Теорема сложения вероятностей двух событий . Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления :

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий . Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих :

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Пример 2.16. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую - 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение.

События А - «стрелок попал в первую область» и В - «стрелок попал во вторую область» - несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность равна:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Теорема сложения вероятностей п несовместных событий . Вероятность суммы п несовместных событий равна сумме вероятностей этих :

Р(А 1 +А 2 +…+А п)=Р(А 1)+Р(А 2)+…+Р(А п).

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Вероятность события В при условии, что произошло событие А , называется условной вероятностью события В и обозначается так: Р(В/А), или Р А (В).

. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ)=Р(А)Р А (В).

Событие В не зависит от события А , если

Р А (В)=Р(В),

т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А .

Теорема умножения вероятностей двух независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Пример 2.17. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А – «попадание первого орудия» и В – «попадание второго орудия» независимы.

Вероятность события АВ – «оба орудия дали попадание»:

Искомая вероятность

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Теорема умножения вероятностей п событий. Вероятность произведения п событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

Пример 2.18 . В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем – синий (событие С).

Решение.

Вероятность появления белого шара в первом испытании:

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность:

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором - черный, т. е. условная вероятность:

Искомая вероятность равна:

Теорема умножения вероятностей п независимых событий. Вероятность произведения п независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(А 1 А 2 …А п)=Р(А 1)Р(А 2)…Р(А п).

Вероятность появления хотя бы одного из события. Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1 , А 2 , …, А п, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

.

Пример 2.19. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р 1 = 0,8; р 2 = 0,7; р 3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А ) при одном залпе из всех орудий.

Решение.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A 1 (попадание первого орудия), А 2 (попадание второго орудия) и А 3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А 1 , А 2 и А 3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

, , .

Искомая вероятность равна:

Если независимые события А 1 , А 2 , …, А п имеют одинаковую вероятность, равную р , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой:

Р(А)= 1 – q n ,

где q=1- p

2.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть событие А может произойти при условии появления одного из несовместных событий Н 1 , Н 2 , …, Н п , образующих полную группу событий. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами .

Вероятность появления события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(Н 1)Р(А/Н 1)+ Р(Н 2)Р(А/Н 2)+…+ Р(Н п)Р(А/Н п).

Допусти, что произведен опыт, в результате которого событие А произошло. Условные вероятности событий Н 1 , Н 2 , …, Н п относительно события А определяются формулами Байеса :

,

Пример 2.20 . В группе из 20 студентов, пришедших на экзамен, 6 подготовлены отлично, 8 – хорошо, 4 – удовлетворительно и 2 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 30 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 30 вопросов, хорошо подготовленный – на 24, удовлетворительно – на 15, плохо – на 7.

Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

Решение.

Гипотезы – «студент подготовлен отлично»;

– «студент подготовлен хорошо»;

– «студент подготовлен удовлетворительно»;

– «студент подготовлен плохо».

До опыта:

; ; ; ;

7. Что называют полной группой событий?

8. Какие события называют равновозможными? Приведите примеры таких событий.

9. Что называют элементарным исходом?

10. Какие исходы называю благоприятными данному событию?

11. Какие операции можно проводить над событиями? Дайте им определения. Как обозначаются? Приведите примеры.

12. Что называется вероятностью?

13. Чему равна вероятность достоверного события?

14. Чему равна вероятность невозможного события?

15. В каких пределах заключена вероятность?

16. Как определяется геометрическая вероятность на плоскости?

17. Как определяется вероятность в пространстве?

18. Как определяется вероятность на прямой?

19. Чему равна вероятность суммы двух событий?

20. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

21. Чему равна вероятность суммы n несовместных событий?

22. Какую вероятность называют условной? Приведите пример.

23. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

24. Как найти вероятность появления хотя бы одного из событий?

25. Какие события называют гипотезами?

26. Когда применяются формула полной вероятности и формулы Байеса?

Необходимость в действиях над вероятностями наступает тогда, когда известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

• взаимно независимыми;
• взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

• вероятность того, что победят обе автомашины;
• вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:

Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.

Сложение и умножение вероятностей. В этой статье речь пойдёт о решении задач по теории вероятностей. Ранее мы с вами уже разбирали некоторые простейшие задания, для их решения достаточно знать и понимать формулу (советую повторить).

Есть тины задачи немного сложнее, для их решения необходимо знать и понимать: правило сложения вероятностей, правило умножения вероятностей, понятия зависимые и независимые события, противоположные события, совместные и несовместные события. Не пугайтесь определений, все просто)). В этой статье мы с вами именно такие задачи и рассмотрим.

Немного важной и простой теории:

несовместными , если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Классический пример: при бросании игральной кости (кубика) может выпасть только единица, либо только двойка, либо только тройка и т.д. Каждое из этих событий несовместно с другими и совершение одного из них исключает совершение другого (в одном испытании). Тоже самое с монетой — выпадение «орла» исключает возможность выпадение «решки».

Также это относится и к более сложным комбинациям. Например, горят две лампы освещения. Каждая из них может перегореть или не перегореть в течение какого-то времени. Существую варианты:

1. Перегорает первая и перегорает вторя
2. Перегорает первая и не перегорает вторая
3. Не перегорает первая и перегорает вторая
4. Не перегорает первая и перегорает вторая.

Все эти 4 варианта событий несовместны — они вместе произойти просто не могут и никакое из них с любым другим...

Определение: События называются совместными , если появление одного из них не исключает появление другого.

Пример: из колоды карт будет взята дама и из колоды карт будет взята карта пик. Рассматриваются два события. Данные события не исключают друг друга — можно вытащить даму пик и, таким образом, произойдут оба события.

О сумме вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А или событие В или оба одновременно.

Если происходят несовместные события А и В, то вероятность суммы данных событий равна сумме вероятностей событий:

Пример с игральной костью:

Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа меньшего четырёх?

Числа меньшие четырёх это 1,2,3. Мы знаем, что вероятность выпадения единицы равна 1/6, двойки 1/6, тройки 1/6. Это несовместные события. Можем применить правило сложения. Вероятность выпадения числа меньшего четырёх равна:

Действительно, если исходить из понятия классической вероятности: то число всевозможных исходов равно 6 (число всех граней кубика), число благоприятных исходов равно 3 (выпадение единицы, двойки или тройки). Искомая вероятность равна 3 к 6 или 3/6 = 0,5.

*Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учёта их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) -Р(АВ)

Об умножении вероятностей

Пусть происходят два несовместных события А и В, их вероятности соответственно равны Р(А) и Р(В). Произведением двух событий А и В называют такое событие А·В, которое состоит в том что эти события произойдут вместе, то есть произойдёт и событие А и событие В. Вероятность такого события равна произведению вероятностей событий А и В. Вычисляется по формуле:

Как вы уже заметили логическая связка «И» означает умножение.

Пример с той же игральной костью: Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?

Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна 1/6. Вероятность выпадения шестёрки и в первый раз и во второй раз равна произведению вероятностей:

Говоря простым языком: когда в одном испытании происходит некоторое событие, И далее происходит(ят) другое (другие), то вероятность того что они произойдут вместе равна произведению вероятностей этих событий.

Задачи с игральной костью мы решали, но пользовались только логическими рассуждениями, формулу произведения не использовали. В рассматриваемых же ниже задачах без формул не обойтись, вернее с ними будет получить результат проще и быстрее.

Стоит сказать ещё об одном нюансе. При рассуждениях в решении задач используется понятие ОДНОВРЕМЕННОСТЬ совершения событий. События происходят ОДНОВРЕМЕННО — это не означает, что они происходят в одну секунду (в один момент времени). Это значит, что они происходят в некоторый промежуток времени (при одном испытании).

Например:

Две лампы перегорают в течение года (может быть сказано — одновременно в течение года)

Два автомата ломаются в течении месяца (может быть сказано — одновременно в течение месяца)

Игральная кость бросается три раза (очки выпадают одновременно это означает при одном испытании)

Биатлонист делает пять выстрелов. События (выстрелы) происходят во время одного испытания.

События А и В являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события.

Рассмотрим задачи:

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 % этих стекол, вторая –– 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая –– 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Первая фабрика выпускает 0,35 продукции (стёкол). Вероятность купить бракованное стекло с первой фабрики равна 0,04.

Вторая фабрика выпускает 0,65 стёкол. Вероятность купить бракованное стекло со второй фабрики равна 0,02.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,35∙0,04 = 0,0140.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,65∙0,02 = 0,0130.

Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено ЛИБО с первой фабрики, ЛИБО со второй. Это несовместные события, то есть полученные вероятности складываем:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Ответ: 0,027

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,62. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,2. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза, то есть выиграть первый раз И при этом выиграть ещё и второй раз. В случае, когда независимые события должны произойти совместно вероятности этих событий перемножаются, то есть используется правило умножения.

Вероятность произведения указанных событий будет равна 0,62∙0,2 = 0,124.

Ответ: 0,124

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

То есть необходимо найти вероятность того, что школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Вписанная окружность», ЛИБО по теме «Параллелограмм». В данном случае вероятности суммируются, так как это события несовместные и произойти может любое из этих событий: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно.

Ответ: 0,55

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний промахнулся. Результат округлите до сотых.

Поскольку биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,9, то он промахивается с вероятностью 1 – 0,9 = 0,1

*Промах и попадание это события, которые при одном выстреле не могут произойти одновременно, сумма вероятностей этих событий равна 1.

Речь идёт о совершении нескольких (независимых) событий. Если происходит событие и при этом происходит другое (последующие) в одно время (испытание), то вероятности этих событий перемножаются.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, попал, промахнулся» равна 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Округляем до сотых, получаем 0,07

Ответ: 0,07

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.

Эти события независимые, значит вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,07∙0,07 = 0,0049.

Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0049 = 0,9951.

*Исправны оба и какой-то один полностью – отвечает условию «хотя бы один».

Можно представить вероятности всех (независимых) событий для проверки:

1. «неисправен-неисправен» 0,07∙0,07 = 0,0049

2. «исправен-неисправен» 0,93∙0,07 = 0,0651

3. «неисправен-исправен» 0,07∙0,93 = 0,0651

4. «исправен-исправен» 0,93∙0,93 = 0,8649

Чтобы определить вероятность того, что исправен хотя бы один автомат, необходимо сложить вероятности независимых событий 2,3 и 4: Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение: События называются равновозможными , если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

В мы рассмотрим ещё задачи, где используется сумма и произведение вероятностей событий, не пропустите!

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Марья Ивановна ругает Васю:
— Петров, ты почему вчера не был в школе?!
— Мне мама вчера штаны постирала.
— Ну и что?
— А я шел мимо дома и увидел, что Ваши висят. Думал, не придете.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Лекция для студентов землеустроительного факультета

заочной формы обучения

Горки, 2012

Сложение и умножение вероятностей. Повторные

независимые испытания

1. Сложение вероятностей

Суммой двух совместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В . Аналогично суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Суммой двух несовместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении или события А , или события В . Аналогично суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий.

Справедлива теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий , т.е. . Эту теорему можно распространить на любое конечное число несовместных событий.

Из данной теоремы следует:

сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице;

сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.
.

Пример 1 . В ящике находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих шара. Шары перемешивают и наугад извлекают один. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?

Решение . Обозначим события:

A ={извлечён цветной шар};

B ={извлечён белый шар};

C ={извлечён красный шар};

D ={извлечён синий шар}.

Тогда A = C + D . Так как события C , D несовместны, то воспользуемся теоремой сложения вероятностей несовместных событий: .

Пример 2 . В урне находятся 4 белых шара и 6 – чёрных. Из урны наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они одного цвета?

Решение . Обозначим события:

A ={вынуты шары одного цвета};

B ={вынуты шары белого цвета};

C ={вынуты шары чёрного цвета}.

Так как A = B + C и события В и С несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий
. Вероятность события В равна
, где
4,

. Подставим k и n в формулу и получим
Аналогично найдём вероятность события С :
, где
,
, т.е.
. Тогда
.

Пример 3 . Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трёх тузов.

Решение . Обозначим события:

A ={среди вынутых карт не менее трёх тузов};

B ={среди вынутых карт три туза};

C ={среди вынутых карт четыре туза}.

Так как A = B + C , а события В и С несовместны, то
. Найдём вероятности событий В и С :

,
. Следовательно, вероятность того, что среди вынутых карт не менее трёх тузов, равна

0.0022.

1. Умножение вероятностей

Произведением двух событий А и В называется событие С , состоящее в совместном наступлении этих событий:
. Это определение распространяется на любое конечное число событий.

Два события называются независимыми , если вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. События , , … , называются независимыми в совокупности , если вероятность наступления каждого из них не зависит от того, произошли или не произошли другие события.

Пример 4 . Два стрелка стреляют по цели. Обозначим события:

A ={первый стрелок попал в цель};

B ={второй стрелок попал в цель}.

Очевидно, что вероятность попадания в цель первым стрелком не зависит от того, попал или не попал второй стрелок, и наоборот. Следовательно, события А и В независимы.

Справедлива теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий : .

Эта теорема справедлива и для n независимых в совокупности событий: .

Пример 5 . Два стрелка стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0.9, а второго – 0.7. Оба стрелка одновременно делают по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будут иметь место два попадания в цель.

Решение . Обозначим события:

A

B

C ={оба стрелка попадут в цель}.

Так как
, а события А и В независимы, то
, т.е. .

События А и В называются зависимыми , если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое событие или нет. Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается
или
.

Пример 6 . В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны извлекаются шары. Обозначим события:

A ={извлечён белый шар} ;

B ={извлечён чёрный шар}.

Перед началом извлечения шаров из урны
. Из урны извлекли один шар и он оказался чёрным. Тогда вероятность события А после наступления события В будет уже другой, равной . Это означает, что вероятность события А зависит от события В , т.е. эти события будут зависимыми.

Справедлива теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило , т.е. или .

Пример 7 . В урне находятся 4 белых шара и 8 красных. Из неё наугад последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут чёрными.

Решение . Обозначим события:

A ={первым извлечён чёрный шар};

B ={вторым извлечён чёрный шар}.

События А и В зависимы, так как
, а
. Тогда
.

Пример 8 . Три стрелка стреляют по цели независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.5, для второго – 0.6 и для третьего – 0.8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение . Обозначим события:

A ={произойдут два попадания в цель};

B ={первый стрелок попадёт в цель};

C ={второй стрелок попадёт в цель};

D ={третий стрелок попадёт в цель};

={первый стрелок не попадёт в цель};

={второй стрелок не попадёт в цель};

={третий стрелок не попадёт в цель}.

По условию примера
,
,
,

,
,
. Так как , то используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим:

Пусть события
образуют полную группу событий некоторого испытания, а событии А может наступить только с одним из этих событий. Если известны вероятности и условные вероятности события А , то вероятность события А вычисляется по формуле:

Или
. Эта формула называется формулой полной вероятности , а события
гипотезами .

Пример 9 . На сборочный конвейер поступает 700 деталей с первого станка и 300 деталей со второго. Первый станок даёт 0.5% брака, а второй – 0.7%. Найти вероятность того, что взятая деталь будет бракованной.

Решение . Обозначим события:

A ={взятая деталь будет бракованной};

={деталь изготовлена на первом станке};

={деталь изготовлена на втором станке}.

Вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, равна
. Для второго станка
. По условию вероятность получения бракованной детали, изготовленной на первом станке, равна
. Для второго станка эта вероятность равна
. Тогда вероятность того, что взятая деталь будет бракованной, вычисляется по формуле полной вероятности

Если известно, что в результате испытания наступило некоторое событие А , то вероятность того, что это событие наступило с гипотезой
, равна
, где
- полная вероятность события А . Эта формула называется формулой Байеса и позволяет вычислять вероятности событий
после того, как стало известно, что событие А уже наступило.

Пример 10 . Однотипные детали к автомобилям производятся на двух заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 80% общего количества деталей, а второй – 20%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных деталей, а второго – 95%. Покупатель купил одну деталь и она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором заводе.

Решение . Обозначим события:

A ={куплена стандартная деталь};

={деталь изготовлена на первом заводе};

={деталь изготовлена на втором заводе}.

По условию примера
,
,
и
. Вычислим полную вероятность события А : 0.91. Вероятность того, что деталь изготовлена на втором заводе, вычислим по формуле Байеса:

.

Задания для самостоятельной работы

Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.7 и для третьего – 0.9. Стрелки произвели по одному выстрелу. Найти вероятность того, что имеет место не менее двух попаданий в цель.

В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждаются в замене двигателя, а остальные – в замене отдельных узлов. Случайным образом отбираются три трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима не более, чем двум отобранным тракторам.

На железобетонном заводе изготавливают панели, 80% из которых – высшего качества. Найти вероятность того, что из трёх наугад выбранных панелей не менее двух будут высшего сорта.

Три рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0.7, вторым – 0.8 и третьим – 0.6. Для контроля наугад взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Найти вероятность того, что не менее двух из них будут высшего качества.

Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0.2, второго – 0.3 и третьего – 0.25. Имеются по одному билету каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграет не менее двух билетов.

Бухгалтер выполняет расчёты, пользуясь тремя справочниками. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом справочнике, равна 0.6, во втором – 0.7 ив третьем – 0.8. Найти вероятность того, что интересующие бухгалтера данные содержатся не более, чем в двух справочниках.

Три автомата изготавливают детали. Первый автомат изготавливает деталь высшего качества с вероятностью 0.9, второй – с вероятностью 0.7 и третий – с вероятностью 0.6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что среди них не менее двух высшего качества.

На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления нестандартной детали для первого станка равна 0.03, в для второго – 0.02. Обработанные детали складываются в одном месте. Среди них 67% с первого станка, а остальные – со второго. Наугад взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

В мастерскую поступили две коробки однотипных конденсаторов. В первой коробке было 20 конденсаторов, из которых 2 неисправных. Во второй коробки 10 конденсаторов, из которых 3 неисправных. Конденсаторы были переложены в один ящик. Найти вероятность того, что наугад взятый из ящика конденсатор окажется исправным.

На трёх станках изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Среди всех деталей 20% с первого автомата, 30% - со второго и 505 – с третьего. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0.8, на втором – 0.6 и на третьем – 0.7. Взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, эта деталь изготовлена на третьем станке.

Комплектовщик получает для сборки 40% деталей с завода А , а остальные – с завода В . Вероятность того, что деталь с завода А – высшего качества, равна 0.8, а с завода В – 0.9. Комплектовщик наугад взял одну деталь и она оказалась не высшего качества. Найти вероятность того, что эта деталь с завода В .

Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 студентов из первой группы и 8 – из второй. Вероятность того, что студент из первой группы попадёт в сборную академии, равна 0.8, а со второй – 0.7. Наугад выбранный студент попал в сборную. Найти вероятность того, что он из первой группы.

Тип занятия: изучение нового материала.
Учебно-воспитательные задачи:
- дать понятие о случайном событии, вероятности события;
- научить вычислять вероятности события; вероятности случайных событий по классическому определению;
- научить применять теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач;
- продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач с применением классического определения вероятности для непосредственного подсчета вероятностей явлений;
- прививать интерес к математике, используя исторический материал;
- воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений.

Обеспечение занятия:
- карточки-задания для индивидуального опроса;
- карточки-задания для проверочной работы;
- презентация.

Студент должен знать:
- определения и формулы числа перестановок, размещений и сочетаний;
- классическое определение вероятности;
- определения суммы событий, произведения событий; формулировки и формулы теорем сложения и умножения вероятностей.

Студент должен уметь:
- вычислять перестановки, размещения и сочетания;
- вычислять вероятность события используя классическое определение и формулы комбинаторики;
- решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

Мотивация познавательной деятельности студентов.
Преподаватель сообщает, что возникновение теории вероятностей относится к середине XVII в. и связанно с исследованием Б. Паскаля, П. Ферма и Х.Гюйгенса (1629-1695) . Крупный шаг в развитии теории вероятности связан с работами Я.Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - законом больших чисел. Следующий этап в развитии теории связан с именами А.Муавра (1667-1754) , К. Гаусса, П. Лапласа (1749-1827) , С.Пуассона (1781-1840). Среди ученых Петербургской школой следует назвать имена А.М. Ляпунова (1857-1918) и А.А Маркова (1856-1922) . После работ этих математиков во всем мире теорию вероятностей стали называть “Русской наукой”. В средине 20-х годов А.Я. Хинчин (1894-1959) и А.Н. Колмогорова создали Московскую школу теории вероятностей. Вклад акад. А.Н.Колмогоров – лауреата Ленинской премии, международной премии им. Б. Больцано, члена ряда зарубежных академиков – в современную математику огромен. Заслуга А.Н.Колмогорова состоит не только в разработке новых научных теорий, но и еще в большей степени в том, что он воспитал целую плеяду талантливых ученых (акад. АН УССР Б.В. Гнеденко, акад. Ю.В. Прохоров, Б.А. Севастьянов и др.).
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных величин,- за последнее десятилетие превратилась в один из основных методов современных науки и техники. Бурное развитие теории автоматического регулирования привело к необходимости решать многочисленные вопросы, связанные с выяснением возможного хода процессов, на которые влияют случайные факторы. Теория вероятностей необходима широкому кругу специалистов – физикам, биологам, врача, экономистам, инженерам, военным, организаторам производства и т.д.

Ход занятия.

I . Организационный момент.

II . Проверка домашнего задания
Провести фронтальный опрос в виде ответов на вопросы:

Проверить решение упражнений:

• Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
• Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
• 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

III . Изучение нового материала.
В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой читаем: «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». Мы часто употребляем в повседневной жизни «вероятно», «вероятнее», «невероятно», вовсе не имея в виду конкретные количественные оценки этой возможности исполнения.
Основатель современной теории вероятностей А.Н. Колмогоров писал о вероятности так: «Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».
Итак, в математике вероятность измеряется числом. Совсем скоро мы выясним, как именно это можно сделать. Но начнем мы с обсуждения того, у каких событий бывает «математическая вероятность» и что представляют собой эти «определенные, могущие повторяться неограниченное число раз условия». Именно поэтому рассмотрим случайные события и случайные эксперименты.
Нужно сказать, что теория вероятностей, как никакая другая область математики, полна противоречий и парадоксов. Объяснение этому очень простое – она слишком тесно связана с реальной, окружающей нас действительностью. Долгое время ее вместе с математической статистикой даже не хотели причислять к математическим дисциплинам, считая их сугубо прикладными науками.
Только в первой половине прошлого века, в основном благодаря трудам нашего великого соотечественника А.Н. Колмогорова, имя которого уже упоминалось выше, были построены математические основания теории вероятностей, которые позволили отделить собственно науку от ее приложений. Подход, предложенный Колмогоровым, теперь принято называть аксиоматическим, поскольку вероятность в нем (а точнее, вероятностное пространство) определяется как некая математическая структура, удовлетворяющая определенной системе аксиом.
Именно на этом подходе построен современный вузовский курс теории вероятностей, через который прошли в свое время все нынешние учителя математики. Однако в школе такой подход к изучению вероятности (да и математики в целом) вряд ли разумен. Если в вузе основной акцент делается на изучении математического аппарата для исследования вероятностных моделей, то в школе ученик должен научиться эти модели строить, анализировать, проверять их адекватность реальным ситуациям. Такую точку зрения разделяют сегодня большинство ученых, занимающихся проблемами школьного математического образования
В современных школьных учебниках можно найти следующее определение: событие называется случайным , если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Случайным будет, например, событие «При подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков».
В приведенном определении неявно подразумевается одно важное требование, которое необходимо подчеркнуть: мы должны иметь возможность неоднократно воспроизводить одни и те же условия, в которых наблюдается данное событие (например, подбрасывать кубик),- иначе невозможно судить о его случайности.
Стало быть, говоря о любом случайном событии, мы всегда имеем в виду наличие определенных условий, без которых об этом событии вообще не имеет смысла говорить. Этот комплекс условий называют случайным опытом или случайным экспериментом .
В дальнейшем мы будем называть случайным любое событие, связанное со случайным экспериментом . До эксперимента, как правило, невозможно точно сказать, произойдет данное событие, или не произойдет – это выясняется лишь после его завершения. Но неспроста мы сделали оговорку «как правило»: в теории вероятностей принято считать случайными все события, связанные со случайным экспериментом, в том числе:

• невозможные , которые никогда не могут произойти;
• достоверные, которые происходят при каждом таком эксперименте.

Например, событие «На игральном кубике выпадет 7 очков» - невозможное, а «На игральном кубике выпадет меньше семи очков» - достоверное. Разумеется, если речь идет о кубике, на гранях которого написаны числа от 1 до 6.
События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными , если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании (В урне два шара – белый и черный, появление черного шара не исключает появление белого при том же испытании). События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны. Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Обозначения:
Случайные события (большими буквами латинского алфавита): A,B,C,D,.. (или ). “Случайные” опускают и говорят просто “события”.
Число исходов, благоприятствующих наступлению данного события – m;
Число всех исходов (опытов) – n.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.
– вероятность случайного события
Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. 0≤P(A)≤1
Невозможному событию соответствует вероятность P(A)=0, а достоверному – вероятность P(A)=1

Теоремы сложения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Для трех совместных событий имеет место формула:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Событие, противоположное событию A (т.е. ненаступление события A), обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P()=1

Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при условии B и обозначается (A) или P(A/B).
Если A и B – независимые события, то
P(B)-(B)=(B).

События A,B,C,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

Теоремы умножения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей независимых событий.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB)=P(A) P(B)

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:
P()=P() P()… P().

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
P(AB)=P(A) (B)=P(B) (A)

IV . Применение знаний при решении типовых задач
Задача 1.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение: Событие A-билет выигрышный. Общее число различных исходов есть n=1000
Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)=, получим P(A)== = 0,2 = 0,147

Задача 4 .
В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

Задача 5.
Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно

Задача 6.
В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение: Пусть A - появление белого шара из первой урны, а B – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события A и B независимы. Найдем P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, получим
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0,083

Задача 7.
В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение: Введем следующие обозначения: A – первая взятая деталь стандартная; B – вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет P(A)=8/12=2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события B, равна (B)=7/11.
Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:
P(AB)=P(A) (B)=(2/3) (7/11)=14/33=0,424

Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.
Вариант 1.

1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?
2. Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?

Вариант 2.

1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно) является делителем числа 30?
2. В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?

VI . Подведение итогов занятия.

VII . Домашнее задание:
Г.Н. Яковлев, математика, книга 2, § 24.1, 24.2, стр. 365-386. Упражнения 24.11, 24.12, 24.17