Из пункта а круговой трассы 30 92. Аналитическая задача на движение
Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 75 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 89 км/ч, скорость второго автомобиля 59 км/ч. Через сколько минут после старта первый автомобиль будет опережать второй ровно на один круг?
Решение задачи
Данный урок показывает, как, используя физическую формулу для определения времени при равномерном движении: , составить пропорцию для определения времени, когда один автомобиль обгонит другой на круг. При решении задачи указана четкая последовательность действий для решения подобных задач: вводим конкретное обозначение для того, что мы хотим найти, записываем время, которое требуется одному и второму автомобилю для преодоления определенного количества кругов, учитывая, что это время – одинаковая величина – приравниваем полученные равенства. Решение представляет собой нахождение неизвестной величины в линейном уравнении. Для получения результаты нужно обязательно не забыть подставить количество полученных кругов в формулу для определения времени.
Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 7-х классов при изучении темы «Математический язык. Математическая модель» (Линейное уравнение с одной переменной»). При подготовке к ОГЭ урок рекомендован при повторении темы «Математический язык. Математическая модель».
«Урок Касательная к окружности» - Докажите, что прямая АС является касательной к данной окружности. Задача 1. Дано: окр.(О;ОМ), МР – касательная, угол КМР=45?. Вычислите длину ВС, если ОD=3см. Обобщающий урок. Провести касательную к данной окружности. Т е м а: « окружность». Решение: Решение задач. Практическая работа. Сделать обозначения и записи.
«Касательная к окружности» - Свойство касательной. Пусть d – расстояние от центра O до прямой KM. Отрезки AK и AM называются отрезками касательных, проведенными из A. Касательная к окружности. Тогда. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Доказательство. Докажем, что если AK и AM – отрезки касательных, то AK = AM, ?OAK = ? OAM.
«Длина окружности и круг» - Вычислить. Найти длину окружности. Найди радиус окружности. Найти площадь заштрихованной фигуры. Круг. Круговой сектор. Начерти окружность с центром К и радиусом 2 см. Закончите утверждение. Cамостоятельная работа. Длина окружности. Окружность. Площадь круга. Вычисли длину экватора. Игра.
«Уравнение окружности» - Постройте в тетради окружности, заданные уравнениями: Центр окружности О(0;0), (х – 0)2 + (у – 0)2 = R 2, х2 + у2 = R 2 ? уравнение окружности с центром в начале координат. . О (0;0) – центр, R = 4, тогда х2 + у2 = 42; х2 + у2 = 16. Найдите координаты центра и радиус, если АВ – диаметр данной окружности.
«Длина окружности 6 класс» - Девиз урока: История числа?. Диаметр колеса тепловоза равен 180 см. Ламберт нашел для? первые двадцать семь подходящих дробей. Урок математики в 6 классе Учитель математики: Никонорова Любовь Аркадьевна. План урока. Конкурс «Мозаика презентаций». Но можно найти бесконечную последовательность подходящих дробей.
Posted on 23.03.2018
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист.
Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз,
а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз.
Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км.
Ответ дайте в км/ч
задача по математике
образование
ответить
комментировать
в избранное
Светл-ана02-02
23 часа назад
Если я правильно поняла условие, мотоциклист выехал через полчаса с начала старта велосипедиста. В этом случае решение выглядит так.
Одно и то же расстояние велосипедист проезжает за 40 минут, а мотоциклист за 10 минут, стало быть, скорость мотоциклиста в четыре раза больше скорости велосипедиста.
Допустим, велосипедист движется со скоростью х км/ч, тогда скорость мотоциклиста 4х км/ч. До второй встречи пройдет (1/2 + 1/2 + 1/6) = 7/6 часа с момента старта велосипедиста и (1/2 + 1/6) = 4/6 часа с момента старта мотоциклиста. К моменту второй встречи велосипедист проедет (7х/6) км, а мотоциклист — (16х/6) км, обогнав велосипедиста на один круг, т.е. проехав на 30 км больше. Получаем уравнение.
16х/6 — 7х/6 = 30, откуда
Итак, велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч, а значит, мотоциклист ехал со скоростью (4*20) = 80 км/ч.
Ответ. Скорость мотоциклиста 80 км/ч.
комментировать
в избранное
отблагодарить
Vdtes-t
22 часа назад
Если решение в км/час, то время надо выразить в часах.
Обозначим
v скорость велосипедиста
m скорость мотоциклиста
Через ½ часа из пункта А следом за велосипедистом отправился мотоциклист. Через ⅙ часа после отправления он догнал велосипедиста в первый раз
записываем в виде уравнения путь пройденный до первой встречи:
а еще через ½ часа после этого мотоциклист догнал его во второй раз.
записываем в виде уравнения путь пройденный до второй встречи:
Решаем систему из двух уравнений:
Упрощаем первое уравнение (умножая обе части на 6):
Подставляем m во второе уравнение:
скорость велосипедиста равна 20 км/час
Определяем скорость мотоциклиста
Ответ: скорость мотоциклиста равна 80 км/час
Задача 1.
Из точки А
в точку В
одновременно выехали два автомобиля.
Первый ехал весь путь с постоянной скоростью.
Второй проехал первую половину пути со скоростью,
меньшей скорости первого на 14 км/час,
а вторую половину пути со скоростью 105 км/час,
и поэтому прибыл в В
одновременно с первым автомобилем.
Найти скорость первого автомобиля,
если известно, что она больше 50 км/час.
Решение:
Примем всё расстояние за 1.
Скорость первого автомобиля примем за х
.
Тогда, время, за которое первый автомобиль проехал всё расстояние,
равно 1/х.
У второго
автомобиля скорость первую половину пути, т. е. 1/2,
была на 14 км/час
меньше скорости первого автомобиля, х-14.
Время, которое второй автомобиль затратил, равно 1/2: (х-14) = 1/2(х-14).
Вторую половину пути, т.е. 1/2,
автомобиль прошёл
со скоростью 105 км/час.
Время, которое он затратил, равно 1/2: 105 =1/2*105 = 1/210.
Время первого и второго равны между собой.
Составляем уравнение:
1/х = 1/2(х-14) + 1/210
Находим общий знаменатель — 210х(х-14)
210(х-14) = 105х + х(х-14)
210х — 2940 = 105х + х² — 14х
х² — 119х + 2940 = 0
Решая данное квадратное уравнение через дискриминант, находим корни:
х1 = 84
х2 = 35.
Второй корень не подходит по условию задачи.
Ответ: скорость первого автомобиля равна 84 км/час.
Задача 2.
Из пункта А
круговой трассы, длина которой равна 30 км,
одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста.
Скорость первого равна 92 км/час,
а скорость второго — 77 км/час.
Через сколько минут первый автомобилист
будет опережать второго на 1 круг?
Решение:
Эту задачу, несмотря на то, что она даётся в 11 классе,
можно решить на уровне начальной школы.
Зададим всего четыре вопроса и получим четыре ответа.
1.
Сколько километров пройдёт первый автомобилист за 1 час?
92 км.
2.
Сколько километров пройдёт второй автомобилист за 1 час?
77 км.
3.
На сколько километров будет опережать первый автомобилист второго спустя 1 час
?
92 — 77 = 15 км.
4.
Сколько часов понадобится, чтобы первый автомобилист опережал второго на 30 км
?
30:15 = 2 часа = 120 минут.
Ответ: через 120 минут.
Задача 3.
Из пункта А
в пункт В,
расстояние между которыми 60 км
,
одновременно выехали автомобилист и велосипедист.
Известно, что в час автомобилист проезжает
на 90 км
больше, чем велосипедист.
Определить скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В
на 5 часов 24
минуты позже автомобилиста.
Решение:
Чтобы правильно решать любую поставленную перед нами задачу,
необходимо придерживаться определённого плана.
И самое главное, что надо понимать, что мы хотим из этого.
Т.е., к какому уравнению мы хотим прийти при тех условиях, которые даны.
Мы будем сравнивать между собой время каждого.
Автомобиль проезжает на 90 км
в час больше, чем велосипедист.
Это значит, скорость автомобиля больше скорости
велосипедиста на 90 км/час.
Принимая скорость велосипедиста за х км/час
,
получим скорость авто х + 90 км/час.
Время в пути велосипедиста 60/х.
Время в пути авто — 60/(х+90).
5 часов 24 минуты
это 5 24/60 часа = 5 2/5 = 27/5 часа
Составляем уравнение:
60/х = 60/(х+90) + 27/5
Сокращаем числитель каждой дроби на 3
20/х = 20/(х+90) + 9/5
Общий знаменатель 5х(х+90)
20*5(х+90) = 20*5х + 9х(х+90)
100х + 9000 = 100х + 9х² + 810х
9х² + 810х — 9000 = 0
х² + 90х — 1000 = 0
Решая это уравнений через дискриминант или теорему Виета, получим:
х1 = — 100
Не подходит по смыслу задачи.
х2 = 10
Ответ: скорость велосипедиста 10 км/час.
Задача 4.
Велосипедист проехал 40 км
из города в деревню.
На обратном пути он поехал с той же скоростью,
но через 2
часа езды сделал остановку на 20 минут.
После остановки он увеличил скорость на 4 км/час
и поэтому потратил на обратный путь из деревни в город столько же времени, сколько на путь из города в деревню.
Найти первоначальную скорость велосипедиста.
Решение:
эту задачу решаем относительно затраченного времени
сначала в деревню, а затем обратно.
Из города в деревню велосипедист ехал с одной скоростью х км/час.
При этом он затратил 40/х
часов.
Обратно за 2
часа он проехал 2х
км.
Ему осталось проехать 40 — 2х км,
которые он прошёл
со скоростью х + 4 км/час.
При этом время, которое он затратил на путь обратно
складывается из трёх слагаемых.
2 часа; 20 минут = 1/3 часа; (40 — 2х)/(х + 4) часа.
Составляем уравнение:
40/х = 2 + 1/3 + (40 — 2х)/(х + 4)
40/х = 7/3 + (40 — 2х)/(х + 4)
Общий знаменатель 3х(х + 4)
40*3(х + 4) = 7х(х + 4) + 3х(40 — 2х)
120х + 480 = 7х² + 28х + 120х — 6х²
х² + 28х — 480 = 0
Решая это уравнений через дискриминант или теорему Виета, получим:
х1 = 12
х2 = — 40
Не подходит по условию задачи.
Ответ: первоначальная скорость велосипедиста 12 км/час.
Задача 5.
Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта в одном и том же направлении.
Скорость первого 50 км/час,
второго — 40 км/час.
Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль,
который обогнал первый автомобиль на 1,5 часа
позже,
чем второй автомобиль.
Найти скорость третьего
автомобиля.
Решение:
За полчаса первый автомобиль проедет 25 км,
а второй 20 км
.
Т.е. первоначальное расстояние между первым и третьим автомобилем равно 25 км,
а между вторым и третьим — 20 км.
В случае, когда один автомобиль догоняет другой, их скорости вычитаются.
Если принять скорость третьего автомобиля за х км/час,
тогда получится, что второй автомобиль он догнал через 20/(х-40) часа.
Тогда первый автомобиль он догонит через 25/(х — 50) часа.
Составляем уравнение:
25/(х — 50) = 20/(х — 40) + 3/2
Общий знаменатель 2(х — 50)(х — 40)
25*2(х — 40) = 20*2(х — 50) + 3(х — 50)(х — 40)
50х — 2000 = 40х — 2000 + 3х² — 270х + 6000
3х² — 280х + 6000 = 0
Решая данное уравнение через дискриминант, получим
х1 = 60
х2 = 100/3
Ответ: скорость третьего автомобиля 60 км/час.
Разделы: Математика
В статье рассмотрены задачи в помощь учащимся: для отработки навыков решения текстовых задач при подготовке к ЕГЭ, при обучении решению задач на составление математической модели реальных ситуаций во всех параллелях основной и старшей школы. В ней представлены задачи: на движение по окружности; на нахождение длины движущегося объекта; на нахождение средней скорости.
I. Задачи на движение по окружности.
Задачи на движение по окружности оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них также применяется формула . Но есть момент, на который обратим внимание.
Задача 1. Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Решение. Скорости участников примем за х км/ч и у км/ч. В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 10 мин, то есть через ч после старта. До этого момента велосипедист был в пути 40 мин, то есть ч. Участники движения проехали одинаковые расстояния, то есть y =x. Внесем данные в таблицу.
Таблица 1
Мотоциклист затем второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через 30 мин, то есть через ч после первого обгона. Какие расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. А это значит, он проехал на один круг больше. Вот тот момент,
на который надо обратить внимание. Один круг – это длина трассы, Она равна 30 км. Составим другую таблицу.
Таблица 2
Получим второе уравнение: y - x = 30. Имеем систему уравнений: В ответе укажем скорость мотоциклиста.
Ответ: 80 км/ч.
Задачи (самостоятельно).
I.1.1. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 36 км. Ответ дайте в км/ч.
I.1. 2. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 12 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч.
I.1. 3. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 50 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 18 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 20 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?
Решение.
Рисунок 1
При одновременном старте мотоциклист, стартовавший из “А”, проехал на полкруга больше, стартовавший из “В”. То есть на 10 км. При движении двух мотоциклистов в одном направлении скорость удаления v = -. По условию задачи v= 15 км/ч =км/мин = км/мин – скорость удаления. Находим время, через которое мотоциклисты поравняются в первый раз.
10:= 40(мин).
Ответ: 40 мин.
Задачи (самостоятельно).
I.2.1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 27 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 27 км/ч больше скорости другого?
I.2.2. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 6 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 9 км/ч больше скорости другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 89 км/ч, и через 16 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
х км/ч – скорость второго автомобиля.
(89 – х) км/ч – скорость удаления.
8 км – длина круговой трассы.
Уравнение.
(89 – х) = 8,
89 – х = 2· 15,
Ответ: 59 км/ч.
Задачи (самостоятельно).
I.3.1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 103 км/ч, и через 48 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
I.3.2 . Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 6 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 9 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
I.3.3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 20 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 105 км/ч, и через 48 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
I.3.4. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 9 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 93 км/ч, и через 15 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Часы со стрелками показывают 8 ч 00 мин. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Решение. Предполагаем, что экспериментально не решаем задачу.
За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая часть круга. Пусть их скорости равны 1 (круг в час) и Старт - в 8.00. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.
Минутная стрелка пройдет на больше, поэтому получим уравнение
Значит, в первый раз стрелки поравняются через
Пусть во второй раз стрелки поравняются через время z. Минутная стрелка пройдет расстояние 1·z, а часовая причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:
Решив его, получим, что .
Итак, через стрелки поравняются во второй раз, еще через – в третий, и ещё через – в четвертый раз.
Следовательно, если старт был в 8.00., то в четвертый раз стрелки поравняются через
4ч = 60 * 4 мин = 240 мин.
Ответ: 240 минут.
Задачи (самостоятельно).
I.4.1.Часы со стрелками показывают 4 ч 45 мин. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой?
I.4.2.Часы со стрелками показывают 2 ч ровно. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?
I.4.3. Часы со стрелками показывают 8 ч 20 мин. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? четвертый
II. Задачи на нахождение длины движущегося объекта.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 с. Найдите длину состава поезда в метрах.
Решение. Так как скорость поезда указана в часах, то переведем секунды в часы.
1) 36 сек =
2) найдем длину состава поезда в километрах.
80·
Ответ: 800м.
Задачи (самостоятельно).
II.2.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 69 с. Найдите длину поезда в метрах. Ответ: 1150м.
II.3. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой 200 м, за 1мин 21 с. Найдите длину поезда в метрах. Ответ: 1150м.
III. Задачи на среднюю скорость.
На экзамене по математике может встретиться задача о нахождении средней скорости. Надо запомнить, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Средняя скорость находится по специальной формуле:
Если участков пути было два, то.
Расстояние между двумя селами 18 км. Велосипедист ехал из одного села в другое 2ч, а возвращался по той же дороге 3ч. Какова средняя скорость движения велосипедиста на всем участке пути?
Решение:
2 ч+3 ч = 5 ч - затратил на всё движение,
.Турист шел со скоростью 4км/ч, потом точно такое же время со скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всем участке пути?
Пусть турист шел t ч со скоростью 4 км/ч и t ч со скоростью 5 км/ч. Тогда за 2t ч он прошел 4t + 5t = 9t (км). Средняя скорость движения туриста равна = 4,5 (км/ч).
Ответ: 4,5 км/ч.
Замечаем, средняя скорость движения туриста оказалась равной среднему арифметическому двух данных скоростей. Можно убедиться в том, что если время движения на двух участках пути одинаково, то средняя скорость движения равна среднему арифметическому двух данных скоростей. Для этого решим эту же задачу в общем виде.
Турист шел со скоростью км/ч, потом точно такое же время со скоростью км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всем участке пути?
Пусть турист шел t ч со скоростью км/ч и t ч со скоростью км/ч. Тогда за 2t ч он прошел t + t = t (км). Средняя скорость движения туриста равна
= (км/ч).Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со скоростью 42 км/ч, а с горы – со скоростью 56 км/ч.
.
Средняя скорость движения равна 2 s: (км/ч).
Ответ: 48 км/ч.
Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со скоростью км/ч, а с горы – со скоростью км/ч.
Какова средняя скорость движения автомобиля на всем участке пути?
Пусть длина участка пути равна s км. Тогда в оба конца автомобиль проехал 2 s км, затратив на весь путь .
Средняя скорость движения равна 2 s: (км/ч).
Ответ:км/ч.
Рассмотрим задачу, в которой средняя скорость задана, а одну из скоростей нужно определить. Потребуется применение уравнения.
В гору велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а с горы – с некоторой другой постоянной скоростью. Как он подсчитал, средняя скорость движения оказалась равной 12 км/ч.
.III.2. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути..
III.3.На пути из одного поселка в другой автомобиль некоторое время шел со скоростью 60 км/ч, потом точно такое же время со скоростью 40км/ч, потом точно такое же время со скоростью, равной средней скорости движения на двух первых участках пути. Какова средняя скорость движения на всем пути из одного поселка в другой?
III.4. Велосипедист едет от дома до места работы со средней скоростью 10 км/ч, а обратно – со средней скоростью 15 км/ч, поскольку дорога идет немного под уклон. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути от дома до места работы и обратно..
III.5. Автомобиль ехал из пункта А в пункт В порожняком с постоянной скоростью, а возвращался по той же дороге с грузом со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью он ехал порожняком, если средняя скорость движения оказалась равной 70 км/ч?.
III.6. Первые 100 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 120 км – со скоростью 90 км/ч, а затем 120 км – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути..
III.7. Первые 100 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 140 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути..
III.8. Первые 150 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 130 км – со скоростью 60 км/ч, а затем 120 км – со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути..
III. 9. Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 120 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути..