Главная

По картинам

Алгебраические уравнения по математике. Алгебраические уравнения и методы их решения

Алгебраические уравнения. Определение

Пусть функции f(x) и ц(x) определены на некотором множестве A. И пусть необходимо найти множество X, на котором эти функции принимают равные значения, другими словами, найти все значения x, для которых выполняется равенство: f(x)= ц(x).

При такой постановке это равенство называется уравнением с неизвестным x.

Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции - сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем .

Алгебраические уравнения содержат только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Алгебраическое уравнение в общем виде можно представить многочленом n-ой степени с действительными коэффициентами:

Например,

Множество A называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного уравнения.

Множество X называется множеством решений, а всякое его решение x=a - корнем данного уравнения. Решить уравнение - значит найти множество всех его решений или доказать, что их нет.

Методы решения алгебраических уравнений

Во многих научных и инженерных задачах требуется решить уравнение вида

где f (x) - заданная непрерывная нелинейная функция.

Аналитически удается найти решение только для простейших уравнений. В большинстве же случаев приходится решать уравнение вида (1) численными методами.

Численное решение уравнения (1) обычно проводится в два этапа. На первом этапе нужно найти такие интервалы изменения переменной x, где расположен только один корень. Эта задача обычно решается графически. На втором этапе проводится уточнение отдельных корней. Для этого используются различные методы.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде формулы. Однако встречающиеся на практике уравнения не всегда удаётся решить простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений.

Прямые методы - решение находится за ранее известное число арифметических действий, решение строгое. Примеры: метод Гаусса, метод квадратного корня, правило Крамера и т. д.

Итерационные методы - это методы последовательных приближений, в которых нельзя предсказать число арифметических действий, которое потребуется для решения уравнения (системы) с заданной точностью . Примеры: метод простых итераций, метод Гаусса-Зейделя, метод деления отрезка пополам и т.д.

В данной работе изучаются и сравниваются метод простых итераций и метод половинного деления отрезка.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, имеющее вид F(x 1 ,…,x m)=0, где F - многочлен от m переменных, которые называются неизвестными.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат фиксированному основному полю К. Решением алгебраического уравнения называется такой набор х * 1 ,..., х * m значений неизвестных из поля К (или его расширения), который после подстановки в многочлен F обращает его в нуль. Основной задачей теории алгебраического уравнения является выяснение условий, когда у заданного алгебраического уравнения имеется решение и описание множества всех решений.

Алгебраическое уравнения с одним неизвестным имеет вид

Предполагается, что n>0 и а 0 ≠ 0. Число n называется степенью уравнения, а числа а 0 , а 1 ..., а n - его коэффициентами. Значения неизвестного х, являющиеся решениями уравнения, называются его корнями, а также корнями многочлена F(х). Если α - корень уравнения (1), то многочлен F(х) делится без остатка на (х-α) (теорема Безу). Элемент α основного поля К (или его расширения) называется k-кратным корнем алгебраического уравнения, если многочлен F(х) делится на (х-α)к и не делится на (х-α)к+1. Корни кратности 1 называются также простыми корнями уравнения.

Каждый многочлен степени n с коэффициентами из поля К имеет в К не более n корней, считая корни с учётом их кратностей. Если поле К алгебраически замкнуто, то каждый такой многочлен имеет ровно n корней с учётом их кратностей. В частности, это верно для поля комплексных чисел С (основная теорема алгебры). Из теоремы Безу следует, что F(х) можно представить в виде

где α 1 ,.....α n - корни уравнения. Корни и коэффициенты уравнения связаны формулами Виета

Всякое уравнение степени n≤ 4 разрешается в радикалах. Это означает, что для корней уравнения имеются явные формулы, выражающие корни через коэффициенты уравнения и использующие лишь сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня. В случае n=2 (квадратное уравнение) формулы имеют вид

Решения задач, сводящихся к частным видам уравнений 2-й и 3-й степеней, встречаются в клинописных текстах Древнего Вавилона. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в «Арифметике» Диофанта (3 век). Решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степеней в общем виде было получено итальянскими математиками Дж. Кардано и Л. Феррари в 16 веке. Почти 300 лет делались попытки найти общее решение в радикалах уравнений степеней, больших 4. В 1826 году Н. Абелем было доказано, что это невозможно (однако не исключается возможность существования таких формул для конкретных уравнений степени n>4). Полное решение вопроса о том, при каких условиях алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах, было получено Э. Галуа (около 1830). Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах тесно связан с вопросом о геометрических построениях с помощью циркуля и линейки, в частности с делением окружности на n равных частей, с доказательством невозможности удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга.

Для приложений весьма важен случай, когда коэффициенты и корни уравнения являются числами (из полей Z целых, Q рациональных, R действительных или С комплексных чисел); при этом часто используются специальные свойства этих полей (например, наличие в них топологии или упорядоченности). В этом случае с использованием специальных функций можно получить явные формулы для решения уравнений степени, большей 4.

Для практического нахождения корней уравнений с коэффициентами из R и С используют приближённые методы. Для оценки сверху числа действительных корней уравнений с действительными коэффициентами можно использовать теорему Декарта: число положительных корней, с учётом их кратностей, равно или на чётное число меньше числа перемен знаков в последовательности ненулевых коэффициентов уравнения.

Имеются многочисленные оценки для величин корней. Так, над полем С величины |α i |, i = 1, ..., n, не превосходят

Если коэффициенты вещественны и а 0 ≥а 1 ≥ ... ≥a n ≥0, то все корни уравнения лежат на комплексной плоскости в единичном круге.

В связи с изучением вопроса об устойчивости механических систем возникает вопрос о том, когда все корни данного многочлена F(х) имеют отрицательные действительные части (проблема Рауса - Гурвица). Такие многочлены F называются устойчивыми. Основные результаты об устойчивых многочленах принадлежат Ш. Эрмиту, английскому учёному Э. Раусу, немецким математикам А. Гурвицу, И. Шуру.

Системы алгебраических уравнений с несколькими неизвестными изучаются в алгебраической геометрии. В отдельный раздел, теорию диофантовых уравнений, выделяется изучение алгебраических уравнений над незамкнутыми полями, такими, как поле Q.

Системой алгебраических уравнений называется система уравнений, имеющая вид

Системы уравнений степени 1 (линейных уравнений) изучаются в линейной алгебре.

Простейший результат о числе решений системы алгебраических уравнений относится к случаю, когда имеется k однородных уравнений от k + 1 переменной. Все решения х 1 * ,...,x x+1 k объединяются в классы решений λ 1 * ..., λх k+1 * , где λ≠0 принадлежит полю К. Тогда число ненулевых (классов) решений системы с учётом их кратностей в общем случае равно произведению степеней многочленов F 1 , ..., F k . Условие общности состоит в том, что коэффициенты многочленов F 1 , ..., F k не принадлежат некоторому алгебраическому многообразию в аффинном пространстве А коэффициентов, имеющем строго меньшую размерность, чем А (теорема Безу).

В случае, когда рассматриваются системы неоднородных алгебраических уравнений, для нахождения числа их решений необходимо использовать более тонкие инварианты, чем степень, а именно многогранники Ньютона. Если

где i=(i 1 ,..i n) Є Z n то многогранником Ньютона многочлена F называется выпуклая оболочка в пространстве R n точек i, для которых a i ≠ 0. Число решений системы арифметических уравнений выражается через многогранники Ньютона многочленов F 1 ,. . . ,F k .

Лит.: Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра. М., 1965; Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1975; Кострикин А. И. Введение в алгебру. М., 1977; Постников М. М. Устойчивые многочлены. М., 1981; Фадеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. СПб., 2001.

И. В. Проскуряков, А. Н. Паршин.

Алгебраические уравнения – уравнения вида

где - многочлен от переменных . Эти переменные называют неизвестными. Упорядоченный набор чисел удовлетворяет этому уравнению, если при замене на , на и т.д. получается верное числовое равенство (например, упорядоченная тройка чисел (3, 4, 5) удовлетворяет уравнению , поскольку ). Число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению с одним неизвестным, называют корнем этого уравнения. Множество всех наборов чисел, удовлетворяющих данному уравнению, есть множество решений этого уравнения. Два алгебраических уравнения, имеющих одно и то же множество решений, называются равносильными. Степень многочлена называется степенью уравнения . Например, - уравнение первой степени, - второй степени, а - четвертой степени. Уравнения первой степени называют также линейными (см. Линейные уравнения).

Алгебраическое уравнение с одним неизвестным имеет конечное число корней, а множество решений алгебраического уравнения с большим числом неизвестных может представлять собой бесконечное множество определенных наборов чисел. Поэтому обычно рассматривают не отдельные алгебраические уравнения с неизвестными, а системы уравнений и ищут наборы чисел, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям данной системы. Совокупность всех этих наборов образует множество решений системы. Например, множество решений системы уравнений , таково: .

НИЛЬС ГЕНРИХ АБЕЛЬ
(1802-1829)

В Королевском парке в Осло стоит скульптура сказочного юноши, попирающего двух поверженных чудовищ: по цоколю идет надпись "ABEL".

Что же символизируют чудовища? Первое из них, несомненно – алгебраические уравнения 5-й степени. Еще в последних классах школы Абелю показалось, что он нашел формулу для их решения, подобную тем, которые существуют для уравнений степени, не превышающей четырех. Никто в провинциальной Норвегии не смог проверить доказательство. Абель сам нашел у себя ошибку, он уже знал, что не существует выражения для корней в радикалах. Тогда Абель не знал, что итальянский математик П. Руффини опубликовал доказательство этого утверждения, содержащее, однако, пробелы.

К тому времени Абель был уже студентом университета в Осло (тогда Христиании). Он был совершенно лишен средств к существованию, и первое время стипендию ему выплачивали профессора из собственных средств. Затем он получил государственную стипендию, которая позволила ему провести два года за границей. В Норвегии были люди, которые понимали, сколь одарен Абель, но не было таких, кто мог бы понять его работы. Будучи в Германии. Абель так и не решился посетить К. Гаусса.

Во Франции Абель с интересом собирает математические новости, пользуется каждой возможностью увидеть П. Лапласа или А. Лежандра, С. Пуассона или О. Коши, но серьезных научных контактов с великими математиками установить не удалось. Представленный в академию «Мемуар об одном очень общем классе трансцендентных функций» не был рассмотрен, рукопись Абеля была обнаружена через сто лет. (В скульптуре эту работу олицетворяло второе поверженное чудовище.) Речь шла о рассмотрении некоторого класса замечательных функций, получивших название эллиптических и сыгравших принципиальную роль в дальнейшем развитии математического анализа. Абель не знал, что 30 лет назад в этих вопросах далеко продвинулся Гаусс, но ничего не опубликовал.

В 1827 г. Абель возвращается на родину, и там выясняется, что для него нет работы. Он получает временную работу вместо профессора, уехавшего в длительную экспедицию в Сибирь. Долги становятся его вечным уделом, но работоспособность Абеля не уменьшается. Он продолжает развивать теорию эллиптических функций, близок к пониманию того, какие уравнения решаются в радикалах. Неожиданно появляется соперник К. Г. Якоби, который был на два года моложе Абеля. Якоби публикует замечательные результаты в области, которую Абель считал своей собственностью. И Абель работает еще интенсивнее и наконец сообщает: «Я нокаутировал Якоби».

К работам Абеля пришло признание, математики стали проявлять заботу о его судьбе. Французские академики-математики обращаются с посланием к шведскому королю, правившему Норвегией, с просьбой принять участие в судьбе Абеля. Тем временем у Абеля быстро прогрессирует туберкулез, и 6 апреля 1829 г. его не стало.

Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени, например . В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант (III в.) разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах. Например, он решил в рациональных числах уравнение , систему уравнений , и т.д. (см. Диофантовы уравнения).

ЭВАРИСТ ГАЛУА
(1811-1832)

Он прожил двадцать лет, всего пять лет из них занимался математикой. Математические работы, обессмертившие его имя, занимают чуть более 60 страниц.

В 15 лет Галуа открыл для себя математику и с тех пор, по словам одного из преподавателей, «был одержим демоном математики». Юноша отличался страстностью, неукротимым темпераментом, что постоянно приводило его к конфликтам с окружающими, да и с самим собой.

Галуа не задержался на элементарной математике и мгновенно оказался на уровне современной науки. Ему было 17 лет, когда его учитель Ришар констатировал: «Галуа работает только в высших областях математики». Ему было неполных 18 лет, когда была опубликована его первая работа. И в те же годы Галуа два раза подряд не удается сдать экзамены в Политехническую школу, самое престижное учебное заведение того времени. В 1830 г. он был принят в привилегированную Высшую нормальную школу, готовившую преподавателей. За год учебы в этой школе Галуа написал несколько работ; одна из них, посвященная теории чисел, представляла исключительный интерес.

Бурные июльские дни 1830 г. застали Галуа в стенах Нормальной школы. Его все более захватывает новая страсть – политика. Галуа присоединяется к набиравшей силы республиканской партии - Обществу друзей народа, - недовольной политикой Луи-Филиппа. Возникает конфликт с директором школы, всеми силами противодействовавшим росту политических интересов у учащихся, и в январе 1831 г. Галуа исключают из школы. В январе 1831 г. Галуа передал в Парижскую академию наук рукопись своего исследования о решении уравнений в радикалах. Однако академия отвергла работу Галуа – слишком новы были изложенные там идеи. В это время Галуа находился в тюрьме. После освобождения уже в июле он вновь оказывается в тюрьме Сент-Пелажи после попытки организовать манифестацию 14 июля (в годовщину взятия Бастилии), на сей раз Галуа приговорен к 9 месяцам тюрьмы. За месяц до окончания срока заключения заболевшего Галуа переводят в больницу. В тюрьме он встретил свое двадцатилетие.

29 апреля он выходит на свободу, но ему было суждено прожить еще лишь только один месяц. 30 мая он был тяжело ранен на дуэли. На следующий день он умер. В день перед дуэлью Галуа написал своему другу Огюсту Шевалье письмо: «Публично обратись к Якоби или Гауссу с просьбой дать мнение не об истинности, а о значении тех теорем, развернутого доказательства которых я не даю, и тогда, надеюсь, кто-нибудь сочтет полезным разобраться во всей этой путанице». Работы Галуа содержали окончательное решение проблемы о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, то, что сегодня называется теорией Галуа и составляет одну из самых глубоких глав алгебры. Другое направление в его исследованиях связано с так называемыми абелевыми интегралами и сыграло важную роль в математическом анализе XIX в. Работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 г. Ж. Лиувиллем, а признание к ним пришло еще позже, когда с 70-х гг. понятие группы постепенно становится одним из основных математических объектов.

Некоторые геометрические задачи: удвоение куба, трисекция угла (см. Классические задачи древности), построение правильного семиугольника – приводят к решению кубических уравнений. По ходу решения требовалось отыскать точки пересечения конических сечений (эллипсов, парабол и гипербол). Пользуясь геометрическими методами, математики средневекового Востока исследовали решения кубических уравнений. Однако им не удалось вывести формулу для их решения. Первым крупным открытием западноевропейской математики была полученная в XVI в. формула для решения кубического уравнения. Поскольку в то время отрицательные числа еще не получили распространения, пришлось отдельно разбирать такие типы уравнений, как , и т. д. Итальянский математик С. дель-Ферро (1465-1526) решил уравнение и сообщил решение своему зятю и ученику А.-М. Фиоре, который вызвал на математический турнир замечательного математика-самоучку Н. Тарталью (1499- 1557). За несколько дней до турнира Тарталья нашел общий метод решения кубических уравнений и победил, быстро решив все предложенные ему 30 задач. Однако найденная Тартальей формула для решения уравнения

Создание алгебраической символики и обобщение понятия числа вплоть до комплексных чисел позволили в XVII-XVIII вв. исследовать общие свойства алгебраических уравнений высших степеней, а также общие свойства многочленов от одного и нескольких переменных.

Одной из самых важных задач теории алгебраических уравнений в XVII-XVIII вв. было отыскание формулы для решения уравнения 5-й степени. После бесплодных поисков многих поколений алгебраистов усилиями французского ученого XVIII в. Ж. Лагранжа (1736-1813), итальянского ученого П. Руффини (1765-1822) и норвежского математика Н. Абеля в конце XVIII – начале XIX в. было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения 5-й степени через коэффициенты уравнения, используя лишь арифметические операции и извлечение корней. Эти исследования были завершены работами Э. Галуа, теория которого позволяет для любого уравнения определить, выражаются ли его корни в радикалах. Еще до этого К.Ф. Гаусс решил проблему выражения в квадратных радикалах корней уравнения , к которому сводится задача о построении с помощью циркуля и линейки правильного -угольника. В частности, невозможно с помощью этих инструментов построить правильный семиугольник, девятиугольник и т.д. – такое построение возможно лишь в случае, когда - простое число вида или произведение различных простых чисел такого вида.

Наряду с поисками формул для решения конкретных уравнений был исследован вопрос о существовании корней у любого алгебраического уравнения. В XVIII в. французский философ и математик Ж. Д"Аламбер доказал, что любое алгебраическое уравнение ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. В доказательстве Д"Аламбера были пропуски, восполненные потом Гауссом. Из этой теоремы следовало, что любой многочлен -й степени от разлагается в произведение линейных множителей.

В настоящее время теория систем алгебраических уравнений превратилась в самостоятельную область математики, называемую алгебраической геометрией. В ней изучаются линии, поверхности и многообразия высших размерностей, задаваемые системами таких уравнений.

, ДВГГУ,

, Математический лицей

Алгебраические уравнения и методы их решения

П.1 Многочлен и его корни

Рассмотрим набор из (n+1) действительных чисел , многочленом (полиномом) степени n с указанными выше коэффициентами называют выражение вида:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image003_38.gif" width="257" height="25 src="> (2)

называют алгебраическим уравнением степени n .

Корни уравнения (2) также называют корнями многочлена.

Приведем несколько фактов, относящихся к корням многочленов.

Факт 1. Любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Замечание. Даже зная, что уравнение имеет корень, найти этот корень бывает весьма непросто.

Пример 1. Уравнение очевидно имеет корни 0 и p.

Пример 2. Установить корни уравнения , которые, безусловно, имеются, довольно сложная задача.

Факт 2. Если коэффициенты многочлена являются целыми числами, то рациональные корни этого уравнения (если они есть) имеют вид , где числа k и m – натуральные, причем k – делитель свободного члена , m – делитель главного коэффициента .

Пример 3. https://pandia.ru/text/78/119/images/image010_16.gif" width="348" height="41 src="> (повторяющиеся числа сокращены).

Проверка показывает, что подходят числа 2, и .

Задача по отделению рациональных корней значительно упрощается, если старший коэффициент в многочлене равен единице. В этом случае возможные рациональные корни уравнения могут быть только целыми числами, на которые делится свободный член полинома.

Пример 4. У многочлена возможны следующие целые корни: . Проверяя возможные корни (это можно довольно быстро делать с помощью Схемы Горнера ) убеждаемся, что единственный целый корень уравнения равен 2.

Факт 3. Если число - корень многочлена , то этот многочлен можно представить в виде произведения https://pandia.ru/text/78/119/images/image018_6.gif" width="48" height="24"> можно, например, применяя метод деления «уголком», очень похожий на тот, который применяют к обычным числам.

Приведем пример.

Пример 5. Поделим на :

https://pandia.ru/text/78/119/images/image021_6.gif" width="177" height="25">. Заметим, что первый множитель имеет отрицательный дискриминант, поэтому он (и исходный полином) больше корней не имеет.

Факт 4. Любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image023_6.gif" width="16 height=24" height="24"> - кратность корня , - квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней (их называют неприводимыми).

Замечание. При решении уравнений и неравенств можно сокращать на неприводимые трехчлены.

П.2. Группировка как способ нахождения корней полинома

К сожалению, (и это доказано), не существует универсального алгоритма, позволяющего (на подобие квадратного трехчлена) находить корни любого полинома. Существуют специальные формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени, однако они трудоемки и в школьном курсе не изучаются. Поэтому часто используются другие методы, такие как отделение корней (рассмотрен в первом пункте), метод группировки и его частный случай – выделение полных квадратов.

Суть метода группировки в следующем: члены многочлена разбивают на группы (отсюда и название) так, что после приведения подобных каждая группа разложится на множители, причем один из множителей будет содержаться в каждой группе. Этот общий множитель выносится за скобки и исходный многочлен раскладывается в произведение двух многочленов более низкой степени.

Рассмотрим пример.

Пример 6. Разложить на множители методом группировки многочлен

https://pandia.ru/text/78/119/images/image027_3.gif" width="272" height="24 src=">

(https://pandia.ru/text/78/119/images/image029_3.gif" width="64" height="21">, первое слагаемое включим в первую группу, второе слагаемое – в третью).

https://pandia.ru/text/78/119/images/image031_4.gif" width="51" height="24">, находим разложение:

Оба квадратных трехчлена имеют отрицательные дискриминанты, поэтому дальнейшее их разложение невозможно.

Пример 7. Разложить на множители полином:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image034_3.gif" width="35" height="21"> нужно оделить часть, кратную 14: это, например, 70-1, 84-15, 98-29 или 42+27. Первый вариант приводит в тупик. Рассмотрим второй вариант. Получим:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image036_2.gif" width="603" height="24">.

Таким образом,

П.3. Примеры решения простейших алгебраических уравнений

Многочлены являются простейшими алгебраическими уравнениями. В этом пункте мы рассмотрим некоторые примеры решения таких уравнений.

Пример 8. Найти корни уравнения

https://pandia.ru/text/78/119/images/image041_2.gif" width="89" height="19 src=">.

Начнем с самого маленького числа – тройки.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image043_2.gif" width="40 height=23" height="23"> - один из корней уравнения. Чтобы найти остальные корни, разделим левую часть уравнения на :

https://pandia.ru/text/78/119/images/image046_2.gif" width="107" height="21">. Применяя, например, формулы Виета, получаем два других корня: .

Ответ: https://pandia.ru/text/78/119/images/image049_2.gif" width="124" height="21 src=">.

Решение. Задачу можно свести к биквадратному уравнению, но мы попробуем использовать разложение на множители..gif" width="616" height="24 src=">.

Корни первого сомножителя: https://pandia.ru/text/78/119/images/image052_2.gif" width="63" height="41 src=">.

Далее рассмотрим пример уравнения, которое сводится к рациональному. Особенность таких уравнений – обязательное требование проверки найденных корней области допустимых значений. Например, на ЕГЭ несколько лет назад предлагалась «простая» задача.

Пример 10. Решить уравнение

DIV_ADBLOCK37">

П. 4. Дробные алгебраические уравнения

Простейшее дробное алгебраическое выражение имеет вид:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image055_2.gif" width="40" height="23 src=">.gif" width="111" height="41 src=">.

Решение: приведем дроби к общему знаменателю:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image059_2.gif" width="207" height="41">.

Оба корня числителя не являются корнями знаменателя (убедитесь в этом, непосредственно подставив оба корня в знаменатель), поэтому они являются решениями рассмотренного уравнения.

Если дробно-рациональное уравнение содержит много элементарных выражений, то, после преобразований, в числителе может образоваться довольно громоздкое выражение, отыскание корней которого будет весьма затруднительным. Но в некоторых случаях бывает возможно свести сложное уравнение к более простому, используя, например, замену переменных. Рассмотрим пример.

Пример 12. Решить уравнение

https://pandia.ru/text/78/119/images/image061_0.gif" width="81" height="41"> являются взаимно-обратными (их произведение равно единице). Введем следующую замену: . Исходное уравнение примет вид:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image064_0.gif" height="16">, получим квадратное уравнение:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image066_0.gif" width="93" height="23">. Выполним обратную замену. Получим и решим совокупность двух уравнений: 2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон (домашний или мобильный)

3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин )

4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики )

М 10.2.1. Решите уравнение, разложив многочлен на множители:

М 10.2.2. Решите дробно-рациональное уравнение

а) https://pandia.ru/text/78/119/images/image082_0.gif" width="209" height="21 src=">. (Указание: перемножьте сначала первый множитель с четвертым и второй с третьим. Первое произведение обозначьте y , второе произведение тогда представится как y +2. Решите получившееся квадратное уравнение и сделайте обратную замену .)

в) https://pandia.ru/text/78/119/images/image084_0.gif" width="165" height="41 src=">. (Указание: попробуйте прибавить к первым двум слагаемым некоторое число так, чтобы сумма оказалась дробью, обратной той, что стоит на третьем месте с множителем -10. Далее смотрите примеры 12 и 13 .)

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.

Уравнения, имеющие в своем составе символ \[\sqrtх\], называются уравнениями с квадратным корнем. Квадратным корнем из неотрицательного числа \ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \. \[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Число или выражение, находящееся под знаком корнем всегда должно быть неотрицательным.

Существуют разные способы решения таких уравнений:

Возведение числа в квадрат, умножив для этого число само на себя;

Упрощение корней, если такое возможно, убрав из него полные корни;

Использование мнимых чисел для получения корня чисел отрицательного характера;

Применение алгоритма деления в столбик;

И другие.

Решим для наглядности такое уравнение c квадратным корнем:

\[\sqrt (x-5) =3\]

Умножаем каждую часть уравнения саму на себя, чтобы избавиться от радикалов:

Теперь перед нами простейшее линейное уравнение, которое решается следующим образом:

Где можно решить алгебраическое уравнение онлайн?

Решить алгебраическое уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Разделы