Вычитание простых дробей с разными знаменателями. Умножение простых и смешанных дробей с разными знаменателями

В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему - сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров

Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.

Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

Примеры применения правила для обыкновенных дробей

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: .

При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: . Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .

Примеры применения правила для алгебраических дробей

От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.

При-мер 3. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .

При-мер 4. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние

Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .

При-мер 5. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние: .

При-мер 6. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

Примеры применения правила с последующим сокращением

В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

При-мер 7. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.

При-мер 8. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.

Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.

Опре-де-ле-ние

Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .

Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.

; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .

После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).

Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.

По-лу-ча-ем: .

Ответ: .

Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.

.

Ответ: .

Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :

1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.

2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).

3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.

4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.

Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.

Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь , которую вы получили.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

,

,

Вычитание правильной дроби из единицы.

Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной , единицу переводят к виду неправильной дроби , у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример вычитания правильной дроби из единицы:

Знаменатель вычитаемой дроби = 7 , т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей - правильной из целого числа (натурального числа) :

• Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
• Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
• Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби - выделяем в дроби целую часть.

Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.

Пример вычитания дробей:

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .

Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) , и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители , то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

• найти НОК для всех знаменателей;
• поставить для всех дробей дополнительные множители;
• умножить все числители на дополнительный множитель;
• полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
• произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Вычитание дробей, примеры:

Вычитание смешанных дробей.

При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

Первый вариант вычитания смешанных дробей.

Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).

Например:

Второй вариант вычитания смешанных дробей.

Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Например:

Третий вариант вычитания смешанных дробей.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример:

Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 < 14. Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.

В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:

Правила сложения дробей с разными знаменателями очень простые.

Рассмотрим правила сложения дробей с разными знаменателями по шагам:

1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей. Полученный НОК будет общим знаменателем дробей;

2. Привести дроби к общему знаменателю;

3. Сложить дроби, приведенные к общему знаменателю.

На простом примере научимся применять правила сложения дробей с разными знаменателями.

Пример

Пример сложения дробей с разными знаменателями.

Сложить дроби с разными знаменателями:

Будем решать по шагам.

1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей.

Число 12 делится на 6.

Отсюда делаем вывод, что 12 есть наименьшее общее кратное чисел 6 и 12.

Ответ: нок чисел 6 и 12 равен 12:

НОК(6, 12) = 12

Полученный НОК и будет общим знаменателем двух дробей 1/6 и 5/12.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

В нашем примере привести к общему знаменателю 12 нужно только первую дробь, ведь у второй дроби знаменатель уже равен 12.

Разделим общий знаменатель 12 на знаменатель первой дроби:

2 есть дополнительный множитель.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби (1/6) на дополнительный множитель 2.

Дробные выражения сложны для понимания ребёнком. У большинства возникают сложности, связанные с . При изучении темы «сложение дробей с целыми числами», ребёнок впадает в ступор, затрудняясь решить задание. Во многих примерах перед тем как выполнить действие нужно произвести ряд вычислений. Например, преобразовать дроби или перевести неправильную дробь в правильную.

Объясним ребёнку наглядно. Возьмём три яблока, два из которых будут целыми, а третье разрежем на 4 части. От разрезанного яблока отделим одну дольку, а остальные три положим рядом с двумя целыми фруктами. Получим ¼ яблока в одной стороне и 2 ¾ — в другой. Если мы их соединим, то получим целых три яблока. Попробуем уменьшить 2 ¾ яблока на ¼, то есть уберём ещё одну дольку, получим 2 2/4 яблока.

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Для начала вспомним правило вычисления для дробных выражений с общим знаменателем:

На первый взгляд всё легко и просто. Но это касается только выражений, не требующих преобразования.

Как найти значение выражения где знаменатели разные

В некоторых заданиях необходимо найти значение выражения, где знаменатели разные. Рассмотрим конкретный случай:
3 2/7+6 1/3

Найдём значение данного выражения, для этого найдём для двух дробей общий знаменатель.

Для чисел 7 и 3 – это 21. Целые части оставляем прежними, а дробные – приводим к 21, для этого первую дробь умножаем на 3, вторую – на 7, получаем:
6/21+7/21, не забываем, что целые части не подлежат преобразованию. В итоге получаем две дроби с одним знаменателям и вычисляем их сумму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Что если в результате сложения получается неправильная дробь, которая уже имеет целую часть:
2 1/3+3 2/3
В данном случае складываем целые части и дробные, получаем:
5 3/3, как известно, 3/3 – это единица, значит 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

С нахождением суммы всё понятно, разберём вычитание:

Из всего сказанного вытекает правило действий над смешанными числами, которое звучит так:

• Если же от дробного выражения необходимо вычесть целое число, не нужно представлять второе число в виде дроби, достаточно произвести действие только над целыми частями.

Попробуем самостоятельно вычислить значение выражений:

Разберём подробнее пример под буквой «м»:

4 5/11-2 8/11, числитель первой дроби меньше, чем второй. Для этого занимаем одно целое число у первой дроби, получаем,
3 5/11+11/11=3 целых 16/11, отнимаем от первой дроби вторую:
3 16/11-2 8/11=1 целая 8/11

• Будьте внимательны при выполнении задания, не забывайте преобразовывать неправильные дроби в смешанные, выделяя целую часть. Для этого необходимо значение числителя разделить на значение знаменателя, то что получилось, встаёт на место целой части, остаток – будет числителем, например:

19/4=4 ¾, проверим: 4*4+3=19, в знаменателе 4 остаётся без изменений.

Подведём итог:

Перед тем как приступить к выполнению задания, связанного с дробями, необходимо проанализировать, что это за выражение, какие преобразования нужно совершить над дробью, чтобы решение было правильным. Ищите более рациональные способ решения. Не идите сложными путями. Распланируйте все действия, решайте сначала в черновом варианте, затем переносите в школьную тетрадь.

Чтобы не произошло путаницы при решении дробных выражений, необходимо руководствоваться правилом последовательности. Решайте всё внимательно, не торопясь.

Рассмотрим дробь $\frac63$. Ее величина равна 2, так как $\frac63 =6:3 = 2$. А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? $\frac63 \times 2=\frac{12}{6}$. Очевидно, величина дроби не изменилась, так $\frac{12}{6}$ как у также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить $\frac{18}{9}$, или на 27 и получить $\frac{162}{81}$ или на 101 и получить $\frac{606}{303}$. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что не изменилась.

Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби $\frac{120}{60}$ (равной 2) разделить на 2 (результат $\frac{60}{30}$), или на 3 (результат $\frac{40}{20}$), или на 4 (результат $\frac{30}{15}$) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.

Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу .

Если числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ умножить на 2, мы получим $\frac{2}{6}$, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$ идентичны. Сформулируем общее правило.

Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется.

Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.

Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{126}{189}$ на 63 и получить дробь $\frac{2}{3}$ с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример. Числитель и знаменатель дроби $\frac{155}{31}$ можем разделить на 31 и получить дробь $\frac{5}{1}$ или 5, поскольку 5:1=5.

В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1 . Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть $\frac{273}{1}$ равно 273; $\frac{509993}{1}$ равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на , поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: $\frac{15}{1}+\frac{15}{1}=\frac{30}{1}$, $\frac{4}{1} \times \frac{3}{1}=\frac{12}{1}$.

Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами. Например, чтобы научится складывать дроби с разными знаменателями . Предположим, нам надо сложить $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$.

Мы знаем, что складывать можно только те дроби, знаменатели которых равны. Значит, нам нужно научиться приводить дроби к такому виду, когда их знаменатели равны. В этом случае нам опять пригодится то, что можно умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же число без изменения ее величины.

Сначала умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ на 5. Получим $\frac{5}{15}$, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на 3. Получим $\frac{3}{15}$, опять величина дроби не изменилась. Следовательно, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить $3 + \frac{1}{3}+1\frac{1}{4}$. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: $\frac31 + \frac{1}{3}+\frac{5}{4}$. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй - на 4, а третьей - на 3. В результате получаем $\frac{36}{12} + \frac{4}{12}+\frac{15}{12}$, что равно $\frac{55}{12}$. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби , ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей: $\frac{55}{12} = \frac{48}{12}+\frac{7}{12}$ или $4\frac{7}{12}$.

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями , которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1: 3 можно записать как $\frac{-1}{3}$, а 1: (-3) как $\frac{1}{-3}$.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при деле­нии положительного числа на отрицатель­ное в результате мы получаем отрицатель­ные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть

$(-1) : 3 = \frac{1}{3}$ или $1: (-3) = \frac{1}{-3}$. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.

С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как $\frac{-1}{-3}$, а поскольку при деле­нии отрицательного числа на отрицатель­ное число мы получаем положительное число, то $\frac{-1}{-3}$ можно записать как $+\frac{1}{3}$.

Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дро­бей. Например, что такое $1- 1\frac13$? Пред­ставим оба числа в виде дробей и получим $\frac{1}{1}-\frac{4}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю и получим $\frac{1 \times 3}{1 \times 3}-\frac{4}{3}$, то есть $\frac{3}{3}-\frac{4}{3}$, или $-\frac{1}{3}$.