С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком.
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены , то для этого у нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) - алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).

Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов \(f(x) \) и \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), существуют единственные полиномы \(q(x) \) и \(r(x) \), такие что
\(\frac{f(x)}{g(x)} = q(x)+\frac{r(x)}{g(x)} \)
причем \(r(x) \) имеет более низкую степень, чем \(g(x) \).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного \(q(x) \) и остатка \(r(x) \) для заданных делимого \(f(x) \) и ненулевого делителя \(g(x) \)

Пример

Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
\(\large \frac{x^3-12x^2-42}{x-3} \)

Частное и остаток от деления данных многочленов могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой \((x^3/x = x^2) \)

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-42) \)

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

5. Повторяем шаг 4.

6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен \(q(x)=x^2-9x-27 \) - частное деления многочленов, а \(r(x)=-123 \) - остаток от деления многочленов.

Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
или
\(\large{\frac{x^3-12x^2-42}{x-3}} = x^2-9x-27 + \large{\frac{-123}{x-3}} \)

Инструкция

Деление на однозначное число без остатка - самый простой случай для деления уголком. Для примера разделите 536 на 4. Для этого запишите их рядом на одной строчке, а чтобы не перепутать, поставьте между них . Под горизонтальной чертой будете частное или результат деления.

Сначала разделите первую цифру , то есть 5 на 4. Запишите под чертой 1, под пятеркой - четверку и вычтите из первой вторую. Разницу запишите внизу. Рядом напишите следующую цифру делимого, то есть 3. Получается 13. Разделите на 4, результат - тройку - пишите справа, а остаток опять снесите вниз. Перенесите к нему последнюю цифру первоначального числа, получится 16. Разделите на 4 и запишите четверку - последнюю цифру ответа. Получилось, что одна четвертая от 536 это 134.

Чтобы проверить результат перемножьте 134 и 4. Получится 536. Если не сработала, ищите ошибку в переносе цифр при уголком.

Деление круглых принципиально ничем не отличается. Только перед началом деления избавьтесь от лишних нулей. Под такими понимаются разряды, которые есть в обоих числах. Например, если надо разделить 371000 на 700, то перед делением уголком зачеркните последние два нуля в каждом числе. То есть делите 3710 на 7. Обязательно надо зачеркивать именно одинаковое число нулей, иначе результат окажется неверным.

При делении проделайте обратную операцию: добавьте порядков в делимое, чтобы их число соответствовало делителю. Например, если вы делите 5 на 16, то припишите один ноль. Если 5 надо разделить на 160, то припишите два нуля. Но при этом не забудьте поставить точку и же число нулей в частном. В первом случае начнется с десятых долей, во втором - с сотых. Другими словами, деление уголком - это простейший способ перевести дробь в десятичную.

Дробь представляет собой нецелое либо дополненное число , например 1/2 (=0,5) или 7,5/5 (=1,5). Иногда дробь может быть целым число м, например, 20/5 (=4), но тогда её запись не имеет того математического смысла, который вносится в дробь.

Инструкция

Для начала вспомните, что простая или может быть записана формате X / Y, где X – это числитель, а Y – знаменатель. Например, 1/4, или 0,25 в цифровой записи. Для удобства дальнейших вычислений рекомендуется записывать дробь вертикально: числитель, горизонтальная деления под ним, и знаменатель под полосой.Для деления числа на целую дробь, нужно представить число в виде . Так как число – это количество целых частей, то оно отправляется в знаменатель, а в числитель прописывается то, на что это количество частей делится для получения самого же себя – то есть, единица. 8 нужно записать как 8/1, а 263 – как 263/1, и так далее.

После этого вам нужно поделить число . Предположим, что вы имеете число 127 и дробь 4/15. Тогда операцию 127: 4/15 необходимо записать следующим образом:127/1: 4/15;

Получается трёхэтажная дробь, при которой среднее деление (деление дробей) необходимо умножением, а числитель и знаменатель перевернуть:127/1 * 15/4;

Пересчитав каждую дробь, вы получите следующее:127: 1 = 127
4: 15 = 0,2666…
127: 0,2666… = 476, 2500001 или 476 1/4.Результаты полностью совпадают.

Иногда натуральное число a не делится нацело на натуральное число b, то есть нет такого числа k, чтобы было верным равенство a = bk. В таком случае применяется так называемое деление с остатком .

Инструкция

Представьте себе ситуацию: Дед Мороз подарил шести ребятам 27 мандаринов. Они хотели разделить мандарины поровну, но этого им сделать не удалось, так как 27 на шесть не делится. Зато 24 делится на шесть. Каждому , таким образом, достается по 4 мандарина, и еще три мандарина остается. Эти три мандарина и есть остаток. В числе 27 содержится 4 раза по 6 да еще 3.

Число 27 здесь делимое, 6 – делитель, 4 – неполное частное, а 3 – остаток. Остаток всегда меньше делителя: 3<6. Ведь если бы мандаринов осталось больше, чем ребят, они бы могли бы и дальше делить их между до тех пор, пока мандаринов не осталось бы слишком мало для того, чтобы разделить их поровну.

Таким образом, если вам нужно разделить с -либо однозначное или двузначное число a на однозначное или двузначное число b, найдите число c, ближайшее к числу a (но не превышающее его), которое делилось бы на число b без . Остаток будет разнице между числом a и c.

Обратите внимание

Деление с остатком часто используется в языках программирования для создания контрольных чисел или в генераторе случайных чисел. Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается. Интересно, что данная операция в языках программирования может давать отрицательный результат (если делимое или делитель - отрицательные числа).

Полезный совет

Чтобы найти делимое, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток. 4 мандарина умножить на 6 детей плюс оставшиеся 3 мандарина равняется 27.

Источники:

• Интересная математика в 2019

Тема деления чисел является одной из самых ответственных в математической программе 5 класса. Без овладения этими знаниями невозможно дальнейшее изучение математики. Делить числа приходиться в жизни каждый день. И всегда полагаться на калькулятор не стоит. Чтобы разделить два числа, нужно запомнить определенную последовательность действий.

Вам понадобится

• Лист бумаги в клетку,
• ручка или карандаш

Инструкция

Запишите делимое и на одной строке. Разделите их вертикальной чертой высотой в две строки. Проведите горизонтальную черту под делителем и делимым перпендикулярно предыдущей черте. Справа под этой чертой будет записываться частное. Ниже и левее делимого, под горизонтальной чертой, запишите ноль.

Перенесите одну самую левую, но еще не переносившуюся цифру делимого вниз под последнюю горизонтальную черту. Пометьте перенесенную цифру делимого точкой.

Сравните число под последней горизонтальной чертой с делителем. Если число меньше делителя, то продолжите с шага 4, иначе перейдите к шагу 5.

Посмотрите, есть ли в делимом еще не переносившиеся цифры. Не переносившиеся цифры не помечены . Если такие цифры есть, то перейдите к шагу 2, иначе к шагу 7.

Вычислите следующий остаток. Помножьте делитель на последнюю цифру частного. Результат запишите со минус под числом, находящимся под последней горизонтальной чертой. Под записанным числом проведите следующую горизонтальную черту. Вычтите последнее записанное число из предпоследнего. Результат запишите под только что проведенной чертой. Перейдите к шагу 4.

Видео по теме

Обратите внимание

Иногда делитель представляет собой десятичную дробь. В этом случае, чтобы поделить числа нужно делитель предварительно привести к нормальному виду. Для этого в делимом и делителе переносится запятая вправо на тоже количество цифр, сколько есть в делителе после запятой. Затем числа можно делить, как обычно.

Несколько лет назад с удивлением узнала, что сегодня в школах (даже во многих физ-мат школах), на кружках, да и в случаях “репетирования’’ не учат делить полиномы, или многочлены, в столбик. Самое забавное при этом, что схему Горнера школьники знают и используют для деления полиномов. Похоже, считается, что деление в столбик слишком сложно для неокрепшего разума, а вот выучить наизусть табличку, которая позволяет делить на многочлен первой степени, ему вполне по силам. Естественно, никто при этом не заботится о том, чтобы школьники поняли, почему так можно делить. Чтобы восполнить вопиющий пробел в образовании таких ребят, привожу здесь метод деления полинома на полином столбиком, который на самом деле довольно прост и позволяет делить на полиномы произвольной степени.

Начнем с того, что для двух многочленов и ( не должен быть тождественно равным нулю) справедлива . Если же остаток нулевой, то говорят, что делится на без остатка.

А теперь давайте рассмотрим примеры: на них учиться делить полиномы проще.

Пример 1. Разделим на (обратите внимание, оба многочлена записаны по убыванию степеней ). Сначала запишу то, что должно получиться, а затем приведу объяснения, как это получить.

Сначала старший член делимого — это — поделим на старший член делителя, то есть на . Полученный результат, который равен , будет старшим членом частного. Теперь умножим делитель на этот многочлен (получим ) и вычтем полученный результат из делимого. Получим остаток . Старший член этого остатка, который равен снова поделим на старший член делителя, который равен , получим , что и будет вторым членом частного. Делитель, умноженный на этот член, вычитаем из первого остатка. Получаем второй остаток, который равен нулю. На этом процесс деления заканчивается.

Легко проверить, что

Вообще говоря, деление заканчивается, как только степень полученного остатка будет меньше (строго меньше!) степени делителя. Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2. Поделим на .

Деление закончено, поскольку степень последнего остатка меньше степени делителя (), иначе говоря, старший член остатка не делится нацело на старший член делителя.

Проверка. Действительно, нетрудно убедиться в том, что

Сегодня мы узнаем, как выполняется деление многочленов друг на друга, причем выполнять деление мы будем уголком по аналогии с обычными числами. Это очень полезный прием, который, к сожалению, не изучают в большинстве школ. Поэтому внимательно прослушайте данный видеоурок. Ничего сложного в таком делении нет.

Для начала давайте разделим друг на друга два числа:

Как можно это сделать? В первую очередь, мы отсекаем столько разрядов, чтобы полученное числовое значение было больше чем то, на которое мы делим. Если мы отсечем один разряд, то получим пять. Очевидно, семнадцать в пять не вмещается, поэтому этого недостаточно. Берем два разряда — у нас выйдет 59 — оно уже больше, чем семнадцать, поэтому мы можем выполнить операцию. Итак, сколько раз семнадцать помещается в 59? Давайте возьмем три. Перемножаем и записываем результат под 59. Итого у нас получилось 51. Вычитаем и у нас вышло «восемь». Теперь сносим следующий разряд — пять. Делим 85 на семнадцать. Берем пять. Перемножим семнадцать на пять и получаем 85. Вычитаем и у нас получается ноль.

Решаем реальные примеры

Задача № 1

Теперь выполним те же самые шаги, но не с числами, а с многочленами. Для примера возьмем такое:

\[\frac{{{x}^{2}}+8x+15}{x+5}=x+3\]

Обратите внимание, если при делении чисел друг на друга мы подразумевали, что делимое всегда больше делителя, то в случае деления полиномов уголком, необходимо, чтобы степень делимого была больше, чем делителя. В нашем случае все в порядке — мы работаем с конструкциями второй и первой степени.

Итак, первый шаг: сравниваем первые элементы. Вопрос: на что нужно домножить $x$, чтобы получилось ${{x}^{2}}$? Очевидно, что на еще один $x$. Умножаем $x+5$ на только что найденное число $x$. У нас есть ${{x}^{2}}+5$, которое вычитаем из делимого. Остается $3x$. Теперь сносим следующее слагаемое — пятнадцать. Снова посмотрим на первые элементы: $3x$ и $x$. На что следует домножить $x$, чтобы вышло$3x$? Очевидно, что на три. Домножаем почленно $x+5$ на три. Когда мы вычтем, то получим ноль.

Как видите, вся операция деления уголком свелась к сравнению старших коэффициентов при делимом и делителе. Это даже проще, чем когда вы делите числа. Тут не требуется выделять какое-то количество разрядов — мы просто на каждом шаге сравниваем старшие элементы. Вот и весь алгоритм.

Задача № 2

Давайте попробуем еще:

\[\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x-1}=x+2\]

Первый шаг: посмотрим на старшие коэффициенты. На сколько нужно домножить $x$, чтобы записать${{x}^{2}}$? Домножаем почленно. Обратите внимание, при вычитании у нас получится именно $2x$, потому что

Сносим -2 и снова сравним первый полученный коэффициент со старшим элементом делителя. Итого у нас вышел «красивый» ответ.

Переходим ко второму примеру:

\[\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-9x-18}{x+3}={{x}^{2}}-x-6\]

В этот раз в качестве делимого выступает полином третьей степени. Сравним между собой первые элементы. Для того чтобы получилось ${{x}^{3}}$, необходимо $x$ домножить на ${{x}^{2}}$. После вычитания сносим $9x$. Домножаем делитель на $-x$ и вычитаем. В итоге наше выражение полностью разделилось. Записываем ответ.

Задача № 3

Переходим к последней задаче:

\[\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+50}{x+5}={{x}^{2}}-2x+10\]

Сравниваем ${{x}^{3}}$ и $x$. Очевидно, нужно домножить на ${{x}^{2}}$. В итоге мы видим, что мы получили очень «красивый» ответ. Записываем его.

Вот и весь алгоритм. Ключевых моментов здесь два:

1. Всегда сравнивайте первую степень делимого и делителя — повторяем это на каждом шаге;
2. Если в исходном выражении пропущены какие-либо степени, при делении уголком их обязательно следует добавить, но с нулевыми коэффициентами, иначе ответ будет неправильным.

Больше никаких премудростей и хитростей в таком делении нет.

Материал сегодняшнего урока нигде и никогда не встречается в «чистом» виде. Его редко изучают в школах. Однако умение делить многочлены друг на друга очень поможет вам при решении уравнений высших степеней, а также всевозможных задач «повышенной трудности». Без данного приема вам придется раскладывать многочлены на множители, подбирать коэффициенты — и результат при этом отнюдь не гарантирован. Однако многочлены можно делить и уголком — так же, как и обычные числа! К сожалению, данный прием не изучают в школах. Многие учителя считают, что деление многочленов уголком — это что-то безумно сложное, из области высшей математики. Спешу вас заверить: это не так. Более того, делить многочлены даже проще, чем обычные числа! Посмотрите урок — и убедитесь в этом сами.:) В общем, обязательно возьмите этот прием на вооружение. Умение делить многочлены друг на друга очень пригодится вам при решении уравнений высших степеней и в других нестандартных задачах.

Я надеюсь, этот ролик поможет тем, кто работает с полиномами, особенно высших степеней. Это относится и к старшеклассникам, и к студентам университетов. А у меня на этом все. До встречи!

При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим, каким образом это сделать проще всего.

Как обычно, обратимся за помощью к теории.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:

Если число является корнем многочлена , то многочлен делится без остатка на двучлен .

Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где - корень многочлена. В результате мы получаем многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.

Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена, и как разделить многочлен на двучлен .

Остановимся подробнее на этих моментах.

1. Как найти корень многочлена.

Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.

Здесь нам помогут такие факты:

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число является корнем многочлена.

Например, в многочлене сумма коэффициентов равна нулю: . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку , а - четное число.

Например, в многочлене сумма коэффициентов при четных степенях : , и сумма коэффициентов при нечетных степенях : . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.

Для приведенного многочлена степени (то есть многочлена, в котором старший коэффициент - коэффициент при - равен единице) справедлива формула Виета:

Где - корни многочлена .

Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.

Из этой формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.

Рассмотрим, например, многочлен

Делители свободного члена: ; ; ;

Сумма всех коэффициентов многочлена равна , следовательно, число 1 не является корнем многочлена.

Сумма коэффициентов при четных степенях :

Сумма коэффициентов при нечетных степенях :

Следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.

Проверим, является ли число 2 корнем многочлена: , следовательно, число 2 является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен .

2. Как разделить многочлен на двучлен.

Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.

Разделим многочлен на двучлен столбиком:

Есть и другой способ деления многочлена на двучлен - схема Горнера.

Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера.

Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 - так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.

Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен , то коэффициенты многочлена мы можем найти по схеме Горнера:

Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.

Используя схему Горнера, мы "убиваем двух зайцев": одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .

Пример. Решить уравнение:

1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.

Делители числа 24:

2. Проверим, является ли число 1 корнем многочлена.

Сумма коэффициентов многочлена , следовательно, число 1 является корнем многочлена.

3. Разделим исходный многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.

А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена.

Так как член, содержащий отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.

Б) Заполняем первую строку таблицы.

В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы:

Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена

В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена :

Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.

В последнем столбце мы получили -40 - число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.

В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке:

Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена на двучлен в таблице изображены зеленым цветом.

В результате деления мы получили квадратный трехчлен , корни которого легко находятся по теореме Виета:

Итак, корни исходного уравнения :

{}

Ответ: {}