоторых систем {^„(х)} знак неравенства в формуле (10) может быть заменен (для всех функций /(х) 6 Ч) знаком равенства. Получаемое равенство называется равенством Парсеваля-Стеклова (условием полноты). Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы Sn(x) ряда Фурье функции /(х) сходятся к функции /(х) в среднем, т.е. по норме пространства 6]. Определение. Ортонормированная система { называется полной в Ь2[ау Ь], если всякую функцию можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида с достаточно большим числом слагаемых, т. е. если для всякой функции/(х) € Ь2[а, Ь\ и для любого е > 0 найдется натуральное число nq и числа а\, а2у..., такие, что No Из приведенных рассуждений следует Теорема 7. Если ортонормированием система } полна в пространстве ряд Фурье всякой функции / по этой системе сходится к f(x) в среднем, т. е. по норме Можно показать, что тригонометрическая система полна в пространстве, Отсюда следует утверждение. Теорема 8. Если функция /о ее тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем. 9.5. Замкнутые системы. Полнота и замкнутость систем Определение. Ортонормированная система функций \, называется замкнутой, если в пространстве Li\a, Ь) не существует отличной от нуля функции, ортогональной ко всем функциям В пространстве L2\a, Ь\ понятия полноты и замкнутости ортонормированных систем совпадают. Упражнения 1. Разложите в ряд Фурье в интервале (-я-, ж) функцию 2. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию 3. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию 4. Разложите в ряд Фурье в интервале (-jt, тг) функцию 5. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию f(x) = ж + х. 6. Разложите в ряд Фурье в интервале (-jt, тг) функцию п 7. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, ж) функцию /(х) = sin2 х. 8. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, jt) функцию f(x) = у 9. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тт, -к) функцию /(х) = | sin х|. 10. Разложите в ряд Фурье в интервале (-я-, тг) функцию /(х) = §. 11. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию f(x) = sin §. 12. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = п -2х, заданную в интервале (0, х), продолжив ее в интервал (-х, 0): а) четным образом; б) нечетным образом. 13. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию /(х) = х2, заданную в интервале (0, х). 14. Разложите в ряд Фурье функцию /(х) = 3-х, заданную в интервале (-2,2). 15. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = |х|, заданную в интервале (-1,1). 16. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию f(x) = 2х, заданную в интервале (0,1).

1) нарисовать график f(x) на промежутке хотя бы длиной в два периода, чтобы показать, что данная функция периодическая;

2) нарисовать график S(x) аналогично, чтобы было видно в каких точках f(x)¹S(x);

3) вычислить коэффициенты Фурье и записать ряд Фурье.

Задачи

№1. Разложить в ряд Фурье

Решение. Заметим, что f(x) задана на промежутке длины T = 4 . Т.к. f(x) предполагается периодической, то именно это число и является ее периодом, тогда -l = 2.

1) График f(x) :

2) График S(x):

Стрелки в концах линий показывают, что функция не принимает в концах интервала значения, определяемого из выражения, заданного на интервале. При сравнении графиков f(x) и S(x) хорошо видно, что в точках разрыва f(x)¹S(x) .

3) Вычислим коэффициенты Фурье. Это можно сделать по формулам (3*): ; ; . Именно: ; итак,

Разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид:

Замечания . 1) При интегрировании на [-1;3] этот отрезок был разбит на и , т.к. на этих отрезках f(x) задана разными значениями.

2) При вычислении коэффициентов использованы интегралы: и , где a = const .

№2 . Разложить в ряд Фурье

Решение. Здесь T = 2 , l = 1 .

Ряд Фурье имеет вид: , где ; ; , т.к. l = 1 .

1) График f(x) :

2) График S(x) :

№3. Разложить в ряд Фурье по синусам

Решение. Заметим, что в ряд Фурье по синусам раскладываются только нечетные функции. Т.к. f(x) определена только для x > 0, xÎ(0;2)È(2;3) , то это означает, что на симметричный промежуток (-3;-2)È(-2;0) f(x) нужно продолжить так, чтобы выполнялось равенство f(-x) = -f(x) . Поэтому длина промежутка, на котором f(x) задана как нечетная функция, равна 6. Значит T = 6, l = 3. Ряд Фурье для f(x) имеет вид: , где , n = 1, 2, 3, (по формулам (5")).

1) График f(x) .

Чтобы нарисовать график f(x) как нечетной функции, нарисуем сначала график на (0;2)È(2;3) , а затем воспользуемся тем, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Из этих соображений получаем график f(x) на (-3;-2)È(-2;0) . Затем продолжаем f(x) T = 6 .

2) График S(x) .

График S(x) отличается от графика f(x) в точках разрыва функции f(x) . Например, в т. x = 2 f(x) не определена, а S(x) имеет при x = 2 значение, равное полусумме односторонних пределов функции f(x) , именно: , где , .

Итак, , тогда разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид: .

№4 . Разложить в ряд Фурье по косинусам .

Решение . Заметим, что в ряд Фурье по косинусам раскладываются только четные функции. Т.к. f(x) задана только для x>0, xÎ(0;2)È(2;3], то это означает, что на симметричный промежуток [-3;-2)È(-2;0) f(x) нужно продолжить так, чтобы выполнялось равенство: f(-x) = f(x). Поэтому длина промежутка, на котором f(x) задана как четная функция, равна 6, тогда T = 6, l = 3. Ряд Фурье в этом случае имеет вид:

где ; ; n = 1,2,... (по формулам (4")).

1) График f(x) .

Чтобы нарисовать график f(x) как четной функции, нарисуем сначала график f(x) на (0;2)È(2;3] , а затем воспользуемся тем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Из этих соображений получаем график f(x) на [-3;-2)È(-2;0) . Затем продолжаем f(x) на всю числовую прямую как периодическую функцию с периодом T = 6 .

Здесь график f(x) нарисован на двух полных периодах функции.

2) График S(x).

График S(x) отличается от графика f(x) в точках разрыва функции f(x) . Например, в т. x = 0 f(x) не определена, а S(x) имеет значение: , поэтому график S(x) не прерывается в т. x = 0 , в отличие от графика f(x) .

Разложение f(x) в ряд Фурье по косинусам имеет вид: .

№5. Разложить в ряд Фурье f(x) = |x|, xÎ(-2;2). .

Решение. По условию, f(x) является четной функцией на (-2;2) ; т.е. ее ряд Фурье содержит только косинусы, при этом T = 4, l = 2, ,

где ; ; n = 1, 2,

1) График f(x) :

2) График S(x) :

3) , т.к. |x| = x для x > 0. ; .

Тогда разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид: . Заметим, что при интегрировании выражений или применяется формула интегрирования по частям: , где u = x; dv = cos(ax)dx или dv = sin(ax)dx.

№6. Разложить функцию в ряд Фурье: а) в интервале (-?, ?); б) в интервале (0, 2?); в) в интервале (0, ?) в ряд синусов.

Решение. а) График функции с 2? - периодическим продолжением имеет вид

Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и потому ее можно разложить в ряд Фурье.

Вычислим коэффициенты Фурье. Так как функция четная, то bn = 0 (n = 0, 1, 2,…) и (n = 0, 1, 2,…).

Для вычисления этого интеграла применяют формулу интегрирования по частям в определенном интеграле. Получаем

Ряд Фурье данной функции имеет вид . В силу признака Дирихле данный ряд представляет функцию х2 в интервале (-?,?).

б) Интервал (0, 2?) не симметричен относительно начала координат, а длина его 2l = 2?. Вычисляем коэффициенты Фурье по формулам:

Поэтому ряд Фурье имеет вид . В силу теоремы Дирихле ряд сходится к порождающей функции в точках х?(0,2?), а в точках 0 и 2? к значению. График суммы ряда имеет вид

в) Функция, разлагаемая в ряд по синусам, должна быть нечетной. Следовательно, доопределим заданную функцию х2 в (-π,π) нечетным образом, т.е. рассматриваем функцию . Для этой функции f(x) имеем аn = 0 (n = 0, 1, 2,…) и

Искомое разложение имеет вид .

График суммы ряда имеет вид

Отметим, что в точках х = (-π,π) ряд Фурье сходится к нулю.

№7 Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графически:

Решение. Получим явное выражение для f(x). График функции - прямая линия, используем уравнение прямой в виде . Как видно из чертежа, , т.е. f(x) = x - 1 (-1 < x < 1) и период Т = 2.

Эта функция удовлетворяет условиям признака Дирихле, поэтому она разлагается в ряд Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье (l = 1):

; (n = 1, 2,…);

Ряд Фурье для функции f(x) имеет вид

Он представляет функцию f(x) при -1 < x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке и указать функцию, к которой сходится полученный ряд.

Решение. Нарисовать график функции, продолжив ее периодически с периодом или на всю ось. Продолженная функция имеет период .

Проверить условия достаточных признаков сходимости ряда Фурье (Дини-Липшица, Жордана, Дирихле).

Функция кусочно-монотонна на отрезке : она возрастает на и на . В точках функция имеет разрывы первого рода.

Выяснить четность или нечетность функции: Функция не является ни четной, ни нечетной.

а) если функция задана на

б) если функция задана на

Составить ряд Фурье функции : .

Указать функцию, к которой будет сходиться этот ряд, пользуясь поточечными признаками сходимости: Согласно признаку Дирихле ряд Фурье функции сходится к сумме:

№9. Разложить функцию , в ряд Фурье по синусам на и с помощью этого разложения найти сумму числового ряда .

Решение. Продолжить функцию четным (нечетным) образом на (-p ,0) или (-l ,0), а затем периодически с периодом 2p или 2l продолжить функцию на всю ось.

Продолжим функцию нечетным образом на , а затем периодически, с периодом , продолжим ее на всю ось.

Нарисовать график периодического продолжения. Мы получим функцию вида:

Проверить условия достаточных признаков сходимости ряда Фурье (Дини-Липица, Жордана, Дирихле).

Функция кусочно-постоянна в промежутке : она равна -1 на и 1 на . В точках функция имеет разрывы первого рода.

Вычислить коэффициенты Фурье:

Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

Составить ряд Фурье функции . .

Указать функцию, к которой будет сходиться этот ряд, пользуясь поточечными признаками сходимости.

Согласно признаку Дирихле ряд Фурье функции сходится к сумме:

Следовательно, при

Подставив значения , указать сумму заданного числового ряда.

Полагая в полученном разложении , найдем ,

откуда, так как , .

№10. Написать равенство Парсеваля для функции , и, исходя из этого равенства, найти сумму числового ряда .

Решение. Установить, является ли данная функция функцией с интегрируемым квадратом на .

Функция непрерывна, а, следовательно, интегрируема на . По той же причине ее квадрат интегрируем на .

Вычислить коэффициенты Фурье по формулам:

Так как нечетная функция, то ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

Вычислить интеграл .

Написать формулу Парсеваля:

Таким образом, формула Парсеваля имеет вид

Произведя, если требуется, арифметические действия в правой и левой частях, получить сумму данного числового ряда.

Разделив обе части полученного равенства на 144, найдем: .

№11. Найти интеграл Фурье функции

и построить его график.

Решение. Построить график функции .

Проверить выполнение условий достаточных признаков сходимости интеграла Фурье (Дини, Дирихле-Жордана или следствий из них).

Функция абсолютно интегрируема в промежутке, непрерывна при и , а в точке имеет разрыв первого рода. Далее, при и функция имеет конечную производную, а в нуле существуют конечные правая и левая производные. Выяснить четность или нечетность функции. Функция не является ни четной, ни нечетной. ; .

Итак, , или ,

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-l;l) называется тригонометрический ряд вида:
, где
.

Назначение . Онлайн калькулятор предназначен для разложение функции f(x) в Ряд Фурье.

Для функций по модулю (например, |x|), используйте разложение по косинусам .

Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l ;l ) функции сходится на всей числовой оси.

Сумма ряда Фурье S (x ):

• является периодической функцией с периодом 2l . Функция u(x) называется периодической с периодом T (или T-периодической), если для всех x области R, u(x+T)=u(x).
• на интервале (-l ;l ) совпадает с функцией f (x ), за исключением точек разрыва
• в точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f (x ) и на концах интервала принимает средние значения:

Если f (x ) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть b n =0.
Если f (x ) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть а n =0

Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по косинусам кратных дуг называется ряд:
, где
.
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по синусам кратных дуг называется ряд:
, где .
Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.

Пример №1 . Разложить функцию f (x )=1:
а) в полный ряд Фурье на интервале (-π ;π);
б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;π); построить график полученного ряда Фурье
Решение :
а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-π;π) имеет вид:
,
причем все коэффициенты b n =0, т.к. данная функция – четная; таким образом,

Очевидно, равенство будет выполнено, если принять
а 0 =2, а 1 =а 2 =а 3 =…=0
В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: или просто 1=1.
В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.
б) Разложение на интервале (0;π) по синусам кратных дуг имеет вид:
Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:


Таким образом, для четных n (n =2k ) имеем b n =0, для нечетных (n =2k -1) -
Окончательно, .
Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).
Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:

Продолжаем периодическим образом на всей числовой оси:


И наконец, в точках разрыва заполняем средние (между правым и левым пределом) значения:

Пример №2 . Разложить функцию на интервале (0;6) по синусам кратных дуг
Решение : Искомое разложение имеет вид:

Поскольку и левая, и правая части равенства содержат только функции sin от различных аргументов, следует проверить, совпадают ли при каких-либо значениях n (натуральных!) аргументы синусов в левой и правой частях равенства:
или , откуда n =18. Значит, такое слагаемое содержится в правой части и коэффициент при нем должен совпадать с коэффициентом в левой части: b 18 =1;
или , откуда n =4. Значит, b 4 =-5.
Таким образом, при помощи подбора коэффициентов удалось получить искомое разложение:

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Р. К. Бельхеева РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебное пособие Новосибирск 211

2 УДК ББК В161 Б44 Б44 Бельхеева Р. К. Ряды Фурье в примерах и задачах: Учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, с. ISBN В учебном пособии излагаются основные сведения о рядах Фурье, приведены примеры на каждую изучаемую тему. Детально разобран пример применения метода Фурье к решению задачи о поперечных колебаниях струны. Приведен иллюстративный материал. Имеются задачи для самостоятельного решения. Предназначено для студентов и преподавателей физического факультета НГУ. Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ. Рецензент д-р физ.-мат. наук. В. А. Александров Пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на гг. ISBN c Новосибирский государственный университет, 211 c Бельхеева Р. К., 211

3 1. Разложение 2π-периодической функции в ряд Фурье Определение. Рядом Фурье функции f(x) называется функциональный ряд a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) где коэффициенты a n, b n вычисляются по формулам: a n = 1 π b n = 1 π f(x) cosnxdx, n =, 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Формулы (2) (3) называют формулами Эйлера Фурье. Тот факт, что функции f(x) соответствует ряд Фурье (1) записывают в виде формулы f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) и говорят, что правая часть формулы (4) является формальным рядом Фурье функции f(x). Другими словами, формула (4) означает только то, что коэффициенты a n, b n найдены по формулам (2), (3). 3

4 Определение. 2π-периодическая функция f(x) называется кусочно-гладкой, если в промежутке [, π] найдется конечное число точек = x < x 1 . Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С геометрической точки зрения условие (а) означает, что график функции f(x) симметричен относительно вертикальной прямой x = l/2, а условие (б) что график f(x) центрально симметричен относительно точки (l/2;) на оси абсцисс. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если функция f(x) четная и выполнено условие (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... = ; 2) если функция f(x) четная и выполнено условие (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАДАЧИ В задачах 1 7 нарисуйте графики и найдите ряды Фурье для функций, { предполагая, что они имеют период 2π:, если < x a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π < x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Равенство Ляпунова Теорема (равенство Ляпунова). Пусть функция f: [, π] R такова, что f 2 (x) dx < +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Поэтому равенство Ляпунова для функции f(x) принимает вид: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Из последнего равенства для a π находим sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Полагая a = π 2, получаем sin2 na = 1 при n = 2k 1 и sin 2 na = при n = 2k. Следовательно, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ПРИМЕР 14. Напишем равенство Ляпунова для функции f(x) = x cosx, x [, π], и найдем с его помощью сумму числового ряда (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Решение. Прямые вычисления дают = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Поскольку f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1)x π(n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, если n = 2k, 2, если n = 2k + 1. Коэффициент a 1 необходимо вычислить отдельно, поскольку в общей формуле при n = 1 знаменатель дроби обращается в ноль. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Таким образом, равенство Ляпунова для функции f(x) имеет вид: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π , откуда находим сумму числового ряда (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π ЗАДАЧИ 32. Напишите равенство Ляпунова для функции { x f(x) = 2 πx, если x < π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Ответы + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, где c n коэффициент Фурье 2π функции f(x), а d n коэффициент Фурье функции g(x). 6. Дифференцирование рядов Фурье Пусть f: R R непрерывно дифференцируемая 2π-периодическая функция. Ее ряд Фурье имеет вид: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Производная f (x) этой функции будет непрерывной и 2π-периодической функцией, для которой можно записать формальный ряд Фурье: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), где a, a n, b n, n = 1, 2,... коэффициенты Фурье функции f (x). 51

52 Теорема (о почленном дифференцировании рядов Фурье). При сделанных выше предположениях справедливы равенства a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ПРИМЕР 15. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [, π]. Докажем, что при выполнении условия f(x)dx = имеет место неравенство 2 dx 2 dx, называемое неравенством Стеклова, и убедимся, что равенство в нем осуществляется лишь для функций вида f(x) = A cosx. Иными словами, неравенство Стеклова дает условия, при выполнении которых из малости производной (в среднеквадратичном) следует малость функции (в среднеквадратичном). Решение. Продолжим функцию f(x) на промежуток [, ] четным образом. Обозначим продолженную функцию тем же символом f(x). Тогда продолженная функция будет непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [, π]. Так как функция f(x) непрерывна, то f 2 (x) непрерывна на отрезке и 2 dx < +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Так как продолженная функция четная, то b n =, a = по условию. Следовательно, равенство Ляпунова принимает вид 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Убедимся, что для f (x) выполняется заключение теоремы о почленном дифференцировании ряда Фурье, то есть что a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Пусть производная f (x) претерпевает изломы в точках x 1, x 2,..., x N в промежутке [, π]. Обозначим x =, x N+1 = π. Разобьем промежуток интегрирования [, π] на N +1 промежуток (x, x 1),..., (x N, x N+1), на каждом из которых f(x) непрерывно дифференцируема. Тогда, используя свойство аддитивности интеграла, а затем интегрируя по частям, получим: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) =. x j π j= Последнее равенство имеет место в силу того, что функция f(x) была продолжена четным образом, а значит f(π) = f(). Аналогично получим a n = nb n. Мы показали, что теорема о почленном дифференцировании рядов Фурье для непрерывной кусочно-гладкой 2π-периодической функции, производная которой в промежутке [, π] претерпевает разрывы первого рода, верна. Значит f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, так как a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Поскольку 2 dx < +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Так как каждый член ряда в (18) больше или равен соответствующего члена ряда в (17), то 2 dx 2 dx. Вспоминая, что f(x) является четным продолжением исходной функции, имеем 2 dx 2 dx. Что и доказывает равенство Стеклова. Теперь исследуем для каких функций в неравенстве Стеклова имеет место равенство. Если хоть для одного n 2, коэффициент a n отличен от нуля, то a 2 n < na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ЗАДАЧИ 37. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [, π]. Докажите, что при выполнении условия f() = f(π) = имеет место неравенство 2 dx 2 dx, также называемое неравенством Стеклова, и убедитесь, что равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = B sin x. 38. Пусть функция f непрерывна в промежутке [, π] и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную f (x), интегрируемую с квадратом. Докажите, что если при этом выполнены условия f() = f(π) и f(x) dx =, то имеет место неравенство 2 dx 2 dx, называемое неравенством Виртингера, причем равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Применение рядов Фурье для решения дифференциальных уравнений в частных производных При изучении реального объекта (явления природы, производственного процесса, системы управления и т. д.) существенными оказываются два фактора: уровень накопленных знаний об исследуемом объекте и степень развития математического аппарата. На современном этапе научных исследований выработалась следующая цепочка: явление физическая модель математическая модель. Физическая постановка (модель) задачи состоит в следующем: выявляются условия развития процесса и главные факторы на него влияющие. Математическая постановка (модель) заключается в описании выбранных в физической постановке факторов и условий в виде системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и др.). Задача называется корректно поставленной, если в определенном функциональном пространстве решение задачи существует, единственно и непрерывно зависит от начальных и граничных условий. Математическая модель не бывает тождественна рассматриваемому объекту, а является его приближенным описанием Вывод уравнения свободных малых поперечных колебаний струны Будем следовать учебнику . Пусть концы струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывести струну из положения равновесия (например, оттянуть или ударить по ней), то струна начнет 57

58 колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости. Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных координат xou. Тогда, если в начальный момент времени t = струна располагалась вдоль оси Ox, то u будет означать отклонение струны от положения равновесия, то есть, положению точки струны с абсциссой x в произвольный момент времени t соответствует значение функции u(x, t). При каждом фиксированном значении t график функции u(x, t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 32). При постоянном значении x функция u(x, t) дает закон движения точки с абсциссой x вдоль прямой, параллельной оси Ou, производная u t скорость этого движения, а вторая производная 2 u t 2 ускорение. Рис. 32. Силы, приложенные к бесконечно малому участку струны Составим уравнение, которому должна удовлетворять функция u(x, t). Для этого сделаем еще несколько упрощающих предположений. Будем считать струну абсолютно гиб- 58

59 кой, то есть будем считать, что струна не сопротивляется изгибу; это означает, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю. Струна предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука; это означает, что изменение величины силы натяжения пропорционально изменению длины струны. Примем, что струна однородна; это означает, что ее линейная плотность ρ постоянна. Внешними силами мы пренебрегаем. Это и означает, что мы рассматриваем свободные колебания. Мы будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через ϕ(x, t) угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой x в момент времени t, то условие малости колебаний заключается в том, что величиной ϕ 2 (x, t) можно пренебрегать по сравнению с ϕ(x, t), т. е. ϕ 2. Так как угол ϕ мал, то cosϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u следовательно, величиной (u x x,) 2 также можно пренебрегать. Отсюда сразу следует, что в процессе колебания можем пренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина кусочка струны M 1 M 2, проектирующаяся в промежуток оси абсцисс, где x 2 = x 1 + x, равна l = x 2 x () 2 u dx x. x Покажем, что при наших предположениях величина силы натяжения T будет постоянной вдоль всей струны. Возьмем для этого какой либо участок струны M 1 M 2 (рис. 32) в момент времени t и заменим действие отброшенных участ- 59

60 ков силами натяжений T 1 и T 2. Так как по условию все точки струны движутся параллельно оси Ou и внешние силы отсутствуют, то сумма проекций сил натяжения на ось Ox должна равняться нулю: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Отсюда в силу малости углов ϕ 1 = ϕ(x 1, t) и ϕ 2 = ϕ(x 2, t) заключаем, что T 1 = T 2. Обозначим общее значение T 1 = T 2 через T. Теперь вычислим сумму проекций F u этих же сил на ось Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Так как для малых углов sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), а tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, то уравнение (2) можно переписать так F u T (tg ϕ(x 2, t) tg ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x. Так как точка x 1 выбрана произвольно, то F u T 2 u x2(x, t) x. После того как найдены все силы, действующие на участок M 1 M 2, применим к нему второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равно сумме всех действующих сил. Масса кусочка струны M 1 M 2 равна m = ρ l ρ x, а ускорение равно 2 u(x, t). Уравнение t 2 Ньютона принимает вид: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, где α 2 = T ρ постоянное положительное число. 6

61 Сокращая на x, получим 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) В результате мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Его называют уравнением колебаний струны или одномерным волновым уравнением. Уравнение (21) по сути является переформулировкой закона Ньютона и описывает движение струны. Но в физической постановке задачи присутствовали требования о том, что концы струны закреплены и положение струны в какойто момент времени известно. Уравнениями эти условия будем записывать так: а) будем считать, что концы струны закреплены в точках x = и x = l, т. е. будем считать, что для всех t выполнены соотношения u(, t) =, u(l, t) = ; (22) б) будем считать, что в момент времени t = положение струны совпадает с графиком функции f(x), т. е. будем считать, что для всех x [, l] выполнено равенство u(x,) = f(x); (23) в) будем считать, что в момент времени t = точке струны с абсциссой x придана скорость g(x), т. е. будем считать, что u (x,) = g(x). (24) t Соотношения (22) называются граничными условиями, а соотношения (23) и (24) называются начальными условиями. Математическая модель свободных малых поперечных 61

62 колебаний струны заключается в том, что надо решить уравнение (21) с граничными условиями (22) и начальными условиями (23) и (24) Решение уравнения свободных малых поперечных колебаний струны методом Фурье Решения уравнения (21) в области x l, < t . Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63 должна быть постоянной, которую обозначим через λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) При этом граничные условия (22) примут вид X()T(t) = и X(l)T(t) =. Поскольку они должны выполняться для всех t, t >, то X() = X(l) =. (3) Найдем решения уравнения (28), удовлетворяющего граничным условиям (3). Рассмотрим три случая. Случай 1: λ >. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид X (x) β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение k 2 β 2 = имеет корни k = ±β. Следовательно, общее решение уравнения (28) имеет вид X(x) = C e βx + De βx. Мы должны подобрать постоянные C и D так, чтобы соблюдались граничные условия (3), т. е. X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Поскольку β, то эта система уравнений имеет единственное решение C = D =. Следовательно, X(x) и 63

64 u(x, t). Тем самым, в случае 1 мы получили тривиальное решение, которое далее рассматривать не будем. Случай 2: λ =. Тогда уравнение (28) принимает вид X (x) = и его решение, очевидно, задается формулой: X(x) = C x+d. Подставляя это решение в граничные условия (3), получим X() = D = и X(l) = Cl =, значит, C = D =. Следовательно, X(x) и u(x, t), и мы опять получили тривиальное решение. Случай 3: λ