Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

«Параллельные плоскости 10 класс» - Две плоскости не пересекаются. 1. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Свойства параллельных плоскостей. Параллельность плоскостей. Взаимное расположение плоскостей. Две плоскости не параллельны. Теорема. Две плоскости пересекаются по прямой.

«Параллельное и последовательное соединение» - Схема подключения приборов для проверки законов последовательного соединения. Применение смешанного соединения. Применение параллельного соединения. Схема параллельного соединения проводников. Смешанным называют соединение, содержащее участки последовательного и параллельного соединения. Примеры схем смешанного соединения.

«Четырехугольники» - Решение задач. А. Нивен. Решите тест, ответы запишите в таблицу. Капитаны по ходу урока заполняют оценочные листы для своей группы. Кроссворд. Решение: Квадрат. Трапеция. Четырехугольники. Четырехугольники: Ответы к кроссворду. Правильные ответы. Творческое домашнее задание. Правила работы в группе.

«Параллельные прямые 7 класс» - Вопрос 5. Вопрос 3. Для угла 1 односторонним будет угол … ТЕСТ по теме «Параллельные прямые». На рисунке прямые а, в и с пересечены секущей d.Параллельными прямыми будут прямые. Вопрос 2. Можно бесконечное множество. Накрест лежащими. На рисунке углы 1 и2 являются… Вопрос 1. Правильных ответов: Через вершину М провести прямых, параллельных прямой NK …

«Аксиома параллельных прямых» - Об аксиомах геометрии. Решение задач. На аксиомах. Аксиома параллельных прямых. Урок: «Аксиома параллельных прямых». Строится вся геометрия. Геометрия 7 класс. Тема: «Параллельные прямые». Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а. Теорема Теорема Теорема Теорема. Слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный».

«Углы при параллельных прямых» - 1. На рисунке прямые а и в параллельны. 2. Для угла 1 односторонним будет угол: 2 5 6 7. По рисунку найти угол 1 и 2. Определение параллельных прямых Что такое секущая? Устный опрос. Прямые". Урок геометрии. Дополнительное задание. По рисунку доказать параллельность прямых АК и ВМ. 2. По рисунку найти углы 1, 2, 3.

• Остроугольной трапецией называется трапеция , у которой углы , прилегающие к большему основанию острые.

Тупоугольная трапеция

• Тупоугольной трапецией называется трапеция , у которой один из углов , прилегающих к большему основанию тупой.

Равнобедренная трапеция

• Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция , у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция

• Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям

Определите вид трапеции

Свойства трапеции

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме .

Дана трапеция АВСD. КМ- средняя линия. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD за точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСМ и МРD равны по стороне и двум углам, поэтому ВМ=МР или точка М - середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР.

Свойства трапеции

• Диагонали делят трапецию на четыре части , две из которых, прилежащие к боковым сторонам ,равновелики .

• Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD. Следовательно площади красных треугольников равны.

Свойства трапеции

• если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность ;

• если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность

Свойства равнобокой трапеции

• Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобокой трапеции , равны.

Докажем равенство углов А и D при большем основании AD трапеции АВСD. Для этой цели проведем через точку С прямую параллельную боковой стороне АВ. Она пересечет большое основание в точке М. Четырехугольник АВСМ являеся параллелограммом, т.к. по построению имеет две пары параллельных сторон. Следовательно, отрезок СМ, заключенный внутри трапеции равен её боковой стороне: СМ=АВ. Отсюда ясно, что СМ=СD, треугольник СМD - равнобедренный , СМD=СDM, и, значит, А=D. Углы, прилежащие к меньшему основанию, т.к. являются для найденных внутренними односторонними.

Свойства равнобокой трапеции

• Диагонали равнобокой трапеции равны.

• Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Они равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD - общая, углы А и D равны по свойству равнобокой трапеции). Поэтому АС=BD.

Площадь трапеции

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту

• Формула

• S=1/2(AD+BC)*BH

Доказательство

• Доказательство:

• Рассмотрим трапецию ABCD c основаниями AD и BC , высотой BH и площадью S. Докажите, что S=1/2(AD+BC)*BH.

• Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S=S(ABD)+S(BCD).

• Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DF за основание и высоту треугольника BCD. Тогда S(ABD)=1/2AD*BH, S(BCD)=1/2*CB*DF. Т.к. DF=BH, тогда S(BCD)=1/2*CB*BH.

• S=1/2AD*BH+1/2 BC*BH=1/2(AD+BС)*ВН.

Задача

Трапеции в жизни

Признаки параллельности двух прямых

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:

накрест лежащие углы равны, или

соответственные углы равны, или

сумма односторонних углов равна 180°, то

прямые параллельны (рис.1).

Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 - внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 - внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).

Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.

Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.

Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).

Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.

Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной .

Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.

Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).

2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).

Справедлива и следующая теорема.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

накрест лежащие углы равны;

соответственные углы равны;

сумма односторонних углов равна 180°.

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).

Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.

Для того, чтобы определить является ли данная фигура параллелограммом существует ряд признаков. Рассмотрим три основных признака параллелограмма.

1 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.

А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD - общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

3 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.

Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

Одним из признаков параллелограмма является то, что если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом . То есть, если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то две другие стороны также оказываются равными между собой и параллельными друг другу, т. к. этот факт является определением и свойством параллелограмма.

Таким образом, параллелограмм можно определить лишь по двум сторонам, которые равны и параллельны друг другу.

Данный признак параллелограмма можно сформулировать как теорему и доказать. В таком случае нам дан четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны друг другу. Требуется доказать, что такой четырехугольник является параллелограммом (т. е. две его другие стороны равны и параллельны друг другу).

Пусть данный четырехугольник ABCD, и в нем стороны AB || CD и AB = CD.

По условию нам дан четырехугольник. Ничего не сказано о том, выпуклый он или нет (хотя параллелограммами могут быть только выпуклые четырехугольники). Однако даже в невыпуклом четырехугольнике всегда есть одна диагональ, которая делит его на два треугольника. Если это будет диагональ AC, то получим два треугольника ABC и ADC. Если это диагональ BD, то будут ∆ABD и ∆BCD.

Допустим, мы получили треугольники ABC и ADC. У них одна сторона общая (диагональ AC), сторона AB одного треугольника равна стороне CD другого (по условию), угол BAC равен углу ACD (как накрест лежащие между секущей и параллельными прямыми). Значит ∆ABC = ∆ADC по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что их остальные стороны и углы соответственно равны. Но стороне BC треугольника ABC соответствует сторона AD треугольника ADC, значит, BC = AD. Углу B соответствует угол D, значит, ∠B = ∠D. Эти углы могут быть равны друг другу, если BC || AD (так как AB || CD, то эти прямые можно совместить параллельным переносом, тогда ∠B станут накрест лежащими ∠D, а их равенство может быть только при BC || AD).

По определению параллелограмма им является четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу.

Таким образом было доказано, что если у четырехугольника ABCD стороны AB и CD равны и параллельны и диагональ AC делит его на два треугольника, то у него другая пара сторон оказывается равна друг другу и параллельна.

Если же четырехугольник ABCD был разделен на два треугольника другой диагональю (BD), то рассматривались бы треугольники ABD и BCD. Их равенство доказывалось бы аналогично предыдущему. Оказалось бы, что BC = AD и ∠A = ∠C, откуда следовало, что BC || AD.