Урок "Положительные и отрицательные числа" (6 класс).

Северо – Казахстанская область

Айыртауский район

КГУ « Всеволодовская неполная средняя школа»

Открытый урок

математики

«Положительные

и отрицательные числа.

Координатная прямая.»

6 класс

Учитель

математики и физики

Брыкина Лариса Васильевна

Тип урока: урок формирования новых знаний

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая .

Цель урока:

Формирование понятия положительного и отрицательного чисел с навыком работы на координатной прямой.

Задачи:

- обучающие:

“открыть” множество отрицательных чисел, определить их место на координатной прямой, ввести обозначение отрицательных чисел, научить применять их при решении задач межпредметного характера, анализировать и систематизировать знания об изученных числах

- развивающие:

учить анализировать собственные умения, причины затруднений при выполнении задания, находить новые способы решения, развивать способности к оценке продуктивности собственной деятельности

- воспитательные:

развивать творческую активность учащихся, интерес к предмету.

Используемые педагогические технологии, методы и приёмы:

деятельностный метод, информационно-коммуникационные технологии, здоровьесберегающие технологии.

Необходимое техническое оборудование и дидактические средства: компьютер учителя, презентация по данной теме, модель термометра, сигнальные карточки, карточки для индивидуальной работы, математическое лото, оценочные листы.

Ход урока.

1. Организация учебного процесса .

– Здравствуйте дети! У нас сегодня праздник. К нам пришли гости. А с каким настроением мы их встречаем? (Сигнальные карточки)

2. Постановка темы и цели занятия.

Древнегреческий ученый Пифагор говорил: «Числа правят миром». Мы с вами живем в этом мире чисел, а в школьные годы учимся работать с разными числами. (Слайд 2)

Вот и сегодня мы начинаем изучать новые, пока неизвестные для вас числа.

А для того, чтобы сформулировать тему нашего урока мы ответим на несколько вопросов и попробуем определить, а что в ответах на эти вопросы общего? (Слайд 3)

1)Назовите героев русских сказок.

Разделите их на две группы. Как можно назвать героев каждой группы? (положительные и отрицательные). (Слайд 4)

Какая температура сегодня на улице? (-10) (Слайд 5)

Как называются такие числа? (отрицательные). Какая летом температура?

Какая тема урока?

Какие задачи урока мы должны решить при изучении этой темы? (Чему мы должны научиться?)

Уметь распознавать положительные и отрицательные числа и записывать их.

Уметь изображать положительные и отрицательные числа на координатной прямой.

(Слайд 6)

3. Актуализация новых знаний. (Слайды 7-12)

Фронтальная работа с использованием сигнальных карточек.

(За каждый правильный ответ – звезда.)

Какие числа вы уже знаете?

Натуральные числа.

Обыкновенные дроби.

Десятичные дроби.

Смешанные числа

2) Найти натуральные числа из перечисленных:

3) Найти натуральные числа из перечисленных:

4) Найти обыкновенные дроби среди данных чисел:

5) Найти обыкновенные дроби среди данных чисел:

6) С какими числами вы пока не сталкивались? (Слайд 13)

1) 15 ; 2879; 15970;

2) -120; -5; -21

3) 8 𝟑/𝟒 ;𝟎,𝟐; 𝟕/𝟗

Вот об этих числах сегодня и пойдет речь.

3. Изучение нового материала.

Где используется в жизни понятие положительного и отрицательного числа?

При измерении температуры воздуха. (Слайды 14, 15, 16)

Первая задача: узнавать положительные и отрицательные числа. Как будем узнавать их? Предлагайте свои способы.

Если перед числом стоит знак « - » , то это число отрицательное. А если перед числом стоит знак «+» или никакого знака нет, то это число положительное.

Где еще используют понятие положительного и отрицательного числа? (Слайд 16)

По телевизору показывают прогноз погоды.

О чем говорит запись: Петропавловск – 9, Алматы + 13?

9 градусов мороза, 13 градусов тепла.

С помощью какого прибора определяют температуру воздуха?

С помощью термометра.

Работа с макетом термометра

Отметьте на термометре - 20 градусов; - 10 градусов; - 5 градусов. Где они расположены?

Ниже 0. Отрицательные числа на термометре расположены ниже 0.

На термометре покажите, какая температура в Сочи - 15 градусов тепла, в Алматы - 20.

Что можно сказать про эти числа?

Положительные числа на термометре расположены выше 0.

К каким числам отнесем 0?

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. На термометре 0 является точкой отсчета.

Положительные и отрицательные числа (Слайд 18)

Где еще применяется понятие «Положительные и отрицательные числа» (Слайд 19)

Ребята, а в математике как изображаются числа?

На координатном луче.

А вы помните, как изображать числа на координатном луче? Кто сможет рассказать об этом? (Слайд 20)

Берем луч, идущий слева направо. Начало луча обозначим 0. От нуля откладываем единичные отрезки. Длина единичного отрезка может быть любой. Например, 1 клетка тетради, 1см. Как отметить число 1, 3, 7?

А как изобразить число – 1, -3, -7?

Дополним луч до прямой. Левее от 0 откладываем отрезки, равные единичному отрезку и отмечаем отрицательные числа, начиная от нуля. Чтобы отметить число - 1, отсчитываем от 0 влево один единичный отрезок, ставим точку В. Пишем - В(- 1).

Чем отличаются координатный луч и координатная прямая?

Луч имеет начало, но не имеет конца, а прямая не имеет ни начала, ни конца.

На координатной прямой можно отметить отрицательные числа.

Координатный луч имеет направление, а для координатной прямой надо выбрать направление. Отмечают стрелкой положительное направление.

Ребята, давайте попытаемся дать определение координатной прямой . Горизонтальная и вертикальная координатные прямые.

Прямая с выбранным началом отсчета, единичным отрезком и положительным направлением называется координатной прямой. (Слайд 20, 21)

4) Физминутка

Настало время восстановить тонус,с помощью физкультминутки мы не только проведем профилактику остеохондроза, но и разберемся где мы используем понятие положительных и отрицательных чисел в жизни. Появляется понятие, если оно положительное,то киваем головой «Да»,а если отрицательное-«Нет». Распрямили все спинки. Начали

Глубина реки

высота горы

школьная оценка -5

школьная оценка-2

Надеюсь, что по новой теме у нас будут только положительные оценки!

5. Закрепление пройденного материала.

1) Математическое лото (для слабых учащихся)

Установите соответствие.

Для сильных учащихся.

Запишите с помощью положительных и отрицательных чисел:

Для слабых. Работа у доски и в тетради.

Определите координаты точек А. В, С, Д, Е

Работа с тестом. Для сильных.

6. Работа с учебником.

№ 266 - у доски;

7. Рефлексия. Подведение итогов. Выставление оценок за урок.

– Что нового узнали на уроке?

– Что использовали для «открытия» нового знания?

– Какие трудности встретили?

– Проанализируйте свою работу на уроке. (Сигнальные карточки)

8. Домашнее задание Параграф 9 страница 55 № 267, 272, 277 (для сильных учащихся)

Придумать сказку о положительных и отрицательных числах. (по желанию)

Карточка №1 Вернигоровой Августины

Карточка №2 Старкова Даниила.

Запишите с помощью положительных и отрицательных чисел:

Тест. Отметь верный ответ знаком +

Урок

математики

в 6 классе.

Древнегреческий ученый Пифагор говорил: «Числа правят миром».

Мы с вами живем в этом мире чисел, а в школьные годы учимся работать с разными числами.

Актуализация знаний

№ 1

Андрей простудился, и вечером его температура с 36,6 º повысилась на 2,3º. Но утром ему стало легче, и температура снизилась на 1,8º. Какой была температура у Андрея:

А)вечером? Б) утром?

Актуализация знаний

№ 2

• Что изображено на рисунке?
• Как называется точка О?
• Как называется отрезок ОА?
• Что показывает стрелка?

Продолжите предложения

• Координатный луч – это …
• Начало отсчета обозначают - …
• Положительное направление- …
• Единичным отрезком называют - …
• Координаты точек А, К, Р соответственно равны -…
• С помощью координатного луча можно …

Актуализация знаний

Распределить информацию в три колонки

Меньше нуля

Равно нулю

Больше нуля

1. Убытки компании составили 1000 000 руб., а через несколько лет компания получила прибыль 500 000 руб.

2. Летом средняя температура воздуха 25 ºС тепла, а зимой – 20 ºС мороза.

3. Уровень моря.

4. Долина смерти находится на 86 м ниже уровня моря и здесь было зафиксировано 57 ºС тепла.

5. Шкала термометра состоит из двух частей – красной и синей.

6. По мере восхождения на гору Эльбрус, высота которой 5 642 м над уровнем моря, температура может опуститься до 30 ºС ниже нуля.

7. Долгое время одни числа называли «долг», «недостача», а другие «имущество».

8. Нулевая отметка на шкале градусника.

Положительные

отрицательные

числа

Формируемые результаты

Предметные: сформировать представление об отрицательных числах, ввести понятие отрицательного числа, положительного числа, чисел с разными знаками.

Личностные : формировать интерес к изучению темы и желание применять приобретенные знания и умения.

Метапредметные: формировать первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки, о средстве моделирования явлений и процессов.

При изложении нового материала,

вам необходимо заполнить таблицу

Теоретический материал

Понимаю/не понимаю (+ / -)

1. Числа, больше нуля, называют положительными.

Вопрос к учителю

2. Числа, меньше нуля, называют отрицательными.

3. Числа со знаком « + » называют положительными.

4. Числа со знаком « - » называют отрицательными.

5. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Окружающий мир настолько сложен и разнообразен. Натуральных и дробных чисел бывает недостаточно, чтобы измерить некоторые величины, описать многие события.

Ребята, какое время года сейчас?

Чем отличается погода летом и зимой?

А как вы узнали, что на улице холодно?

С помощью какого прибора?

Давайте рассмотрим термометр.

Что изображено на термометре?

Как расположены числа?

Историческая справка

Понятие об отрицательных числах возникло в практике очень давно, причем при решении таких заданий, где из меньшего числа приходилось вычитать большее число. Египтяне, вавилоняне, а также древние греки не знали отрицательных чисел и для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской. А так как знаков «плюс» и «минус» не существовало, то они на этой доске положительные числа отмечали красными счетными палочками, а отрицательные – синими. И отрицательные числа долгое время назывались словами, которые означали долг, недостача, а положительные трактовались как имущество.

Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательных чисел, и если при решении у него получался отрицательный корень, то он отбрасывал его как недоступный.

Историческая справка

Совершенно по-другому относились к отрицательным числам древнеиндийские математики: они признавали существование отрицательных чисел, но относились к ним с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными.

Не одобряли их долго и европейцы, потому что истолкование имущество – долг вызывало недоумение и сомнение. Действительно, можно складывать и вычитать имущество – долг, а как умножать и делить? Это было непонятно и нереально.

Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX века. Была создана теория, по которой мы сейчас и изучаем отрицательные числа.

Координатная прямая

Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.

Координатная прямая

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Прямая, на которой отмечено:

Начало отсчёта (точка 0);

Единичный отрезок;

Стрелкой указано положительное направление;

называется координатной прямой или числовой осью.

З А П О М Н И!

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.

Каждое число имеет единственное противоположное ему число. Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе..

Запись «-a» означает число, противоположное «a» . Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.

5 - число противоположное числу 5.

Записываем в виде выражения:

З А П О М Н И!

Если одно число положительное, а другое отрицательное, то о таких числах говорят,

что они имеют разные знаки.

Если оба числа положительны или оба числа отрицательны, то они имеют одинаковые знаки.

Первичное закрепление

нового материала

Какие из чисел

7; 23; -89; ⅜; - 4⅔; -5,4; 9⅞; 0; 10; -14;

А) являются положительными;

Б) являются отрицательными;

В) не являются ни положительными, ни отрицательными;

Г) натуральными числами;

Запишите с помощью знаков «+» и «-» информацию Гидрометцентра:

а) 18º тепла; в) 12º ниже нуля;

б) 7º мороза; г) 16º выше нуля.

а) + 18 ; б) – 7 ; в) – 12 ; г) + 16 или 16

Запишите шесть отрицательных дробей со знаменателем 5.

№ 1

Повторение

В парке растет 150 кленов, дубов больше на 2/15 количества кленов, березы составляют 23/34 количества дубов, а липы – 20/87 общего количества кленов, дубов и берез.

Сколько всего указанных деревьев растет в парке?

№ 2

Повторение

Итог урока

• С какими числами сегодня познакомились?
• С помощью какого символа обозначают отрицательные числа? Положительные числа?
• Каким числом является нуль?
• О каких двух числах говорят, что они имеют разные знаки? Одинаковые знаки?

Домашнее задание

вопросы 1 – 3,

Положительные и отрицательные числа
Координатная прямая
Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

То есть положительными называют уже известные нам числа, кроме нуля.

Иногда положительные числа записывают со знаком «+». Например, «+8».

Для краткости записи знак «+» перед положительным числом обычно опускают и вместо «+8» пишут просто 8.

Поэтому «+3» и «3» - это одно и тоже число, только по разному обозначенное.

Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго - число 2 и т.д.

Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.

Отрицательные числа используют для обозначения различных величин, таких как: температура (ниже нуля), расход - то есть отрицательный доход, глубина - отрицательная высота и другие.

Как видно из рисунка, отрицательные числа - это уже известные нам числа, только со знаком «минус»: -8; -5,25 и т.д.

• Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Числовую ось обычно располагают горизонтально или вертикально.

Если координатная прямая расположена вертикально, то направление вверх от начала отсчёта обычно считают положительным, а вниз от начала отсчёта - отрицательным.

Стрелкой указывают положительное направление.

Прямая, на которой отмечено:
. начало отсчёта (точка 0);
. единичный отрезок;
. стрелкой указано положительное направление;
называется координатной прямой или числовой осью.

Противоположные числа на координатной прямой
Отметим на координатной прямой две точки A и B, которые расположены на одинаковом расстоянии от точки 0 справа и слева соответственно.

В таком случае длины отрезков OA и OB одинаковы.

Значит, координаты точек A и B отличаются только знаком.


Также говорят, что точки A и B симметричны относительно начала координат.
Координата точки A положительная «+2», координата точки B имеет знак минус «-2».
A (+2), B (-2).

• Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.

Каждое число имеет единственное противоположное ему число . Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе.

Запись «-a» означает число, противоположное «a». Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.

Пример:
-3 - число противоположное числу 3.

Записываем в виде выражения:
-3 = -(+3)

Пример:
-(-6) - число противоположное отрицательному числу -6. Значит, -(-6) это положительное число 6.

Записываем в виде выражения:
-(-6) = 6

Сложение отрицательных чисел
Сложение положительных и отрицательных чисел можно разобрать с помощью числовой оси.

Сложение небольших по модулю чисел удобно выполнять на координатной прямой, мысленно представляя себе как точка, обозначающая число передвигается по числовой оси.

Возьмём какое-нибудь число, например, 3. Обозначим его на числовой оси точкой A.

Прибавим к числу положительное число 2. Это будет означать, что точку A надо переместить на два единичных отрезка в положительном направлении, то есть вправо . В результате мы получим точку B с координатой 5.
3 + (+ 2) = 5

Для того чтобы к положительному числу, например, к 3 прибавить отрицательное число (- 5), точку A надо переместить на 5 единиц длины в отрицательном направлении, то есть влево .

В этом случае координата точки B равна - 2.

Итак, порядок сложения рациональных чисел с помощью числовой оси будет следующим:
. отметить на координатной прямой точку A с координатой равной первому слагаемому;
. передвинуть её на расстояние, равное модулю второго слагаемого в направлении, которое соответствует знаку перед вторым числом (плюс - передвигаем вправо, минус - влево);
. полученная на оси точка B будет иметь координату, которая будет равна сумме данных чисел.

Пример.
- 2 + (- 6) =

Двигаясь от точки - 2 влево (так как перед 6 стоит знак минус), получим - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Сложение чисел с одинаковыми знаками
Складывать рациональные числа можно проще, если использовать понятие модуля.

Пускай нам нужно сложить числа, которые имеют одинаковые знаки.
Для этого, отбрасываем знаки чисел и берём модули этих чисел. Сложим модули и перед суммой поставим знак, который был общим у данных чисел.

Пример.

Пример сложения отрицательных чисел.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Чтобы сложить числа одного знака надо сложить их модули и поставить перед суммой знак, который был перед слагаемыми.

Сложение чисел с разными знаками
Если числа имеют разные знаки, то действуем несколько по-иному, чем при сложении чисел с одинаковыми знаками.
. Отбрасываем знаки перед числами, то есть берём их модули.
. Из большего модуля вычитаем меньший.
. Перед разностью ставим тот знак, который был у числа с бóльшим модулем.

Пример сложения отрицательного и положительного числа.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Пример сложения смешанных чисел.

Чтобы сложить числа разного знака надо:
. из бóльшего модуля вычесть меньший модуль;
. перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.

Вычитание отрицательных чисел
Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.
Если a и b - положительные числа, то вычесть из числа a число b, значит найти такое число c, которое при сложении с числом b даёт число a.
a - b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

• Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа b - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу b.
a - b = a + (- b)

Пример.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Пример.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Стоит запомнить выражения ниже.
• 0 - a = - a
• a - 0 = a
• a - a = 0

Правила вычитания отрицательных чисел
Как видно из примеров выше вычитание числа b - это сложение с числом противоположным числу b.
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «-».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всемичислами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Правило знаков для чисел

Или выучить простое правило.

• Минус на минус даёт плюс,
• Плюс на минус даёт минус.

Умножение отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.

Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться - это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай - это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «-».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.

• Минус на минус даёт плюс,
• Плюс на минус даёт минус.

В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.

При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве - отрицательным.
Пример.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Конечный результат умножения исходных чисел будет:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
. 0 . a = 0
. a . 0 = 0
. a . 1 = a
Примеры:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица (- 1).

• При умножении на (- 1) число меняется на противоположное.

В буквенном выражении это свойство можно записать:
a . (- 1) = (- 1) . a = - a

При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.

Пример умножения отрицательных и положительных чисел.

Деление отрицательных чисел
Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению.

Если a и b положительные числа, то разделить число a на число b, значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт число a.

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число (- 15) на число 5 - значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число (- 15). Таким числом будет (- 3), так как
(- 3) . 5 = - 15

значит

(- 15) : 5 = - 3

Примеры деления рациональных чисел.
1. 10: 5 = 2, так как 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, так как 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, так как (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, так как (- 3) . (- 4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками - число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками - число отрицательное (примеры 3,4).

Правила деления отрицательных чисел
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

. перед результатом поставить знак «+».
Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:
. модуль делимого разделить на модуль делителя;
. перед результатом поставить знак «-».
Примеры деления чисел с разными знаками:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

• Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
• 0: a = 0, a ≠ 0
• Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
. а: 1 = a
. а: (- 1) = - a
. а: a = 1
, где а - любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
. если a . b = с; a = с: b; b = с: a;
. если a: b = с; a = с. b; b = a: c
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.
x . (- 5) = 10

x = 10: (- 5)

x = - 2

Знак «минус» в дробях
Разделим число (- 5) на 6 и число 5 на (- 6).

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби - это тот же знак деления, и запишем частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак "минус" в дроби может находиться:
. перед дробью;
. в числителе;
. в знаменателе.

• При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.


Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

Числа со знаком «+» называют положительными, числа со знаком «-» называют отрицательными. Прямая с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и направленным называют координатной прямой. Если прямая расположена горизонтально, то обычно положительными считают координаты точек, расположенных справа от точки О, а отрицательными – координаты точек, расположенных слева от точки О. Положительное направление отмечают стрелкой. Если прямая расположена вертикально, то положительными считают координаты точек, находящихся выше точки О, а отрицательными – координаты точек, находящихся ниже точки О. Прямую с выбранным на ней началом отчсета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

ГЧ 4 10 На шоссе начерчен координатный луч. На числе 4 стоит Чебурашка. Чтобы прийти к Гене, он должен пройти 5 единичных отрезков вправо. На каком числе стоит Гена? Старуха Шапокляк находится на таком же расстоянии от Чебурашки, как и Гена, но только с левой стороны. Перечерти рисунок в тетрадь И покажи, где стоит Шапокляк. Что общего между точкой, где она стоит, и точкой с координатой (1)? Что за числа стоят слева от нуля? Где еще возможно «движение» от нуля в разные стороны?

Почему на вопрос: «Сколько градусов?» - и зимой и летом можно ответить «20»? Сравните: зима - лето мороз - тепло минус - плюс «долг» - «имущество» Сравните поговорки: (противоположные слова по смыслу – антонимы, а не числа) Молодой на битву – а старый на думу. Маленькое дело лучше большого безделья Худой мир лучше доброй славы Старый друг лучше новых друзей Труд кормит, а лень портит Делу время, потехе час.

Реши задачи: Вдоль шоссе начерчена координатная прямая. Длина одного единичного отрезка равна 2 метрам. Все действующие лица двигаются только фдоль координатной пряиой. 1.На числе 0 стоят Незнайка и Топорыжка. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Незнайка пришел на число 4. На какое число пришел Незнайка?? Сколько метров прошел Топорыжка? 2.На числе 0 встретились собака и кошка. Кошка пробежала от собаки и остановилась на числе 24. Собака побежала от кошки в другую сторону и пробежала в 2 раза большее расстояние. На каком числе оказалась собака? 3.На числе 9 стоят Малыш и Карлсон. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Малыш пришел на число 29.На какое число пришел Карлсон? 4.На числе 4 стоят Степашка и Филя. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Степашка пришел на число -10. На какое число пришел Филя? Сколько метров прошел Степашка? Сколько метров прошел Филя?

5.На числе 4 стоят Гена и Чебурашка. Они одновременно поли в разные стороны и одновременно остановились.Гена прошел в 3 раза большее расстояние, чем Чебурашка, и оказался на числе37. На каком числе оказался Чебурашка? Кто из них шёл быстрее и во сколько раз? 6.На числе 0 стоят Незнайка и Топорыжка. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Незнайка пришел на число а. На какое число пришел Топорыжка? 7.На числе 5 стоят Незнайка и Топорыжка. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Незнайка пришел на число а. На какое число пришел Топорыжка? 8.На числе d стоят Незнайка и Топорыжка. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Незнайка пришел на число а. На какое число пришел Топорыжка? Вдоль шоссе начерчена числовая прямая. Длина одного единичного отрезка равна половине метра. Все двигаются вдоль числовой прямой. На числе 4 стоял Чиполлино, потм он прошел 6 единичных отрезков влево. На какое число пришел Чиполлино? Сколько метров он прошел?

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2» и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4»

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания, как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше» . Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево, число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше , чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше , чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше , чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше» . И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

Ноль больше, чем минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше , чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

Ноль меньше, чем четыре

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках