В этом видеоматериале пойдет речь о решении неравенств, которые имеют переменную. Они так и называются - неравенствами с одной переменной. Что же является решением таких неравенств? Это такие значения переменной, при которых решаемое нами неравенство становится верным числовым неравенством. А решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет. Для нахождения этих решений мы используем свойства числовых неравенств, которые рассматривались ранее.

Рассмотренный в видео уроке простой пример показывает, как важно иметь четкий алгоритм решения, иначе говоря, знать правила решения неравенств.

Вот предлагается простое неравенство 2х + 5 < 7. Представим себе, что алгоритма решения у нас нет. Значит, мы будем перебирать все числа и смотреть, какие из них нам подходят, то есть при каких значениях переменной х данное неравенство станет верным числовым неравенством. Просматривая видео, замечаем, что подстановка одних чисел дает нам верное числовое неравенство, а подстановка других этого не дает. Приведенный пример показывает неэффективность данного способа решения.

Обратимся к свойствам числовых неравенств. Мы знаем, что к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число. От этого неравенство не изменится. Также мы знаем, что обе части неравенства можно делить или умножать на одно и то же положительное число. В видео уроке показано, как, используя эти свойства, можно найти решение заданного неравенства. Получилось, что х < 1. Это значит, что все числа х, меньше единицы, являются решением неравенства. Они образуют открытый промежуток от минус бесконечности до единицы (числовой луч). Другими словами, у нас есть множество решений заданного неравенства. Окончательное решение неравенства можно записать, используя такие формы.

Первая форма записи: х < 1 (х меньше единицы).

Вторая форма записи: х Є (-∞; 1) (х принадлежит промежутку от минус бесконечности до единицы).

На основании рассмотренных ранее свойств числовых неравенств, можно сформулировать правила, с помощью которых решаются неравенства с одной переменной. Эти правила сформулированы в настоящем видео уроке.

Неравенства с одной переменной вида ах + b > 0 или ах + b < 0 называются линейными неравенствами. Неравенства могут также быть нестрогими, то есть содержать знак ≥ или ≤.

Зх - 5 ≥ 7х - 15.

Для решения неравенства применяются уже известные нам правила. Сначала члены, содержащие переменную, собираем в левой части. При переносе из правой части в левую часть, слагаемое 7х, меняет знак. Числовые члены неравенства собираем в правой части, опять же не забывая менять знаки.

Далее придется разделить обе части неравенства на отрицательное число -4. В результате такого деления получается неравенство противоположного смысла. Обратите внимание, что в ходе решения мы постоянно пользуемся правилами решения неравенств. Окончательно получается, что х ≤ 2,5. Решение можно записать, используя любую из форм:

1. х ≤ 2,5 (х меньше либо равен 2,5);

2. х Є (-∞; 2,5] (х принадлежит промежутку от минус бесконечности до 2,5).

При изучении уравнений было рассмотрено понятие об их равносильности. Для неравенств тоже существует это понятие. Два неравенства с одной переменной будут равносильными, если решения этих неравенств совпадают. Если неравенства не имеют решений, то они также являются равносильными.

Существование равносильных неравенств позволяет намного упростить решение. Ведь тогда неравенство можно заменить равносильным ему, но более простым неравенством.

С помощью таких равносильных преобразований решается пример 2 настоящего видео урока.

Тип урока: интегрированный урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.

Цели урока:

• Систематизация знаний, умений и навыков при решении систем линейных неравенств с одной переменной.
• Совершенствование вычислительных навыков устного и письменного счета, развитие умений применять знания на практике в новых условиях и умения комментировать свои действия.
• Привитие интереса к предмету и к выбору профессии, самостоятельности и умения работать в заданном темпе.
• Развитие математической речи учащихся.

Задачи:

― систематизировать знания и умения по данной теме;

― используя знания и умения учащихся, направлять их деятельность на осуществление выбора эффективных способов решения задач;

― для формирования коммуникативных умений развивать навыки работы в малых группах (парах);

― для формирования организационных умений осуществлять навыки саморегуляции, самоконтроля;

― развивать логическое мышление, математическую речь;

― воспитывать познавательный интерес, направлять учащихся осуществлять расширенный поиск информации с использованием ресурсов из интернета;

― формировать устойчивые положительные мотивы.

Ход урока

I. Организационный момент.

План урока

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

3. Самостоятельная работа в парах (взаимооценка)

4. Физминутка.

5. Выполнение упражнений в группах

6. Домашнее задание.

7. Итог урока.

I Организационный момент.

Взаимное приветствие, фиксация отсутствующих. Прежде чем перейти к теме нашего урока давайте проведем тренинг. «Чемодан» - каждому на спину крепится лист, у всех в руках ручки, все подходят друг к другу и пишут человеку его хорошие качества, которые ему больше всего понравились…

Тема нашего урока Решение неравенств и систем неравенств.

Вопрос: Как вы думаете, какова цель нашего урока?

Ответ: повысить качество знаний, ликвидировать пробелы в знаниях, подготовиться к экзаменам.

Учитель . Молодцы ребята. Цель нашего урока: применение знаний и умений при обобщении темы « Решение неравенств и систем неравенств », при подготовке к экзаменам.

Попробуйте сформулировать задачи, с помощью которых мы добьемся этой цели.

Сегодня у нас с вами необычный урок. А чтобы узнать, о чем пойдет речь на нашем уроке, мы с вами выполним задания устной работы.

II. Устная работа.

1. Вычислите. Зашифрованное слово - род деятельности человека. (Презентация1, Слайд 2)

О чем пойдет речь на нашем уроке? Правильно о профессиях. А что такое профессия? (Презентация1, Слайд 3)

Вы в этом году заканчиваете школу, а какую профессию вы хотите выбрать? А нужна ли математика в вашей профессии? Тогда давайте продолжим наш урок.

2. Прочитайте: (Презентация1, Слайд 4)

3 Игра «Реши неравенства» (неравенства заранее записаны стороне доски).

Мини-итог.

Молодцы! Но для хорошего овладения профессией необходимы прочные навыки вычислений. Давайте сейчас проверим, как хорошо вы считаете.

III. Самостоятельная работа (Работа в парах, образованных по названиям фруктов и овощей).

Откройте тетради. Запишите число, классная работа, тема урока "Решение неравенств и систем неравенств".

Итак, мы знакомимся с профессиями. Для этого надо решить системы неравенств.

Открываем учебник на странице 181 № 532 (а,б первый ученик; в, г-второй ученик, затем обмениваются тетрадями и оценивают друг друг)

Молодцы! Мы познакомимся с профессией (экономиста). (Презентация1, Слайд 14 ).

Какие профессии хотите выбрать вы? Почему? Что это за профессии?

IV. Физминутка.

Прежде чем вы приступите к работе надо выполнить физминутку. (Упражнения для снятия напряжения с глаз).

Физкультминутка. «Прививка хорошего настроения».

• 
  Повернитесь лицом друг другу:
• 
  Пятачок (показывают на нос)
• 
  Улыбочка (разводят руки в стороны)
• 
  Колпачок (соединяют руки над головой)
• 
  Прививочка (щекочут друг друга).

Следующую профессию мы узнаем, решив другую систему неравенств. А для этого нам нужно объедениться в группы. (группы образуются по цвету стикера)

Вам в группе нужно решить определить при каких значениях х имеет смысл выражение.. Стр 182 № 537

Итоги урока. Рефлексия.

Домашнеезадание.

Скачать материал

Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.

Фестиваль «Творческий урок»

Номинация «Уроки креативного типа»

(Урок творческого обобщения)

Тема урока «Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной»

Цель урока: обобщение, систематизация и проверка знаний, умений и навыков в процессе решения неравенств и их систем.

Задачи урока:

1. Образовательные:

обобщить знания по теме «Неравенства и их системы»;

закрепить умение применять свойства неравенств в процессе выполнения заданий в обычных и необычных ситуациях;

контроль уровня знаний, умений и навыков обучающихся по теме «Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной».

2. Развивающие:

развивать умение выделять главное;

обобщать имеющиеся знания;

способствовать развитию кругозора и интереса к предмету.

3. Воспитательные:

воспитывать мыслительную активность, самостоятельность;

достигать сознательного усвоения материала обучающимися;

воспитать прилежность и трудолюбие

Вид урока: обычный – 45 мин.

Класс: 8.

Оборудование:

учебник Ю.Н.Макарычев «Алгебра 8 класс»;

учебник А.Г.Мордкович «Алгебра 8 класс», «Алгебра 9 класс»

компьютер, видеопроектор

Методическое обеспечение урока:

наглядные материалы по домашним заданиям (см. Приложение №1)

дополнительный материал для дом.задания (см. Приложение №2)

дидактический материал (см.Приложение №3)

исторические сведения (см.Приложение №4)

Методы обучения: практический, наглядный, словесный.

Ход урока

I . Организационный момент .

Учащиеся записывают тему урока в тетради.

Дорогие ребята! Сегодня на уроке мы должны обобщить, систематизировать и проверить знания, умения и навыки в процессе решения неравенств и их систем.

Чтобы легче всем жилось,

Чтоб решалось, чтоб моглось,

Улыбнись, удача, всем,

Чтобы не было проблем. Открываем тетради и проверяем правильность выполнения домашних заданий.

II . Проверка домашнего задания.

Для сравнения с решениями учащихся заранее решить на доске № 798(а,в), №799(а,б).

а) ,
, 9х0, х0. Ответ: х ?

2.Принадлежит ли промежутку (1,5; 2,4) число: а) 2; б)
?

3.Какие из натуральных чисел принадлежат промежутку (- 4;3]?

4.Используя координатную прямую найдите пересечение и

объединение промежутков (-3;+ ) и |4;+ ).

V I . Повторение.

1.Какие неравенства соответствуют промежуткам: (Слайд №3)

,,,.

2. Изобразите геометрическую модель промежутков: (Слайд №4)

,,,.

3. Какие неравенства соответствуют геометрическим моделям: (Слайд №5)

4. Какие промежутки соответствуют геометрическим моделям: (Слайд №6)

5. Что значит решить неравенство? Правило 1: любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (не меняя при этом знак неравенства) (Слайд №7)

6.Правило 2: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знак неравенства. )(Слайд №8)

7. Правило 3: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположны (,
).

, (Слайд №9)

, (Слайд №10)

V . Закрепление.

Решите неравенства:

1. (Слайд №11)

2. (Слайд №12)

3. Покажите решение на числовой прямой и запишите ответ в виде интервала: (Слайд №13)

4. Запишите ответ в виде интервала: (Слайд №14)

5. Запишите ответ в виде интервала: (Слайд №15)

6.Что значит решить систему неравенств?

Решить систему неравенств – найти значение

переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решаем систему неравенств: (Слайд №16)

Решаем систему неравенств: (Слайд №17)

Решаем систему неравенств:

(Слайд №18)

Решаем систему неравенств: (Слайд №19)

Самостоятельная работа

Решаем систему неравенств: (Слайд №20)

I вариант

II вариант

Для слабых учащихся карточки с такими же заданиями, но в помощь прилагается одно неравенство с решением и пояснением.

Далее проходит взаимопроверка, соседи по парте обмениваются своими тестами, а на экране проектируются правильные ответы. Ученики ставят оценки товарищу по парте. Решения оцениваются учителем или консультантами.

Физкультурная минутка.

Все ребята дружно встали (выпрямиться)
И на месте зашагали (ходьба на месте)
На носочках потянулись (руки вверх)
А теперь назад прогнулись (прогнуться назад)
Как пружинки вы присели (присесть)
И тихонько рядом мы за парты сели (выпрямиться и сесть)

7. Решение двойных неравенств: (классная работа)

1) (Слайд №21)

2) (Слайд №22)

3) (Слайд №23)

4) (Слайд №24)

По одному из учащихся выходят к доске, выполняют задания и комментируют свои решения. Все оценивают решение и ставят оценку.

А сейчас мы послушаем материал, подготовленный одним из учащихся класса, из истории математики «О неравенствах»

Исторические сведения о понятии неравенства.

В развитии мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Например, при исследовании корней квадратно уравнения по дискриминанту мы тоже часто применяем наряду со знаком равенства и знаки неравенства.

В 1557 году Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующим образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка.

Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот в 1631 году ввел употребляемые поныне знаки неравенства, обосновывая это таким образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение имеет место справа или слева. В первом случае знак означает «больше», а во втором - «меньше»

VI. Домашнее задание для слабых учащихся : №802 (а, г); №804; №808(г, е)

№
802.

Умножим обе части на 12. Получим

3(3 + х) + 4(2 - х)

9 + Зх + 8 - 4х

х > 17 Ответ: х е (17;+ )

Умножим обе части на 10. Получим

10х - 2(х - 3) + 2х - 1 ≤ 40

10х + 6 - 1 ≤ 40

x ≤ 3,5 Ответ: х (-; 3,5]

№804. а) При каких значениях а сумма дробей
и

положительна?

Решение. Умножим обе части неравенства на 12, получим равносильное неравенство: 3(2а - 1) + 4(а - 1) > 0.

6а-3 + 4а-4 > 0

а>0,7 Ответ: а (0,7;+ )

б) При каких значениях b разность дробей и

отрицательна?

Решение. Умножим обе части неравенства на 4, получим равносильное неравенство: 2(Зb - 1) - (1+ 5b)

Ответ: b (-;3)

№808. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

г)
е)

Решение. Решение. - (6 - х) ≥ 0

7-5а≥0 х ≥6

5а ≥ - 7 Ответ: х ≥ 6

а ≤ 7/5 Ответ: а ≤ 1,4

Дополнительные домашние задания для сильных учащихся:

1). Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 4 см?

Решение. Обозначим другую сторону прямоугольника через х см. Тогда периметр Р = 2(6 + х). По условию задачи

2). Существует ли такое значение а, при котором

неравенство ах > 2х + 5 не имеет решения?

Решение, ах - 2х > 5. Вынесем в левой части неравенства общий множитель

х за скобки: х(а - 2) > 5

При а = 2 получаем неравенство вида о*х > 5, которое при всех

значениях переменной х не имеет решения. Ответ: при а = 2 неравенство не имеет решения.

V II . Итог урока. - Ребята, сегодня мы повторили, обобщили знания, умения и навыки

по темам «Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной».

Оценки.

VIII . Рефлексия.

У каждого из вас ребята на столе карточки. Уходя с урока, прикрепите на доску одну их них.

Был ли, на ваш взгляд, наш урок уроком обобщения, систематизации и контроля знаний?

Что именно вы повторили на уроке?

С каким настроением уходите?

Спасибо за творческую работу. Желаю дальнейших успехов!

Литература

1. Жохов, В. И., Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса [Текст] / В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. – М: Просвещение, 2003, - 144 с.

2. Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Г., Нешков, К. И., Суворова, С. Б. Алгебра [Текст]: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. – М: Просвещение, 2009, - 271 с.

3. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.:В двух частях. Ч.1: Учеб.для общеобразоват. учреждений. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 223 с.: ил.

4. Алгебра. 9 кл.: В 2 ч. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений / – 9-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2007. – 231 с.: ил.

5. Алгебра. 9 кл.: В 2 ч. Ч.2: Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович, Т.Н.Мишустина, Е.Е.Тульчинская. – 9-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2007. – 152 с.: ил.

Урок по теме: «Решение неравенств методом интервалов».

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

ЦЕЛИ УРОКА:

Обобщить, расширить знания школьников по изучаемой теме.

Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать. Побуждать учеников к самоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность.

Оборудование и материалы : компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся, оценочные листы.

Работа учащихся состоит из этапов. Итоги своей деятельности они фиксируют в оценочных листах, выставляя себе оценку за работу на каждом этапе урока.

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ УЧАЩЕГОСЯ.

этап

Вид работы

Оценка

Повторение. Тест.

Графический диктант.

Практическая работа.

Исследование.

Оценка урока.

Этапы урока:

Повторение (тест)

Графический диктант.

Практическая работа.

Изучение нового.

Подведение итогов урока (рефлексия, самооценка).

Ход урока

Организационный момент.

Учитель сообщает учащимся тему и цель урока.

Тема «Решение неравенств методом интервалов». Цель урока: обобщение и расширение знаний по данной теме.

Знакомит с требованиями ведения оценочного листа.

Сообщение темы и цели урока .(приложение №1-слайд1)

Тема, которую мы сейчас изучаем, поможет вам, ребята, при сдаче не только экзаменов за курс базовой школы, но и поможет успешно сдать централизованное тестирование и непременно понадобится вам для продолжения образования. А в том, что вы захотите его продолжить, я ничуть не сомневаюсь.

Желаю вам успехов в сегодняшней работе и пусть эпиграфом нашего урока будут слова персидского поэта Рудаки: (приложение №1-слайд2)

« С тех пор, как существует мирозданье,

Такого нет, кто б не нуждался в знанье,

Какой мы не возьмём язык и век,

Всегда стремился к знанью человек».

Итак, ребята, открываем тетради, записываем дату и классная работа.

Сегодня на уроке: (приложение №1-слайд3)

Повторение (тест) (использованы КИМы для подготовки к итоговой аттестации). – 10 мин.

Графический диктант. – 5, 7 мин.

Практическая работа. – 15 мин

Изучение нового. – 10 мин.

Подведение итогов урока. Рефлексия. – 3 мин.

Повторение (чтение графиков; графический способ решения уравнений, систем уравнений, неравенств) (приложение №2)

Графический диктант .( приложение №1- слайд4)

« V » – согласен с утверждением; «–» – не согласен с утверждением.

Методом интервалов можно решать только неравенства II степени.

Для решения неравенств методом интервалов левую часть нужно разложить на множители.

Для решения дробно-рациональных неравенств методом интервалов необходимо находить ОДЗ.

На числовой прямой отмечаем только нули функции.

Знаки функции на каждом интервале всегда чередуются.

Неравенства могут иметь решение, состоящее из единственного числа.

Решением неравенства с одной переменной может быть множество всех чисел.

Ответ обязательно нужно записывать в виде промежутков.

Метод интервалов позволяет решать и другие задачи.

К л ю ч: ( приложение №1- слай5) 1) - 2) V 3) V 4) - 5) - 6) V 7) V 8) - 9) V

Оценка «5» – 9 правильных ответов;

Оценка «4» – 7, 8 правильных ответов;

Оценка «3» – 5, 6 правильных ответов;

Оценка «2» – меньше 5 правильных ответов.

Практическая работа (с проверкой ) (приложение №1-слайд 6)

Вариант 1.

№

а) б) ; в)

№

Вариант 2.

№1. Решите методом интервалов неравенства:

а) б) ; в)

№2. Найдите область определения функции:

Самопроверка практической работы ( приложение №1- слайды 7-9).

Оценка практической работы ( приложение №1- слайд10)

Изучение нового .( приложение №1-слайд11 )

Нами уже рассматривался метод интервалов для решения квадратных неравенств. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней.

f (x ) > 0(<, ≤, ≥)

Обязательная фраза : Поскольку функция f (x ) непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов. Функция может изменить свой знак при переходе через ноль или точку разрыва. Хотя может и не изменить. Между нулями и точками разрыва знак сохраняется. Тогда зачем при решении неравенства изображать саму функцию?

Достаточно разбить числовую прямую на интервалы нулями функции и точками разрыва и в каждом из них определить знак.

Пример. Решим неравенство

Решение:

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - корень многочлена кратности .

Данный многочлен имеет корни: кратности 6; кратности 3; кратности 1; кратности 2; кратности 5.

Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности – одной чертой.

Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:

Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

Из рисунка видно, что такими х

Решение:

1 вариант: х=3; х=-2; х=7; х=10

+ - - - +

2 3 7 10

2 вариант: х=9; х=2; х=-6; х=1

- + _ + +

6 1 2 9

(Два ученика решают неравенства на доске, остальные выполняют задание самостоятельно, затем проверяем полученное решение по вариантам и снова делаем выводы о смене знака в зависимости от степени кратности корня).

Обобщая ваши наблюдения, приходим к важным выводам ( приложение №1- слайд13) :

Домашнее задание .( приложение №1-Слайд14)

Решить неравенство:

Построить эскиз графика функции:

Подведение итога урока. Рефлексия . ( приложение №1-слайд15)