Уравнение шредингера для атома водорода. Уравнение Шредингера для атома водорода
Уравнение Шредингер для атома водорода в классической механике - страница №1/1
Уравнение Шредингер для атома водорода
В классической механике атом представляет собой протон вокруг которого вращается электрон.
Потенциальная энергия
“-” показывает что система связана
Т.е электрон движется не симметричной гиперболической потенциальной яме
В квантовой
Уравнение на собственные функции собственные значения??????????
Перейдем в сферическую систему координат
Оператор Лапласа в сферической системе
Запишем в сферической системе координат оператор квадрата импульса
Гамильтониан
второе слагаемое - кинетическая энергия вращения
H r коммутируют так как L 2 и L z действуют только на углы и не действую на координаты.
поскольку коммутатор коммутирует с самим собой
Означает что одновременно могут быть измеримы соответствующие физические величины
Одновременно измеримы, и проекция импульса на заданное направления
Уравнение Шредингера для стационарного состояния для атома водорода
Ищем решение уравнения в виде
Каково бы ни было решение Шредингера, уравнение на собственный функции собственные значения
Получаем уравнение Шредингера для атома водорода
Решая это уравнение мы получаем значение энергии
Т.е решение уравнение Шредингера такое же как у Бора но при этом Бору пришлось вводить постулаты, а в квантовой механике это есть следствие общей теории. При решении уравнения Шредингера мы также получаем ограничения на квантовое число l, Для данного n, l = 1,2,3,.(n-1) . Т.е всего n значений
Таким образом из того что
n - главное квантовое число, определяет энергию E
l - характеризует величину моменту импульса
m l –х арактеризует проекцию импульса на заданное направление
Таким образом атом характеризуется тремя числам n,l m l .
Состояния двух электронов в атоме отличается если отличны хотя бы двух чисел
Отличающиеся
Состояние электрона в атоме описывается волновой функции. Сама волновая функция физического смысла не имеет. Физический смысл имеет квадрат модуля пси функции которая определяет вероятность нахождения электрона в данной области пространства. Т.е электрон как бы размазана в пространстве и представляет собой электронное облако.
n и l - определяет размел облака
m l - характеризует направление этих облаков
Состояние с l=0 называет S состояние
l=2 d
1S n=1 l=0
P
m l =-1 0 1
m l = -2 -1 0 1 2
Переходы с одного состояния в другое только если подчиняются правилу отбора
Одному значению энергии соответствуют несколько состояние характеризующихся разными значениями квантовых числе l , m l . Такие состоянии с одним значением энергии но с разными l, m l называются вырожденными. Кратность выражений - характеризующиеся одним значением энергии(главного квант. числа n)
Сингретное значение
1
S
состояни электрона в атоме водорода
Уравнение Шредингера для 1S
Ищем решение этого уравнения в виде
имеет решение при всех r , тогда и только тогда когда сомножители =0
Получилась энергия на первой Боровской орбите
Состояние характеризуется пси функцией.
C можно найти из условии нормировки.
Пси функция для 1 S состояния
Найдем самое вероятное место нахождение электрона
С наибольше вероятностью электрон находится на расстоянии первого Боровского радиуса
Магнитный моменты атомов. Опыты Штерна И Герлаха. Спин электрона. Спиновое квантовое число. Спин орбитальное взаимодействие.
Электрон движущиеся
обладает моментом импульса и магнитным моментным импульса
движению электрона можно сопоставить Ток в обратном направлении
Это гиромагнитное отношение
В квантовой механике выполняются те же соотношения но для операторов.
Это соотношения такие же как и правила квантования для момента импульса. Т.е поскольку момент импульса характеризует определенным значением
Характеризуются??????????????
Опыты Штерна и Герлаха (про спин тоже)
Брали пучок атомов водорода или серебра и пропускали через сильно неоднородное магнитное поле
результате пучок раздваивался
В атоме водорода или серебра магнитный момент можно считать 0 и для магнитный момент остова тоже 0, т.е магнитный момент ядра описывает моментом электроном.
1)Предположим что электрон в 1S состоянии n=1 l=0 =>
то не должен был расчипиться
2) В однородном магнитном поле действует
А)в Кл. механике 
возможные значения значит сила должна быть уширяться. Не годится
б) квантовой механике
Значит если Pmz != 0 то
значит должно было расчипиться на нечетное число пучков
Уленбек и Гауцпи предположили что электрон обладает неуничтожимым собственным моментом импульса которое назвали спином. Первоначально предполагалось что спин связан с вращением электрона вокруг оси, но в этом случае отношение магнитного момента к спину
Но многие опыты показывают что
СПИН - собственный неуничтожимый момент электрона
Он как масса, заряд - т.е его нельзя отобрать. Спин появляется в уравнение Дерака, является аналогом уравнения Шредингера но Являющий в релятивистском случае. Т.е СПИН является квантовым и релятивистским.
СПИНА НЕТ АНАЛОГОВ В КЛАСИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze(для атома водорода Z=1)
Где r-расстояние между электроном и ядром
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера , учитывающие значение U(r):
m-масса электрона, Е- полная энергия электрона в атоме.
В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции ψ nlm (r,θ,φ), определяемые 3 квантовыми числами: главным n,орбитальным l и магнитным m l . Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения n=1,2,3….Орбитальное квантовое число l , при заданном n принимает значения l=0,1,…,(n-1) т.е. всего n значений и определяет момент импульса электрона в атоме. Магнитное квантовое число m l , при заданном l может принимать значения m l =0,±1,±2,…,±l, т.е. всего 2l+1 значений. Т.о. магнитное квантовое число определяет проекцию момента импульса на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентаций. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.
20.Собственный механический и магнитный момент электрона. Опыт Штерна и Герлаха.
Электрон обладает собственным механическим моментом импульса L s , называемым спином. Спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона соответствует собственный магнитный момент P s , пропорциональный L s и направленный в противоположную сторону: P s =g s L s , g s – гиромагнитное отношение спиновых моментов. Проекция собственного магнитного момента на направление вектора B: P sB =±e`h/2m=±m B , где`h=h/2p, m B =магнетон Бора. Общий магнитный момент атома p a = векторной сумме магнитных моментов входящих в атом электрона: P a =Sp m +Sp ms . Опыт Штерна и Герлаха. Проводя измерения магнитных моментов они обнаружили, что узкий пучек атомов водорода в неоднородном магнитном поле расщепляется на 2 пучка. Хотя в этом состоянии (Атомы находились в S состоянии) момент импульса электрона равен 0, а так же магнитный момент атома равен 0, поэтому магнитное поле не оказывает влияние на движение атома водорода, то есть расщепления быть не должно. Однако, дальнейшие исследования показали что спектральные линии атомов водорода обнаруживают такую структуру даже в отсутствие магнитного поля. В последствии было установлено, что такая структура спектральных линий объясняется тем, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом, названным спином.
21.Орбитальный, спиновый и полный угловой и магнитный момент электрона.
Электрон обладает собственным моментом импульса M S , который называется спином. Его величина определяется по общим законам квантовой механики: M S = ` hÖ= ` hÖ[(1/2)*(3/2)]=(1/2) ` hÖ3, M l = ` hÖ – орбитальный момент. Проекция может принимать квантовые значения, отличающиеся друг от друга на`h. M Sz =m S ` h, (m s =±S), M lz =m l ` h. Чтобы найти значение собственного магнитного момента умножим M s на отношение m s к M s , m s – собственный магнитный момент:
m s =-eM s /m e c=-(е ` h/m e c)Ö=-m Б Ö3, m Б – Магнетон Бора.
Знак (-) потому что M s и m s направлены в разные стороны. Момент Электрона слагается из 2-х: орбитального M l и спинового M s . Это сложение осуществляется по тем же квантовым законам, по которым складываются орбитальные моменты разных электронов: Мj= ` hÖ, j – квантовое число полного момента импульса.
22. Атом во внешнем магнитном поле. Эффект Зеемана .
Эффектом Зеемана называется расщепление энергетических уровней при действии на атомы магнитного поля. Расщепление уровней приводит к расщеплению спектральных линий на несколько компонентов. Расщепление спектральных линий при действии на излучающие атомы магнитного поля так же называется эффектом Зеемана. Зеемановское расщепление уровней обьясняется тем, что атом, обладающий магнитным моментом m j , приобретает в магнитном поле дополнительную энергию DE=-m jB B, m jB - проекция магнитного момента на направление поля. m jB =-m Б gm j , DE=m Б gm j , (m j =0, ±1,…, ±J). Энергетический уровень расщепляется на подуровни, причем величина расщепления зависит от квантовых чисел L,S,J данного уровня.
8) Основные постулаты квантовой механики. Вероятностный характер результатов измерений в квантовой механике.
Первый постулат квантовой механики. Состояние частицы в квантовой механике описывается заданием волновой функции y(x,y,z,t), являющейся функцией пространственных координат и времени. Вероятностный смысл волновой функции. Квадрат модуля волновой функции y(x,y,z,t) определяет плотность вероятности w того, что в момент времени t³0 частица может быть обнаружена в точке пространства M=M(x,y,z) с координатами x , y и z .w=dP/dV=|y| 2 =y*y. Волновую функцию, удовлетворяющую условию нормировки F ® ¥ ò|y| 2 dV=1, называют нормированной волновой функцией. Условия регулярности волновой функции. 1. Условие конечности волновой функции (волновая функция была квадратично интегрируемой функцией). 2. Условие однозначности волновой функции (плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно). 3. Условие непрерывности волновой функции. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции, т.е. функция должна быть гладкой . Принцип суперпозиции. Если частица может находиться в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией y 1 , а также в другом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией y 2 , и т.д. аналогично до y n , то эта частица может также находиться в состоянии, описываемом волновой функцией y=с 1 y 1 +с 2 y 2 +…+с n y n . В таком состоянии квадрат модуля коэффициента С n определяет вероятность того, что при измерении, проведенном над системой с такой волновой функцией, мы обнаружим ее в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией y n . Поэтому для нормированных волновых функций .
12) Частица в трехмерной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Энергетический спектр частицы. Понятие о вырождении энергетических уровней.
Потенциальный ящик:
G={(x,y,z):0
Энергетический уровень, которому соответствует не одно, а несколько состояний частицы, называется вырожденным уровнем
, а число соответствующих ему состояний называется кратностью вырождения
или степенью вырождения уровня.
13) Движение микрочастицы в области одномерного потенциального порога. Надбарьерное отражение частицы в случае низкого порога.
Потенциальный порог : U(x)={0: x<0; U 0 ,x>0}. Пусть E. Обозначив и получим ур-ние Шредингера в виде d 2 y 1 (x)/dx 2 +k 1 2 y 1 =0 и d 2 y 2 (x)/dx 2 -k 2 2 y 2 =0. Решением уравнения являются: y 1 (x)=A 1 exp{ik 1 x}+ B 1 exp{-ik 1 x} и y 2 (x)=A 2 exp{k 2 x}+ B 2 exp{-k 2 x}. Поскольку волновая функция должна быть ограниченной, а первое слагаемое в волновой функции y 2 (x) при x, стремящемся к бесконечности, неограниченно возрастает, то необходимо потребовать A 2 =0 . Из условий сшивки y 1 (0)= y 2 (0) и y 1 ’(0)= y 2 ’(0)=> A 1 +B 1 =B 2 и ik 1 A 1 -ik 1 B 1 =-k 2 B 2 . A 1 =1 =>B 1 =(k 1 -ik 2)/(k 1 +ik 2) ; B 2 =2k 1 /(k 1 +ik 2) .=>y 1 (x)=exp{ik 1 x}+(k 1 -ik 2)/(k 1 +ik 2)exp{-ik 1 x} и y 2 (x)= 2k 1 /(k 1 +ik 2)exp{-k 2 x}. Коэф-т отражения R=|B 1 | 2 /|A 1 | 2 =1, коэф-т прохождения D=0. Пусть E>U 0 . Положим
и => d 2 y 1 (x)/dx 2 +k 1 2 y 1 =0 и d 2 y 2 (x)/dx 2 +k 2 2 y 2 =0=> y 1 (x)= A 1 exp{ik 1 x}+B 1 exp{-ik 1 x} и y 2 (x)=A 2 exp{ik 2 x}+ B 2 exp{-ik 2 x}. Поскольку отраженная волна в области II отсутствует, то B 2 =0 . Условие сшивки: A 1 +B 1 =A 2 и k 1 A 1 -k 1 B 1 =k 2 B 2 . Полагая A 1 =1 =>B 1 =(k 1 -k 2)/(k 1 +k 2) ; A 2 =2k 1 /(k 1 +k 2) =>y 1 (x)=exp{ik 1 x}+(k 1 -k 2)/(k 1 +k 2)exp{-ik 1 x} и y 2 (x)= 2k 1 /(k 1 +ik 2)exp{ik 2 x}. R=|B 1 | 2 /|A 1 | 2 , D=|A 2 | 2 /|A 1 | 2 .
Уравнение Шредингера для атома водорода
Показал, что электрон может вращаться вокруг ядра не по любым, а лишь по определенным квантовым орбитам
· показал, что всякое излучение либо поглощение энергии атомом связано с переходом между двумя стационарными состояниями и происходит дискретно с выделением или поглощением планковских квантов
Ввел понятие главного квантового числа для характеристики электрона. Рассчитал спектр атома водорода, показав полное совпадение расчетных данных с эмпирическими. Заложил (1921 г.) основы первой физической теории Периодической системы элементов, в которой связал периодичность свойств элементов с формированием электронных конфигураций атомов по мере увеличения заряда ядра. Обосновал подразделение групп периодической системы на главные и побочные. Впервые объяснил подобие свойств редкоземельных элементов. Внес значительный вклад в ядерную физику. Развил (1936 г.) теорию составного ядра и теории деления ядер (1939 г.). Член многих академий наук и научных обществ. Иностранный член АН СССР (с 1929 г.). Нобелевская премия по физике (1922 г.).
ЭЙНШТЕЙН (Einstein) Альберт (1879-1955), физик-теоретик, один из основателей совр. физики, ин.ч.-к. РАН (1922) и ин. поч. ч. АН СССР (1926). Род.в Германии, с 1893 жил в Швейцарии, с 1914 в Германии, в 1933 эмигрировал в США. Создал частную (1905) и общую (1907-16) теории относительности. Автор основополагающих тр. по квантовой теории света: ввел понятие фотона (1905), установил законы фотоэффекта, осн. закон фотохимии (закон Э.), предсказал (1917) индуцированное излучение. Развил статистич. теорию броуновского движения, заложив основы теории флуктуаций, создал квантовую статистику Бозе - Э. С 1933 работал над проблемами космологии и единой теории поля. В 30-е гг. выступал против фашизма, войны, в 40-е - против применения ядерного оружия. В 1940 подписал письмо президенту США, об опасности создания ядерного оружия в Германии, к-рое стимулировало амер. ядерные исследования.Нобелевская премия (1921), за тр. по теоретич. физике, особенно за открытие законов фотоэффекта
Луи де БРОЙЛЬ (Broglie) (15 августа 1892 г. - 19 марта 1987 г.)
Его отец носил титул герцога. Выросший в утонченной и привилегированной среде французской аристократии, юноша еще до поступления в лицей в Париже был увлечен различными науками. После периода интенсивных занятий он в 1913 г. получил ученую степень по физике. В Парижском университете.
Де Бройль первым понял, что если волны могут вести себя как частицы, то и частицы могут вести себя как волны. Он применил теорию Эйнштейна - Бора о дуализме волна-частица
к материальным объектам.
В 1924 г. де Бройль представил свою работу "Исследования по квантовой теории" в качестве докторской диссертации. Его оппоненты и члены ученого совета были поражены, но настроены весьма скептически. Они рассматривали идеи де Бройля как теоретические измышления, лишенные эксперименталь-ной основы. Однако по настоянию Эйнштейна докторская степень ему все же была присуждена. На Эйнштейна работа де Бройля произвела большое впечатление, и он советовал многим физикам тщательно изучить ее. Эрвин Шредингер последовал совету Эйнштейна и положил идеи де Бройля в основу волновой механики, обобщившей квантовую теорию. В 1927 г. волновое поведение материи получило экспериментальное подтверждение.В 1928 г. он был назначен профессором теоретической физики Парижского университета.
В 1929 г. "за открытие волновой природы электронов
" де Бройль был удостоен Нобелевской премии по физике.
Представляя лауреата на церемонии награждения, член Шведской королевской академии наук К.В. Озеен заметил: "Исходя из предположения о том, что свет есть одновременно и волновое движение, и поток корпускул [частиц], де Бройль открыл совершенно новый аспект природы материи, о котором ранее никто не подозревал... Блестящая догадка де Бройля разрешила давний спор, установив, что не существует двух миров, один - света и волн, другой - материи и корпускул. Есть только один общий мир
".
В 1933 г. де Бройль был избран членом Французской академии наук, а в 1942 г. стал ее постоянным секретарем.
Де Бройль никогда не состоял в браке. Он любил совершать пешие прогулки, читать, предаваться размышлениям и играть в шахматы.
Вернер ГЕЙЗЕНБЕРГ (Heisenberg) (5.XII. 1901 - 1.II. 1976)
Немецкий физик Вернер-Карл Гейзенберг родился в Дуйсбурге в семье Августа Гейзенберга, профессора древнегреческого языка Мюнхенского университета.
В 1920 г. он поступил в Мюнхенский универ-ситет, где изучал физику под руководством знаменитого Арнольда Зоммерфельда.
Гейзенберг был выдающимся студентом и уже в 1923 г. защитил докторскую диссерта-цию. Она была посвящена некоторым аспектам квантовой теории. Наибольший интерес у Гейзенберга вызывалинерешен-ные проблемы строения атома
и все возраставшее несоответствие модели, предложенной Бором, эксперименталь-ным и теоретическим данным. В 1925 г после приступа сенной лихорадки в порыве вдохновения увидел совершенно новый подход, позволяющий применить квантовую теорию к разрешению всех трудностей в модели Бора.
В 1927 г. Гейзенберг стал профессором теоретической физики Лейпцигского университета. В том же году он опубликовал работу, содержащую формули-ровкупринципа неопределенности
. Даже теоретически электрону нельзя приписать одновременно абсолютно точно известную пространственную координату и абсолютно точно известную скорость.
В 1933 г. Гейзенбергу была вручена Нобелевская премия по физике 1932 г.
В 1941 г был назначен профессором физики Берлинского университета и директором Физического института. Хотя он не был сторонником нацист-ского режима, он, тем не менее возглавил германский проект по атомным исследованиям. Гейзенберг надеялся получить ядерную энергию, но неком-петентность правительства, его недальновидность, создали настолько серьезные препятствия на пути исследований, что участники германского атомного проекта не смогли построить даже ядерный реактор.
После окончания войны Гейзенберг в числе других немецких физиков был взят в плен и интернирован в Великобританию. В Германию он вернулся в 1946 г. и занял пост профессора физики Геттингенского университета и директора Института Макса Планка. Исполняя эти высокие обязанности, Гейзенберг участвовал в программе получения ядерной энергии. Он был среди тех ученых, которые предупреждали мир об опасности ядерной войны.
Самым замечательным успехом в истории квантовой механики было объяснение всех деталей спектров простейших атомов, а также периодичностей, обнаруженных в таблице химических элементов. В этой главе в нашем курсе квантовой механики мы наконец-то подойдем к этому важнейшему достижению и расскажем об объяснении спектра атомов водорода. Кроме того, здесь мы расскажем и о качественном объяснении таинственных свойств химических элементов. Для этого мы подробно изучим поведение электрона в атоме водорода: в первую очередь мы рассчитаем его распределения в пространстве, следуя тем представлениям, которые были развиты в гл. 14.
Для полного описания атома водорода следовало бы учесть движения обеих частиц - как протона, так и электрона. В квантовой механике в этой задаче следуют классической идее об описании движения каждой из частиц по отношению к их центру тяжести. Однако мы не будем этого делать. Мы просто используем приближение, в котором протон считается очень тяжелым, настолько тяжелым, что он как бы закреплен в центре атома.
Мы сделаем еще и другое приближение: забудем, что у электрона имеется спин и что его надлежит описывать законами релятивистской механики. Это потребует внесения небольших поправок в наши выкладки, поскольку мы будем пользоваться нерелятивистским уравнением Шредингера и пренебрежем магнитными эффектами. Небольшие магнитные эффекты появляются из-за того, что протон с точки зрения электрона есть циркулирующий по кругу заряд, который создает магнитное поле. В этом поле энергия электрона будет различна, смотря по тому, направлен ли его спин вверх или вниз по полю. Энергия атома должна немного сдвинуться относительно той величины, которую мы вычислим. Но мы пренебрежем этим слабым сдвигом энергии, т. е. вообразим, что электрон в точности подобен волчку, движущемуся в пространстве по кругу и сохраняющему все время одинаковое направление спина. Поскольку речь будет идти о свободном атоме в пространстве, полный момент количества движения будет сохраняться. В нашем приближении будет считаться, что момент количества движения, вызываемый спином электрона, остается неизменным, так что оставшийся момент количества движения атома (то, что обычно называют «орбитальным» моментом количества движения) тоже не будет меняться. В очень хорошем приближении можно считать, что электрон движется в атоме водорода как частица без спина - его орбитальный момент количества движения постоянен.
В этих приближениях амплитуда того, что электрон будет обнаружен в том или ином месте пространства, может быть представлена как функция положения электрона в пространстве и времени. Обозначим амплитуду того, что электрон будет обнаружен в точке в момент через . Согласно квантовой механике, скорость изменения этой амплитуды со временем дается гамильтоновым оператором, действующим на ту же функцию. Из гл. 14 мы знаем, что
. (17.2)
Здесь - масса электрона, а - потенциальная энергия электрона в электростатическом поле протона. Считая на больших удалениях от протона , можно написать
Волновая функция должна тогда удовлетворять уравнению
. (17.3)
Мы хотим найти состояния с определенной энергией, поэтому попробуем поискать решения, которые бы имели вид
. (17.4)
Тогда функция должна быть решением уравнения
, (17.5)
где - некоторое постоянное число (энергия атома).
Раз потенциальная энергия зависит только от радиуса, то это уравнение лучше решать в полярных координатах. Лапласиан в прямоугольных координатах определялся так:
.
Вместо этого мы хотим воспользоваться координатами , , , изображенными на фиг. 17.1. Они связаны с , , формулами точки .
Атом водорода представляет собой систему, состоящую из электрона, который обращается в кулоновском поле ядра (протона). Потенциальная энергия такой системы не зависит от времени и равна
Эту
величину следует подставить в стационарное
уравнение Шредингера
(5.5)
и решить его с учетом стандартных
условий, накладываемых на волновую
функцию. Так как силовое поле, создаваемое
ядром, сферически симметрично, то решать
эту задачу удобнее в сферических
координатах
.
Результат решения сводится к следующему.
Уравнение решается только при определенных,
образующих дискретный ряд значениях
параметра
:
где m и e – масса и заряд электрона; n = 1, 2, 3....
Эти значения и являются возможными (разрешенными) значениями энергии атома водорода. Возможные волновые функции электрона в атоме водорода могут быть записаны в виде произведения трех составляющих, каждая из которых зависит от одной из координат сферической системы:
(5.6)
где
– так называемый первый боровский
радиус, равный
.
Уравнение Шредингера решается функциями (8) лишь при определенных значениях чисел n , l , m , которые взаимосвязаны следующим образом:
Значения
коэффициентов
и
в выражении
(5.6)
находятся для каждого состояния исходя
из условия нормировки
(5.2),
которое в сферических координатах
распадается на три условия:
Возьмем,
например,
.
Энергия атома в этом случае минимальна
(основное состояние) и равна
эВ.
Остальные
два квантовых числа l
и m
могут иметь только нулевые значения
и энергии
соответствует только одна волновая
функция
(вырождение отсутствует).
При
квантовое числоl
может принимать значения 0 и
1,
причем при
,
а при
.
В конечном счете значению
соответствуют четыре различных состояния,
описываемые волновыми функциями
и каждому из них соответствует одна и
та же энергия
(четырехкратное вырождение). Схематично:
Аналогично,
при
возможны
девять
состояний, описываемых волновыми
функциями:
и
во всех этих состояниях атом обладает
одной и
той же энергией
(девятикратное вырождение).
Рассмотрим конкретный вид нескольких первых волновых функций.
1.
.Подставляя
эти значения в
(8), получаем:
Применение условий нормировки дает:
Подставив эти значения в (5.8), получим волновую функцию основного (невозбужденного) состояния атома водорода:
(5.9)
Так
как эта функция не зависит от углов
и
(сферически симметрична),
то вероятность обнаружить электрон на
данном расстоянии
от ядра будет одинакова по всем
направлениям. Найдем вероятность
нахождения электрона в пределах
элементарного слоя, ограниченного
сферами - радиусами
и
(рис. 5.1).
Объем
этого слоя
и соответствующая вероятность, согласно
(5.1)
и
(5.9),
запишется в виде
Введем
радиальную плотность вероятности
следующим образом:
(5.10)
Графически эта функция изображается кривой, приведенной на рис. 5.2. Максимум кривой при r = r 1 = 0,53Å свидетельствует о том, что для атома водорода, находящегося в основном состоянии, наиболее вероятное удаление электрона от ядра соответствует первому боровскому радиусу.
Если
вероятность нахождения электрона в
сферическом слое толщиной
удаленном на расстоянии
от ядра, равна
то величина, введенная как
называется радиальной плотностью
вероятности. Если зависимость
задана графически, то величина
определяется как площадь прямоугольника
с основанием
и высотой
,
восстановленного на расстоянии
от
начала
координат (площадь заштрихованного
прямоугольника).
2.
При
для
волновой функции, согласно
(5.6) при
учете
(5.7),
можно получить
Эта функция также сферически симметрична, поэтому и здесь естественно ввести радиальную плотность вероятности, которая запишется следующим образом
(5.11)
3.
При
волновая
функция имеет вид
4.
При
5.
При
