Примененного к случаю падения луча из среды, в которой свет распространяется со скоростью ν 1 в среду, где свет распространяется со скоростью ν 2 >ν 1 следует, что угол преломления больше угла падения:

Но если угол падения удовлетворяет условию:

(5.5)

то угол преломления обращается в 90°, т. е. преломленный луч скользит по границе раздела. Такой угол падения называют предельным (α пр.). При дальнейшем увеличении угла падения проникновение луча в глубь второй среды прекращается и наступает полное отражение (рис. 5.6). Строгое рассмотрение вопроса с волновой точки зрения показывает, что в действительности волна проникает во вторую среду на глубину порядка длины волны.

Полное отражение находит различные практические применения. Так как для системы стекло- воздух предельный угол α пр составляет менее 45°, то призмы, показанные на рисунке 5.7, позволяют изменять ход луча, причем на рабочей границе отражение происходит практически без потерь.

Если ввести свет в тонкую стеклянную трубку с ее торца, то, испытывая на стенках полное отражение, луч будет следовать вдоль трубки даже при сложных изгибах последней. На этом принципе работают световоды - тонкие прозрачные волокна, позволяющие проводить световой пучок по искривленному пути.

На рисунке 5.8 показан отрезок световода. Луч, входящий в световод с торца под углом падения а, встречает поверхность световода под углом γ=90°-β, где β - угол преломления. Чтобы при этом возникло полное отражение, необходимо выполнение условия:

где n - показатель преломления вещества световода. Так как треугольник ABC прямоугольный, то получается:

Следовательно,

Полагая а→90°, находим:

Таким образом, даже при почти скользящем падении луч испытывает в световоде полное отражение, если выполнено условие:

В действительности световод набирается из тонких гибких волокон с показателем преломления n 1 окруженных оболочкой с показателем преломления n 2

Изучая явление преломления, Ньютон выполнил опыт, ставший классическим: узкий пучок белого света, направленный на стеклянную призму, дал ряд цветных изображений сечения пучка - спектр. Затем спектр попадал на вторую такую же призму, повернутую на 180° вокруг горизонтальной оси. Пройдя эту призму, спектр снова собрался в единственное белое изображение сечения светового пучка. Тем самым был доказан сложный состав белого света. Из этого опыта следует, что показатель преломления зависит от длины волны (дисперсия). Рассмотрим работу призмы для монохроматического света, падающего под углом α 1 на одну из преломляющих граней прозрачной призмы (рис. 5.9) с преломляющим углом А.

Из построения видно, что угол отклонения луча δ связан с преломляющим углом призмы сложным соотношением:

Перепишем его в виде

и исследуем на экстремум отклонение луча. Беря производную и приравнивая ее нулю, находим:

Отсюда следует, что экстремальное значение угла отклонения получается прй симметричном ходе луча внутри призмы:

Легко видеть, что при этом получается минимальный угол отклонения, равный:

(5.7)

Уравнение (5.7) применяется для определения показателя преломления по углу минимального отклонения.

Если призма имеет малый преломляющий угол, такой, что можно синусы заменить углами, получается наглядное соотношение:

(5.8)

Опыт показывает, что стеклянные, призмы сильнее преломляют коротковолновую часть спектра (синие лучи), но что нет прямой простой связи между λ, и δ min . Теорию дисперсии мы рассмотрим в главе 8. Пока для нас важно ввести меру дисперсии - разность показателей преломления двух определенных длин волн (одна из них берется в красной, другая - в синей части спектра):

Мера дисперсии для разных сортов стекла различна. На рисунке 5.10 изображен ход показателя преломления для двух распространенных сортов стекла: легкого - крона и тяжелого - флинта. Из чертежа видно, что меры дисперсии отличаются значительно.

Это дает возможность создать весьма удобную призму прямого зрения, где свет разлагается в спектр, почти не меняя направления распространения. Эта призма делается из нескольких (до семи) призм разного стекла с несколько различными преломляющими углами (рис. 5.10, внизу). За счет различной меры дисперсии добиваются хода луча, приблизительно показанного на рисунке.

В заключение отметим, что пропускание света через плоскопараллельную пластину (рис. 5.11) позволяет получить смещение луча параллельно самому себе. Значение смещения

зависит от свойств пластины и от угла, падения на нее первичного луча.

Разумеется, во всех рассмотренных случаях наряду с преломлением существует и отражение света. Но мы его не учитываем, так как преломление в этих вопросах считается основным явлением. Это замечание относится и к преломлению света на искривленных поверхностях различных линз.

Видеоурок 2: Геометрическая оптика: Законы преломления

Лекция: Законы преломления света. Ход лучей в призме

В тот момент, когда луч падает на некоторую другую среду, он не только отражается, но и проходит сквозь нее. Однако, из-за разности плотностей, он меняет свой путь. То есть луч, попадая на границу, изменяет свою траекторию распространения и двигается со смещением на некоторый угол. Преломление будет происходить в том случае, когда луч падает под некоторым углом к перпендикуляру. Если же он совпадает с перпендикуляром, то преломления не происходит и луч проникает в среду под таким же углом.

Воздух-Среда

Самой распространенной ситуацией при переходе света из одной среды в другую является переход из воздуха.

Итак, на рисунке АО - луч, падающий на границу раздела, СО и ОD - перпендикуляры (нормали) к разделам сред, опущенные из точки падения луча. ОВ - луч, который преломился и перешел в другую среду. Угол, находящийся между нормалью и падающим лучом, называется углом падения (АОС) . Угол, что находится между преломленным лучом и нормалью, называется углом преломления (ВОD) .

Чтобы выяснить интенсивность преломления той или иной среды, вводят ФВ, которая носит название показатель преломления. Данная величина является табличной и для основных веществ значение является постоянной величиной, которую можно найти в таблице. Чаще всего в задачах используются показатели преломления воздуха, воды и стекла.

Законы преломления для воздух-среда

1. При рассмотрении падающего и преломленного луча, а также нормали к разделам сред, все перечисленные величины находятся в одной плоскости.

2. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления является постоянной величиной, равной показателю преломления среды.

Из данного соотношения понятно, что значение показателя преломления больше единицы, это значит, что синус угла падения всегда больше синуса угла преломления. То есть, если луч выходит из воздуха в более плотную среду, то угол уменьшается.

Показатель преломления так же показывает, как изменяется скорость распространения света в той или иной среде, относительно распространения в вакууме:

Отсюда можно получить следующее соотношение:

Когда мы рассматриваем воздух, то можем делать некоторые пренебрежения - будем считать, что показатель преломления данной среды равен единице, тогда и скорость распространения света в воздухе будет равен 3*10 8 м/с.

Обратимость лучей

Данные законы применимы и в тех случаях, когда направление лучей происходит в обратном направлении, то есть из среды в воздух. То есть на траекторию распространения света не влияет направление, в котором происходит перемещение лучей.

Закон преломления для произвольных сред

Геометрическая оптика

Геометрической оптикой называется раздел оптики, в котором изучаются законы распространения световой энергии в прозрачных средах на основе представления о световом луче.

Световой луч - это не пучок света,а линия указывающая направление распространения света.

Основные законы:

1. Закон о прямолинейном распространении света.

Свет в однородной среде распространяется прямолинейно. Прямолинейностью распространения света объясняется образование тени,то есть место, куда не проникает световая энергия. От источников малых размеров образуется резко очерченная тень,а больших размеров создают тени и полутени, в зависимости от величины источника и расстояния между телом и источником.

2. Закон отражения. Угол падения равен углу отражения.

Падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости

б-угол падения в-угол отражения г-перпендикуляр опущенный в точку падения

3. Закон преломления.

На границе раздела двух сред свет меняет направление своего распространения. Часть световой энергии возвращается в первую среду,то есть происходит отражение света. Если вторая среда прозрачна,то часть света при определенных условиях может пройти через границу сред также меняя при этом,как правило, направление распространения. Это явление называется преломлением света.

б-угол падения в- угол преломления.

Падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для двух данных сред.

Постоянная n называется относительным показателем преломления или показателем преломления второй среды относительно первой.

Ход лучей в треугольной призме

В оптических приборах часто применяется треугольная призма из стекла или других прозрачных материалов.

Ход лучей в сечении треугольной призмы

Луч, проходящий через треугольную стеклянную призму, всегда стремится к её основанию.

Угол цназывается преломляющим углом призмы.Угол отклонения луча и зависит от показания преломления n призмы и угла падения б.В оптических приборах часто применяют оптические призмы в виде равнобедренного прямоугольного треугольника. Их применение основано на том что предельный угол полного отражения для стекла равенб 0 =45 0

органов без хирургического вмешательства (эндоскопы), а также на производстве для освещения недоступных участков.

5. На законах преломления основан принцип действия разнообразных оптических устройств, служащих для задания световым лучам нужного направления. Для примера рассмотрим ход лучей в плоскопараллельной пластинке и в призме.

1). Плоскопараллельная пластинка – изготовленная из прозрачного вещества пластинка с двумя параллельными плоскими гранями.Пусть пластинка изготовлена из вещества, оптически более плотного, чем окружающая среда. Предположим, что в воздухе (n1 =1) находится стеклянная

пластинка (n 2 >1), толщина которойd (рис.6).

Пусть луч падает на верхнюю грань этой пластинки. В точке А он преломится и пойдет в стекле по направлениюАВ . В точкеВ луч снова преломится и выйдет из стекла в воздух. Докажем, что луч из пластинки выходит под тем же углом, под каким падает на нее. Для точкиА закон преломления имеет вид: sinα/sinγ=n 2 /n 1, и так какn 1 =1, тоn 2 = sinα/sinγ. Для

точки В закон преломления следующий: sinγ/sinα1 =n 1 /n 2 =1/n 2 . Сравнение

формул дает равенство sinα=sinα1 , а значит, и α=α1 .Следовательно, луч

выйдет из плоскопараллельной пластинки под таким же углом, под каким на неё упал. Однако луч, вышедший из пластинки, смещен относительно падающего луча на расстояние ℓ, которое зависит от толщины пластинки,

показателя преломления и угла падения луча на пластинку.

Вывод : плоскопараллельная пластинка не меняет направление падающих на нее лучей, а лишь смешает их, если рассматривать преломленные лучи.

2). Треугольная призма – это выполненная из прозрачного вещества призма, сечение которой представляет собой треугольник.Пусть призма изготовлена из материала оптически более плотного, чем окружающая среда

(например, она из стекла, а вокруг – воздух). Тогда луч, упавший на её грань,

преломившись, отклоняется к основанию призмы, поскольку он переходит в оптически более плотную среду и, значит, его угол падения φ1 больше угла

преломления φ2 . Ход лучей в призме показан на рис.7.

Угол ρ при вершине призмы, лежащий между гранями на которых преломляется луч, называется преломляющим углом призмы ; а сторона,

лежащая против этого угла, - основанием призмы. Угол δ между направлениями продолжения луча, падающего на призму (АВ ) и луча (CD )

вышедшего из нее, называется углом отклонения луча призмой – он показывает, как сильно призма изменяет направление падающих на нее лучей. Если известны угол р и показатель преломления призмыn , то по заданному углу падения φ1 можно найти угол преломления на второй грани

φ4 . В самом деле, угол φ2 определяется из закона преломления sinφ1 /sinφ2 =n

(призма из материала с показателем преломления n помещена в воздух). В

BCN стороныВN иCN образованы прямыми, перпендикулярными к граням призмы, так что уголCNE равен углу р. Поэтому φ2 +φ3 =р , откуда φ3 =р -φ2

становится известным. Угол φ4 определяется законом преломления:

sinφ3 /sinφ4 =1/n .

Практически часто бывает нужно решать такую задачу: зная геометрию призмы (угол р ) и определяя углы φ1 и φ4 , найти показатель

преломления призмы n . Применяя законы геометрии, получаем: угол МСВ=φ4 -φ3 , угол МВС=φ1 -φ2; угол δ - внешний к BМC и, следовательно,

равен сумме углов МВС и МСВ: δ=(φ1 -φ2 )+(φ4 -φ3 )=φ1 +φ4 -р , где учтено

равенство φ3 +φ2 =р . Поэтому,

Следовательно, угол отклонения луча призмой тем больше, чем больше угол падения луча и чем меньше преломляющий угол призмы.Сравнительно сложными рассуждениями можно показать, что при симметричном ходе луча

сквозь призму (луч света в призме параллелен ее основанию) δ принимает наименьшее значение.

Предположим, что преломляющий угол (тонкая призма) и угол падения луча на призму малы. Запишем законы преломления на гранях призмы:

sinφ1 /sinφ2 =n , sinφ3 /sinφ4 =1/n . Учитывая, что для малых углов sinφ≈ tgφ≈ φ,

получим: φ1 =n φ2 , φ4 =n φ3 . подставив φ1 и φ3 , в формулу (8) для δ получим:

Подчеркнем, что эта формула для δ верна лишь для тонкой призмы и при очень малых углах падения лучей.

Принципы получения оптических изображений

Геометрические принципы получения оптических изображений основываются только на законах отражения и преломления света, полностью отвлекаясь от его физической природы. При этом оптическую длину светового луча следует считать положительной, когда он проходит в направлении распространения света, и отрицательной в противоположном случае.

Если пучок световых лучей, исходящий из какой-либо точкиS , в

результате отражения и/или преломления сходится в точке S ΄, тоS ΄

считается оптическим изображениемили просто изображением точки S.

Изображение называется действительным, если световые лучи действительно пересекаются в точкеS ΄. Если же в точкеS ΄ пересекаются продолжения лучей, проведенные в направлении, обратном распространению

света, то изображение называется мнимым. При помощи оптических приспособлений мнимые изображения могут быть преобразованы в действительные. Например, в нашем глазу мнимое изображение преобразуется в действительное, получающееся на сетчатке глаза. Для примера рассмотрим получение оптических изображений с помощью 1)

плоского зеркала; 2) сферического зеркала и 3) линз.

1. Плоским зеркаломназывают гладкую плоскую поверхность, зеркально отражающую лучи. Построение изображения в плоском зеркале можно показать с помощью следующего примера. Построим, как виден в зеркале точечный источник света S(рис.8).

Правило построения изображения следующее. Поскольку от точечного источника можно провести разные лучи, выберем два из них - 1 и 2 и найдем точку S ΄, где эти лучи сходятся. Очевидно, что сами отраженные 1΄ и 2 ΄ лучи расходятся, сходятся лишь их продолжения (см. пунктир на рис.8).

Изображение получилось не от самих лучей, а от их продолжения, и является мнимым. Простым геометрическим построением легко показать, что

изображение расположено симметрично по отношению к поверхности зеркала.

Вывод: плоское зеркало дает мнимое изображение предмета,

расположенное за зеркалом на таком же расстоянии от него, что и сам предмет. Если два плоских зеркала расположены под углом φ друг к другу,

то возможно получить несколько изображений источника света.

2. Сферическим зеркаломназывается часть сферической поверхности,

зеркально отражающая свет. Если зеркальной является внутренняя часть поверхности, то зеркало называютвогнутым, а если наружная, товыпуклым.

На рис.9 показан ход лучей падающих параллельным пучком на вогнутое сферическое зеркало.

Вершина сферического сегмента (точка D ) называетсяполюсом зеркала. Центр сферы (точкаО ), из которой образовано зеркало, называется

оптическим центром зеркала. Прямая, проходящая через центр кривизныО зеркала и его полюсD , называется главной оптической осью зеркала.

Применяя закон отражения света, в каждой точке падения лучей на зеркал

восстанавливают перпендикуляр к поверхности зеркала (этим перпендикуляром является радиус зеркала - пунктирная линия на рис. 9) и

получают ход отраженных лучей. Лучи, падающие на поверхность вогнутого зеркала параллельно главной оптической оси, после отражения собираются в одной точке F , называемойфокусом зеркала, а расстояние от фокуса зеркала до его полюса - фокусным расстояниемf. Поскольку радиус сферы направлен по нормали к ее поверхности, то, по закону отражения света,

фокусное расстояние сферического зеркала определяют по формуле

где R -радиус сферы (ОD ).

Для построения изображения необходимо выбрать два луча и найти их пересечение. В случае вогнутого зеркала такими лучами могут быть луч,

отраженный от точки D (он идет симметрично с падающим относительно оптической оси), и луч, прошедший через фокус и отраженный зеркалом (он идет параллельно оптической оси); другая пара: луч, параллельный главной оптической оси (отражаясь, он пройдет через фокус), и луч, проходящий через оптический центр зеркала (он отразится в обратном направлении).

Для примера построим изображение предмета (стрелки АВ ), если он находится от вершины зеркалаD на расстоянии, большем радиуса зеркала

(радиус зеркала равен расстоянию OD=R ). Рассмотрим чертеж, сделанный согласно описанному правилу построения изображения (рис.10).

Луч 1 распространяется от точки В до точкиD и отражается по прямой

DE так, что уголADВ равен углуADE . Луч 2 от той же точкиВ распространяется через фокус до зеркала и отражается по линииCB "||DA .

Изображение действительное (образованное отраженными лучами, а не их продолжениями, как в плоском зеркале), перевернутое и уменьшенное.

Из простых геометрических расчетов можно получить соотношение между следующими характеристиками. Если а – расстояние от предмета до зеркала, откладываемое по главной оптической оси (на рис.10 – этоAD ),b –

расстояние от зеркала до изображения (на рис.10 - это DA "), тоа/b =AB/A"B" ,

и тогда фокусное расстояние f сферического зеркала определяют по формуле

Величина оптической силы измеряется в диоптриях (дптр); 1 дптр = 1м-1 .

3. Линзой называют прозрачное тело, ограниченное сферическими поверхностями, радиус, по крайнем мере, одной из которых не должен быть бесконечным. Ход лучей в линзе зависит от радиуса кривизны линзы.

Основными характеристиками линзы являются оптический центр, фокусы,

фокальные плоскости. Пусть линза ограничена двумя сферическими поверхностями, центры кривизны которых С 1 иС 2 , а вершины сферических

поверхностей О 1 иО 2 .

На рис.11 схематично изображена двояковыпуклая линза; толщина линзы в середине больше, чем у краев. На рис.12 схематично изображена двояковогнутая линза (в середине она тоньше, чем у краев).

Для тонкой линзы считают, что О 1 О 2 <<С 1 О 2 иО 1 О 2 <<С 2 О 2 , т.е.

практически точки О 1 иО 2 . слиты в одну точкуО , которая называется

оптическим центром линзы . Прямая, проходящая через оптический центр линзы, называется оптической осью.Оптическая ось, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью (С 1 С 2 , на рис.11 и 12). Лучи, идущие через оптический центр, не

преломляются (не изменяют своего направления). Лучи, параллельные главной оптической оси двояковыпуклой линзы, после прохождения через нее пересекают главную оптическую ось в точке F (рис.13), которая называется главным фокусом линзы, а расстояние от этой точки до линзыf

есть главное фокусное расстояние. Постройте самостоятельно ход хотя бы двух лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси

(стеклянная линза расположена в воздухе, учтите это при построении), чтобы доказать, что расположенная в воздухе линза является собирающей, если она двояковыпуклая, и рассеивающей, если линза двояковогнутая.

Рассмотрим метод определения показателя преломления, применимый для прозрачных веществ. Метод состоит в измерении угла отклонения лучей при прохождении света через призму, изготовленную из исследуемого материала. На призму направляется параллельный пучок лучей, поэтому достаточно рассмотреть ход одного из них (S 1) в плоскости, перпендикулярной линии пересечения луча преломляющих граней призмы (рис.6).

А 1 ─направление нормали к грани, на которую падает луч S 1 ,

А 2 ─ направление нормали к грани, из которой выходит луч S 2 ,

i 1 , i 2 - углы падения,

r 1 , r 2 - углы преломления на границах раздела АС и АВ соответственно,

φ - преломляющий угол призмы,

δ - угол отклонения выходящего из призмы луча относительно первоначального направления.

Ход луча через призму рассчитывается на основании законов преломления света. При преломлении на первой грани призмы АС получим

(12)

где n – показатель преломления материала призмы для данной длины волны света.

Для грани АВ закон преломления запишется как

. (13)

Соотношения 12 и 13 позволяют найти выражения для определения n . Однако экспериментально определить углы r 1 и i 1 достаточно сложно. На практике удобнее измерить угол отклонения луча призмой δ и преломляющий угол призмы φ.

Получим формулу для определения показателя преломления n через углы δ и φ .

Сначала воспользуемся известной в геометрии теоремой, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним. Тогда из треугольника EDF получим

φ = r 1 + i 2 . (14)

Из треугольника EHF и, используя (14), получим:

δ =(i 1 – r 1 )+(r 2 – i 2 )= i 1 +r 2 –(r 1 + i 2 )= i 1 +r 2 + φ . (15)

Затем выразим угол δ через угол r 1 , используя законы преломления (12), (13) и (14), и определим условия минимальности δ :

i 1 = arcsin(n sin r 1);

r 2 = arcsin(n sin i 2 ) = arcsin(n sin (φ- r 1 ));

δ = arcsin(n sin r 1 ) +arcsin(n sin (φ- r 1 )).

Зависимость δ от r 1 имеет минимум, условие которого можно найти, приравняв производную δ от r 1 нулю:

Выражение (16) выполняется, если r 1 = φ - r 1. В соответствии с (14) имеем φ - r 1 = i 2 , поэтому r 1 = i 2 . Тогда из законов преломления (12) и (13) следует, что углы i 1 , r 2 также должны быть равны: i 1 = r 2 . Принимая во внимание (14) и (15), получим:

φ = 2 r 1 ; δ min =2 i 1 – φ .

C учетом этих равенств окончательно получим:

и
.

Следовательно, при наименьшем угле отклонения луча призмой δ min показатель преломления вещества призмы может быть определен по формуле

. (17)

Таким образом, определение показателя преломления вещества сводится к измерению преломляющего угла призмы и угла наименьшего отклонения лучей .

Угол наименьшего отклонения δ образован двумя направлениями: направлением луча, падающего на призму S 1 и направлением луча, вышедшего из призмы S 2 . Если источник излучения не является монохроматическим, то из-за дисперсии вещества призмы направление преломленного луча Е F , а, следовательно, и направление вышедшего луча S 2 будут различными для разных длин волн, т.е. S 2 =f(λ ). Это приводит к тому, что δ и n для разных λ, будут различными.

Преломляющий угол призмы φ образован гранью призмы СА , на которую падает луч и гранью АВ , из которой выходит излучение, или перпендикулярами к этим граням А 1 и А 2 соответственно.

Источником излучения в работе служит ртутная лампа.