Случайные величины. Дискретная случайная величина.Математическое ожидание
Понятие случайной величины
Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно. Примерами случайной величины могут служить размер обрабатываемой детали, погрешность результата измерения какого-либо параметра изделия или среды. Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные и непрерывные.
Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или бесконечное счетное множество значений. Например: частота попаданий при трех выстрелах; число бракованных изделий в партии из n штук; число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток; число отказов элементов прибора за определенный промежуток времени при испытании его на надежность; число выстрелов до первого попадания в цель и т. д.
Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например: ошибка при измерении дальности радиолокатора; время безотказной работы микросхемы; погрешность изготовления деталей; концентрация соли в морской воде и т. д.
Случайные величины обычно обозначают буквами X,Y и т. д., а их возможные значения - x,y и т. д. Для задания случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появиться те или иные ее значения в результате испытаний при одних и тех же условиях, т. е. нужно задать вероятности их появления. Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.
Законы распределения случайной величины
Законом распределения случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит то того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми . Несколько случайных величин называются взаимно независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, функции распределения либо плотности распределения. Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания закона распределения случайной величины.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_{n-1}&x_n\\\hline{P}&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_{n-1}&p_n\\\hline\end{array}
Табличное задание закона распределения можно использовать только для дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений. Табличная форма задания закона случайной величины называется также рядом распределения.
Для наглядности ряд распределения представляют графически. При графическом изображении в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие вероятности. Точки (x_i,p_i) , соединенные прямолинейными отрезками, называют многоугольником распределения (рис. 5). Следует помнить, что соединение точек (x_i,p_i) выполняется только с целью наглядности, так как в промежутках между x_1 и x_2 , x_2 и x_3 и т. д. не существует значений, которые может принимать случайная величина X , поэтому вероятности её появления в этих промежутках равны нулю.
Многоугольник распределения, как и ряд распределения, является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины. Они могут иметь различную форму, однако все обладают одним общим свойством: сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице. Это свойство следует из того, что все возможные значения случайной величины X образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей которых равна единице.
Функция распределения вероятностей и ее свойства
Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают F(x)
. Функция распределения
определяет вероятность того, что случайная величина X
принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа x
, т. е. F(x)=P\{X
Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку X оси Ox (рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на оси, то функция распределения F(x) - это вероятность того, что случайная точка X в результате испытания попадет левее точки x .
Для дискретной случайной величины X , которая может принимать значения , функция распределения имеет вид
F(x)=\sum\limits_{x_i Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8). Рассмотрим общие свойства функций распределения. Свойство 1.
Функция распределения - неотрицательная, функция, заключенная между нулем и единицей: 0\leqslant{F(x)}\leqslant1
Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения F(x)
определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что X Свойство 2.
Вероятность попадания случайной величины в интервал [\alpha;\beta)
равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е. P\{\alpha\leqslant{X}<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)
Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Свойство 3.
Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. F(\beta)\geqslant{F(\alpha)}
. Свойство 4.
На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, т. е. \lim_{x\to-\infty}F(x)=0
и \lim_{x\to+\infty}F(x)=1
. Пример 1.
Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением F(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 Найти коэффициент a
и построить график F(x)
. Определить вероятность того, что случайная величина X
в результате опыта примет значение на интервале
. Решение.
Так как функция распределения непрерывной случайной величины X
непрерывна, то при x=3
получим a(3-1)^2=1
. Отсюда a=\frac{1}{4}
. График функции F(x)
изображен на рис. 9. Исходя из второго свойства функции распределения, имеем P\{1\leqslant{X}<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.
Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности, или дифференциальной функцией распределения случайной величины. Плотность распределения
f(x)
равна производной от функции распределения F(x)
, т. е. F(x)=F"(x).
Смысл плотности распределения f(x)
состоит в том, что она указывает на то, как часто случайная величина X
появляется в некоторой окрестности точки x
при повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределения f(x)
случайной величины, называется кривой распределения.
Рассмотрим свойства плотности распределения.
Свойство 1.
Плотность распределения неотрицательна, т. е. F(x)\geqslant0.
Свойство 2.
Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от -\infty
до x
, т. е. F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(x)\,dx.
Свойство 3.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины X
на участок (\alpha;\beta)
равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е. P\{\alpha\leqslant{X}\leqslant\beta\}=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)\,dx.
Свойство 4.
Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице: \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.
Пример 2.
Случайная величина X
подчинена закону распределения с плотностью F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\a\sin{x},&0 Определить коэффициент а; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0
до \frac{\pi}{2}
определить функцию распределения и построить ее график. \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx=\Bigl.{-a\cos{x}}\Bigl|_{0}^{\pi}=2a.
Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим a=\frac{1}{2}
. Следовательно, плотность распределения можно выразить так: F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0 График плотности распределения на рис. 10. По свойству 3, имеем P\!\left\{0 Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2: F(x)=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{x}\sin{x}\,dx=\Bigl.{\-\frac{1}{2}\cos{x}}\Bigl|_{0}^{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{x}.
Таким образом, имеем F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0 График функции распределения изображен на рис. 11 Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины.
Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков, мода и медиана. Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случайную величину X
, принимающую значения x_1,x_2,\ldots,x_n
с вероятностями соответственно p_1,p_2,\ldots,p_n
Определим среднюю арифметическую значений случайной величины, взвешенных по вероятностям их появлений. Таким образом, вычислим среднее значение случайной величины, или ее математическое ожидание M(X)
: M(X)=\frac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}p_i}.
Учитывая, что \sum\limits_{i=1}^{n}p_i=1
получаем M(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}.~~~~~~~(4.1)
Итак, математическим ожиданием
дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности. Для непрерывной случайной величины математическое ожидание M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
X
, возможные значения которой принадлежат отрезку
, M(X)=\int\limits_{a}^{b}xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)
Используя функцию распределения вероятностей F(x)
, математическое ожидание случайной величины можно выразить так: M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\,d(F(x)).
Свойство 1.
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Свойство 2.
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)M(Y).
Свойство 3.
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(c)=c.
Свойство 4.
Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак математического ожидания: M(cX)=cM(X).
Свойство 5.
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: M(X-M(X))=0.
Пример 3.
Найти математическое ожидание количества бракованных изделий в выборке из пяти изделий, если случайная величина X (количество бракованных изделий) задана рядом распределения. \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&0&1&2&3&4&5\\\hline{P}&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\!0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end{array}
Решение.
По формуле (4.1) находим M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\!0010
=1,\!25.
Модой M_0
дискретной случайной величины
называется наиболее вероятное ее значение. Модой M_0
непрерывной случайной величины
называется такое ее значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения. Геометрически моду интерпретируют как абсциссу точки глобального максимума кривой распределения (рис. 12). Медианой M_e
случайной величины
называется такое ее значение, для которого справедливо равенство P\{X С геометрической точки зрения медиана - это абсцисса точки, в которой площадь фигуры, ограниченной кривой распределения вероятностей и осью абсцисс, делится пополам (рис. 12). Так как вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, то функция распределения в точке, соответствующей медиане, равна 0,5, т. е. F(M_e)=P\{X С помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания. В качестве меры рассеивания случайной величины используют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, которое называют дисперсией случайной величины
X
и обозначают D[X]
: D[X]=M((X-M(X))^2).
Для дискретной случайной величины дисперсия равна сумме произведений квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания на соответствующие вероятности: D[X]=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-M(X))^2p_i.
Для непрерывной случайной величины, закон распределения которой задан плотностью распределения вероятности f(x)
, дисперсия D[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-M(X))^2f(x)\,dx.
Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины и поэтому ее нельзя интерпретировать геометрически. Этих недостатков лишено среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое вычисляется по формуле \sigma=\sqrt{D[X]}.
Свойство 1.
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D=D[X]+D[Y].
Свойство 2.
Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X
и квадратом ее математического ожидания: D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).
Свойство 3.
Дисперсия постоянной величины равна нулю: D[c]=0.
Свойство 4.
Постоянный множитель случайной величины, можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D=c^2D[X].
Свойство 5.
Дисперсия произведения двух независимых случайных величин X
и Y
определяется по формуле D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].
Пример 4.
Вычислить дисперсию количества бракованных изделий для распределения примера 3. Решение.
По определению дисперсии Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины. Начальным моментом q-го порядка
случайной величины называют математическое ожидание величины X^q
: Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка - дисперсию случайной величины. Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии
): A_s=\frac{\mu_{{}_3}}{\sigma^3}.
Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения (эксцесс
): E=\frac{\mu_{{}_4}}{\sigma^4}-3.
Пример 5.
Случайная величина X
задана плотностью распределения вероятностей F(x)=\begin{cases}0,&x<0;\\ax^2,&0 Найти коэффициент a
, математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс. Решение.
Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна \int\limits_{0}^{2}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{2}x^2\,dx=\left.{a\,\frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}\,a.
Учитывая, что эта площадь должна быть равна единице, находим a=\frac{3}{8}
. По формуле (4.2) найдем математическое ожидание: M(X)=\int\limits_{0}^{2}xf(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^3\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^4}{4}}\right|_{0}^{2}=1,\!5.
Дисперсию определим по формуле (4.3). Для этого найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины: M(X^2)=\int\limits_{0}^{2}x^2f(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^4\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}}\right|_{0}^{2}=2,\!4.
Таким образом, \begin{aligned}D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\\ \sigma(X)&=\sqrt{D(X)}=\sqrt{0,\!15}\approx0,\!3873.\end{aligned}
Используя начальные моменты, вычисляем центральные моменты третьего и четвертого порядка: \begin{aligned}\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\int\limits_0^2{x^3f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^5\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^6}{6}}\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2{x^4f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^6\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^7}{7}}\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4+2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\\&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4=0,\!0696.\\ A_s&=\frac{\mu_3}{\sigma^3}=-\frac{0,\!05}{(0,\!3873)^3}=-0,\!86.\\ E&=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3=\frac{0,\!0696}{(0,\!3873)^4}-3=-0,\!093.\end{aligned}
Пусть x_1,x_2,\ldots,x_n
- значения случайной величины X
, полученные при n
независимых испытаниях. Математическое ожидание случайной величины равно M(X)
, а ее дисперсия D[X]
. Эти значения можно рассматривать как независимые случайные величины X_1,X_2,\ldots,X_n
с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями: M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.
Средняя арифметическая этих случайных величин \overline{X}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}.
Используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины, можно записать: \begin{aligned}M(\overline{X})&=M\!\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline{X}]&=D\!\left[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}D=\frac{D[X]}{n}.~~~~~~~(4.5)\end{aligned}
Если классическая
теория вероятностей изучала, в основном,
события и вероятность их появления
(наступления), то современная
теория вероятностей изучает случайные
явления и их закономерности с помощью
случайных величин. Понятие случайной
величины, таким образом, является
основополагающим в теории вероятностей.
Ещё ранее проводились события, состоящие
в появлении того или иного числа.
Например, при бросании игральной кости
могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперёд
определить число появившихся очков
невозможно, поскольку оно зависит от
многих случайных причин, которые
полностью не могут быть учтены. В этом
смысле число очков есть величина
случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть
возможные
значения
этой величины. Случайной
величиной
называется величина, которая в результате
опыта принимает то или иное (причём,
одно и только одно) возможное числовое
значение, наперёд неизвестное и зависящее
от случайных причин, которые заранее
не могут быть учтены. Случайны величины
принято, обычно, обозначать прописными
буквами
,
а их возможное значения - соответствующими
строчными буквамиНапример, если случайная величинаимеет три возможных значения, то они,
соответственно, обозначаются так:.
Для удобства будем писать: ПРИМЕР
1
. Число
родившихся мальчиков среди ста
новорожденных есть величина случайная,
которая имеет следующие возможные
значения: 0, 1, 2, ..., 100. ПРИМЕР 2
.
Расстояние, которое пролетит снаряд
при выстреле из орудия, есть также
величина случайная. Действительно,
расстояние зависит не только от установки
прицела, но и от многих других причин
(силы и направления ветра, температуры
и т. п.), которые не могут быть полностью
учтены. Возможные значения этой величины,
очевидно, принадлежат некоторому
промежутку (интервалу)
. Заметим, что с
каждым случайным событием можно связать
какую-либо случайную величину, принимающую
значения из R.
Например, опыт
- выстрел по мишени; событие
- попадание в мишень; случайная
величина
- число попаданий в мишень. Вернёмся к примерам,
приведённым выше. В первом из них
случайная величина
могла принять одно из следующих возможных
значений: 0, 1, 2,..., 100. Эти значения отделены
одно от другого промежутками, в которых
нет возможных значений.
Таким образом, в этом примере случайная
величина принимает отдельные,
изолированные, возможные значения. Во втором примере
случайная величина могла принять любое
из значений промежутка
.
Здесь нельзя отделить одно возможное
значение от другого промежутком, не
содержащим возможных значений случайной
величины. Уже из сказанного
можно заключить о целесообразности
различать случайные величины, принимающие
лишь отдельные, изолированные значения
и случайные величины, возможные значения
которых сплошь заполняют некоторый
промежуток. Дискретной
(
прерывной
)
случайной величиной называется такая
случайная величина, которая принимает
конечное или счётное множество 1
различных значений. Другими словами -
это такая случайная величина, которая
принимает отдельные, изолированные
возможные значения с определенными
вероятностями. Число возможных
значений дискретной случайной величины
может быть конечным или бесконечным. Непрерывной
называют
случайную величину, которая может
принимать все значения из некоторого
конечного или бесконечного промежутка
действительной числовой оси. Очевидно, во-первых,
число возможных значений непрерывной
случайной величины – бесконечно.
Во-вторых, дискретная случайная величина
является частным случаем непрерывной
случайной величины. Закон
распределения вероятностей
I
.
Закон распределения вероятностей
дискретной случайной величины
На первый взгляд
может показаться, что для задания
дискретной случайной величины достаточно
перечислить все её возможные значения.
В действительности это не так: различные
случайные величины иногда могут иметь
одинаковые перечни возможных значений,
а соответствующие вероятности этих
значений – различные. Поэтому для полной
характеристики мало знать значения
случайной величины, нужно ещё знать,
как часто эти значения встречаются в
опыте при его повторении, т.е. нужно ещё
указать вероятности их появления. Рассмотрим
случайную величину
Тогда: соответствие,
устанавливающее связь между возможными
значениями случайной величины и их
вероятностями, называется
законом
распределения вероятностей случайной
величины
,
или просто – законом распределения
случайной величины.
Закон распределения
вероятностей данной случайной величины
можно задать таблично (ряд распределения),
аналитически (в виде формулы) и графически. При табличном
задании закона распределения дискретной
случайной величины первая строка таблицы
содержит возможные значения, а вторая
- их вероятности, т.е. В целях наглядности
закон распределения дискретной случайной
величины можно изобразить и графически,
для чего в прямоугольной системе
координат строят точки
,
а затем соединяют их отрезками прямых.
Полученную фигуру называют многоугольником
распределения. При этом, сумма ординатпостроенного многоугольника равна
единице. Аналитически
закон распределения дискретной случайной
величины можно записать, например,
используя формулу Бернулли для схемы
повторения независимых опытов. Так,
если обозначить случайную величину,
которой является число бракованных
деталей в выборке, через
,
то возможные её значениябудут 0, 1, 2, . . . ,.
Тогда, очевидно, формула Бернулли будет
устанавливать зависимость между
значениямии вероятностью()
их появления, где что о определяет
закон распределения данной случайной
величины. II
.
Закон распределения вероятностей
непрерывной случайной величины
Вспомним, что
дискретная случайная величина задаётся
перечнем всех её возможных значений и
их вероятностей. Такой способ задания
не является общим: он не применим,
например, для непрерывных случайных
величин. Действительно,
рассмотрим случайную величину
,
возможные значения которой сплошь
заполняют интервал.
Можно ли составить перечень всех
возможных значений?
Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот
пример указывает на целесообразность
дать общий способ задания любых типов
случайных величин (как уже отмечалось,
дискретная случайная величина является
частным случаем непрерывной случайной
величины). С этой целью вводятинтегральную
функцию
распределения. Пусть
–
переменная, принимающая произвольные
действительные значения (на оси:) . Рассмотрим событие,
состоящее в том, что случайная величинапримет значение меньшее.
Тогда, вероятность интегральной
функцией распределения
называют функцию
,
определяющую для каждого значенияR
вероятность
того, что случайная величина
примет значение, меньшее,
т.е. Геометрически
это равенство можно истолковывать так:
есть вероятность того, что случайная
величина примет значение, которое
изображается на числовой оси точкой,
лежащей левее точки. Свойства
интегральной функции
:
Доказательство
этого свойства вытекает из определения
интегральной функции как вероятности:
вероятность всегда есть неотрицательное
число, не превышающее единицы. Действительно,
пусть
–
событие, состоящее в том, что случайная
величинапримет
значение меньшее;
аналогично,
Что и требовалось
показать. Это свойство вполне
очевидно. Так, если
Но
Мы будем в основном
изучать такие непрерывные случайные
величины, функции распределения которых
непрерывны.
Для непрерывной
случайной величины более наглядной
является не интегральная, а дифференциальная
функция распределения или, так называемая,
плотность распределения случайной
величины. Случайная величина - величина, значение которой получается в результате пересчета или измерений и не может быть однозначно определено условиями его возникновения. То есть случайная величина представляет собой числовые случайные события. Случайные величины подразделяют на два класса: Дискретные случайные величины - значения этих величин представляют собой натуральные числа, которым как отдельным событиям сопоставляются частоты и вероятности. Непрерывные случайные величины - могут принимать любые значения из некоторого промежутка (интервала). Учитывая, что на промежутке от Х1 до Х2 числовых значений бесконечное множество, то вероятность того, что случайная величина ХiЄ(Х1,Х2) примет определенное значение, бесконечно мала. Учитывая, что невозможно перечислить все значения непрерывной случайной величины, на практике пользуются средним значением интервала (Х1,Х2). Для дискретных случайных величин функция у=Р(х) - называется функцией распределения случайной величины и имеет график - его называют многоугольник распределения. Различают следующие группы числовых характеристик: характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана, квантиль и др.), рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение и др.), характеристики формы плотности распределения (показатель асимметрии, эксцесса и др.). Математическим ожиданием (средним значением по распределению) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа СВ Х формулой: Математическое ожидание существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулы сходится абсолютно. Если mX = 0, то СВ Х называется центрированной (обозначается ). Свойства математического ожидания: где С - константа; M = C×M[X]; M = M[X]+M[Y], для любых СВ X и Y; M = M[X]×M[Y] + KXY, где KXY = M - ковариация СВ X и Y. Начальным моментом k-го порядка (k = 0, 1, 2, ...) распределения СВ Х называется действительное число, определяемое по формуле: nk = M = Центральным моментом k-го порядка распределения СВ Х называется число, определяемое по формуле: mk = M[(X-mX)k]= Из определений моментов, в частности, следует, что: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2. Модой СВНТ называется действительное число Mo(X) = x*, определяемое как точка максимума ПР f(x). Мода может иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальное распределение). Медианой СВНТ называется действительное число Mе(X) = x0, удовлетворяющее условию: P{X < x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5. Квантилем уровня р называется действительное число tp, удовлетворяющее уравнению: F(tp) = p. В частности, из определения медианы следует, что x0 = t0,5. Дисперсией СВ Х называется неотрицательное число D[X] = DХ, определяемое формулой: DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 = Дисперсия существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части равенства сходится. Свойства дисперсии: D[C] = 0, где С - константа; D = C2×D[X]; дисперсия, очевидно, не меняется от смещения СВ X; D = D[X] + D[Y] + 2×KXY, где KXY = M - ковариация СВ X и Y; Неотрицательное число sХ = называется среднеквадратичным отклонением СВ X. Оно имеет размерность СВ Х и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно математического ожидания. (Величину sХ иногда называют стандартным отклонением). СВ Х называется стандартизованной, если mX = 0 и sХ = 1. Если величина Х = const (т.е. Х не случайна), то D[X] = 0. Показателем асимметрии ПР является коэффициент асимметрии (“скошенности”) распределения: A = m3/s3X. Показателем эксцесса ПР является коэффициент эксцесса (“островершинности”) распределения: E = (m4/s4X)-3. В частности, для нормального распределения E = 0. Упорядочная совокупность n случайных величин (СВ) Х1, Х2, ..., Хn, рассматриваемых совместно в данном опыте, называется n-мерной СВ или случайным вектором и обозначается = (Х1, Х2, ..., Хn). Функцией распределения (ФР) n-мерного случайного вектора называется функция n действительных переменных х1, x2, ..., xn, определяемая как вероятность совместного выполнения n неравенств: F(x1, x2, ... xn) = P{ X1 < x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает следующими свойствами: 1 0 £ F(x, у) £ 1; 2 F(x, у) - неубывающая функция своих аргументов; Свойство 4 обычно называют условием согласованности. Оно означает, что ФР отдельных компонент случайного вектора могут быть найдены предельным переходом из функции совместного распределения этих компонент. Вероятность попадания случайной точки на плоскости (X, Y) в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, может быть вычислена с помощью ФР по формуле: P{x1 £ X < x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1). Двумерный случайный вектор (X,Y) называется случайным вектором дискретного типа (СВДТ), если множество его возможных значений G(x, y) не более чем счетно. Ее закон распределения можно задать двумерной таблицей из перечня возможных значений пар компонент {(хi, yi) | (хi, yi) Î G(x, y)} и соответствующих каждой такой паре вероятностей pij = P{X = xi, Y = yj}, удовлетворяющих условию Двумерный случайный вектор (X, Y) называется случайным вектором непрерывного типа (СВНТ), если существует такая неотрицательная функция f(x, y) называемая плотностью распределения (ПР) вероятностей случайного вектора, что: f(x, y) = , тогда F(x, y) = . ПР вероятностей обладает следующими свойствами: f(x, y) ³ 0, (x, y) Î R2; ПР вероятностей отдельных компонент случайного вектора выражаются в виде интегралов от совместной плотности: f(x) = f(y) = . Вероятность попадания случайной точки в произвольную квадрируемую область S на плоскости определяется по формуле P{(X, Y) Î S}= . Условной плотностью распределения вероятностей случайной компоненты X при условии, что компонента Y приняла определенное значение у, называется функция f(x/y) действительной переменной х Î R: f(x/y) = f(x, y)/f(y). Аналогично определяется условная плотностью распределения вероятностей случайной компоненты Y при условии, что компонента X приняла определенное значение x: f(y/x) = f(x, y)/f(x). СВ X1, X2, ..., Хn называются независимыми (в совокупности), если для событий {Xi Î Bi}, i = 1, 2, ..., n, где B1, B2, ... Bn - подмножества числовой прямой, выполняется равенство: P{X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn} = P{X1 Î B1}× P{X2 Î B2}× ... ×P{Xn Î Bn}. Теорема: СВ X1, Х2, .... Хn независимы тогда и только тогда, когда в любой точке x = (x1, x2, ..., xn) имеет место равенство: F(x1, x2, ..., xn) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (или f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f(xn)). Для двумерного случайного вектора (X, Y) вводятся следующие числовые характеристики. Начальным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число nr,s, определяемое формулой: nr,s = M = Начальный момент nr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. В частности, nr,0 = M - соответствующие начальные моменты компоненты X. Вектор с неслучайными координатами (mX, mY) = (n1,0, n0,1) называется математическим ожиданием случайного вектора (X, Y) или центром рассеивания. Центральным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число mr,s определяемое формулой mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] = Центральный момент mr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. Вектор с неслучайными координатами (DX, DY) = (m2,0, m0,2) называется дисперсией случайного вектора. Центральный момент m1,1 называется корреляционным моментом (ковариацией): KXY = M = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M-mX mY. Коэффициентом корреляции двух случайных компонентов X и Y случайного вектора является нормированная ковариация rXY = KXY/(sXsY). Свойства ковариации (и коэффициента корреляции). Случайная величина
как фундаментальное понятие теории вероятности имеет большое значение в ее приложениях. Это понятие является абстрактным выражением случайного события. Более того, оперировать со случайными величинами иногда более удобно, чем со случайными событиями. Случайной
называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное (но только одно) значение (до опыта неизвестно, какое именно). События принято обозначать большими буквами латинского алфавита, вероятность буквой Р,
например, Р(А).
Реализации события (случайные величины) обозначаются малыми буквами: a
1 , a
2 , …, a
n .
Поскольку в теории вероятностей и математической статистике рассматриваются массовые явления,
то случайная величина, как правило, характеризуется возможными значениями и их вероятностями.
Среди встречающихся в практике случайных величин можно выделить дискретные и непрерывные. Дискретными случайными величинами
называются такие, которые принимают только отделенные друг от друга значения и могут быть заранее перечислены.
Например, количество автомобилей на заданном километровом участке дороги в конкретный момент времени; число бракованных узлов деталей автомобиля в партии из n
штук. Для дискретных случайных величин
характерно, что они принимают отдельные, изолированные значения,
которые можно заранее перечислить. Например, количество автомобилей на заданном участке дороги может принимать только целочисленные значения 0, 1,2, ..., п
и зависит от времени суток и интенсивности движения. Существуют случайные величины другого типа, которые чаще встречаются и имеют большое практическое значение. Непрерывной случайной величиной
называется такая, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток
(интервал числовой оси). Интервал числовой оси может быть конечным или бесконечным. Примерами непрерывных случайных величин являются время безотказной работы автомобиля в заданных дорожных условиях, скорость движения автомобиля на заданной дороге, ошибка измерения. В отличие от дискретных
возможные значения непрерывных случайных величин нельзя заранее перечислить, так как они непрерывно заполняют некоторый промежуток. Случайные величины обозначаются обычно большими буквами латинского алфавита - X, Y, Z, Т,
а их возможные значения соответствующими малыми x i , y i , z i , t i
, где i =
1, 2, .... п.
Рассмотрим дискретную случайную величину X
с возможными значениями x
1 , x
2 , …, x n .
В результате проведения многократных опытов величина Т
может принять каждое из значений x i
, т. е.: X = x 1 ; X = x 2 ; …; X = x n .
Обозначим вероятности этих событий буквой р
с соответствующими индексами: P(X = x 1)= p 1 ; P(X = x 2)= p 2 ; …; P(X = x n)= p n .
Исходя из того, что события x i
образуют полную группу несовместимых событий, т. е. никаких других событий произойти не может, сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины Т равна единице.
Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями случайной величины Дискретную случайную величину
можно полностью описать с вероятностной точки зрения, если точно указать вероятность каждого события, т. е. задать это распределение. Этим будет установлен закон распределения случайной величины. Законом распределения случайной величины
называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями
. Зная его, можно до опыта судить о том, какие значения случайной величины будут появляться чаще и какие реже. Способы или формы представления закона распределения случайной величины различны. Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины Т является ряд распределения
или таблица, в которой перечислены возможные значения этой величины и соответствующие им вероятности. – количество мальчиков среди 10 новорождённых. Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться: Либо мальчиков – один и только один
из перечисленных вариантов. И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры: – дальность прыжка в длину (в некоторых единицах)
. Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:) Тем не менее, ваши гипотезы? 2) Непрерывная случайная величина – принимает все
числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Примечание
: в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ
Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную
. – этосоответствие
между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей: А теперь очень важный момент
: поскольку случайная величина обязательно
примет одно из значений
, то соответствующие события образуют полную группу
и сумма вероятностей их наступления равна единице: или, если записать свёрнуто: Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид: Без комментариев. Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми: Пример 1
Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша: …наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля
. Решение
: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу
, а значит, сумма их вероятностей равна единице: Разоблачаем «партизана»: Контроль: , в чём и требовалось убедиться. Ответ
: Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности
, теоремы умножения / сложения вероятностей событий
и другие фишки тервера
: Пример 2
В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет. Решение
: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания
. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей. Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению
: С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет: Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий! Ответ
: искомый закон распределения выигрыша: Следующее задание для самостоятельного решения: Пример 3
Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов. …я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения
. Решение и ответ в конце урока. Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики
. Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение
при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями или в свёрнутом виде: Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков: Теперь вспомним нашу гипотетическую игру: Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный
по вероятностям выигрыш: Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно
. Не верь впечатлениям – верь цифрам! Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения
. Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина. Творческое задание для самостоятельного исследования: Пример 4
Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем
проигрывает игрок с каждой поставленной сотни? Справка
: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино
Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь
где неравенство x_i
Плотность распределения вероятности и ее свойства
Числовые характеристики случайных величин
Свойства математического ожидания
Свойства дисперсии случайных величин
Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин
Перейти к следующему разделу
Многомерные случайные величины
В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
.
.
Появление каждого их возможных значенийсвидетельствует о том, что произошло
соответственно одно из событий,
которые образуют полную группу 2 .
Допустим, что вероятности этих событий
известны:
,
. . . ,
,
,
событиязависит от,
т.е. является функцией от.
Эту функцию принято обозначать
черези называть функцией распределения
случайной величины или, ещё – интегральной
функцией распределения. Другими словами:
.
–
событие, состоящее в том, что случайная
величинапримет
значение меньшее.
Другими словами:
или, что то же самое:
-
достоверное событие, а
– невозможное событие, то
,
В результате, можем записать:,
что и требовалось показать.
.
4. 
- условие нормировки.
Закон распределения дискретной случайной величины
Довольно часто встречается термин ряд
распределения
, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».
– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений
всех её значений на соответствующие вероятности:
