Утверждения из признака параллельности прямой и плоскости. Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости
прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. 3.Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки A, C и M, где M – середина ребра AlDl.
Какая из фигур не является основной фигурой в пространстве? 1) точка; 2) отрезок; 3) прямая; 4) плоскость.2. Прямые a и b скрещивающиеся. Как расположена прямая b относительно плоскости α, если прямая а ϵ α?
1) пересекает; 2) параллельна; 3) лежит в плоскости; 4) скрещивается.
3. Определите, какое утверждение верно:
1) Перпендикуляр длиннее наклонной.
2) Если две наклонные не равны, то большая наклонная имеет меньшую проекцию.
3) Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника.
4) Угол между параллельными прямой и плоскостью равен 90º.
4. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой, длина которого 17 см, расположен между ними так, что его концы принадлежат плоскостям. Найдите проекцию этого отрезка на каждую из плоскостей.
1) 15 см; 2) 9 см; 3) 25 см) 4) 12 см.
5. К плоскости МКРТ проведен перпендикуляр ТЕ, равный 6 дм. Вычислить расстояние от точки Е до вершины ромба К, если МК = 8 дм, угол М ромба равен 60º.
1) 10 дм; 2) 14 дм; 3) 8 дм; 4) 12 дм.
6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от каждой вершины треугольника на расстоянии 10 см. Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника.
1) 4 см; 2) 16 см; 3) 8 см; 4) 10 см.
7. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 60º. Найдите проекцию наклонной на данную плоскость, если перпендикуляр равен 5 см.
1) 5√3 см; 2) 10 см; 3) 5 см; 4) 10√3 см.
8. Найти боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 2 см, а все двугранные углы при основании равны 30º.
1) 2 см2; 2) 2√3 см2; 3) √3 см2; 4) 3√2 см2.
9. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям, равным 3 см, 4 см, 5 см.
1) 94 см2; 2) 47 см2; 3) 20 см2; 4) 54 см2.
плоскости.
б) если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость.
в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они пересекаются
г) если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая лежит в плоскости
д) прямая и плоскость называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек
плоскости;б) если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость;в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они пересекаются;г)если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая лежит в плоскостид) прямая и плоскость называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек.
2. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β. Прямая b параллельна прямой а, тогда:
Теорема
Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Доказательство
Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.
18. ПЛОСКОСТЕЙ
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны (рис. 333).
Действительно, согласно определению параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Наши прямые лежат в одной плоскости - секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости.
Значит, прямые параллельны, что и требовалось доказать
Свойства
§ Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны
§ Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
§ Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
§ Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
§ Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях
19.
Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить - например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью ?
Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной .
Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получилипроекцию наклонной на плоскость .
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость .
Обратите внимание - в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.
Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости .
Это определение. Но как же с ним работать? Как проверить, что данная прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости? Ведь их там бесконечно много.
На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости :
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости .
21.Двугранный угол - пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90 градусам.
§ Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
§ Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
§ Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром: пары вертикальных углов равны, а сумма двух смежных углов равна 180°. Если один из четырех углов прямой, то три остальных также равны и прямые. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой .
Теорема. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Пусть и - две плоскости такие, что проходит через прямую АВ, перпендикулярную к и пересекающуюся с ней в точке А (рис. 49). Докажем, что _|_ . Плоскости и пересекаются по некоторой прямой AC, причем AВ _|_ AC, т.к. AB _|_ . Проведем в плоскости прямую AD, перпендикулярную прямой АС.
Тогда угол BAD - линейный угол двугранного угла, образованного и . Но < ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.
22. Многогранником называется такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
1. любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.
Эти многоугольники называются гранями , их стороны - рёбрами , а их вершины - вершинами многогранника. Простейшими примерами многогранников являются выпуклые многогранники, то есть граница ограниченного подмножества евклидова пространства являющееся пересечением конечного числа полупространств.
Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, для которого возможны следующие два варианта:
§ Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);
§ Части плоскости, ограниченные ломаными.
В первом случае мы получаем понятие звёздчатый многогранник. Во втором - многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником. Отсюда возникает третье определение многогранника, как самого геометрического тела
Прямая призма
Призма называется прямой
, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Призма называется наклонной
, если ее боковые ребра не перпендикулярны основаниям.
У прямой призмы грани – прямоугольники.
Призма называется правильной
, если ее основания являются правильными многоугольниками.
Площадью боковой поверхности призмы
называется сумма площадей боковых граней.
Полная поверхность призмы
равна сумме боковой поверхности и площадей оснований
Элементы призмы:
Точки - называются вершинами
Отрезки называются боковыми ребрами
Многоугольники и - называютсяоснованиями. Также основаниями называют сами плоскости и
24. Параллелепи́пед (от греч. παράλλος - параллельный и греч. επιπεδον - плоскость) - призма, основанием которой служитпараллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.
§ Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
§ Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
§ Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
§ Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого параллелепипеда:
| 1. | S = 2(S a +S b +S c )= 2(ab + bc + ac ) |
25 .Пирамида и ее элементы
Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. 
Многоугольник называется основанием, а точка S - вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр
. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.
Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.
Программа предназначена для расчета площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Пирамида является многогранником, имеющим основание в виде многоугольника, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной. 
Формула для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды:
где p - периметр основания (многоугольника ABCDE),
а - апофема (OS);
Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, которая проведена из её вершины.
Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды, введите значения периметра пирамиды и апофемы, затем нажмите кнопку "ВЫЧИСЛИТЬ".Программа определит площадь боковой поверхности правильной пирамиды, значение которой может быть помещено в буфер обмена.
Усеченная пирамида
| Усеченной пирамидой называется часть полной пирамиды, заключенная между основанием и параллельным ему сечением. | |
| Сечение называют верхним основанием усеченной пирамиды , а основание полной пирамиды -нижним основанием усеченной пирамиды. (Основания подобны.) Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции. В усеченной пирамиде 3 n ребер, 2 n вершин, n + 2 грани, n (n - 3) диагонали. Расстояние между верхним и нижним основаниями - высота усеченной пирамиды (отрезок, отсеченный от высоты полной пирамиды). |  |
| Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее граней. | |
| Объем усеченной пирамиды (S и s - площади оснований, Н - высота) |  |
Телом вращения называется тело, образованное в результате вращения какой - либо линии вокруг прямой.
Прямой круговой цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на сфере. Основания цилиндра являются малыми кругами шара, центр шара совпадает с серединой оси цилиндра. [2 ]
Прямой круговой цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на сфере. Очевидно, центр шара лежит ни середине оси цилиндра. [3 ]
Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту:
| 1. | V =π r 2 h |
Полная площадь поверхности цилиндра равна сумме боковой поверхности цилиндра и двойной площади основания цилиндра.
Формула для вычисления полной площади поверхности цилиндра:
27. Круглый конус может быть получен вращениемпрямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения. См. также Объем круглого конуса
Полная площадь поверхности круглого конуса равна сумме площадей боковой поверхности конуса и его основания. Основание конуса есть круг и его площадь вычисляется по формуле площади круга:
| 2. | S =π r l +π r 2 =π r (r + l ) |
28. Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом. См. также Объем усеченного конуса
Полная площадь поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности усеченного конуса и его оснований. Основания усеченного конуса есть круги и их площадь вычисляется поформуле площади круга: S = π (r 1 2 + (r 1 + r 2) l + r 2 2)
29. Шар – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.
Сфе́ра (греч. σφαῖρα - мяч) - замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.
Площадь сферической поверхности шарового сегмента (шарового сектора) и шарового слоя зависит только от их высоты и радиуса шара и равна длине окружности большого круга шара, умноженной на высоту
Объем шара равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара
Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.
Элементы шара
Шаровой сегмент
Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента.
Н
- высота сегмента, 0 < Н
< 2 R
,
r
- радиус основания сегмента,
Объем шарового сегмента
Площадь сферической поверхностишарового сегмента
|  |
| Шаровой слой Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными сечениями. Расстояние (Н ) между сечениями называется высотой слоя , а сами сечения - основаниями слоя . Площадь сферической поверхности(объем ) шарового слоя может быть найдена как разность площадей сферических поверхностей (объемов)шаровых сегментов. |  |
1. Умножение вектора на число (рис. 56).
Произведением вектора А на число λ называется вектор В , модуль которого равен произведению модуля вектора А на модуль числа λ :
Направление не изменяется, если λ > 0 ; изменяется на противоположное, если λ < 0 . Если λ = −1 , то вектор
Называется вектором, противоположным вектору А , и обозначается
2. Сложение векторов . Для того чтобы найти сумму двух векторов А и В вектор
Тогда суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец − с концом второго. Это правило сложения векторов называется «правилом треугольника» (рис. 57). необходимо изобразить векторы-слагаемые так, чтобы начало второго вектора совпадало с концом первого.
Легко доказать, что для векторов «от перемены мест слагаемых сумма не изменяется».
Укажем еще одно правило сложения векторов − «правило параллелограмма». Если совместить начала векторов-слагаемых и построить на них параллелограмм, то суммой будет вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма (рис. 58).
Понятно, что сложение по «правилу параллелограмма» приводит к тому же результату, что и по «правилу треугольника».
«Правило треугольника» легко обобщить (на случай нескольких слагаемых). Для того чтобы найти сумму векторов
Необходимо начало второго вектора совместить с концом первого, начало третьего − с концом второго и т. д. Тогда начало вектораС совпадет с началом первого, а конец С − с концом последнего (рис. 59).
3. Вычитание векторов . Операция вычитания сводится к двум предыдущим операциям: разностью двух векторов является сумма первого с вектором, противоположным второму:
Можно также сформулировать «правило треугольника» для вычитания векторов: необходимо совместить начала векторов А и В , тогда их разностью будет вектор
Проведенный от конца вектора В к концу вектора А (рис. 60).
В дальнейшем мы будем говорить о векторе перемещения материальной точки, то есть векторе, соединяющем начальное и конечное положения точки. Согласитесь, что введенные правила действия над векторами вполне очевидны для векторов перемещения.
4. Скалярное произведение векторов . Результатом скалярного произведения двух векторов А и В является число с, равное произведению модулей векторов на косинус угла α между
Операция скалярного произведения векторов очень широко используется в физике. В дальнейшем нам достаточно часто придется сталкиваться с такой операцией.
Некоторые следствия из аксиом
Теорема 1:
Через прямую и не
лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна
.
Дано: М ₵ а
Доказать: 1) Существует α: а ∈ α , М ∈ b ∈ α
2)
α -
единственная
Доказательство:
1) На прямой, а выберем точки P и Q. Тогда имеем 3 точки – Р , Q, M , которые не лежат на одной прямой.
2) По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость α, которая содержит прямую а и точку М , существует.
3) Теперь докажем, что α единственная. Предположим, что существует плоскость β, которая проходит и через точку М, и через прямую а, но тогда эта плоскость через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M , не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость.
4) Значит, эта плоскость совпадает с плоскостью α . Следовательно 1) На прямой, а выберем точки P и Q . Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой. Следовательно α – единственная.
Теорема доказана.
1)На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть N ∈ b, N≠M
2)Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой a. По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью α. Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую a и точку N, существует.
3)Докажем единственность этой плоскости. Предположим противное. Пусть существует плоскость β, такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую а и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость β совпадает с плоскостью α.
4)Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
Теорема доказана.
Теорема о параллельности прямых
Теорема:
Через любую точку пространства, не лежащей на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной прямой.
Дано: прямая а, M ₵ а
Доказать: Существует единственная прямая b ∥ а, М ∈ b
Доказательство:
1) Через прямую а и точку М, не лежащей на ней, можно провести единственную плоскость (1 следствие). В плоскости α можно провести прямую b, параллельную а, проходящую через М.
2) Докажем, что она единственная. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку М и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда β проходит через М и прямую а. Но через прямую а и точку М проходит плоскость α.
3) Значит, α и β совпадают. Из аксиомы параллельных прямых следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельно заданной прямой.
Теорема доказана.
Начальная геометрия изучает понятия и соотношение объектов. Без четкого обоснования нельзя ориентироваться в прикладной области. Признак параллельности прямой и плоскости – первый шаг в геометрию пространства. Овладение начальными категориями позволит приблизиться к увлекательному миру точности, логики, ясности.
Вконтакте
Соотношение объектов: возможные варианты
Стереометрия – инструмент познания мира. Она рассматривает отношение объектов друг к другу, учит вычислять расстояния без линейки. Успешная практика требует овладеть основными понятиями.
Имеется поверхность а и линия l. Есть три случая соотношения объектов. Их определяют точки пересечения. Легко запомнить:
- 0 точек — параллельны;
- 1 точка — взаимно пересекаются;
- бесконечно много — прямая лежит в плоскости.
Легко описать признак параллельности объектов. На поверхности а существует линия с || l, то l || а.
Простое заявление требует доказательства. Пусть поверхность проведена через линии: l || c. В Ω а = с. Пусть l имеет с а общую точку. Она должна лежать на с. Это противоречит условию: l || c. Тогда l параллельна плоскости a. Начальное положение верно.
Важно ! В пространстве существует хотя бы одна линия || плоской поверхности. Это созвучно утверждению начальной геометрии (планиметрии).
Простая мысль: а принадлежит больше одной точки l, значит прямая l целиком принадлежит а.
a || l только в случае отсутствия единственной точки пересечения.
Это логичное определение параллельности прямой и плоскости.
Легко найти практическое применение положения. Как доказать, что одна прямая параллельна плоскости?
Достаточно использовать исследованный признак.
Что полезно знать
Для грамотного решения задач требуется изучить дополнительные расположения предметов. Основа — признак параллельности прямой и плоскости. Его применение облегчит понимание других элементов. Геометрия пространства рассматривает частные случаи.
Пересечения в стереометрии
Объекты прежние: плоская поверхность а, линии с, l. Как они соседствуют? С || l. L пересекает а. Легко понять: с обязательно пересечет а. Эта мысль — лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
Поле деятельности расширяется. К исследуемым объектам добавляется поверхность в. Ей принадлежит l. В исходных объектах ничего не меняется: l || а. Опять получается просто: в случае пересечения плоскостей общая линия d || l. Сразу вытекает понятие: какие две плоскости называются пересекающимися. Те, которые имеют общую прямую.
Какие теоремы требуется изучить
Главные понятия отношения предметов приводят к описанию основных утверждений. Они требуют развернутого доказательства. Первая: теоремы о параллельности одной прямой и плоскости. Рассматриваются разные случаи.
- Объекты: поверхности P, Q, R, прямые АB, CD. Условие: P||Q, R их пересекает. Естественно, АB||CD.
- Предметы исследования: линии AB, CD, A1B1, C1D1. AB пересекается с CD в одной плоскости, A1B1 — с C1D1 в другой. AB||A1B1, CD||C1D1. Вывод: поверхности, включающие пересекающиеся попарно параллельные линии, ||.
Возникает новое понятие. Скрещивающиеся прямые сами не параллельны, хотя лежат в параллельных плоскостях. Это C1D1 и АВ, А1В1 и CD. Это явление широко применяется в практической стереометрии.
Естественное заявление: через одну из скрещивающихся линий реально проходит единственная параллельная указанной плоскость.
- Дальше легко прийти к теореме о следе. Это третье из утверждений о параллельности прямой и поверхности. Есть прямая l. Она || а. l принадлежит в. В Ω а = d. Единственно возможный вариант: d || l.
Важно! Прямая и плоскость называются || при отсутствии общих объектов — точек.
Свойства параллельности и их доказательства
Легко прийти к понятию расположения плоских поверхностей:
- пустое множество общих точек (называются параллельными);
- пересекаются по прямой.
В стереометрии находят применение свойства параллельности. Любая пространственная картинка имеет поверхности и линии. Для успешного решения задач требуется изучить основные теоремы:
- Исследуемые объекты: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Вывод: l ||m. Предположение требует доказательства. Расположение l и m одно из двух: пересекаются или параллельны. Но во втором случае поверхности не имеют общих точек. Тогда l || m. Утверждение доказано. Следует запомнить: если прямая лежит в плоскости, то они имеют более одной точки пересечения.
- Имеются поверхность а, точка А не принадлежит а. Тогда существует только одна поверхность b || a, проходящая через А. Доказать положение просто. Пусть l Ω m; l, m принадлежат а. Через каждую из них и А строится плоскость. Она пересекает а. В ней существует линия, проходящая через А и || а. В точке А они являются пересекающимися. Они образуют единственную поверхность b || a.
- Существуют скрещивающиеся прямые l и m. Тогда имеются || поверхности а и b, которым принадлежат l и m. Логично поступить так: на l и m выбрать произвольные точки. Провести m1 || m, l1 || l. Пересекающиеся линия попарно || => a || b. Положение доказано.
Знание свойств параллельности одной прямой и плоскости позволит умело применять их на практике. Простые и логичные доказательства помогут ориентироваться в увлекательном мире стереометрии.
Плоскости: оценка параллельности
Описать понятие просто. Вопрос: что значит, одна прямая и плоскость параллельны, решен. Исследование начальных категорий геометрии пространства привело к более сложному утверждению.
При решении прикладных задач применяется признак параллельности. Простое описание: пусть l Ω m, l1 Ω m1, l, m принадлежат а, l1, m1 – b. При этом l || l1, m || m1. Тогда a || b.
Без применения математических символов: плоскости называются параллельными, если проведены через пересекающиеся попарно параллельные прямые.
Стереометрия рассматривает свойства параллельных плоскостей . Их описывают теоремы:
Исследуемые объекты: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Тогда l || m. Очевидно доказательство. и Прямые лежат в одной плоскости, если они || или пересекаются. Следует применить утверждение о параллельности прямой и поверхности. Тогда становится очевидно: пересекаться l и m не могут. Остается единственное – l || m.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой
1.Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
2.Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости. плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости: а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
2.Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника.
Натуральная величина (н.в.) отрезка АВ прямой общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника АВК. В этом треугольнике катет АК параллелен плоскости проекций π1 и равен горизонтальной проекции отрезка A"B". Катет BK равен разности расстояний точек A и B от плоскости π1.
В общем случае для определения натуральной величины отрезка прямой необходимо построить гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого является горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим катетом - отрезок, равный по величине алгебраической разности координат Z (Y) крайних точек отрезка.
Из прямоугольного треугольника находят угол α - угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций.
Для определения угла наклона прямой к фронтальной плоскости проекций необходимо выполнить аналогичные построения на фронтальной проекции отрезка.
3.Главные линии плоскости (горизонталь, фронталь).
Горизонталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна горизонтальной плоскости. Горизонталь как прямая, параллельная горизонтальной плоскости, имеет фронтальную проекцию ѓ, параллельную оси х.
Фронталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна фронтальной плоскости.
Фронталь является прямой, параллельной фронтальной плоскости, и ее горизонтальная проекцияф параллельна оси х.
4.Взаимное положение прямых в пространстве. Определение видимости по конкурирующим точкам. Две прямые в пространстве могут иметь различное расположение: А)пересекаться (лежать в одной плоскости). Частный случай пересечения – под прямым углом;Б)могут быть параллельными (лежать в одной плоскости);В)совпадать – частный случай параллельности;Г)скрещиваться (лежать в разных плоскостях и не пересекаться).
Точки, у которых проекции на П1 совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П1, а точки, у которых проекции на П2 совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П2.
Точки К и L конкурирующие по отношению к плоскости П1, так как на плоскости П1 точки К и L проецируются в одну точку: К1 = L1.
Точка К выше точки L, т.к. К2 выше точки L2, потому К1 на П1 видима.