Простое объяснение теоремы байеса. Как объяснять сложное простым языком

Время основано на секундах, минутах и часах.

В то время как основа для этих единиц изменялась на протяжении всей истории, корни их прослеживаются еще в древнем государстве Шумере.

Современная международная единица времени определяется электронным переходом атома цезия. Но что из себя представляет эта физическая величина?

Время измеряет прогресс событий

Время - это измерение прогрессирования событий. Физики определяют эту величину как прогрессирование событий из прошлого в настоящее и в будущее. В принципе, если система неизменна, она вне этого показателя. Время можно рассматривать как четвертое измерение реальности, используемое для описания событий в трехмерном пространстве. Это не то, что мы можем видеть, ощущать или вкушать, но мы можем измерить его прохождение.

Стрелка показывает, что время перемещается из прошлого в будущее, а не наоборот

Стрелка на часах показывает, что время перемещается из прошлого в будущее, а не в другом направлении. Физические уравнения работают одинаково хорошо, идет ли величина вперед, в будущее (положительное время), или назад, в прошлое (отрицательное время). Однако в естественном мире эта величина имеет одно направление. Вопрос о том, почему она необратима, является одним из самых больших неразрешенных вопросов в науке.

Одно из объяснений состоит в том, что естественный мир следует законам термодинамики. Второй закон термодинамики гласит, что в замкнутой системе ее энтропия остается постоянной или возрастает. Если Вселенная считается замкнутой системой, ее энтропия (степень беспорядка) никогда не может уменьшиться. Другими словами, время не может вернуться к точному состоянию, в котором оно было в более ранней точке. Эта величина не может двигаться назад.

Замедление или ускорение

Время точно отсчитывают исправные часы. В классической механике оно везде одинаково. Однако из специальной и общей теории относительности Эйнштейна мы знаем, что величина - относительное понятие. Показатель зависит от системы отсчета наблюдателя. Это может привести к субъективному замедлению, когда время между событиями становится длиннее (расширяется), чем ближе одно из них к скорости света.

Движущиеся часы работают медленнее, чем стационарные, причем эффект становится более выраженным, когда движущийся механизм приближается к скорости света. Часы на орбите Земли записывают время медленнее, чем на ее поверхности, частицы мюона распадаются медленнее при падении, а эксперимент Майкельсона-Морли подтвердил сокращение длины и расширение величины.

Параллельная реальность способствует избеганию временного парадокса при путешествии во времени

Временного парадокса при путешествии во времени можно избежать, отправляясь в параллельную реальность. Путешествие означает перемещение вперед или назад в разные моменты, подобно тому, как вы можете перемещаться между разными точками в пространстве. Прыжки вперед во времени происходят в природе. Космонавты на космической станции подвергаются ускорению, когда они возвращаются на Землю и замедляют движение по отношению к станции.

Существующие проблемы

Однако путешествие во времени создает проблемы. Одна из них - причинность, или причинно-следственная связь. Перемещение назад может спровоцировать временной парадокс.

«Парадокс дедушки» - классический пример в науке. Согласно ему, если вы вернетесь назад и убьете своего деда, прежде чем родится ваша мать или отец, вы можете предотвратить свое собственное рождение.

Многие физики считают, что путешествие во времени в прошлое невозможно, но существуют такие решения парадокса, как путешествие между параллельными Вселенными или точками ветвления.

Восприятие физической величины

Старение влияет на восприятие времени, хотя ученые с этим положением не согласны. Человеческий мозг способен отслеживать время. Супрахиазматические ядра мозга - это область, ответственная за ежедневные или циркадные природные ритмы. Нейростимуляторы и наркотики значительно влияют на его восприятие. Химические вещества, которые возбуждают нейроны, заставляют их функционировать быстрее, в то время как снижение работы нейронов замедляет восприятие времени.

В основном, когда вам кажется, что все вокруг ускоряется, мозг продуцирует больше событий в течение определенного интервала. В этом отношении время действительно кажется летящим, когда вы весело проводите время. Но оно, похоже, замедляется во время чрезвычайных ситуаций или опасности.

Ученые из Медицинского колледжа Бейлора в Хьюстоне говорят, что работа мозга фактически не ускоряется, но такая область, как амигдала, становится более активной. Амигдала - это часть мозга, которая отвечает за создание воспоминаний. По мере того как формируется больше воспоминаний, время кажется затянутым.

Тот же феномен объясняет, почему пожилые люди, кажется, воспринимают время в более быстром темпе, чем, когда они были моложе. Психологи полагают, что мозг формирует больше воспоминаний о новых переживаниях, чем о знакомых. Поскольку в поздний период жизни новых воспоминаний все меньше, то время в восприятии пожилого человека, кажется, проходит быстрее.

Начало и конец времени

Все больше ученых склоняется к тому мнению, что наша Вселенная зародилась в результате мощнейшего взрыва определенной условной точки, в которой не отмечалось таких показателей, как масса, время и пространство.

Астроном Стивен Хокинг и его коллега из Кембриджа Нейл Турок предполагают, что изначально была идея, из которой родилось слово. Именно в этих двух понятиях и заключалось время и пространство.

Неизвестно, имеет ли время начало или конец. Что касается Вселенной, то время в ней началось. Начальная точка была 13 799 миллиардов лет назад, когда произошел Большой взрыв. Свидетельством этого процесса является реликтовое излучение в пространстве и положение разбегающихся галактик. В это время и начинают осуществляться переходы от одного уровня природной организации к другому - от ядра к атому, а затем молекуле, из которой и появилась живая материя.

Мы можем измерять космическое фоновое излучение как микроволны от Большого взрыва, но не было отмечено никакого излучения с более ранним происхождением.

Один из аргументов о происхождении времени состоит в том, что если бы оно бесконечно расширялось, то в этом случае ночное небо было бы заполнено светом старых звезд.

Будет ли конец времени?

Ответ на этот вопрос неизвестен. Если Вселенная расширяется вечно, время будет продолжаться. Если произойдет новый Большой взрыв, наша временная линия закончится, и начнется новый отсчет. В экспериментах по физике частиц случайные частицы возникают из вакуума, поэтому кажется, что Вселенная не станет статической или вневременной. Время покажет…

Невероятные факты

Наш мир полон загадочного и непознанного, и все загадочное завораживает и пытает наши умы. Но иногда мы сами наделяем простые явления и события таинственным ореолом. Просто потому, что так интереснее.

На примере 6 загадочных событий и явлений мы покажем, как простое становится сложным и таинственным благодаря нам же, людям, любящим тайны и загадки. Оказывается, многое можно просто и логично объяснить.

6. Гибель тургруппы Дятлова

В январе 1959 года 9 молодых туристов – студентов и выпускников Уральского политехнического института отправились в поход по северу Свердловской области. Руководил походом студент-пятикурсник Игорь Дятлов. Конечной целью этого похода была гора Отортен (что в переводе с языка манси означает "не ходи туда"), которую туристы должны были покорить и вернуться обратно. Однако, туристы не вернулись.

26 февраля палатка туристов, разрезанная изнутри, была обнаружена на склоне горы Холат-Сяхл (что в переводе с языка манси означает "гора мертвецов"). Судя по содержимому палатки, она была оставлена внезапно всеми туристами – там были найдены вещи, обувь, деньги и продукты туристов. Впоследствии были найдены тела всех 9 участников похода.

Выяснилось, что некоторые из них погибли от переохлаждения, а другие – от многочисленных травм. Большинство тел было найдено плохо одетыми и без обуви. Кроме того, у одной из туристок отсутствовал язык и некоторые предметы одежды содержали радиоактивные вещества. Уголовное дело было закрыто с заключением, что причиной гибели туристов стала "стихийная сила, преодолеть которую они были не в состоянии".

В течение последних лет эта история стала интернет-сенсацией. Появилось множество версий, причем многие доморощенные "исследователи" склоняются к таким экзотическим причинам гибели "дятловцев", как инопланетяне, привидения и даже снежный человек.

Простое объяснение:

7 загадочных факторов в этой истории будоражат умы людей: отсутствие языка у одного из трупов, странный оранжевый оттенок кожи у трупов, разрезанная изнутри палатка, отсутствие достаточно теплых вещей у покойных, травмы, которые были обнаружены только у трех туристов и, конечно же, следы радиоактивности на одежде погибших. Кроме того, по некоторым свидетельствам, в ту самую ночь, когда погибли туристы, в небе появились огненные шары, которые видел не один человек.

Вспомним о том, что тела туристов были найдены через несколько недель после гибели (предположительно, судя по найденным дневникам, "дятловцы" погибли в ночь с 1 на 2 февраля). Четыре тела было найдено только в мае, после того, как начали сходить снега. Дикие животные начинают поедать труп с самых мягких частей – в данном случае языка. Оранжевый оттенок тел мог образоваться от того, что тела в окружении снега долгое время лежали на солнце.

Травмы туристов и разрезание палатки можно объяснить тем, что на палатку сошла снежная лавина. Туристы разрезали палатку и бежали от нее, не успев обуться и одеться. Кроме того, замерзающие люди иногда, вместо того, чтобы одеться, раздеваются – это связано с тем, что у замерзающего человека нарушается работа мозга. Что касается радиоактивности и "огненных шаров", то в оригинальных документах об этом ничего не сказано. Похоже, все это было додумано людьми, которые любят сенсации.

В общем ничто не указывает на то, что с "дятловцами" произошло нечто большее, чем несчастный случай. Сторонники мистических и конспирологических теорий не хотят с этим мириться и ищут новые доказательства тому, что "дятловцев" убила не "стихийная сила", а нечто иное, гораздо более интересное.

5. Исчезновение колонии Роанок

Колония Роанок была или первым постоянным поселением в Северной Америке или хорошо продуманным недобрым розыгрышем. Сэр Уолтер Рэйли (Walter Raleigh), на чьи средства была основана колония, заслал туда поселенцев и оставил их там на произвол судьбы без каких-либо поставок продовольствия, скорее всего просто для того чтобы посмотреть, выживут они или нет.

Однако, произошло то, чего никто не ожидал – колония просто-напросто исчезла. Вторая группа поселенцев нашла лишь один скелет и загадочное слово "кроатон", вырезанное на дереве.

Что же случилось с колонией? Может быть поселенцев украли инопланетяне или другие загадочные существа?

Простое объяснение

Скорее всего НЛО или привидения тут ни при чем. Просто брошенные на произвол судьбы ребята познакомились с аборигенами из племени "кроатон", которые гораздо лучше поселенцев знали, как добыть пропитание и как вообще жить на этом острове. Поэтому они приняли весьма разумное решение – бросить свою колонию и присоединиться к кроатонцам.

4. Загадочные существа в Хопкинсвилле

В 1955 году, семья Саттонов (Sutton) ужинала на веранде своего дома вместе с другом семьи Билли Реем Тейлором (Billy Ray Taylor). Билли отошел попить воды из колодца… Вот тут то и начались загадочные события, о которых говорят до сих пор. Билли бегом вернулся на веранду, крича о том, что в небе полыхают странные огни и предложил Саттонам посмотреть на это чудо. Саттоны побежали во двор, но вместо небесных огней они увидели во дворе дома странных светящихся существ с большой головой, большими ушами, светящимися глазами и длинными руками. Увидев гуманоидов, Саттоны попытались убить их из ружья, но существа, вместо того, чтобы погибнуть, просто исчезли в темноте.

Простое объяснение:

Саттоны не только описали существ, но и нарисовали их. Нужно сказать, что головы этих существ удивительно напоминают голову обычной ночной совы. А если учитывать что Саттоны в тот вечер порядочно выпили и испугались, можно представить себе, что нарисовало их воображение.

3. Безумный газовщик

В начале 30-х годов жители двух американских городков подвергались странным нападениям: какой-то человек, прозванный впоследствии "безумным газовщиком", отравлял дома людей ядовитым газом, распыляя его через окна, иногда при этом даже сооружая баррикады для того, чтобы жертвы не смогли выйти из отравленного помещения. Жертвы этих нападений жаловались на слабость и боль в горле. Эти события посеяли среди населения настоящую панику.

Естественно, началось официальное расследование этих событий. Некоторые жертвы утверждали, что им удалось увидеть "газового маньяка", но все они описывали "безумного газовщика" совершенно по-разному. Кто-то говорил, что это был мужчина, кто-то – что женщина, кому-то маньяк показался худым, кому-то полным…. В общем если собрать все описания воедино, то вряд ли на земле найдется человек, который не попал бы хотя бы под одно из этих описаний. "Безумного газовщика" так и не поймали, а эта история обросла слухами и огромным количеством версий, подчас совершенно неправдоподобных.

Простое объяснение:

Спустя две недели после начала расследования, Томас Райт (Thomas Wright), член комиссии по охране здоровья заявил: "Нет никакого сомнения в том, что "газовый маньяк" на самом деле существует и что он действительно осуществил серию нападений. Однако, многие заявления о нападениях являются ни чем иным, как проявлением массовой истерии. Весь город болен истерией".

При этом начальник местной полиции заявил, что никакого газового маньяка вовсе не существует. Просто некоторые люди услышали шум за окном, открыли окно, почувствовали странный запах и распустили слухи о газовом маньяке. Стоит учесть, что в городе находилось множество предприятий, загрязняющих воздух.

Однако, эти заявления не успокоили людей. Сообщения о газовых атаках продолжали поступать, однако, ни одно из них не подтвердилось.

Скорее всего "газовый маньяк" на самом деле существовал. Исследователи говорят, что в конце концов личность маньяка была установлена, им оказался студент местного медицинского института, который на самом деле пару раз распылял газ через окна, что и привело к массовой истерии. Когда его спросили, зачем он это делал, он ответил, что он просто сумасшедший.

2. Череп Старчайлда (Звездного Ребенка)

В 1930 году в одной заброшенной шахте был найден череп необычной формы. Эксперты установили, что черепу около 900 лет. Любители всего паранормального сразу заявили, что череп принадлежит инопланетянину, или другому загадочному существу (может быть гоблину?). Этот череп не обсуждал только ленивый, и конечно, многим показалось гораздо более интересным считать этот череп частью загадочного существа, чем искать простые объяснения. Однако, простое объяснение все же существует.

Простое объяснение:

Большинство уфологов почему-то считает, что инопланетяне похожи на людей (два глаза, рот, нос), с небольшими отличиями (ну, например, у них может быть другой цвет кожи, или глаза другого размера). Но почему существа с других планет, условия которых вовсе не схожи с земными, должны быть похожи на людей? Впрочем, некоторые исследователи согласны с тем, что инопланетянам вовсе не обязательно быть похожими на нас, поэтому они заявляют, что "Звездное дитя", череп которого был найден в шахте, является плодом любви землянки и инопланетянина.

Однако же, исследователи, не склонные к поискам загадочного и паранормального, говорят, что череп принадлежал маленькому ребенку в возрасте от 3 до 5 лет. Очевидно, ребенок страдал пороками развития, которые и являются причиной странной формы черепа. Существует большое количество заболеваний, которые приводят к деформации черепа – почему любители загадок забыли об этом?

1.Бермудский треугольник

Наверное, не стоит подробно описывать, что это такое. Достаточно напомнить вкратце, о том, что все, попадающее в этот самый треугольник, пропадает навсегда. Это что-то типа волшебной черной дыры в районе Флориды, Пуэрто Рико и Бермудских островов, где пропадают корабли, самолеты и даже мирные киты. Согласно версии паранормальных "экспертов", эти исчезновения связаны с инопланетянами, переходами в иные измерения, демонами, привидениями и прочей нечистью.

Говорят, что о Бермудском треугольнике сообщал даже сам Христофор Колумб 500 лет тому назад.

Что же происходит? Неужели корабли попадают в другое измерение? Или же их забирают приведения, или их утягивают туда же, куда ушла Атлантида?

Простое объяснение:

Разговоры о Бермудском треугольнике, это ни что иное, как выдумки. Бермудскому треугольнику приписывают все исчезновения кораблей, добавляя ничем не подтвержденные, но очень интересные подробности. Те, кто верит в существование Бермудского треугольника, забывают о том, что большинство "исчезновений" произошло во время шторма, когда судно могло просто-напросто затонуть.

Также часто случается, что исчезнувший корабль считают пропавшим в Бермудском треугольнике, но потом почему-то забывают сообщить о том, что корабль все-таки нашли. Ну и последний, решающий довод – количество исчезновений в районе Бермудского треугольника не превышает количество исчезновений в других частях океана.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что в большинстве случаев чудо – это ни что иное, как желание чуда. Но ведь фантазировать никто не запретит.

Издательство «Манн, Иванов и Фербер»

Самый простой язык для объяснения сложных явлений, процессов, идей — визуальный. Образы - путь к сердцу любого человека. Дэн Роэм не заканчивал художественной школы, но выпустил уже несколько бестселлеров о визуальном мышлении. В последней книге «Рисуй, чтобы победить» он рассказывает о том, как обучать, объяснять, убеждать и продавать с помощью простых картинок.

1. Начните с вопроса «Кто?»

Люди - главное в любом деле. Когда вы хотите увлечь людеи? своей идееи?, первым делом вы должны показать им, кто в нее вовлечен. Не только виноватых, жертв или победителеи?, а всех. Начать с людеи? - не просто вежливость. С точки зрения вашего визуального сознания это закон. Визуальныи? путь «Кто?» определяет людеи? первыми, потому что без игроков нет игры.

Мне интересны другие люди. Это суть моеи? работы. Мне интересно, что значит быть вами, - Мерил Стрип, актриса .

Если вы хотите повлиять на сознание ваших слушателеи?, покажите им людеи?. Если вы хотите затронуть их сердца, покажите им их самих.

Даи?те вашеи? идее лицо, включив людеи? в основу вашего объяснения. Вот пять простых способов нарисовать лицо или человека:

2. Нарисуйте цель

За вопросом «Кто?» следует вопрос «Зачем?». Люди не будут долго вас слушать, если не смогут увидеть, цели вашего сообщения. Чтобы успешно нарисовать цель, для начала нужно иметь четкое представление о том, куда вы направляетесь. К тому же вам необходимо наи?ти визуальныи? способ описать пункт назначения. Вот почему ваш следующии? рисунок должен раскрывать замысел.

Вот несколько целей известных компаний и их визуальное воплощение.

Вернем положенную нам рыночную долю (Стив Джобс, возвращающии?ся в Apple).

Мы уничтожим барьеры образования (Khan Academy).

Мы закроемся на 47 лет, ожидая правильного момента, чтобы вернуться (журнал Vanity Fair).

Мы будем придерживаться своеи? «глупои?» мечты, пока все наконец не увидят, насколько она крута (мороженое Ben & Jerry’s).

3. Нарисуйте карту

Карта нужна вам, чтобы показать, как добраться туда, куда вы идете. Если вы хотите, чтобы людям был понятен каждый шаг - визуализируйте их.

Для начала нарисуи?те первую стрелку, чтобы показать, где вы сеи?час. Назовите ее. Крайнее правое изображение будет вашей целью. Теперь заполните пробел между ними. Шагов может быть несколько; если у вас немало людеи? и проектов, то, скорее всего, появится множество параллельных линии?. В итоге у вас получится или что-то похожее на рисунок ниже или что-то посложнее, с ответвлениями, разными цветами и фигурами.

Пример карты:

4. Расскажите историю

Отлично, теперь у вас есть хорошие изображения, чтобы помочь себе руководить, продавать и изобретать, однако пока рано считать, что у вас есть хорошая визуальная история. У вас есть отдельные детали, но это еще не история. Они станут историеи? только тогда, когда вы соедините их в визуальное повествование с началом, серединои? и финалом.

Хорошая визуальная история - та, которая показывает всю ситуацию. История начинается с короткои? сцены, в которои? показано, о ком/чем вы говорите. Вторая сцена определяет количественные характеристики этих людеи? или объектов. Дальнеи?шая описывает относительные положения ваших игроков и элементов, следующая определяет последовательность , в которои? они взаимодеи?ствуют, идущая за неи? иллюстрирует эффект причины и следствия в отношениях, которые возникают между ними, а финальная подводит общии? итог - отражает основную мысль .

Если вы все сделаете верно, ваша визуальная история обеспечит полныи? контекст, которыи? необходим вашеи? аудитории, чтобы понять вас, и все идеи, которые еи? нужно осознать.

Идеальная визуальная история состоит из шести усложняющихся рисунков, которые отражают процесс зрительного восприятия. Описав так любую идею - любои? сложности, можно прояснить ее, используя возможности системы визуального восприятия.

Если разъяснять этот вопрос максимально просто, то можно привести в качестве примера следующий рассказ:

Однажды очень старый человек вышел из мечети и тяжело ступая, отправился домой. Его тут же обступили бедняки, знавшие о его благочестии и религиозности, и стали кричать наперебой: «Хаджибаба, да вознаградит тебя Аллах, помоги нам». Хаджибаба повернулся к этим беднякам и сказал: «Пойдите к моему сыну бакалейщику, пусть он даст вам, что ни будь для приготовления похлебки, и накормите свои семьи».

Бедняки очень обрадовались этому, и придя в бакалейную лавку передали ее хозяину слова старика. Хозяин лавки был очень послушным сыном, и до этого дня он ни разу не ослушался своего отца. Каждому из бедняков он насыпал крупы в бумажные кульки, после чего вежливо проводил их. Довольные бедняки отправились по домам, и по дороге открыли свои кульки. Каждый из них с радостью воскликнул: «У меня в кульке рис», «а у меня вермишель», «а мне положили шарики из муки и простокваши», «а у меня чечевица».

Эти четверо бедняков не помня себя от радости, поспешили домой, прижимая к себе эти кульки, и по дороге встретили одного плохого человека. Они рассказали этому человеку о случившемся. Он не смог перенести их радости, и сказал им: «Немедленно отправляйтесь к Хаджибаба и скажите ему: «Твой сын не выполнил твоего приказа. Одному из нас он дал рис, а другому чечевицу. Он поступил исходя из своей прихоти. Тогда как ты приказал дать один вид продуктов, он не послушался тебя». Сначала бедняки не придали значения словам этого человека, но затем у них появились сомнения, и они все вместе отправились во двор мечети, ждать появления старика.

Увидев старика, они подошли к нему и сказали: «Твой сын выполнил твое поручение, но он поступил не в соответствии с твоим приказом, а по своему усмотрению. Услышав это от бедняков, старик очень расстроился, но взяв себя в руки, сказал: «Ну что же, сейчас мы это проверим. Но мой сын еще ни разу меня не ослушался».

Когда они все вместе вошли в бакалейную лавку, старик спросил у своего сына: «Сынок, почему давая продукты этим людям, ты поступил по своему усмотрению, а не так как я тебе приказал?». Сын ответил дрожащим голосом: «Ни в коем случае отец. Я не нарушал твоих повелений до сегодняшнего дня, не нарушу их и после». Отец сказал: «Но эти люди пожаловались мне, что ты действовал по собственной прихоти, и каждому из них дал разные виды продуктов». Сын сказал: «Нет, отец, я не ослушался вас.

Вы приказали дать каждому из них, что ни будь для приготовления похлебки, я так и сделал. Каждому из них я дал те продукты, из которых готовят похлебку. Разве я кому-то из них дал кабачки, сыр, фасоль или йогурт? Нет. Так как из этих продуктов не готовят похлебку. Все продукты, которые я им дал, относятся к категории пригодных для приготовления похлебки».

Услышав это объяснение, отец похвалил своего сына, а бедняки извинились, признав свою неправоту.

Именно так и возникли мазхабы. По причине того, что одно слово имело несколько значений. Как выражение «что ни будь для приготовления похлебки» подразумевает собой рис, чечевицу и прочие продукты, так и некоторые слова, упоминаемые в Коране или хадисах, имеют несколько значений. И имамы мазхабов отдавали предпочтение тому или иному, значению этих слов, и каждое из этих значений является правильным и уместным. Благодаря этим предпочтениям и появились мазхабы. Таким образом, возникновение разных мазхабов, является весьма логичным.

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim - от английского limit - предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.