Практическая работа: Преобразование графиков функций.
Графики любых функций строят по точкам. Но если вид графика заранее неизвестен, эти точки надо выбирать со смыслом - выделять особо важные точки графика, которые определяют его вид.
Обрати внимание!
К особо важным точкам графика функции y = f (x) относят:
- стационарные и критические точки;
Точки экстремума ;
Точки пересечения графика с осью \(x\) (нули функции) и с осью \(y\);
Точки разрыва функции.
Если речь идет о построении графика незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять определенную схему исследования свойств функции, которая помогает составить представление о ее графике. Когда такое представление сложится, можно приступать к построению графика по точкам.
В курсе математического анализа разработана универсальная схема исследования свойств функции и построения графика функции, позволяющая строить весьма сложные графики. Для наших нужд будут достаточны упрощенные варианты указанной схемы.
1) Если функция y = f (x) непрерывна на всей числовой прямой, то достаточно найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек.
2) Если функция y = f (x) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции (если область не задана) и с указания ее точек разрыва.
3) Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной или нечетной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси \(y\) или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при \(x>0\), а затем дорисовать симметричную ветвь.
4) Если lim x → ∞ f (x) = b , то, как известно, прямая \(y=b\) является горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x) . Асимптоту следует строить на координатной плоскости, она дает своеобразный ориентир для графика.
5) При условии: если x → a , то y → ∞ - прямая \(x=a\) является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) .
Пример:
Построить график функции y = x 2 + 1 x 2 − 1 .
Решение 1. Введем обозначение: f (x) = x 2 + 1 x 2 − 1 . Найдем область определения функции. Она задается условиями x ≠ 1, x ≠ − 1 . Итак, D (f) = (− ∞ ; − 1) ∪ (− 1 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) .
2. Исследуем функцию на чётность:
f (− x) = − x 2 + 1 − x 2 − 1 = x 2 + 1 x 2 − 1 = f (x)
Значит, заданная функция чётна, ее график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x ≥ 0 .
3. Найдём асимптоты. Вертикальной асимптотой является прямая \(x=1\), поскольку при этом значении \(x\) знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить lim x → ∞ f (x) :
lim x → ∞ x 2 + 1 x 2 − 1 = lim x → ∞ x 2 x 2 + 1 x 2 x 2 x 2 − 1 x 2 = lim x → ∞ 1 + 1 x 2 1 − 1 x 2 = 1
Значит, \(y=1\) - горизонтальная асимптота графика функции.
4. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
y ′ = x 2 + 1 x 2 − 1 ′ = (x 2 + 1) ′ ⋅ (x 2 − 1) − (x 2 + 1) ⋅ (x 2 − 1) ′ x 2 − 1 2 = 2 x ⋅ (x 2 − 1) − (x 2 + 1) ⋅ 2 x x 2 − 1 2 = − 4 x x 2 − 1 2 .
Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет.
Стационарные точки найдем из соотношения y ′ = 0 . Получаем: \(-4x=0\), откуда находим, что \(x=0\). При \(x<0\) имеем: y ′ > 0 ; при \(x>0\) имеем: y ′ < 0 . Значит, \(x=0\) - точка максимума функции, причем y max = f (0) = 0 2 + 1 0 2 − 1 = − 1 .
При \(x>0\) имеем: y ′ < 0 ; но следует учесть наличие точки разрыва \(x=1\). Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке 0 ; 1) функция убывает, на промежутке (1 ; + ∞) функция также убывает.
5. Составим таблицу значений функции f (x) = x 2 + 1 x 2 − 1 при x ≥ 0:
6. Отметив найденные точки на координатной плоскости, учтя при этом, что\((0;-1)\) - точка максимума, что \(y=1\) -горизонтальная асимптота, что \(x=1\) -вертикальная асимптота, построим ветви искомого графика при x ≥ 0 . Добавив ветви, симметричные построенным относительно оси ординат, получим весь график.
График функции – это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х , а ординаты - соответствующими значениями функции y .
Если буквально следовать определению, то для построения графика некоторой функции нужно найти в с е пары соответствующих значений аргумента и функции и построить все точки с этими координатами. В большинстве случаев это сделать практически невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому обычно исследуют функцию, что даёт возможность найти область определения и область изменения функции, области её убывания или возрастания, асимптоты, интервалы знакопостоянства и т. д.; находят несколько точек, принадлежащих графику, и соединяют их плавной кривой. Однако при построении графиков многих функций часто можно избежать проведение подобного исследования, используя ряд методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графика. Изложению именно таких методов и посвящается эта статья, которая может служить практическим руководством при построении графиков многих функций.
1 .Параллельный перенос
1.1. Перенос (сдвиг) вдоль оси ординат
Пусть требуется построить график функции y=f(x)+b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений аргумента на b единиц больше соответствующих ординат графика y=f(x) при b>0 и на b единиц меньше при b<0. Следовательно, график функции y=f(x)+b можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y=f(x) на b единиц вверх при b>0 или вниз при b<0.
Рассмотрим это на примере построения графика функции y= x2 +1. Воспользуемся уже хорошо известным нам графиком функции y=x2 (рис.1), назвав его исходным графиком. Сравнивая функцию y=x2 +1 с функцией y=x2 , видим, что ординаты y графика заданной функции на 1 больше ординат исходного графика. Следовательно, исходный график надо перенести на 1 вверх, как это и показано на рисунке 2.
Рис.1 Рис.2 Рис.3
Однако перемещение графика связано с его перерисовыванием, что бывает затруднительно, особенно в случае сложных графиков. Перенос же графика на b единиц вверх или вниз вдоль оси ординат эквивалентен соответствующему, противоположному переносу оси абсцисс на столько же единиц.
Вернёмся к нашему примеру и покажем, что график функции y=x2+1 можно построить ещё проще, если воспользоваться тем же исходным графиком y=x2, но вместо перенесения всей кривой вверх на 1 перенести ось x-ов на ту же единицу вниз, как показано на рисунке 3. Тем самым относительно новой оси x-ов все ординаты кривой увеличиваются на 1, и получается график заданной функции.
Именно этим способом и следует пользоваться, поэтому сформулируем следующее правило.
Для построения графика функции y = f (x )+ b (где y = f (x ) - простейшая функция, график которой нам известен) следует построить график функции y = f (x ), причём горизонтальную ось начертить штриховой линией и затем сдвинуть её на b единиц вниз, если b >0 и на b единиц вверх, если b <0. Это и будет истинная ось х-ов; полученный в новой системе координат график является графиком функции y = f (x )+ b .
Пример 1. Построить график функции y=2x+3.
Р е ш е н и е:
https://pandia.ru/text/80/051/images/image005_20.gif" width="128" height="214">
Рис.4 Рис.5
Пример 2. Построить график функции
Р е ш е н и е:
Строим график функции и переносим ось абсцисс на https://pandia.ru/text/80/051/images/image006_17.gif" width="67" height="41"> (рис.5). Прямая является горизонтальной асимптотой. График пересекает ось абсцисс в точке ( ;0).
1.2 Перенос вдоль оси абсцисс
Пусть тебуется построить график функции y=f(x+a). Рассмотрим функцию y=f(x), которая в некоторой точке x=x1 принимает значение y1=f(x1). Очевидно, функция y=f(x+a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2+a=x1, т. е. x2=x1-a, причём рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений x из области определения функции. Следовательно, график функции y=f(x+a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y=f(x) вдоль оси абсцисс влево на a единиц при a>0 или вправо на a единиц при a<0. Параллельное же перемещение графика вдоль оси абсцисс на a единиц эквивалентно переносу оси ординат на столько же единиц, но в противоположную сторону. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y=f(x+a) следует построить график функции y=f(x) и перенести ось ординат на a единиц вправо при a>0 или на a единиц влево при a<0 .Полученный в новой системе координат график является графиком функции y=f(x+a).
Пример 3. Построить график функции y=log2(x+2).
Р е ш е н и е:
Строим график функции y=log2x. Переносим ось ординат на 2 единицы вправо, и в полученной таким образом новой системе координат имеем график функции y=log2(x+2).
Прямая x=-2 (первоначальная ось y) является вертикальной асимптотой. График пересекает ось абсцисс в точке x= -1, а ось ординат - в точке y=1 (рис.6).
 |
Рис.6 Рис.7
Пример 4. Построить график функции y=sin(x-).
Р е ш е н и е:
Строим график функции y=sin x. Переносим ось ординат на единиц влево и во вновь полученной системе координат имеем график функции y=sin(x-) (рис 7). Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс находим из условия sin(x-)=0, откуда x=+pk, где k=0, ±1, ±2, … .
2 .Отражение
2.1.Построение графика функции вида y = f (- x )
Очевидно, что функции y=f(-x) и y=f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y=f(-x) в области положительных (отрицательных) значений x будут равны ординатам графика функции y=f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях x. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y=f(-x) следует построить график функции y=f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y=f(-x).
 |
 |
Рис.8 Рис.9
Пример 5. Построить график функции y=https://pandia.ru/text/80/051/images/image016_9.gif" width="40" height="24 src=">.gif" align="left" width="231" height="223">Строим график функции y= cos x (рис. 9 – пунктирная кривая) и, отражая его относительно оси абсцисс, получаем график функции y= - cos x.
Пример 7. Построить график функции y= - https://pandia.ru/text/80/051/images/image018_11.gif" width="16" height="41 src="> и, отражая его относительно оси абсцисс, получаем график функции y= - 100%">
2.3.Построение графиков чётной и нечётной функций
Как уже отмечалось, для чётной функции y=f(x) во всей области изменения её аргумента справедливо соотношение f(x)=f(- x). Следовательно, функция такого рода принимает одинаковые значения при всех значениях аргумента, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку. График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
Для построения графика чётной функции y=f(x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента x. График функции y=f(x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается отражением её относительно этой оси.
Пример 8. Построить график функции y=https://pandia.ru/text/80/051/images/image018_11.gif" width="16" height="41 src=">. График функции y= в области отрицательных значений x получаем отражением относительно оси ординат (рис.11).
 |
|||
 |
|||
 |
|||
Для нечётной функции y=f(x) в области всех значений аргумента справедливо равенство f(-x)= - f(x). Таким образом, в области отрицательных значений аргумента ординаты графика нечётной функции равны по величине, но противоположны по знаку ординатам графика той же функции при соответствующих положительных значениях x. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Для построения графика нечётной функции y=f(x) следует строить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (x).
График функции y=f(x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области отрицательных значений x относительно оси абсцисс.
Пример 9. Построить график функции y=xhttps://pandia.ru/text/80/051/images/image019_9.gif" width="25" height="19">), где она имеет вид y=x2..gif" width="20" height="47 src="> .
Р е ш е н и е: Данная функция является нечётной, поэтому строим её график лишь в области x>0 (точка x=0 не входит в область определения функции), где она имеет вид y=1. Ветвь графика данной функции при x<0 получаем отражением относительно начала координат построенной ветви кривой (рис.13). Стрелки означают, что точки (0,1) и (0,-1) не принадлежат графику.
2.4. Построение графика обратной функции
Прямая и обратная функции выражают одну и ту же зависимость между переменными x и y, с тем только отличием, что в обратной функции эти переменные поменялись ролями, что равносильно изменению обозначений осей координат. Поэтому график обратной функции симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы I и III координатных углов, т. е. относительно прямой y=x. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y=https://pandia.ru/text/80/051/images/image028_3.gif" width="25" height="24 src=">.
Р е ш е н и е: 
Чтобы построить график данной функции, рассмотрим график параболы y=x2 (рис.14 – пунктирная кривая) и график обратной к ней функции y=, получаемый отражением параболы относительно прямой y=x. Обратная функция является двузначной. В силу того, что исходная функция y= однозначна и область её изменения есть полуинтервал 0https://pandia.ru/text/80/051/images/image032_3.gif" width="16 height=13" height="13">, графиком функции y= является верхняя ветвь отражённой параболы (сплошная кривая)..gif" width="262" height="213 src=">
Пример 12. Построить график функции y= .
Р е ш е н и е: Данная функция является обратной по отношению к функции y=xhttps://pandia.ru/text/80/051/images/image036_2.gif" height="20"> y=x и отражаем его относительно прямой y=x (рис.15).
3. Деформация (сжатие и растяжение)
3.1 Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат
Рассмотрим функцию вида y=A, где A>0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в A раз больше ординат графика функции y=f(x) при A>1 или в https://pandia.ru/text/80/051/images/image037_3.gif" width="41" height="21"> следует построить график функции y=f(x) и увеличить его ординаты в A раз при A>1 (произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в раз при A<1 (произвести сжатие графика вдоль оси ординат). Полученный график является графиком функции y=A.
Пример 13. Построить график функции y=2cos x.
Р е ш е н и е: Строим график функции y=cos x (рис.16 – пунктирная кривая) и растяжением этого графика вдоль оси ординат в 2 раза получаем график функции y=2cos x (сплошная кривая).
Пример 14. Построить график функции y=https://pandia.ru/text/80/051/images/image039_3.gif" width="15" height="41">x2 (рис.17).
 |
 |
3.2. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс
Пусть требуется построить график функции y=f(wx), где w>0. Рассмотрим функцию y=f(x), которая в произвольной точке x=x1 принимает значение y1=f(x1).
Очевидно, что функция y=f(wx) принимает такое же значение в точке x=x2, координата
https://pandia.ru/text/80/051/images/image043_3.gif" width="20" height="41 src=">, причём это равенство справедливо для совокупности всех значений x из области определения функции. Следовательно, график функции y=f(wx) оказывается сжатым (при w>1) или растянутым (при w<1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y=f(x). Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y=f(wx) следует построить график функции y=f(x) и уменьшить его абсциссы в w раз при w>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в раз при w<1 (произвести растяжение графика вдоль оси абсцисс). Полученный график является графиком функции y=f(wx).
ВНЕАУДИТОРНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2
Преобразование графиков функций.
Цель
Постройте графики функций, используя различные преобразования, ответьте на вопрос задачи.
Выполнение работы
Методические указания
Работа рассчитана на 10 вариантов, номер варианта совпадает с последней цифрой порядкового номере в списке. Например, 1, 11, 21, 31 …выполняют 1 вариант, 2,12, 22 … - 2 вариант, и т.д.
Работа состоит из двух частей: первая часть задания 1 – 5, это задания которые обязательно нужно выполнить, чтобы получить зачет, если эти задания выполнены с ошибкой, необходимо их исправить и снова сдать работу на проверку. Вторая часть, содержит задания, выполнив которые, вы можете заработать дополнительную оценку: основная часть +2 задания – «4», основная часть +3 задания – «5».
Задание 1. Графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно двух точек. (значения аргумента х берем произвольно, а значение функции у, считаем подставляя в формулу).
Чтобы проверить проходит ли график функции через указанную точку нужно координаты точки подставить вместо х и у, если получили верное равенство, то прямая проходит через указанную точку, в противном случае – не проходит.
Задание 2, 3, 4. Графики указанных функций получаются из графиков функций , используя сдвиг вдоль оси х или у.
, сначала строим график функции
или
, затем сдвигаем его на «а» единиц вправо или влево (+а – влево, - а вправо), затем сдвигаем на «в» единиц вверх или вниз (+в – вверх, -в – вниз)
Аналогично с другими функциями:
Задание 5 Чтобы построить график функции: , нужно: 1) построить график функции , 2) часть графика которая находится выше оси х оставить без изменения, 3) часть графика, которая находится ниже оси х зеркально отобразить.
Задачи для самостоятельного решения.
Обязательная часть
Задание 1. Постройте график линейной функции, определите, проходит ли график функции через указанную точку:
Задание 2. Постройте график квадратичной функции, укажите множество значений данной функции.
Задание 3. Постройте график функции, определите, возрастает или убывает указанная функция.
Задание 4. Постройте график функции, ответьте на вопрос задачи.
Задание 5. Постройте график функции, содержащей знак модуля.
Задачи на дополнительную оценку.
Задание 6. Постройте график функции, заданной кусочно, определите, есть ли точка разрыва у данной функции:
Задание 7. Определите, сколько решений имеет система уравнений, отвеет обоснуйте. Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Графики каких функций вы строили в данной работе?
Как называется график линейной функции?
Как называется график квадратичной функции?
Какие преобразования графиков вы знаете?
Как в системе координат располагается график четной функции? График нечетной функции?
Исследование функции дает возможность найти область определения и область изменения функции, области ее убывания или возрастания, асимптоты, интервал знакопостоянства и др. Однако при рассмотрении графиков многих функций часто можно избежать проведения подобного исследования, используя ряд методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графика. Изложению именно таких методов посвящается эта глава, которая может служить практическим руководством при построении многих функций.
Параллельный перенос
Перенос вдоль оси ординат
f (x) => f (x) - b
Пусть требуется построить график функции у = f (х) - b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на ЅbЅ единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f (х) при b>0 и на ЅbЅ единиц больше - при b<0. Следовательно, график функции у = y (х) - b можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции у = f (х) на ЅbЅединиц вниз при b>0 или вверх при b<0. Перемещение графика связано с его перерисовыванием, что бывает затруднительно, особенно в случае сложных графиков. Перенос же графика на ЅbЅединиц вниз или вверх вдоль оси ординат эквивалентен соответствующему противоположному переносу оси абсцисс настолько же единиц. Именно этим способом мы будем пользоваться. Тогда представив исходную функцию в виде у + b = f (х), сформулируем следующее правило.
Для построения графика функции y + b = f (x) следует построить график функции y = f (x) и перенести ось абсцисс на ЅbЅ единиц вверх при b>0 или наЅbЅ единиц вниз при b<0. Полученный в новой системе координат график является графиком функции y = f (x) - b.
Перенос вдоль оси абсцисс
f (x) => f (x + a)
Пусть требуется построить график функции у = f (x + a). Рассмотрим функцию y = f (x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f (x1). Очевидно, функция у = f (x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f (x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f (x) вдоль оси абсцисс влево наЅaЅ единиц при a>0 или вправо на ЅaЅ единиц при a<0. Параллельное же перемещение вдоль оси абсцисс на ЅaЅ единиц эквивалентно переносу оси ординат на столько же единиц, но в противоположную сторону. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f (x + a) следует построить график функции y = f (x) и перенести ось ординат на ЅaЅ единиц вправо при a>0 или наЅaЅ единиц влево при a<0. Полученный в новой системе координат график является графиком функции y = f (x + a).
Отражение
Построение графика функции вида y = f (-x)
f (x) => f (-x)
Очевидно, что функции y = f (-x) и y = f (x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f (-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f (x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f (-x) следует построить график функции y = f (x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f (-x)
Построение графика функции вида y = - f (x)
f (x) => - f (x)
Ординаты графика функции y = - f (x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f (x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = - f (x) следует построить график функции y = f (x) и отразить его относительно оси абсцисс.
Построение графиков четной и нечетной функций.
Как уже отмечалось, для четной функции y = f (x) во всей области изменения ее аргумента справедливо соотношение f (x) = f (-x). Следовательно, функция такого рода принимает одинаковое значение при всех значениях аргумента, равных по абсолютной величин, но противоположных по знаку. График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Для построения графика четной функции y = f (x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (хі0). График функции y = f (x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается отражением ее относительно этой оси.
Для нечетной функции y = f (x) в области всех значений аргумента справедливо равенство f (-x) = - f (x). Таким образом, в области отрицательных значений аргумента ординаты графика нечетной функции равны по величин, но противоположны по знаку ординатам графика той же функции при соответствующих положительных значениях х. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Для построения графика нечетной функции y = f (x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (хі0). График функции y = f (x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области отрицательных значений относительно оси абсцисс.
Построение графика обратной функции
Как уже отмечалось, прямая и обратная функции выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, с тем только отличием, что в обратной функции переменные поменялись ролями, что равносильно изменению обозначений осей координат. Поэтому графиком обратной функции симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы I и III координатных углов, т.е. относительно прямой y = x. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = j (x), обратной по отношению к функции y = f (x), следует построить график y = f (x) и отразить его относительно прямой y =x