Аксиома параллельных определение. Видеоурок «Аксиома параллельных прямых

Мы использовали и другие аксиомы, хотя особо не выделяли их. Так, сравнение 2-ух отрезков мы проводили с помощью наложения. Возможность такого наложения вытекает из аксиомы «На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один»

Эти аксиомы не вызывают сомнений и с помощью них доказываются другие утверждения. Такой способ зародился очень давно и был изложен в сочинении «Начала» ученого Евклида. Некоторые из аксиом Евклида - постулаты сейчас используются в геометрии а сама геометрия, изложенная в «Началах», называется Евклидовой геометрией.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными и секущей. Условие – это то, что дано. Заключение – то, что требуется доказать. Теорема, обратная данной –такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.

Замечание. Если доказана некоторая теорема, то отсюда еще не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда верно. Например, «вертикальные углы равны». Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные»- конечно же, неверно.

Немецкий физик Альберт Эйнштейн с помощью математических методов разработал теорию относительности, совершив переворот в физике ХХ в.

Считается, что основы современной математики заложены Эвклидом в его 13-томном труде «Элементы» около 300 г. до н. э. В отличие от предшественников, Евклид объясняет здесь геометрию не с помощью бесчисленных чертежей, но чисто логически. Вначале он описывает целый ряд фактов, которые он считает истинными и непреложными. Эти факты называются постулатами. Один из таких постулатов Евклида, например, гласит: «Из каждой точки можно провести одну прямую к любой другой точке». Затем, исходя из этих постулатов, он выводит все остальное. Тем самым Евклид впервые продемонстрировал современное математическое мышление: исходя из определенных предположений, однажды сделанных и не подвергавшихся больше пересмотру, доказал множество других утверждений.

Столетиями шли споры по поводу пятого постулата Евклида, так называемой аксиомы о параллельных прямых: через любую точку Р, лежащую вне прямой g, можно провести только одну прямую, которая не пересечет g. Такую прямую называют параллельной к прямой g, проходящей через точку Р. Многие ученые стремились не просто принять это положение, а вывести его из первых четырех. Но это оказалось невозможным. Математики стали создавать геометрию, которая основывалась на первых четырех аксиомах Евклида и отвергала пятую. То, что вначале выглядело математической игрой, в начале XX в. оказалось востребованным. Альберт Эйнштейн увидел в этих моделях геометрии основу для своей общей теории относительности.

Рис.1-2

Например, дано задание провести две параллельные прямые, причем так, чтобы через данную точку М проходила хотя бы одна из прямых. Таким образом, через заданную точку М проведем взаимно перпендикулярные прямые МN и СD . А через точку N проведем вторую прямую АВ , она должна быть перпендикулярной к прямой МN .

Сделаем вывод: прямая АВ перпендикулярна к прямой МN и прямая СD тоже перпендикулярна в прямой МN , а так как данные прямые параллельны к одной прямой, то, как следствие прямая СD параллельна АВ . Значит, через точку М проходит прямая СD , которая параллельна прямой АВ . Узнаем: можно ли провести еще одну прямую через точку М , чтобы она была параллельна прямой АВ ?

Данное утверждение является ответом на наш вопрос: через точку на плоскости, которая не лежит на данной прямой, можно провести всего одну прямую, которая будет параллельна к данной прямой. Такое отвержение в другой формулировке без доказательств еще в давние времена принял ученый Евклид. Известно, что такие утверждения, принятые без доказательства, называют аксиомами.

Вышеописанное утверждение называется аксиомой о параллельных прямых. Данная аксиома Евклида имеет огромное значение для доказательства многих теорем.

Рассмотрим обратную теорему. Если прямая пересекает параллельные прямые, то и углы, лежащие при параллельных прямых накрест, соответственно равны.

Рис. 3

Доказательство: допустим, что АС и ВD являются параллельными прямыми, тогда прямая АВ является их секущей прямой. Нам нужно доказать, что ÐСАВ =Ð АВD .

Нам нужно провести так прямую АС1 , чтобы ÐС1АВ=ÐАВD . В соответствии с аксиомой параллельности прямых АС1||ВD , в условии же мы имеем АС||ВD . А это означает, что через данную точку А проходят две прямые, причем они параллельны прямой ВD . Получается противоречие аксиоме параллельности прямых, а это означает, что прямая АС1 проведена неверно.

Правильно будет, если ÐСАВ=ÐАВD . Сделаем вывод: в том случае, когда одной из параллельных прямых перпендикулярна данная прямая, то она будет перпендикулярна и ко второй прямой.

Получается, если (MN)^(CD) и (CD)||(AB) , то Ð1=Ð2=90о . А это значит: (MN)^(AB) (Рис. 1) .

Докажем теорему: если две прямые являются параллельными к третьей, то они будут параллельны одна ко второй.

Рис. 4

Пусть прямая a параллельна прямой с и прямая b тоже параллельна прямой с (рис. 4 а) . Нам нужно доказать, что a||b .

Предположим, что прямые a и b не являются параллельными, но они пересекаются в точке М (рис. 4 б) . А это значит, что две прямые a и b , которые параллельны к прямой с проходят через одну точку, а это полное противоречие аксиоме параллельности прямых. Значит наши прямые a и b параллельны.

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Если a ||c и b ||c , то a ||b .

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Если a ⊥c и b ⊥c , то a ||b .

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a ||b .

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠2 = ∠4, то a ||b .

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠1 = ∠3, то a ||b .

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Если a ||b , то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Если a ||b , то ∠2 = ∠4.

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Если a ||b , то ∠1 = ∠3.

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Если a ||b и c ⊥a , то c ⊥b .

Пятое свойство - это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.