Для квадратичной функции y. Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения? Нужна помощь в учебе

XIII областном научном форуме молодых исследователей

«Шаг в будущее - 2010»

Исследовательская работа

Квадратичная функция: её исследование и построение графика.

МОУ «Шипаковская основная

общеобразовательная школа »

Руководитель:

Учитель математики

МОУ «Шипаковская основная

общеобразовательная школа »

Российская Федерация

2010

Краткая аннотация

В данной исследовательской работе в доступной форме изложен материал о квадратичной функции, её свойствах.

Были построены графики 33 квадратичных функций отличных по структуре. На основании данных составлен алгоритм исследования.

Представлены два способа построения графиков. Определен свой алгоритм построения графиков.

При написании исследовательской работы использованы опубликованные материалы, программа ADVANCED GRAPHER, построены различные графики. Свои исследования я вела в течение прошлого учебного года.

Квадратичная функция: её исследование и построение графика

Россия, Тюменская область, Юргинский район, с. Шипаково,

МОУ « Шипаковская основная общеобразовательная школа », ученица 9 класса.

Аннотация

Цель работы: Исследование свойств квадратичной функции, особенностей расположения графиков на координатной плоскости, изучение алгоритмов построения графиков функций на координатной плоскости.

Задачи:

Исследовать свойства квадратичной функции. Выявить от чего зависит расположение графиков данных функций на координатной плоскости. Изучить алгоритмы построения квадратичной функции. Научиться быстро и правильно строить графики квадратичных функций на координатной плоскости.

Методы и приемы работы:

Исследование графиков квадратичных функций, изучение специальной литературы, поиск информации в Интернете, построение графиков квадратичных функций с помощью программы ADVANCED GRAPHER.

Полученные данные:

Расположение графиков квадратичных функций зависит от значения а, b, с, дискриминанта. Построить график данной функции можно двумя способами: по точкам, во вспомогательной системе координат через выделение полного квадрата.

Выводы:

1.Если а=1, то график квадратичной функции представляет собой график у = х2, перенесенный параллельно оси у с вершиной в точке (- ;-).

2.Если а>0, то ветви параболы направлены вверх. Если а<0, то ветви параболы направлены вниз.

3.Все графики квадратичных функций имеют ось симметрии, проходящей через вершину параболы, параллельно оси у, или являющуюся.

4. Для исследования графиков достаточно знать значение а, координаты вершины и точки пересечения с осью х.

5.Если а=1, координаты вершины целые числа, то удобней строить график с помощью вспомогательной системы координат. Если нет, то строить график по точкам.

Квадратичная функция: её исследование и построение графика

Россия, Тюменская область, Юргинский район, с. Шипаково,

МОУ « Шипаковская основная общеобразовательная школа », ученица 9 класса.

Научная статья

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

y = ax² + bx + c , где a ≠0.

Я решила построить различные графики квадратичных функций с помощью программы ADVANCED GRAPHER и исследовать их. Взяла произвольные формулы квадратичных функций, различные по структуре (формулы данных квадратичных функций отличаются друг от друга значениями а, b,с). Сравнила координаты вершин параболы построенных графиков и высчитанные по формуле (- ; -). А также нашла значения дискриминанта.

1. Квадратичная функция: у = х2 (элементарная квадратичная функция: а=1, b=0, с=0). (Приложение 1)

b=0, с=0

2. Квадратичная функция: у = 3х2 (а>0, b=0, с=0) (Приложение 2)

3. Квадратичная функция: у = -3х2 (а<0, b=0, с=0) (Приложение 3)

4. Квадратичная функция: у = х2 (0 <а <1, b=0, с=0) (Приложение 4)

5. Квадратичная функция: у = -х2 (0 >а >1, b=0, с=0) (Приложение 5)

Графики квадратичных функций, у которых а >0, b=0

6. Квадратичная функция: у = х2+4 (а=1, b=0, с>0) (Приложение 6)

7. Квадратичная функция: у = х2-4 (а=1, b=0, с<0) (Приложение 7)

8. Квадратичная функция: у = 2х2+4 (а>1, b=0, с>0) (Приложение 8)

9. Квадратичная функция: у = 2х2-4 (а>1, b=0, с<0) (Приложение 9)

10. Квадратичная функция: у = х2+4 (0<а<1, b=0, с>0) (Приложение 10)

11. Квадратичная функция: у = х2-4 (0<а<1, b=0, с<0) (Приложение 11)

Графики квадратичных функций, у которых а <0, b=0

12. Квадратичная функция: у = - х2+5 (а=-1, b=0, с>0) (Приложение 12)

13. Квадратичная функция: у = - х2-5 (а=-1, b=0, с<0) (Приложение 13)

14. Квадратичная функция: у = -2х2+5 (а<-1, b=0, с>0) (Приложение 14)

15. Квадратичная функция: у = -2х2-5 (а<-1, b=0, с<0) (Приложение 15)

16. Квадратичная функция: у = -х2+5 (0>а>-1, b=0, с>0) (Приложение 16)

17. Квадратичная функция: у = -х2-5 (0>а>-1, b=0, с<0) (Приложение 17)

Графики квадратичных функций, у которых b ≠0, с=0

18. Квадратичная функция: у = х2+3х (а=1, b≠0, с=0) (Приложение 18)

19. Квадратичная функция: у = - х2+3х (а=1, b≠0, с=0) (Приложение 19)

20. Квадратичная функция: у = 2х2+3х (а>1, b≠0, с=0) (Приложение 20)

21. Квадратичная функция: у = -2х2+3х (а<-1, b≠0, с=0) (Приложение 21)

22. Квадратичная функция: у = х2+3х (0<а<1, b≠0, с=0) (Приложение 22)

23. Квадратичная функция: у = -х2+3х (0>а>1, b≠0, с=0) (Приложение 23)

Графики квадратичных функций, у которых а=1, b≠0, с≠0

24. Квадратичная функция: у = х2+4х-5 (а>0, b≠0, с≠0) (Приложение 24)

25. Квадратичная функция: у = х2+4х+5 (а>0, b≠0, с≠0) (Приложение 25)

26. Квадратичная функция: у = х2+4х+4 (а>0, b≠0, с≠0) (Приложение 26)

Графики квадратичных функций, у которых а= -1, b≠0, с≠0

27. Квадратичная функция: у = - х2+4х+5 (а<0, b≠0, с≠0) (Приложение 27)

28. Квадратичная функция: у = - х2-4х-5 (а<0, b≠0, с≠0) (Приложение 28)

29. Квадратичная функция: у = - х2-4х-4 (а<0, b≠0, с≠0) (Приложение 29)

Графики квадратичных функций, у которых а≠1, b≠0, с≠0

30. Квадратичная функция: у = 2х2+6х+5 (а >1, b≠0, с≠0) (Приложение 30)

31. Квадратичная функция: у = -2х2+6х+5 (а < -1, b≠0, с≠0) (Приложение 31)

Графики квадратичных функций, у которых -1<а<1, b≠0, с≠0

32. Квадратичная функция: у = х2+6х+15 (0 <а <1, b≠0, с≠0) (Приложение 32)

33. Квадратичная функция: у = -х2+6х>а > -1, b≠0, с≠0) (Приложение 33)

Графиками всех квадратичных функций является парабола. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх. Если a < 0, то ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы

у = ах² в точке (0;0); у = ах²+с в точке (0;с); у = ах²+вх и у = ах²+вх+с в точке (- ; -).

Ось симметрии – это прямая линия, относительно которой все точки графика функции расположены симметрично. Все графики квадратичных функций имеют ось симметрии, проходящей через вершину. Если функция задана формулой у = ах² или у = ах²+с, то осью симметрии является ось у. Если функция задана формулой у = ах²+ bх или у = ах²+ bх+с, то осью симметрии является прямая х = - .

Сжатие растяжение графиков.

Сжатие: График функции y = аf (x ) (а > 1) получается с помощью растяжения графика функции y = f (x ) вдоль оси y в а раз.

Растяжение: График функции y = аf (x ) (0 < а < 1) получается с помощью сжатия графика функции y = f (x ) вдоль оси y в раз.

График квадратичных функций, при а = 1, представляет собой график у = х2, перенесенный параллельно оси у в вершину (- ;-). если а = -1, то еще и симметрично перенесен относительно прямой у = - (прямой, проходящей через вершину, параллельно оси х).

График квадратичных функций при a > 1, не зависимо от значения b и с, представляет собой график у = х2, который растянут вдоль оси симметрии в а раз от вершины, при 0а раз. Если а<0, а ≠-1, то графики помимо сжатия или растяжения еще и симметрично переносятся относительно прямой у = - .

Зависимость расположение графика квадратичной функции от дискриминанта.

Свойства функции и вид её графика определяются, значением а и дискриминанта

D = b ² - 4ac .

https://pandia.ru/text/78/547/images/image007_45.gif" alt="parabola1" align="left" width="192 height=187" height="187">

https://pandia.ru/text/78/547/images/image010_29.jpg" alt="parabola5" width="196" height="177">
Свойства квадратичных функций

1. Все квадратичные функции имеют область определения: R, все действительные числа.

2. Область значений зависит от значения а: при a > 0 [- ;+∞), при a < 0 (-∞;- ] .

3. Четность, нечетность квадратичных функций: при b = 0 функция четная (то есть у = ах2+с= а(-х)2+с; при b ≠0, то функция ни четная, ни нечетная.

4. Нули функции (то есть при каких значениях аргумента, значения функции равно 0).

Если D > 0, то график квадратичной функции имеет два нуля: х1=; х2=

и график функции пересекают ось х в 2 точках.

Если D = 0, то график квадратичной функции имеет один нуль: x = -;

и график функции касается оси х в точке (- ; 0)

Если D < 0, то график квадратичной функции не имеет нулей, график не пересекает ось х.

5. Промежутки знакопостоянства (промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т. е. у>0 или у<0).

Если а>0, D>0, то у>0 при х(-∞;x1 )U(x2 ; + ∞); у<0 при хhttps://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13">(-∞;x )U(x ; +∞).

Если а>0, D <0, то у>0 при х https://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13 src="> (х1;х2); у<0 при х(-∞;x1 )U(x2 ; ∞).

Если а<0, D =0, то у<0 при х (-∞;x )U(x ; ∞).

Если а<0, D <0, то у<0 при х https://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13"> [- ;+∞); убывает при х (-∞;- ].

Если а<0, функция возрастает при х(-∞;- ], убывает при х [- ;+∞).

7. Экстремумы функции (точки максимума, минимума) В точках максимума (минимума) значение функции больше (соответственно меньше) всех соседних ее значений.

Если а >0, то у графиков есть только минимум функций, если а <0 – только максимум функций. Это точки вершины параболы.

Если a > 0, то x min = - ; y min = - ; если a < 0 x max = - ; y max = - .

Алгоритм исследования свойств квадратичной функции

Область определения. Область значений. Четность нечетность функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности. Экстремумы функции.

Проведя анализ построения графиков моих квадратичных функций, я составила алгоритм построения графиков квадратичных функций по точкам (1 способ).

Находим абсциссу вершины параболы по формуле х0 = - . Находим значение у0 по формуле у0 = - . На координатной плоскости строим вершину параболы с координатами (х0 ; у0). Определим направление ветвей параболы (по коэффициенту а). Проведем ось симметрии параболы через ее вершину, параллельно оси у. Выбираем значения х слева или справа от оси симметрии параболы и заполняет таблицу значений. Строим точки по полученным координатам на координатной плоскости. Строим график квадратичной функции без ограничений на крайних точках и подписываем график.

Я по данному алгоритму построю график у = х2 - 4х + 3

2. D = b2-4ас = (-= 4 у = - = .

4. а>0, ветви параболы направлены вверх.

5. Ось симметрии прямая х = 2.

6. Таблица значений

7.Строим точки с полученными координатами на координатной плоскости.

8 класс" href="/text/category/8_klass/" rel="bookmark">8 классе мы учились выделять в квадратных уравнениях полный квадрат. Елена Николаевна еще тогда говорила, что от этого зависит расположение графика на координатной плоскости. Я решила проверить: можно ли через выделение полного квадрата составить алгоритм построения графиков квадратичных функций на координатной плоскости.

Исследовала уравнения моих квадратичных функций с 18-33 и сравнила полученные формулы с вершинами построенных графиков:

18. у = х2+3х = (х2+2· 1,5·х +2,25) – 2,25 = (х+1,5) 2-2,25 а = 1 вершина (-1,5;-2,25)

19. у = - х2+3х = -1(х2-2 ·1,5 ·х +2,25) + 2,25 = -1(х – 1,5)2 +2,25 а = -1 вершина (1,5; 2,25)

20. у = 2х2+3х = 2(х2+2·0,75·х + 0,5625) -1,125 = 2(х+0,75)2 -1,125 а = 2

вершина (-0,75;-1,125)

21. у = -2х2+3х = -2(х2-2·0,75·х +0,5625)+1,125 =-2(х-0,75)2 +1,125 а = 2

вершина (0,75;1,125)

22. у = х2+3х = (х2 +2·3·х + 9) – 4,5= (х +3)2 -4,5 а =https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">х2+3х = -(х2 -2·3·х + 9) + 4,5= -(х -3)2 +4,5 а = -https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">х2+4х+15 =(х2 +2·6·х + 36) –18+15= (х +6)2 -3 а =https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">х2+6х-14 = -(х2 -2·6·х + 36) +18 -14= -(х -6)2 +4 а =https://pandia.ru/text/78/547/images/image001_112.gif" width="24" height="41">; n = -. То есть координаты вершины параболы (m ; n)

Алгоритм построения графика квадратичной функции с помощью вспомогательной системы координат через выделение полного квадрата (2 способ).

1.Преобразование формулы у=ах²+вх+с = у =а(х – m)2 + n , где m= -; n = -

или у = а (х + )2 -

2. Растяжение графика y = x 2 вдоль оси у в а раз при а>1, при 0 < a < 1 - это сжатие в a раз.
Если a < 0, произвести ещё и зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).
Результат преобразования: график функции у= ax 2.

https://pandia.ru/text/78/547/images/image020_21.jpg" width="147" height="193 src=">

y = a (x - m )2 вдоль оси y на n (вверх при n > 0 и вниз при n < 0). Результат преобразования: график функции y = a(x-m) 2+n

https://pandia.ru/text/78/547/images/image026_15.jpg" width="336" height="161 src=">

4. Параллельный перенос графика функции
y = - (x + 2)2 вдоль оси y на -1.

6 класс" href="/text/category/6_klass/" rel="bookmark">6 класс , . – Изд.4 –е.- М. Издательство “Русское слово”, 1997г. “Алгебра”. Учебник 9 класс. , . М. Просвещение, 2004г. “Математика” Еженедельная учебно-методическая газета. Издательский дом “Первое сентября”. № 48, 2003г. “Математика” Еженедельная учебно-методическая газета. Издательский дом “Первое сентября”. №7, 1998г. Тесты и экзаменационные задания по математике. Учебное пособие. , . – Издательский дом “Питер”, 2005 г. “Абсолютная величина”. . – М.: Просвещение, 1968. “Функции и построение графиков”. .- М.: Просвещение, 1968. “Задачи повышенной трудности в курсе алгебры для 7-9 классов”. . М.: Просвещение, 1991.

Квадратичная функция: её исследование и построение графика

Россия, Тюменская область, Юргинский район, с. Шипаково,

МОУ « Шипаковская основная общеобразовательная школа », ученица 9 класса.

План исследования

Обоснование проблемы. В контрольно - измерительных материалах по алгебре в 9 классе для прохождения государственной итоговой аттестации в новой форме выяснилось, что много заданий встречаются по построению графиков квадратичных функций, их исследованию. При построении графиков квадратичной функции возникает трудности из-за того, что при составлении таблицы значений при небольших, по модулю, значениях аргумента, значения функции иногда бывают очень большие, по модулю, и не входят на страницу тетради. Поэтому я решила исследовать: свойства квадратичной функции и от чего зависит расположение графиков квадратичных функций на координатной плоскости; изучить алгоритмы построения графиков данных функций и выбрать наиболее легкий алгоритм построения графика квадратичной функции.

Гипотеза:

Если я изучу свойства квадратичной функции, алгоритмы построения графиков, выявлю, от чего зависит расположение графиков на координатной плоскости, то я смогу быстро и правильно строить графики данной функции, выбрав наиболее легкий способ построения; исследовать данную функцию.

Описание метода:

1. Анализируя свои квадратичные функции я сделала вывод, что для проведения исследования свойств функций достаточно знать:

Значение а: для определения направлений ветвей параболы, сжатие и растяжение графиков, промежутков знакопостоянства;

Координаты вершин параболы: для определения области значений, промежутков монотонности, экстремумы функции;

Значение b: для определения четности, или ни четности, ни нечетности;

Значение дискриминанта: для определения количества нулей функций;

Если D < 0, то нулей функции нет;

Если D = 0, то нуль функции один – это вершина параболы;

Если D > 0, то нулей функции 2.

Нули функции: для определения промежутков знакопостоянства.

2. Работая над своей темой, я вывела свой способ построения графиков квадратичной функции (с помощью вспомогательной системы координат) по следующему алгоритму:

Определить вершину параболы. Построить вспомогательную систему координат с центром в точке вершины. Построить график у = х2 в точке вершины Если а › 0, то ветви направить вверх.

Если а ‹ 0, то ветви направить вниз.

Если IaI ›1, то растянуть график относительно оси симметрии в а раз

Если 0 ‹ IaI ‹1, то сжать график относительно оси симметрии в а раз

3. Построение графиков квадратичных функций удобно проводить различными способами. Если а = 1, координаты вершины целые числа, то с помощью вспомогательной системы координат. Если а ≠ 1, координаты вершины параболы не являются целыми числами, то способом: по точкам.

4. На уроках алгебры в 9 классе после выполнения данной исследовательской работы, я помогаю одноклассникам усвоить данные методы построения графиков квадратичных функций моими способами, проводить их исследование.

Результат:

В ходе исследовательской работы я составила алгоритм исследования свойств квадратичной функции и апробировала его на практике. Узнала, что квадратичные функции можно задать двумя способами: ах2+bх+с и а(х-m)+n. Научилась по 2 алгоритмам строить графики данных функций. Выявила, от чего зависит расположения графиков на координатной плоскости. Создала методическое пособие «Подводные камни квадратичной функции», которые раздала ученикам своей школы, презентовали другим школам. В дальнейшем планирую исследовать квадратичные функции, имеющие в формуле модуль.

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В данном случае а = - 0,5

Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x 2 + 4x

Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.

Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.

- — [] квадратичная функция Функция вида y= ax2 + bx + c (a ? 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а>0 ветви параболы… …

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, математическая ФУНКЦИЯ, значение которой зависит от квадрата независимой переменной, х, и задается, соответственно, квадратичным МНОГОЧЛЕНОМ, например: f(x) = 4х2 + 17 или f(x) = х2 + 3х + 2. см. также КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ … Научно-технический энциклопедический словарь

Квадратичная функция - Квадратичная функция — функция вида y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а> 0 ветви параболы направлены вверх, при a< 0 –вниз… …

- (quadratic) Функция, имеющая следующий вид: у=ах2+bх+с, где a≠0 и высшая степень х – квадрат. Квадратное уравнение у=ах2 +bх+с=0 может быть также решено с использованием следующей формулы: х= –b+ √ (b2–4ac) /2а. Эти корни являются действительными … Экономический словарь

Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве S называется всякая функция Q: S→K, имеющая в векторизованной форме вид Q(x)=q(x)+l(x)+c, где q квадратичная функция, l линейная функция, с константа. Содержание 1 Перенос начала отсчета 2… … Википедия

Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве называется всякая функция, имеющая в векторизованной форме вид, где симметричная матрица, линейная функция, константа. Содержание … Википедия

Функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения … Википедия

- – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения… … Википедия

целевая функция - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… … Справочник технического переводчика

Целевая функция - в экстремальных задачах функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему… … Экономико-математический словарь

Книги

• Комплект таблиц. Математика. Графики функций (10 таблиц) , . Учебный альбом из 10 листов. Линейная функция. Графическое и аналитическое задание функций. Квадратичная функция. Преобразование графика квадратичной функции. Функция y=sinx. Функция y=cosx.…
• Важнейшая функция школьной математики - Квадратичная в задачах и решениях , Петров Н.. Квадратичная функция является основной функцией школьного курса математики. Это неудивительно. С одной стороны - простота данной функции, а с другой - глубокий смысл. Многие задачи школьного…

Функция вида , где называется квадратичной функцией .

График квадратичной функции – парабола .

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

То есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола «станет шире» параболы :

Давайте подитожим:

1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.

2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример 2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: или через координаты вершины параболы: f (x) = a (x − h) 2 + k {\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.

Шаги

Квадратичная функция записана в стандартном виде

Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция - это функция, уравнение которой включает переменную x 2 {\displaystyle x^{2}} . Уравнение может включать или не включать переменную x {\displaystyle x} . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.

График квадратичной функции представляет собой параболу. Ветви параболы направлены вверх или вниз. Если коэффициент a {\displaystyle a} при переменной x 2 {\displaystyle x^{2}} a {\displaystyle a}

Вычислите -b/2a. Значение − b 2 a {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} – это координата x {\displaystyle x} вершины параболы. Если квадратичная функция записывается в стандартном виде a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} , воспользуйтесь коэффициентами при x {\displaystyle x} и x 2 {\displaystyle x^{2}} следующим образом:

• В функции коэффициенты a = 1 {\displaystyle a=1} и b = 10 {\displaystyle b=10}
• В качестве второго примера рассмотрим функцию . Здесь a = − 3 {\displaystyle a=-3} и b = 6 {\displaystyle b=6} . Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:

1. Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.

   • В первом примере f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна x = − 5 {\displaystyle x=-5} . В исходной функции вместо x {\displaystyle x} подставьте − 5 {\displaystyle -5}
   • Во втором примере f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} вы нашли, что координата «х» вершины параболы равна x = 1 {\displaystyle x=1} . В исходной функции вместо x {\displaystyle x} подставьте 1 {\displaystyle 1} , чтобы найти ее максимальное значение:

2. Запишите ответ. Перечитайте условие задачи. Если нужно найти координаты вершины параболы, в ответе запишите оба значения x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Если необходимо вычислить максимум или минимум функции, в ответе запишите только значение y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Еще раз посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} , чтобы проверить, что вы вычислили: максимум или минимум.

   Квадратичная функция записана через координаты вершины параболы

   1. Запишите квадратичную функцию через координаты вершины параболы. Такое уравнение имеет следующий вид:

      Определите направление параболы. Для этого посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} . Если коэффициент a {\displaystyle a} положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент a {\displaystyle a} отрицательный, парабола направлена вниз. Например:

      Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента k {\displaystyle k} . В приведенных выше примерах:

      Найдите координаты вершины параболы. Если в задаче требуется найти вершину параболы, ее координаты равны (h , k) {\displaystyle (h,k)} . Обратите внимание, когда квадратичная функция записана через координаты вершины параболы, в скобки должна быть заключена операция вычитания (x − h) {\displaystyle (x-h)} , поэтому значение h {\displaystyle h} берется с противоположным знаком.

   Как вычислить минимум или максимум с помощью математических операций

   Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: f (x) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} . Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.

   Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна f ′ (x) = 2 a x + b {\displaystyle f^{\prime }(x)=2ax+b} .

   Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере: