Интегралы с бесконечными границами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций
Называется Несобственным интегралом
От функции
F
(X
) с бесконечным верхним пределом.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется Сходящимся
. А если же он не существует или равен
± ¥, то этот несобственный интеграл называется Расходящимся.
Если F (X ) ≥ 0 для всех X ≥ A , то У несобственного интеграла (6.1) имеется очевидный геометрический смысл, вытекающий из геометрического смысла (4.3) обычного определенного интеграла. Действительно, согласно рис. 5.14
(6.2)
(6.3)
Здесь S ¥ - площадь бесконечно протяженной в направлении оси Ох криволинейной трапеции (рис. 5.15). Несмотря на свою бесконечную протяженность, она может оказаться и конечной. Но это может произойти, согласно рис. 5.15, лишь в случае, когда Y = F (X ) → 0 при X → ¥ . Да и то, если функция Y = F (X ) → 0 при X → ¥ достаточно быстро.
Пример 1. Найти площадь S ¥ , изображенную на рис. 5.16.
,
так как lnB
→
¥
при B
→
¥
.
Итак, S ¥ = ¥. И это несмотря на то, что функция при X → ¥ . Несобственный интеграл , а значит, он расходится.
Пример 2. Найти площадь S ¥ , изображенную на рис. 5.17.
Здесь S ¥ = 1. То есть бесконечно протяженная площадь оказалась конечной. Это произошло потому, что подинтегральная функция при X → ¥ достаточно быстро (по крайней мере, гораздо быстрее, чем подинтегральная функция в предыдущем примере). Несобственный интеграл (число), а значит, он сходится.
Пример 3 . Выяснить, сходится или расходится несобственный интеграл .
Решение . Вычислим это интеграл:
Не существует. Это очевидно, если вспомнить поведение графика функции Y = = SinX (синусоиды) при X → ¥ . Таким образом, не существует, а значит, он расходится. Впрочем, это и не могло быть иначе, ибо подинтегральная функция cosX не стремится к нулю при Х → ¥ .
Заметим, что при вычислении несобственных интегралов типа , как и при вычислении обычных определенных интегралов , можно сразу применять формулу Ньютона-Лейбница:
Здесь |
Действительно:
Если значение F (¥ ) существует и конечно, то согласно формуле (6.4) Ньютона-Лейбница сходится и несобственный интеграл .
Примечание. Совершенно аналогично интегралам с бесконечным верхним пределом можно рассматривать несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом и даже с обоими бесконечными пределами интегрирования. То есть интегралы вида
Для их вычисления тоже можно применять формулу Ньютона-Лейбница.
Пример 4.
Итак, (число), то есть этот интеграл сходится. Его величина π равна площади S ¥ бесконечно протяженной в обе стороны фигуры, изображенной на рис. 5.18.
Заметим, что сам факт сходимости-расходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования не обязательно устанавливать с помощью прямого вычисления этих интегралов. Это вопрос часто можно решить и гораздо проще, сравнив данный несобственный интеграл с каким-либо другим, для которого сходимость-расходимость уже установлена.
Пусть, например, для всех имеет место неравенство F (X ) £ G (X ), Где Y = F (X ) И Y = G (X ) - Две непрерывные и неотрицательные функции (рис. 5.19). Тогда очевидно, что
Из неравенства (6.6) и рис. 5.19 очевидным образом следует так называемый Признак сравнения несобственных интегралов :
1) Если (число) - сходится, то и (число) - сходится, причем B 2) Если - расходится, то и - расходится. 3) Если - расходится, то - об этом интеграле ничего сказать нельзя. 4) Если (число) - сходится, то - об этом интеграле ничего сказать нельзя. |
В качестве функции G (X ) , с которой на промежутке Сравнивают данную функцию F (X ), часто используют функцию , а в качестве интеграла сравнения - интеграл , учитывая при этом, что при A > 0 и любых α функция - положительная и непрерывная функция, и что
Пример 5.
Решение. Очевидно, что для всех X Î , а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений. Так появляются несобственные интегралы.
Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто. В случае, когда график функции y = f (x ) находится выше оси Ox , определённый интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x ) , осью абсцисс и ординатами x = a , x = b . В свою очередь несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями y = f (x ) (на рисунке ниже - красного цвета), x = a и осью абсцисс.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный интеграл называется расходящимся.
Использование предела интеграла вместо самого несобственного интеграла. Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае - расходящимся. К чему стремится переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.
Несобственные интегралы первого рода - с бесконечными пределами и их сходимость
Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом
Итак, запись несобственного интеграла как отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.
Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f (x ) на промежутке от a до ∞ называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел интегрирования неограниченно растёт , т.е.
.
Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся , а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Решение. На основании определения несобственного интеграла находим
Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.
В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень икса - не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость. То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится, а при каких расходится?
Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (нижний предел интегрирования больше нуля).
Решение. Предположим сначала, что , тогда
В полученном выражении перейдём к пределу при :
Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .
В первом случае, то есть при имеет место . Если , то и не существует.
Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .
Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница , можно вывести следующую очень похожую на неё формулу:
.
Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Предел этого интеграла существует:
Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:
Предел этого интеграла также существует:
.
Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами:
Несобственные интегралы второго рода - от неограниченных функций и их сходимость
Пусть функция f (x ) задана на отрезке от a до b и неограниченна на нём. Предположим, что функция обращается в бесконечность в точке b , в то время как во всех остальных точках отрезка она непрерывна.
Определение. Несобственным интегралом функции f (x ) на отрезке от a до b называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования c , если при стремлении c к b функция неограниченно возрастает, а в точке x = b функция не определена , т.е.
.
Если этот предел существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.
Используя формулу Ньютона-Лейбница, выводим.
Рассмотрим два вида несобственных интервалов:
- 1. Несобственные интегралы I-го рода с бесконечными пределами интегрирования;
- 2. Несобственные интегралы II-го рода от функций с бесконечными разрывами.
Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами интегрирования
Определение: Интегралы вида: называются несобственными интегралами I-го рода с бесконечными пределами, которые определяются с помощью пределов:
Определение Несобственные интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы, с помощью которых эти интегралы определяются.
Несобственные интегралы называются расходящимися, если эти пределы не существуют или бесконечные.
Действительно, пусть функция f(x) определена и непрерывна при любом значении x=в из полубесконечного отрезка функций имеем:
Он сходится к 1. Тогда согласно теореме 1 несобственный интеграл от меньшей функции: также сходится и его значение меньше 1.
Теорема 2. Если для знакоположительных функций, для которых выполняется неравенство 0?g(x)?f(x), при любых х? а, несобственный интеграл от меньшей функции расходится, то расходится и несобственный интеграл от большей функции.
Пример. Исследовать сходимость интеграла:
Решение. Сравним подинтегральную функцию с функцией. Для знакоположительных на интервале нарушается требование произвольного выбора точки на частичных отрезках – нельзя выбрать =с , поскольку значение функции в этой точке не определено. Однако и для этих случаев можно обобщить понятие определенного интеграла, введя еще один предельный переход. Интегралы по бесконечным промежуткам и от разрывных (неограниченных) функций называют несобственными .
Определение.
Пусть
функция
определена на промежутке [a
;
)
и интегрируема на любом конечном отрезке
[a
;
b
],
т.е. существует
для любого b
> a
.
Предел вида
называют несобственным
интегралом
первого
рода
(или
несобственным интегралом по бесконечному
промежутку) и обозначают
.
Таким
образом, по определению,
=
.
Если
предел справа существует и конечен, то
несобственный интеграл
называют сходящимся
.
Если этот предел бесконечен, или не
существует вообще, то говорят, что
несобственный интеграл расходится
.
Аналогично
можно ввести понятие несобственного
интеграла от функции
по промежутку (–;
b
]:
=
.
А
несобственный интеграл от функции
по промежутку (–;
+)
определяется как сумма введенных выше
интегралов:
=
+
,
где а – произвольная точка. Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно из слагаемых.
С
геометрической точки зрения, интеграл
,
,
определяет численное значение площади
бесконечной криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком функции
,
слева – прямой
,
снизу – осью ОХ. Сходимость интеграла
означает существование конечной площади
такой трапеции и равенство ее пределу
площади криволинейной трапеции с
подвижной правой стенкой
.
На случай интеграла с бесконечным пределом можно обобщить и формулу Ньютона-Лейбница :
=
=
F(+
)
– F(a
),
где
F(+
)
=
.
Если этот предел существует, то интеграл
сходится, в противном случае – расходится.
Мы рассмотрели обобщение понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка.
Рассмотрим теперь обобщение для случая неограниченной функции.
Определение
Пусть
функция
определена на промежутке [a
;
b
),
неограниченна в некоторой окрестности
точки b
,
и непрерывна на любом отрезке
,
где >0
(и, следовательно, интегрируема на этом
отрезке, т.е.
существует). Предел вида
называется несобственным
интегралом второго рода
(или несобственным интегралом от
неограниченной функции) и обозначается
.
Таким образом, несобственный интеграл от неограниченной в точке b функции есть по определению
=
.
Если предел справа существует и конечен, то интеграл называется сходящимся . Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Аналогично
можно определить несобственный интеграл
от функции
имеющей бесконечный разрыв в точке а
:
=
.
Если
функция
имеет бесконечный разрыв во внутренней
точке с
,
то несобственный интеграл определяется
следующим образом
=
+
=
+
.
Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно слагаемое.
С геометрической точки зрения, несобственный интеграл от неограниченной функции также характеризует площадь неограниченной криволинейной трапеции:
Поскольку несобственный интеграл выводится путем предельного перехода из определенного интеграла, то все свойства определенного интеграла могут быть перенесены (с соответствующими уточнениями) на несобственные интеграла первого и второго рода.
Во многих задачах, приводящих к несобственным интегралам, не обязательно знать, чему равен этот интеграл, достаточно лишь убедиться в его сходимости или расходимости. Для этого используют признаки сходимости . Признаки сходимости несобственных интегралов:
1) Признак сравнения .
Пусть
для всех х
.
Тогда, если
сходится, то сходится и
,
причем
.
Если
расходится, то расходится и
.
2)
Если сходится
,
то сходится и
(последний интеграл в этом случае
называется абсолютно
сходящимся
).
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны сформулированным выше.
Примеры решения задач.
Пример 1.
а)
;
б)
;
в)
г)
; д)
.
Решение.
а) По определению имеем:
.
б) Аналогично
Следовательно, данный интеграл сходится и равен .
в)
По определению
=
+
,
причем, а
– произвольное число. Положим в нашем
случае
,
тогда получим:
Данный интеграл сходится.
Значит, данный интеграл расходится.
д)
Рассмотрим
.
Чтобы найти первообразную подынтегральной
функции, необходимо применить метод
интегрирования по частям. Тогда получим:
Поскольку
ни
,
ни
не существуют, то не существует и
Следовательно, данный интеграл расходится.
Пример 2.
Исследовать сходимость интеграла в зависимости от п .
Решение.
При
имеем:
Если
,
то
и
.
Следовательно, интеграл расходится.
Если
,
то
,
а
,
тогда
= ,
Следовательно, интеграл сходится.
Если
,
то
следовательно, интеграл расходится.
Таким
образом,
Пример 3.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
Интеграл
является несобственным интегралом
второго рода, поскольку подынтегральная
функция
не ограничена в точке
.
Тогда, по определению,
.
Интеграл сходится и равен .
б)
Рассмотрим
.
Здесь также подынтегральная функция
не ограничена в точке
.
Поэтому, данный интеграл – несобственный
второго рода и по определению,
Следовательно, интеграл расходится.
в)
Рассмотрим
.
Подынтегральная функция
терпит бесконечный разрыв в двух точках:
и
,
первая из которых принадлежит промежутку
интегрирования
.
Следовательно, данный интеграл –
несобственный второго рода. Тогда, по
определению
=
=
.
Следовательно,
интеграл сходится и равен
.