При движении по криволинейной траектории вектор ускорения. Кинематика криволинейного движения

6. Криволинейное движение. Угловое перемещение, угловые скорость и ускорение тела. Путь и перемещение при криволинейном движении тела.

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.

Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модульскорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).

Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.

При движении по криволинейной траектории вектор перемещения направлен по хорде (рис. 1.19), аl – длина траектории . Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение :

или

Где v τ , v 0 – величины скоростей в момент времени t 0 + Δt и t 0 соответственно.

Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.

Криволинейное движение

Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.

Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции v x и v y ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времениt определяется по формулам

Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением где r – радиус окружности.

Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:

Нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:

v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизна траектории в данной точке.

Тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.

Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:

Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характе­ристиками равномерного движения по окружности являются период и частота обращения.

Период обращения - это время, за которое тело совершается один оборот.

Обозначается период буквой Т (с) и определяется по формуле:

где t - время обращения, п - число оборотов, совершенных за это время.

Частота обращения - это величина, численно равная числу оборотов, совершенных за единицу времени.

Обозначается частота греческой буквой (ню) и находится по формуле:

Измеряется частота в 1/с.

Период и частота - величины взаимно обратные:

Если тело, двигаясь по окружности со скоростью v, делает один оборот, то пройденный этим телом путь можно найти, умножив ско­рость v на время одного оборота:

l = vT. С другой стороны, этот путь равен длине окружности 2πr . Поэтому

vT = 2πr,

где w (с -1) - угловая скорость.

При неизменной частоте обращения центростремительное ускорение прямо пропорционально расстоянию от движущейся частицы до центра вращения.

Угловая скорость (w ) – величина, равная отношению угла поворота радиуса, на котором находится вращающаяся точка, к промежутку времени, за который произошел этот поворот:

.

Связь между линейной и угловой скоростями:

Движение тела можно считать известным лишь тогда, когда известно, как движется каждая его точка. Самое простое движение твердых тел – поступательное. Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается параллельно самой себе.

Рассматривая криволинейное движение тела, мы увидим, что его скорость в разные моменты различна. Даже в том случае, когда модуль скорости не меняется, все же имеет место изменение направления скорости. В общем случае меняются и модуль и направление скорости.

Таким образом, при криволинейном движении скорость непрерывно изменяется, так что это движение происходит с ускорением. Для определения этого ускорения (по модулю и направлению) требуется найти изменение скорости как вектора, т. е. найти приращение модуля скорости и изменение ее направления.

Рис. 49. Изменение скорости при криволинейном движении

Пусть, например, точка, двигаясь криволинейно (рис. 49), имела в некоторый момент скорость а через малый промежуток времени - скорость . Приращение скорости есть разность между векторами и . Так как эти векторы имеют различное направление, то нужно взять их векторную разность. Приращение скорости выразится вектором , изображаемым стороной параллелограмма с диагональю и другой стороной . Ускорением называется отношение приращения скорости к промежутку времени , за который это приращение произошло. Значит, ускорение

По направлению совпадает с вектором .

Выбирая достаточно малым, придем к понятию мгновенного ускорения (ср. § 16); при произвольном вектор будет представлять среднее ускорение за промежуток времени .

Направление ускорения при криволинейном движении не совпадает с направлением скорости, в то время как для прямолинейного движения эти направления совпадают (или противоположны). Чтобы найти направление ускорения при криволинейном движении, достаточно сопоставить направления скоростей в двух близких точках траектории. Так как скорости направлены по касательным к траектории, то по виду самой траектории можно сделать заключение, в какую сторону от траектории направлено ускорение. Действительно, так как разность скоростей в двух близких точках траектории всегда направлена в ту сторону, куда искривляется траектория, то, значит, и ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории. Например, когда шарик катится по изогнутому желобу (рис. 50), его ускорение на участках и направлено так, как показывают стрелки, причем это не зависит от того, катится шарик от к или в обратном направлении.

Рис. 50. Ускорения при криволинейном движении всегда направлены в сторону вогнутости траектории

Рис. 51. К выводу формулы для центростремительного ускорения

Рассмотрим равномерное движение точки по криволинейной траектории. Мы уже знаем, что это - ускоренное движение. Найдем ускорение. Для этого достаточно рассмотреть ускорение для частного случая равномерного движения по окружности. Возьмем два близких положения и движущейся точки, разделенных малым промежутком времени (рис. 51, а). Скорости движущейся точки в и равны по модулю, но различны по направлению. Найдем разность этих скоростей, пользуясь правилом треугольника (рис. 51, б). Треугольники и подобны, как равнобедренные треугольники с равными углами при вершине. Длину стороны , изображающей приращение скорости за промежуток времени , можно положить равной , где - модуль искомого ускорения. Сходственная ей сторона есть хорда дуги ; вследствие малости дуги длина ее хорды может быть приближенно принята равной длине дуги, т.е. . Далее, ; , где - радиус траектории. Из подобия треугольников следует, что отношения сходственных сторон в них равны:

откуда находим модуль искомого ускорения:

Направление ускорения перпендикулярно к хорде . Для достаточно малых промежутков времени можно считать, что касательная к дуге практически совпадает с ее хордой. Значит, ускорение можно считать направленным перпендикулярно (нормально) к касательной к траектории, т. е. по радиусу к центру окружности. Поэтому такое ускорение называют нормальным или центростремительным ускорением.

Если траектория - не окружность, а произвольная кривая линия, то в формуле (27.1) следует взять радиус окружности, ближе всего подходящей к кривой в данной точке. Направление нормального ускорения и в этом случае будет перпендикулярно к касательной к траектории в данной точке. Если при криволинейном движении ускорение постоянно по модулю и направлению, его можно найти как отношение приращения скорости к промежутку времени, за который это приращение произошло, каков бы ни был этот промежуток времени. Значит, в этом случае ускорение можно найти по формуле

аналогичной формуле (17.1) для прямолинейного движения с постоянным ускорением. Здесь - скорость тела в начальный момент, a - скорость в момент времени .

Эта тема будет посвящена более сложному виду движения – КРИВОЛИНЕЙНОМУ . Как несложно догадаться, криволинейным называется движение, траектория которого представляет собой кривую линию . И, поскольку это движение сложнее прямолинейного, то для его описания уже не хватает тех физических величин, которые были перечислены в предыдущей главе.

Для математического описания криволинейного движения имеются 2 группы величин: линейные и угловые.

ЛИНЕЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

1. Перемещение . В разделе 1.1 мы не стали уточнять различие между понятием

Рис.1.3 пути (расстояния) и понятием перемещения,

поскольку в прямолинейном движении эти

различия не играют принципиальной роли, да и

Обозначаются эти величины одной и той же бук-

вой S . Но, имея дело с криволинейным движением,

этот вопрос нужно прояснить. Итак, что такое путь

(или расстояние)? – Это длина траектории

движения. То есть, если Вы отследите траекторию

движения тела и измерите ее (в метрах, километрах и т.д.), вы получите величину, которая называется путем (или расстоянием) S (см. рис.1.3). Таким образом, путь – это скалярная величина, которая характеризуется только числом.

Рис.1.4 А перемещение - это кратчайшее расстояние между

точкой начала пути и точкой конца пути. И, поскольку

перемещение имеет строгую направленность из начала

Пути в его конец, то оно является величиной векторной

и характеризуется не только численным значением, но и

направлением (рис.1.3). Нетрудно догадаться, что, если

тело совершает движение по замкнутой траектории, то к

моменту его возвращения в начальное положение перемещение будет равно нулю (см. рис.1.4).

2 . Линейная скорость . В разделе 1.1 мы давали определение этой величины, и оно остается в силе, хотя тогда мы не уточняли, что эта скорость линейная. Как же направлен вектор линейной скорости? Обратимся к рис.1.5. Здесь изображен фрагмент

криволинейной траектории тела. Любая кривая линия представляет собой соединение между собой дуг разных окружностей. На рис.1.5 изображены только две из них: окружность (О 1 , r 1) и окружность (О 2 , r 2). На момент прохождения тела по дуге данной окружности ее центр становится временным центром поворота с радиусом, равным радиусу этой окружности.

Вектор, проведенный из центра поворота в точку, где в данный момент находится тело, называется радиусом-вектором. На рис.1.5 радиусы-векторы представлены векторами и . Также на этом рисунке изображены и вектора линейной скорости: вектор линейной скорости всегда направлен по касательной к траектории в сторону движения. Следовательно, угол между вектором и радиусом-вектором, проведенным в данную точку траектории, всегда равен 90°. Если тело движется с постоянной линейной скоростью, то модуль вектора изменяться не будет, тогда как его направление все время меняется в зависимости от формы траектории. В случае, изображенном на рис.1.5, движение осуществляется с переменной линейной скоростью, поэтому у вектора изменяется модуль. Но, поскольку при криволинейном движении направление вектора изменяется всегда, то отсюда следует очень важный вывод:

при криволинейном движении всегда есть ускорение ! (Даже если движение осуществляется с постоянной линейной скоростью.) Причем, ускорение, о котором идет речь в данном случае, в дальнейшем мы будем называть линейным ускорением.

3 . Линейное ускорение . Напомню, что ускорение возникает тогда, когда изменяется скорость. Соответственно, линейное ускорение появляется в случае изменения линейной скорости. А линейная скорость при криволинейном движении может изменяться кок по модулю, так и по направлению. Таким образом, полное линейное ускорение раскладывается на две составляющие, одна из которых влияет на направление вектора , а вторая на его модуль. Рассмотрим эти ускорения (рис. 1.6). На этом рисунке

рис. 1.6

О

изображено тело, движущееся по круговой траектории с центром поворота в точке О.

Ускорение, которое изменяет направление вектора , называется нормальным и обозначается . Нормальным оно называется потому, что направлено перпендикулярно (нормально) к касательной, т.е. вдоль радиуса к центру поворота . Его еще называют центростремительным ускорением.

Ускорение, которое изменяет модуль вектора , называется тангенциальным и обозначается . Оно лежит на касательной и может быть направлено как в сторону направления вектора , так и противоположно ему :

Если линейная скорость увеличивается, то > 0 и их вектора сонаправлены;

Если линейная скорость уменьшается, то < 0 и их вектора противоположно

направлены.

Таким образом, эти два ускорения всегда образуют между собой прямой угол (90º) и являются составляющими полного линейного ускорения , т.е. полное линейное ускорение есть векторная сумма нормального и тангенциального ускорения:

Замечу, что в данном случае речь идет именно о векторной сумме, но ни в коем случае не о скалярной. Чтобы найти численное значение , зная и , необходимо воспользоваться теоремой Пифагора (квадрат гипотенузы треугольника численно равен сумме квадратов катетов этого треугольника):

(1.8).

Отсюда следует:

(1.9).

По каким формулам рассчитывать и рассмотрим чуть позже.

УГЛОВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

1 . Угол поворота φ . При криволинейном движении тело не только проходит какой-то путь и совершает какое-то перемещение, но и поворачивается на определенный угол (см. рис. 1.7(а)). Поэтому для описания такого движения вводится величина, которая называется углом поворота, обозначается греческой буквой φ (читается «фи»). В системе СИ угол поворота измеряется в радианах (обозначается «рад»). Напомню, что один полный оборот равен 2π радианам, а число π есть константа: π ≈ 3,14. на рис. 1.7(а) изображена траектория движения тела по окружности радиуса r с цетром в точке О. Сам угол поворота – это угол между радиус-векторами тела в некоторые моменты времени.

2 . Угловая скорость ω – это величина, показывающая, как изменяется угол поворота за единицу времени. (ω – греческая буква, читается «омега».) На рис. 1.7(б) изображено положение материальной точки, движущейся по круговой траектории с центром в точке О, через промежутки времени Δt . Если углы, на которые поворачивается тело в течение этих промежутков, одинаковы, то угловая скорость постоянна, и это движение можно считать равномерным. А если углы поворота разные – то движение неравномерное. И, поскольку угловая скорость показывает, на сколько радиан

повернулось тело за одну секунду, то ее единица измерения – радиан в секунду

(обозначается «рад/с »).

рис. 1.7

а). б). Δt

Δt

Δt

О φ О Δt

3 . Угловое ускорение ε – это величина, показывающая, как изменяется за единицу времени. И, поскольку угловое ускорение ε появляется тогда, когда изменяется, угловая скорость ω , то можно сделать вывод, что угловое ускорение имеет место только в случае неравномерного криволинейного движения. Единица измерения углового ускорения – «рад/с 2 » (радиан за секунду в квадрате).

Таким образом, таблицу 1.1 можно дополнить еще тремя величинами:

Табл.1.2

Теперь можно перейти непосредственно к рассмотрению всех видов криволинейного движения, а их всего лишь три.

При помощи данного урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Прямолинейное и криволинейное движение. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью». Вначале мы охарактеризуем прямолинейное и криволинейное движение, рассмотрев, как при этих видах движения связаны вектор скорости и приложенная к телу сила. Далее рассмотрим частный случай, когда происходит движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью.

На предыдущем уроке мы рассмотрели вопросы, связанные с законом всемирного тяготения. Тема сегодняшнего урока тесно связана с этим законом, мы обратимся к равномерному движению тела по окружности.

Ранее мы говорили, что движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Движение и направление движения характеризуются в том числе и скоростью. Изменение скорости и сам вид движения связаны с действием силы. Если на тело действует сила, то тело изменяет свою скорость.

Если сила направлена параллельно движению тела, то такое движение будет прямолинейным (рис. 1).

Рис. 1. Прямолинейное движение

Криволинейным будет такое движение, когда скорость тела и сила, приложенная к этому телу, направлены друг относительно друга под некоторым углом (рис. 2). В этом случае скорость будет изменять свое направление.

Рис. 2. Криволинейное движение

Итак, при прямолинейном движении вектор скорости направлен в ту же сторону, что и сила, приложенная к телу. А криволинейным движением является такое движение, когда вектор скорости и сила, приложенная к телу, расположены под некоторым углом друг к другу.

Рассмотрим частный случай криволинейного движения, когда тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Когда тело движется по окружности с постоянной скоростью, то меняется только направление скорости. По модулю она остается постоянной, а направление скорости изменяется. Такое изменение скорости приводит к наличию у тела ускорения, которое называется центростремительным .

Рис. 6. Движение по криволинейной траектории

Если траектория движения тела является кривой, то ее можно представить как совокупность движений по дугам окружностей, как это изображено на рис. 6.

На рис. 7 показано, как изменяется направление вектора скорости. Скорость при таком движении направлена по касательной к окружности, по дуге которой движется тело. Таким образом, ее направление непрерывно меняется. Даже если скорость по модулю остается величиной постоянной, изменение скорости приводит к появлению ускорения:

В данном случае ускорение будет направлено к центру окружности. Поэтому оно называется центростремительным.

Почему центростремительное ускорение направлено к центру?

Вспомним, что если тело движется по криволинейной траектории, то его скорость направлена по касательной. Скорость является векторной величиной. У вектора есть численное значение и направление. Скорость по мере движения тела непрерывно меняет свое направление. То есть разность скоростей в различные моменты времени не будет равна нулю (), в отличие от прямолинейного равномерного движения.

Итак, у нас есть изменение скорости за какой-то промежуток времени . Отношение к - это ускорение. Мы приходим к выводу, что, даже если скорость не меняется по модулю, у тела, совершающего равномерное движение по окружности, есть ускорение.

Куда же направлено данное ускорение? Рассмотрим рис. 3. Некоторое тело движется криволинейно (по дуге). Скорость тела в точках 1 и 2 направлена по касательной. Тело движется равномерно, то есть модули скоростей равны: , но направления скоростей не совпадают.

Рис. 3. Движение тела по окружности

Вычтем из скорость и получим вектор . Для этого необходимо соединить начала обоих векторов. Параллельно перенесем вектор в начало вектора . Достраиваем до треугольника. Третья сторона треугольника будет вектором разности скоростей (рис. 4).

Рис. 4. Вектор разности скоростей

Вектор направлен в сторону окружности.

Рассмотрим треугольник, образованный векторами скоростей и вектором разности (рис. 5).

Рис. 5. Треугольник, образованный векторами скоростей

Данный треугольник является равнобедренным (модули скоростей равны). Значит, углы при основании равны. Запишем равенство для суммы углов треугольника:

Выясним, куда направлено ускорение в данной точке траектории. Для этого начнем приближать точку 2 к точке 1. При таком неограниченном прилежании угол будет стремиться к 0, а угол - к . Угол между вектором изменения скорости и вектором самой скорости составляет . Скорость направлена по касательной, а вектор изменения скорости направлен к центру окружности. Значит, ускорение тоже направлено к центру окружности . Именно поэтому данное ускорение носит название центростремительное .

Как найти центростремительное ускорение?

Рассмотрим траекторию, по которой движется тело. В данном случае это дуга окружности (рис. 8).

Рис. 8. Движение тела по окружности

На рисунке представлены два треугольника: треугольник, образованный скоростями, и треугольник, образованный радиусами и вектором перемещения. Если точки 1 и 2 очень близки, то вектор перемещения будет совпадать с вектором пути. Оба треугольника являются равнобедренными с одинаковыми углами при вершине. Таким образом, треугольники подобны. Это значит, что соответствующие стороны треугольников относятся одинаково:

Перемещение равно произведению скорости на время: . Подставив данную формулу, можно получить следующее выражение для центростремительного ускорения:

Угловая скорость обозначается греческой буквой омега (ω), она говорит о том, на какой угол поворачивается тело за единицу времени (рис. 9). Это величина дуги в градусной мере, пройденной телом за некоторое время.

Рис. 9. Угловая скорость

Обратим внимание, что если твердое тело вращается, то угловая скорость для любых точек на этом теле будет величиной постоянной. Ближе точка располагается к центру вращения или дальше - это не важно, т. е. от радиуса не зависит.

Единицей измерения в этом случае будет либо градус в секунду (), либо радиан в секунду (). Часто слово «радиан» не пишут, а пишут просто . Для примера найдем, чему равна угловая скорость Земли. Земля делает полный поворот на за ч, и в этом случае можно говорить о том, что угловая скорость равна:

Также обратите внимание на взаимосвязь угловой и линейной скоростей:

Линейная скорость прямо пропорциональна радиусу. Чем больше радиус, тем больше линейная скорость. Тем самым, удаляясь от центра вращения, мы увеличиваем свою линейную скорость.

Необходимо отметить, что движение по окружности с постоянной скоростью - это частный случай движения. Однако движение по окружности может быть и неравномерным. Скорость может изменяться не только по направлению и оставаться одинаковой по модулю, но и меняться по своему значению, т. е., кроме изменения направления, существует еще изменение модуля скорости. В этом случае мы говорим о так называемом ускоренном движении по окружности.

Что такое радиан?

Существует две единицы измерения углов: градусы и радианы. В физике, как правило, радианная мера угла является основной.

Построим центральный угол , который опирается на дугу длиной .

Кинематика точки. Путь. Перемещение. Скорость и ускорение. Их проекции на координатные оси. Вычисление пройденного пути. Средние значения.

Кинематика точки - раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Путь и перемещение. Линия, по которой движется точка тела, называется траекторией движения . Длина траектории называется пройденным путём . Вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории называется перемещением. Скорость - векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения тела, численно равная отношению перемещения за малый промежуток времени к величине этого промежутка. Промежуток времени считается достаточно малым, если скорость при неравномерном движении в течение этого промежутка не менялась. Определяющая формула скорости имеет вид v = s/t. Единица скорости - м/с. На практике используют единицу измерения скорости км/ч (36 км/ч = 10 м/с). Измеряют скорость спидометром.

Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло. Если скорость изменяется одинаково в течение всего времени движения, то ускорение можно рассчитать по формуле a=Δv/Δt. Единица ускорения – м/с 2

Скорость и ускорение при криволинейном движении. Тангенциальное и нормальное ускорения.

Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии.

Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции v x и v y ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам

v x =v 0 x +a x t, x=x 0 +v 0 x t+a x t+a x t 2 /2; v y =v 0 y +a y t, y=y 0 +v 0 y t+a y t 2 /2

Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением |a|=v 2 /r где r – радиус окружности.

Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих: ,

Нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:

v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизна траектории в данной точке.

Тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.

Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости движения по численному значению и направлена по касательной к траектории.

Следовательно

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Вычислим вектор:

4.Кинематика твёрдого тела. Вращение вокруг неподвижной оси. Угловые скорость и ускорения. Связь между угловыми и линейными скоростями и ускорениями.

Кинематика вращательного движения.

Движение тела может быть как поступательным, так и вращательным. В этом случае тело представляется в виде системы жестко связанных между собой материальных точек.

При поступательном движение любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой се­бе. По форме траектории поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают равные по величине и направлению перемещения. Следовательно,скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени также одинаковы. Для описания поступательного движения достаточно определить движение одной точки.

Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой (ось вращения).

Ось вращения может проходить через тело или лежать за его пределами. Если ось вращения проходит сквозь тело, то точки, лежа­щие на оси, при вращении тела остаются в покое. Точки твёрдого тела, находящиеся на разных расстояниях от оси вращения за одинаковые промежутки времени проходят различные расстояния и, следовательно, имеют различные линейные скорости.

При вращении тела вокруг неподвижной оси точки тела за один и тот же промежуток времени совершают одно и тоже угловое перемещение . Модуль равен углу поворота тела вокруг оси за время , направления вектора углового перемещения с направлением вращения тела связано правилом винта: если совместить направления вращения винта с направлением вращения тела, то вектор будет совпадать с поступательным движением винта. Вектор направлен вдоль оси вращения.

Быстроту изменения углового перемещения определяет угловая скорость - ω. По аналогии с линейной скоростью вводят понятия средней и мгновенной угловой скорости :

Угловая скорость - величина векторная.

Быстроту изменения угловой скорости характеризует среднее и мгновенное

угловое ускорение .

Вектор и может совпадать с вектором , и быть про­тивоположным ему