От произвольной точки отложить вектор равный данному. Векторы Векторы Историческая справка Понятие вектора Равенство векторов Откладывание вектора от данной точки Сумма двух векторов Законы сложения Вычитание

Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:

Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 .

Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A (12,6) , а конец вектора - координаты B (12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.

Длина отрезка AB называется модулем (длиной , нормой ) вектора и обозначается |a |. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором . Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B . Вектор называется вектором, противоположным вектору .

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.

Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.

Векторы называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.

В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:

где x 1 , x 2 , ..., x n координаты конечной точки вектора x .

Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой , а вектор, записанный в виде

называется вектор-столбцом .

Число n называется размерностью (порядком ) вектора. Если то вектор называется нулевым вектором (т.к. начальная точка вектора ). Два вектора x и y равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы.

Знания и навыки, полученные на данном уроке, пригодятся обучающимся не только на уроках геометрии, но и на занятиях по другим наукам. В ходе урока школьники научатся откладывать вектор от заданной точки. Это может быть обычный урок геометрии, а также внеклассное или факультативное занятие по математике. Данная разработка поможет учителю сэкономить свое время на подготовку к уроку по теме «Откладывание вектора от данной точки». Ему будет достаточно воспроизвести видеоурок на занятии, а затем закрепить материал собственной подборкой упражнений.

Урок по продолжительности занимаем всего 1:44 минуты. Но этого достаточно, чтобы научить школьников откладывать вектор от заданной точки.

Урок начинается с демонстрации вектора, начало которого находится в некоторой точке. Говорят, что вектор от нее отложен. Затем автор предлагает доказать вместе с ним утверждение, согласно которому от любой точки можно отложить вектор, равный данному и, притом, единственный. В ходе доказательства автор подробно рассматривает каждый случай. Во-первых, он берет ситуацию, когда данный вектор нулевой, во-вторых, когда вектор - ненулевой. Во время доказательства используются иллюстрации в виде рисунков и построения, математическая запись, которые формируют у школьников математическую грамотность. Автор рассказывает, не торопясь, что позволяет обучающимся вести записи параллельно, пока идет комментирование. Построение, которое вел автор в ходе доказательства ранее сформулированного утверждения, показывает, как от некоторой точки можно построить вектор, равный данному.

Если обучающиеся будут внимательно смотреть урок и параллельно вести записи, то они легко усвоят материал. Тем более, что автор рассказывает подробно, размеренно и достаточно полно. Если по каким-то причинам что-то не услышали, то можно вернуться и посмотреть урок еще раз.

После просмотра видеоурока желательно приступить к закреплению материала. Учителю рекомендуется подобрать задания по данной теме, чтобы отработать навык откладывания вектора от данной точки.

Данный урок можно использовать для самостоятельного изучения темы школьниками. Но для закрепления необходимо обратиться к учителю, чтобы он подобрал соответствующие задания. Ведь без закрепления материала сложно добиться положительного результата в обучении.

Вектор – одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление (рис. 1). Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скорость (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.

Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и ее приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.

Каждый из направленных отрезков, составляющих вектор (рис. 1), можно назвать представителем этого вектора. Вектор, представителем которого является направленный отрезок, идущий от точки к точке , обозначается через . На рис. 1 имеем , т.е. и - это один и тот же вектор (представителями которого являются оба направленных отрезка, выделенных на рис. 1). Иногда вектор обозначают малой буквой со стрелкой: , .

Вектор, изображаемый направленным «отрезком», у которого начало и конец совпадают, называется нулевым; он обозначается через , т.е. . Два параллельных вектора, имеющих одинаковые длины, но противоположные направления, называются противоположными. Если вектор обозначен через , то противоположный ему вектор обозначается через .

Назовем основные операции, связанные с векторами.

I. Откладывание вектора от точки. Пусть - некоторый вектор и - точка. Среди направленных отрезков, являющихся представителями вектора , имеется направленный отрезок, начинающийся в точке . Конец этого направленного отрезка называется точкой, получающейся в результате откладывания вектора от точки (рис. 2). Эта операция обладает следующим свойством:

I1. Для любой точки и любого вектора существует, и притом только одна, точка , для которой .

Сложение векторов. Пусть и - два вектора. Возьмем произвольную точку и отложим вектор от точки , т.е. найдем такую точку , что (рис. 3). Затем от точки отложим вектор , т. е. найдем такую точку , что . Вектор называется суммой векторов и и обозначается через . Можно доказать, что сумма не зависит от выбора точки , т.е. если заменить другой точкой , то получится вектор , равный (рис. 3). Из определения суммы векторов вытекает, что для любых трех точек справедливо равенство

I2:

(«правило трех точек»). Если ненулевые векторы и не параллельны, то их сумму удобно находить с помощью правила параллелограмма (рис. 4).

II. Основные свойства суммы векторов выражают следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов , , ):

II2. .

Заметим еще, что сумма нескольких векторов находится последовательным нахождением суммы двух из них. Например: .

При этом, в каком бы порядке мы ни складывали заданные векторы, результат (как это вытекает из свойств, названных в пунктах II1, и II2) всегда будет одним и тем же. Например:

Далее, геометрически сумма нескольких векторов может быть получена следующим образом: надо направленные отрезки, являющиеся представителями этих векторов, последовательно отложить друг за другом (т.е. так, чтобы начало второго направленного отрезка совпадало с концом первого, начало третьего – с концом второго и т.д.); тогда вектор будет иметь своим представителем «замыкающий» направленный отрезок, идущий от начала первого к концу последнего (рис. 5). (Заметим, что если при таком последовательном откладывании получается «замкнутая векторная ломаная», то .)

III. Умножение вектора на число. Пусть - ненулевой вектор и - отличное от нуля число. Через обозначается вектор, определяемый следующими двумя условиями: а) длина вектора равна ; б) вектор параллелен вектору , причем его направление совпадает с направлением вектора при и противоположно ему при (рис. 6). Если справедливо хотя бы одно из равенств , , то произведение считается равным . Таким образом, произведение определено для любого вектора и любого числа .

Следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов , и любых чисел ) выражают основные свойства операции умножения вектора на число:

Из этих свойств вытекает ряд дальнейших фактов, связанных с рассмотренными операциями над векторами. Отметим некоторые из них, часто применяемые при решении задач.

а) Если - такая точка отрезка , что , то для любой точки справедливо равенство , в частности если - середина отрезка , то .

б) Если - точка пересечения медиан треугольника , то ; кроме того, для любой точки справедливо равенство (обратные теоремы также справедливы).

в) Пусть - точка прямой и - ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Точка в том и только в том случае принадлежит прямой , если (где - некоторое число).

г) Пусть - точка плоскости и , - ненулевые и непараллельные между собой векторы, параллельные этой плоскости. Точка в том и только в том случае принадлежит плоскости , если вектор выражается через и , т.е. .

Наконец, отметим еще свойство размерности, выражающее тот факт, что пространство трехмерно.

IV. В пространстве существуют такие три вектора , , , что ни один из них не выражается через два других; любой четвертый вектор выражается через эти три вектора: . определяется равенством: обозначено скалярное произведение вектора (и тогда угол между ними не определяется).

Перечисленные выше свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В то же время вектор – геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол; этим и объясняется польза векторов для геометрии (и ее приложений к физике и другим областям знания). Однако для решения геометрических задач с помощью векторов необходимо прежде всего научиться «переводить» условие геометрической задачи на векторный «язык». После такого «перевода» осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное векторное решение снова «переводится» на геометрический «язык». В этом и состоит векторное решение геометрических задач.

При изложении курса геометрии в школе вектор дается как определяемое понятие (см. Определение), и потому принятая в школьном учебнике аксиоматика (см. Аксиоматика и аксиоматический метод) геометрии ничего не говорит о свойствах векторов, т.е. все эти свойства должны доказываться как теоремы.

Существует, однако, и другой путь изложения геометрии, при котором первоначальными (неопределяемыми) понятиями считаются вектор и точка, а отмеченные выше свойства I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 принимаются за аксиомы. Такой путь построения геометрии был предложен в 1917 г. немецким математиком Г. Вейлем. Здесь прямые и плоскости являются определяемыми понятиями. Преимущество такого построения в его краткости и в органической связи с современным пониманием геометрии как в самой математике, так и в других областях знания. В частности, аксиомы II1-II4, III1-III4 вводят так называемое векторное пространство, используемое в современной математике, в физике, математической экономике и т.д.

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.

Г – 9 класс Урок № 2

Тема: Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки.

Цели:

ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов;

научить обучающихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному;

закрепить знания обучающихся в ходе решения задач;

развивать память, внимание, математическое мышление;

вырабатывать трудолюбие, стремление достигать поставленные цели и задачи.

Ход урока.

Организационные моменты.

Сообщение темы и целей урока.

Актуализация знаний и умений обучающихся.

1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.

2. Проверка теоретических сведений:

Равнобедренный треугольник и его свойства. Признаки равенства треугольников.

Определение средней линии треугольника и ее свойство.

Теорема Пифагора и обратная ей теорема.

Формула для вычисления площади треугольника.

Понятие параллелограмма, свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника.

Определение трапеции, виды трапеций.

Площадь параллелограмма, площадь трапеции.

Изучение нового материала.

Материал пунктов 76–78 изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных презентации «Вектора»

1. Понятие векторных величин (или коротко векторов).

2. Примеры векторных величин, известных обучающимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие (рис. 240 учебника).

3. Определение вектора (рис. 241, 242).

4. Обозначение вектора – двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, , или часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: (рис. 243, а, б).

5. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают: (рис. 243, а).

6. Определение длины или модуля ненулевого вектора . Обозначение: . Длина нулевого вектора = 0.

7. Найти длины векторов, изображенных на рисунках 243, а и 243, б.

8. Выполнить практические задания № 738, 739.

9. Рассмотреть пример движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении (из пп. 77 учебника), рис. 244.

10. Ввести понятие коллинеарных векторов (рис. 245).

11. Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение (рис. 246).

12. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

13. Определение равных векторов: если и , то .

14. Объяснение смысла выражения: «Вектор отложен от точки А» (рис. 247).

15. Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (рис. 248).

16. Выполнение практического задания № 743.

17. Устно по готовому чертежу на доске решить задачу № 749.

Решение задач.

1. Решить задачу № 740 (а) на доске и в тетрадях.

2. Устно решить задачу № 744.

3. Решить задачу № 742.

4. Решить задачу № 745 (выборочно).

5. Устно по заготовленному чертежу решить задачу № 746.

6. Доказать прямое утверждение в задаче № 750:

Доказательство

По условию , то AB || CD, значит, по признаку параллелограмма АВDС – параллелограмм, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, середины отрезков AD и BC совпадают.

Повторение организовать в ходе решения следующих задач - Задания для повторения из банка заданий ОГЭ (ГИА)-2016:

№ 9, 10, 11, 12, 13 – из модуля «Геометрия»; № 24 – из части 2 модуля «Геометрия» Вариант № 3

Итоги урока.

Подведение итогов урока. Выставление отметок.

В результате изучения § 1 обучающиеся должны знать определения вектора и равных векторов; уметь изображать и обозначать векторы, откладывать от данной точки вектор, равный данному; решать задачи типа №№ 741–743; 745–752.



Домашнее задание: изучить материал пунктов 76–78; ответить на вопросы 1–6, с. 213 учебника; решить задачи №№ 747, 749, 751.