Сечение в правильной четырехугольной призме. Сечение в правильной четырехугольной призме Основание правильной четырехугольной призмы abcda1b1c1d1

Рассмотрим очередную двухбалльную стереометрическую задачу из тренировочных КИМов.

Задача. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторона АВ основанияравна 5, а боковое ребро АА 1 равно корню квадратному из пяти. На ребрах ВС и C 1 D 1 отмечены точки K и L соответственно, причем СК=2, а C 1 L =1. Плоскость g параллельна прямой В D и содержит точки К и L .

а) Докажите, что прямая А 1 С перпендикулярна плоскости g .

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка А 1 , а основание – сечение данной призмы плоскостью g .

Решение. а) Внимательно выполним чертеж и проанализируем данные. Так как ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правильная четырехугольная призма, значит основание ABCD – квадрат со стороной 5. Боковые ребра перпендикулярны основаниям. Так как плоскость g проходит через точку К и параллельна прямой В D , то линия пересечения плоскости g и плоскости АВС параллельна прямой В D (Если через прямую, параллельную данной плоскости провести другую плоскость, то линия пересечения этих плоскостей будет параллельна данной прямой ).

Через точку К проводим прямую параллельную В D до пересечения с CD в точке М. Значит КМ перпендикулярна АС (так как диагонали квадрата BD и АС перпендикулярны ).

Треугольники BCD и СКМ подобны (оба прямоугольные и равнобедренные), значит СМ=КС=2. По теореме Пифагора из треугольника СКМ находим, что КМ=2√2 , а из треугольника BCD BD =5 √2 . Диагонали квадрата равны, значит и АС= BD =5 √2 .

Теперь, через точку L проводим прямую параллельную В D до пересечения с B 1 C 1 в точке Т. По отрезку Т L плоскость КМ L пересечет верхнее основание (Если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то линии пересечения будут параллельны ). Значит Т C 1 = C 1 L =1. Из треугольника Т LC 1 по теореме Пифагора Т L = √2 .

В равнобедренной трапеции КТ L М точка Н – середина верхнего основания, точка N - середина нижнего основания, значит Н N – высота трапеции, Н N перпендикулярна КМ. Значит КМ перпендикулярна плоскости АА 1 С, в том числе и прямой А 1 С.

Рассмотрим диагональное сечение призмы прямоугольник AA 1 C 1 С. Из точки Н опустим перпендикуляр на АС. Тогда N Е=ЕС= Н C 1 =0,5 √2 . НЕ= С C 1 = √5 .

В треугольниках АА 1 С и N РС угол РСА – общий. Тангенс угла АА 1 С равен 5 √2 : √5 = √10 Тангенс угла Н N Е из треугольника Н N Е равен √5 : 0,5 √2 = √10 . Значит углы АА 1 С и Н N Е равны. Но тогда и оставшиеся углы А 1 АС= N РС=90 ⁰ . Имеем А 1 С перпендикулярна прямым Н N и КМ, значит А 1 С перпендикулярна плоскости трапеции КТ L М. Что и требовалось доказать.

Для того, чтобы найти объем пирамиды А 1 КТ L М, надо найти площадь трапеции КТ L М и высоту А 1 Р. Из треугольника Н N Е по теореме Пифагора Н N 2 =5,5. Площадь трапеции КТ L М равна Н N *(Т L +КМ)/2= √5,5 *(√2 + 2 √2 )/2=1,5 √11 .

Задание.

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4. На ребре AA 1 отмечена точка E так, что AE: EA 1 = 1: 3.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED 1 .

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED 1 .

Решение:

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED 1 .

Построим плоскость BED 1 . Точки E и D 1 лежат в одной плоскости, поэтому проведем прямую ED 1 .

Точки Е и В лежат в одной плоскости, поэтому проведем прямую ЕВ. Так грани правильной четырехугольной призмы параллельны, проведем в грани ВВ 1 С 1 С прямую BF параллельно прямой ED 1 . Точки F и D 1 лежат в одной плоскости, поэтому проведем прямую FD 1 . Получили искомую плоскость BED 1 .

Так как прямая ED 1 и прямая AD лежат в одной плоскости ADD 1 , то они пересекаются в точке К, лежащей в плоскости АВС. Точки К и В лежат в плоскостях АВС и BED 1 , следовательно, плоскости ABC и BED 1 пересекаются по прямой КВ. Искомая прямая пересечения плоскостей ABC и BED 1 построена.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED 1

Отрезок АE перпендикулярен плоскости АВС, из точки Е опустим перпендикуляр EH на прямую КВ. Точка H лежит в плоскости АВС, тогда AH – проекция EH на плоскость АВС. Через точку H проходит прямая, перпендикулярная наклонной EH, тогда по теореме о трех перпендикулярах отрезок AH перпендикулярен прямой КВ.

Угол ∠EHA является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED 1 . Угол ∠EHA – искомый угол между плоскостями ABC и BED 1 . Найдем величину этого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник EHA (∠А = 90˚):

По условию AE: EA 1 = 1: 3, тогда AE: AA 1 = 1: 4.

Треугольники AKE и A 1 D 1 E подобны, тогда

A 1 D 1 = 3, AE = 1, A 1 E = AA 1 – AE = 3

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKB (∠А = 90˚).

В правильной четырёхугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре AA 1 отмечена точка E так, что AE: EA 1 = 3: 2. Найти угол между плоскостями АBC и BED 1 .

Решение. Пусть прямая D 1 E пересекает прямую AD в точке K. Тогда плоскости ABC и BED 1 будут пересекаться по прямой KB.

Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда отрезок AH (проекция EH) будет перпендикулярна прямой KB (теорема о трех перпендикулярах).

Угол AHE является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED 1 .

Поскольку AE: EA 1 = 3: 2, получаем: .

Из подобия треугольников А 1 D 1 E и AKE получаем: .

В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A: АВ = 2, АК = 3, ; откуда высота
.

Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем: и ∠ AHE = arctg(√13/2).

Ответ: arctg(√13/2).

Задания для самостоятельного решения

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB 1 = 2, AD = AA 1 = 1. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью АВС 1 .

2. В прямой шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все углы равны 1. НАйдите расстояние от точки В до плоскости DEA 1 .

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = 1, AA 1 = 2. Найдите угол между прямой АВ 1 и плоскостью АВС 1 .