Нахождение производной синуса. Производные тригонометрических функций
При
выводе самой первой формулы таблицы
будем исходить из определения
производнойфункции в точке. Возьмем ,
где x
–
любое действительное число, то есть, x
–
любое число из области определения
функции .
Запишем предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при :
Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.
Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .
Производная степенной функции.
Формула
производной степенной функции имеет
вид 
,
где показатель степени p
–
любое действительное число.
Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …
Будем
пользоваться определением производной.
Запишем предел отношения приращения
степенной функции к приращению
аргумента:
Для
упрощения выражения в числителе обратимся
к формуле бинома
Ньютона:
Следовательно,
Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.
Производная показательной функции.
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним
подстановку в исходный предел:
Если
вспомнить второй
замечательный предел, то придем к
формуле производной показательной
функции:
Производная логарифмической функции.
Докажем
формулу производной логарифмической
функции для всех x
из
области определения и всех допустимых
значениях основания a
логарифма.
По определению производной имеем:
Как
Вы заметили, при доказательстве
преобразования проводились с использованием
свойств логарифма. Равенство 
справедливо
в силу второго замечательного предела.
Производные тригонометрических функций.
Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.
По
определению производной для функции
синуса имеем 
.
Воспользуемся
формулой разности синусов:
Осталось
обратиться к первому замечательному
пределу:
Таким образом, производная функции sin x есть cos x .
Абсолютно
аналогично доказывается формула
производной косинуса.
Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .
Вывод
формул таблицы производных для тангенса
и котангенса проведем с использованием
доказанных правил дифференцирования
(производная
дроби).
Производные гиперболических функций.
Правила
дифференцирования и
формула производной показательной
функции из таблицы производных позволяют
вывести формулы производных гиперболического
синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Производная обратной функции.
Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .
Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.
Пусть
функции y
= f(x)
и x
= g(y)
взаимно
обратные, определенные на
интервалах и соответственно.
Если в точке существует
конечная отличная от нуля производная
функции f(x)
,
то в точке существует
конечная производная обратной
функции g(y)
,
причем 
.
В другой записи 
.
Можно
это правило переформулировать для
любого x
из
промежутка ,
тогда получим 
.
Давайте проверим справедливость этих формул.
Найдем
обратную функцию для натурального
логарифма 
(здесь y
–
функция, а x
-
аргумент). Разрешив это уравнение
относительно x
,
получим (здесь x
–
функция, а y
–
ее аргумент). То есть, 
и взаимно
обратные функции.
Из таблицы
производных видим,
что 
и 
.
Убедимся,
что формулы нахождения производных
обратной функции приводят нас к этим
же результатам:
Представлено доказательство и вывод формулы для производной синуса - sin(x). Примеры вычисления производных от sin 2x, синуса в квадрате и кубе. Вывод формулы для производной синуса n-го порядка.
Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
(sin
x)′ = cos
x
.
Доказательство
Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.
Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1)
Значение первого замечательного предела:
(1)
;
2)
Непрерывность функции косинус:
(2)
;
3)
Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(3)
;
4)
Свойство пределов:
Если и ,
то
(4)
.
Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3)
.
В нашем случае
;
.
Тогда
;
;
;
.
Теперь сделаем подстановку .
При ,
.
Применим первый замечательный предел (1):
.
Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Формула производной синуса доказана.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2
x
и y = sin 3
x
.
Пример 1
Найти производную от sin 2x .
Решение
Сначала найдем производную от самой простой части:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 · 1 = 2.
Применяем .
.
Здесь .
Ответ
(sin 2x)′ = 2 cos 2x.
Пример 2
Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2
x
.
Решение
Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .
Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.
Ответ
Пример 3
Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3
x
.
Производные высших порядков
Заметим, что производную от sin x
первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :
.
Здесь .
Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x
приводит к увеличению его аргумента на .
Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5)
.
Докажем это, применяя метод математической индукции.
Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.
Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .
Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить ,
то эта формула примет вид (5).
Формула доказана.
Производная Несмотря на то, что в предыдущих параграфах были рассмотрены два различных примера, между ними есть нечто общее. Для того чтобы это выяснить, нужно стать на функциональную точку зрения. Пусть дана функция y=f(x). Чтобы получить задачу о скорости, будем считать, что независимое переменное х есть время, а у- расстояние точки, движущейся по прямой, от начала координат. Уравне- у ние y-f(x) в этом случае называется законом движения. Чтобы получить задачу о касательной, будем счи- в Рис. 47. тать, что х-абсцисса и у - ордината точки, лежащей на кривой линии, определяемой уравнением у = /(х). Будем производить над функцией у = /(х) некоторые операции и одновременно выяснять, что эти операции означают в задаче о скорости и в задаче о касательной. 1. Дадим х определенное числовое значение и вычислим соответствующее значение У" fix). (1) В задаче о скорости это значит, что для определенного момента времени х мы нашли расстояние у движущейся точки от начала координат (рис, 47). В задаче о касательной это означает, что мы определили координаты точки Р, лежащей на кривой, определенной уравнением у=/(х) (рис. 48). 2. Дадим х приращение h и вычислим соответствующее приращенное значение уу которое отличается от первоначального на величину А у (приращение функции) (см. гл. V, § 4): у + Ьy=f(x+h). В задаче о скорости тем самым мы определяли положение Р, движущейся точки в момент времени x + h* В задаче о касательной получена новая точка М. Здесь АВ= PQ= h, OB = x + h, BM = f(x + h). 3. Найдем приращение функции Ду; для этого вычтем почленно из равенства (2) равенство (1): + h)-f"=/(*) + Ф"(*), (IV) т. е. производная суммы двух функций равна сумме их производных. V. Производная произведения двух функций. Предположим, что нам известны производные функций f{x) и <р(х), а требуется найти производную их произведения. Пусть y = f). (1) Дадим х приращение Л, получим y + /iy = f(+ h). (2) Найдем приращение Ау: = /(* +А) Ф<* +А)-/(3) Прибавим и вычтем из правой части равенства (3) выражение f(x + h) ф(х), тогда A J = /(* + h) Разделим обе части равенства (4) <« + . (5) Так как lim = lim ПХ+Н)-ПХ) , h-+Q П то, переходя к пределу в равенстве (5) при условии Л-»- О, получим lim^= lim /(*+. производная произведения двух функций равна сумме двух произведений: первое из них есть произведение первой функции на производную второй, а второе равно произведению производной первой функции на вторую. VI. Производная функции, сохраняющей одно и то же значение, т. е. производная постоянного. Если функция сохраняет при всех значениях независимого переменного одно и то же значение а, то ее график есть прямая линия, параллельная оси Ох, а ее уравнение у - а. Касательная к этой прямой, конечно, совпадает с ней самой, поэтому угол наклона касательной равен нулю, следовательно, и тангенс угла наклона тоже равен нулю, а это и значит, что производная равна нулю. Таким образом, производная постоянного равна нулю, т. е. а = 0. (VI) VII. Следствие. Пусть дано произведение некоторой функции f(x) на постоянное а, т. е. y = af(x). Найдем производную этого произведения. Применяя формулу (V) этого параграфа, получим y" = af(x) + a"f(x), но производная постоянного равна нулю, поэтому а" = 0 и у" = а/"(;с), или " = af"(x). (VII) Говорят, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Приведем примеры применения правил (Г) - (VII). Пример 5. Вычислим производную функции у = 2х*+5дЛ Записываем последовательно у" = (2х9 -f- 5^*)". Применяя правило (IV), получим у"= (2х*)"(Ьх1)". Применяя правило (VII), получим у" = 2(jc*)"+5 (х2)". Наконец, применяя правило (1), будем иметь окончательный результат y, = 2-3xt + 5"(2x^6xt+\0x. П р и м е р 6. Вычислим производную функции у = 7sin.x: cosx. Применяя правило (VII), получим у" = (7 sin л: cos х)" = 7 (sin х cos х)\ Применяя правило (V), получим у" = 7 или, произведя упрощения, у" =- 7 = 7 cos 2х. П p и m e p 7. Вычислим производную функции y = -g- , [хг -f- sin хЛ " Т. е. у = |-5-J . Применяя (VII), получим у" = - ^х2 sin ; применяя (IV), получим у" [(л:2)" + (sin х)"]; применяя (I), получим у" = ~ ; применяя (II), получим у" = -i- . VIII. Производная частного двух функций. Если даны две функции, производные которых известны, то производная их частного вычисляется по следующему правилу: Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит разность произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, а в знаменателе стоит квадрат знаменателя. П f М Пусть у = t^J , тогда f(x)V = f" (х)Ф (*)-/(*) Ф" (*) (VIII) Ф-W/ [ф(*)1* IX. Производная тангенса. Пусть y - tgx. Выражая sin х г, тангенс через синус и косинус, получим = --. Применим cos X правило (VIII), а потом (II) и (III), тогда получим v" = rtg (X)Y = (s^ *)" cos х -sin х (cos х)" = У Is V /I cos2* _ cos2* + sin2* _ 1 ..уч cos2* cos2* " * Следовательно, производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса того же угла. X. Производная котангенса. Вычислим производную ко- cos X тангенса. Пусть у - ctg * = ---. sin X Применяя правило (VIII), получим " _ (co* Применяя правила (II) и (III), получим. . -sin2*-cos2* 1 .... (ct" XI. Производная сложной функции. Прежде чем рассматривать производную сложной функции.У = / [ф М]> представим ее в виде цепочки функций (см. гл. V, § 3): Рассмотрим уравнения (*) и (#*) независимо друг от друга. Первое из них дает и как функцию х; ее производная равна ср" (л:). Второе определяет у как функцию независимого переменного и; ее производная равна /" (и). Но на самом деле рассматривать эти два уравнения отдельно друг от друга нельзя. Они связаны между собой. Действительно, если мы дадим л: приращение /г, то и, как функция х, получит приращение А и, но и есть в то же время независимое переменное для функции у. Следовательно, изменяя и на Да, мы изменим и у, который получит приращение Ду. По определению производной /»= Иш f Умножим почленно два последних равенства. Так как при" h-*- 0 приращение Да тоже стремится к нулю, то Но у есть функция независимого переменного х (в силу равенства,у = /[ф (*)]), поэтому по определению производной у" - lim Соединяя равенства (***) и (****), получим т. е. производная сложной функции равна произведению производных цепочки функций. Пример 8. Вычислим производную функции j; = sin4 д:. Представим^ в виде цепочки функций: u==sin.x: и у=и4. Так как (sin х)" = cos х и (и*)" = 4и*, то производная у" равна произведению cos х-4ц5, или у* = 4 sin3 х cos лс. Пример 9. Вычислим производную у - tg3x. Представим сложную функцию ^ = tg3jt в виде цепочки: и== Зх, y-tgu. Вычислим производные: и" = 3, (tga)" =-Ц-; их COS Uf произведение даст искомую производную У COS2 и cos2 Зх " XII. Производная показательной функции. Производная показательной функции находится по правилу, выражаемому формулой (ах)"=гах\па. (XII) В частности, если а - е, то 1пе=1 и (ехУ - е*. Эта формула имеет много применений. Пример 10. Найти производную (2е* + ах)" = (2ех)" + + (ах)" = 2ех+ах\па. XIII. Производная логарифмической функции. Производная логарифмической функции находится по правилу, выражаемому формулой <1ов.*>"вП1ПГ- <хш> Если а = то In в = 1, поэтому (1пл-)"=1. Пример 11. ря(* + 3)]"-ji-y. П р и м е р 12. [е*1п х]" = ех(\п х)" Не*)" In лг = - + е*1п х. XIV. Производные обратных тригонометрических функций arctg jc и arcsin х. Эти производные определяются так: (arctg яГ^щ-г (XIV) (arcsin хУ = у= . (XV) Пример 13. " = Пример 14. Найдем производную функции у = ех^1. Представим функцию у в виде цепочки: и-хг + 1, у~еа. Так как (х8 + 1)"= Зх2, (то " = = -<1х 1 =__2* /"l- w2 К 1 - (1 -Jt2)2 Когда разовьются навыки в вычислении производных, то представление в виде цепочки можно делать в уме. Покажем это на примере. Конечно, первый пример будет описан подробно, поэтому на первый взгляд не будет заметно упрощения. П р и м е р 17. Вычислим производную функции у = In sin хг Представив эту функцию в виде цепочки, будем иметь и = хг, v = sin a, y = lnv. Так как (л;8)" = Зл:2, (sin и)" = cos и, (In v)" = , то у" = 3jc2 cos и - = -r^-r cos а;8 Зл:2, J v sin хг Первый множитель в правой части последнего равенства получим в следующей формулировке: производная логарифма равна единице, деленной на то, от чего берется логарифм. Так как в этом примере дан In sin х5, то производная равна Операция логарифмирования рассмотрена. Осталась функция sin л:". Второй множитель читаем так: производная синуса равна косинусу того, от чего берется синус. Поэтому производная равна cos*3. Операция взятия синуса рассмотрена. Остается х*. Производная этого выражения равна З*2, это и есть третий множитель. Пример 18. Найдем (arctg8*)". Здесь последняя (вторая) операция - возведение в третью степень. Первая операция- взятие арктангенса. Поэтому сначала находим производную степени, получаем 3 arctg2 х, а затем - производную арктангенса, пълучаем * 2 . Перемножая полученные про- 1 + х изводные, будем иметь / = 3 arctg2* -. Пример 19. Найдем (arctg*8)". Здесь последняя (вторая) операция - взятие арктангенса, его производная равна ^ Первая операция есть возведение в куб, поэтому производная равна 3*2. Перемножая полученные выражения, будем иметь (arctg х"У =
Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f"(x_0) \).
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x_0) $$
Для обозначения производной часто используют символ y". Отметим, что y" = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .
Геометрический смысл производной
состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно
провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f"(a) \)
Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f"(a) = tg(a) \) .
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет
производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f"(x) \), т.е.
\(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \).
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально»
приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х.
Например, для функции \(y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \).
Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.
Сформулируем его.
Как найти производную функции у = f(x) ?
1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.
Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).
Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f"(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .
Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.
Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f"(0) \)
Итак, мы познакомились с новым свойством функции - дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием
.
При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций»,
то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если C - постоянное число и f=f(x), g=g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования
:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$