Как сравнить величины: пошаговая инструкция. Какие величины можно сравнивать: примеры
Тема урока: Больше или меньше? На сколько?
Цель урока : Формирование первоначальных представлений о связи арифметических действий с увеличением/ уменьшением чисел в равенствах.
Задачи :
Систематизировать знания детей о составе чисел первого десятка.
Учить моделировать состав чисел с помощью карточек.
Сформировать представление о связи сложения с увеличением, а вычитания с уменьшением числа.
Совершенствовать умение моделировать условие задачи для ее последующего решения.
Формировать умение осознанно выбирать арифметическое действие при решении задач.
Способствовать развитию умения наблюдать, видеть закономерности, делать выводы.
Поощрять стремление сотрудничать с товарищами при работе в паре.
Формировать умение сопоставлять информацию, представленную в разных видах: текст, рисунок, схема, числовое выражение.
Совершенствовать навыки самоконтроля.
Формировать умение слушать партнера.
Оборудование: учебник Математика 1 класс, рабочая тетрадь математика 1 класс, набор магнитных демонстрационных цифр от 1 до 10, магнитные демонстрационные знаки «+» и «=», раздаточные «рукавички» с цифрами от 1 до 9 и равенствами, комплект карточек с цифрами от 1 до 9 на каждого ребенка ноутбук, проект, сигнальные карточки красного и синего цвета.
План урока.
Этап актуализации знаний.
Оргмомент 1 мин.
«Оживление» опыта учащихся с целью создания «ситуации успеха» 5 мин.
Актуализация опорных знаний 2мин.
Дифференцированная работа 5 мин.
Создание проблемной ситуации 1 мин.
Этап ознакомления с новым материалом.
Решение проблемных ситуаций с комментариями учителя 7 мин.
Операционно-исполнительный этап.
Работа в подгруппах 4 мин.
Этап отработки навыка.
Применение полученных знаний в самостоятельной деятельности 4 мин.
Работа в парах 1 мин.
Этап рефлексии 2 мин.
Конспект урока.
Этап урока
Задачи этапа
Деятельность учителя
Формы организации деятельности учащихся
Дифференцированная работа
Обратная связь
Прогнозируемый результат
1. Этап актуализации знаний
оргмомент
Настроить ребят на активную работу
Вот звонок нам дал сигнал:
Поработать час настал.
Так что время не теряем
И работать начинаем. В путешествие пойдем, В чудный лес мы попадем.
Фронтальная
Привлечение внимания детей к уроку.
«Оживление» опыта учащихся
Систематизировать знания детей, подтолкнуть к активной работе.
В канун нового года не только люди, но и лесные жители готовятся к празднику. А сегодня мы побываем в сказочном лесу. Дед Мороз позаботился, чтобы и у зверей был праздник. Посмотрите, елочки уже с гирляндами, но огоньки на них не горят. Чтобы они зажглись, нужно верно подобрать числа, которые в сумме дают число на каждой елочке. (6,7,8,9,10)
Фронтальная
Работа детей с карточками, ответы учащихся, взаимный анализ вариантов ответов
Создание интереса и положительного настроя.
Закрепят и систематизируют знание состава чисел.
Актуализация опорных знаний.
Оживить и систематизировать навыки детей в выполнении вычислительных операциях с числами в пределах 10.
Елочки готовы, но не хватает игрушек, Дед Мороз и об этом не забыл. Он приготовил им игрушки. 5 красных шариков и 7 синих. А каких шариков больше? Что больше 5 или 7? На сколько 5 больше 7?
Фронтальная
По степени помощи, подведение к правильным ответам.
Взаимный анализ вариантов ответов.
Умение сравнивать числа, выполнять сложение и вычитание на основе знания состава числа.
Дифференцированная работа
Умение моделировать условие задачи для ее последующего решения, умение осознанно выбирать арифметическое действие при решении задач.
Дети планируют собственную деятельность. Дифференциация содержания учебных заданий организована по уровню трудности. Для 3 и 2 групп – белочки и зайчики используется частично-поисковый метод. Для детей 1 группы с низким уровнем обучаемости используется репродуктивное задание. Характер познавательной деятельности у детей 1-ой группы – репродуктивный, у детей 2-ой и 3 групп – продуктивный
На праздник все ждут подарки. Дед мороз не знает сколько подарков нужно.
Демонстрация условия задачи на экране.
«На новогодний праздник пришли 7 зайчиков, а потом еще 2. Сколько зверей пришли на праздник?»
1 подгруппа: самостоятельное изображение схемы задачи и составление ее равенства.
2 подгруппа: помощь при изображении схемы и самостоятельное составление равенства.
3 подгруппа: совместное с учителем написание схемы и равенства.
Подгрупповая
По степени сложности.
Составление схемы задачи и равенства к ней в тетради, ответы детей, работа у доски.
Поупражняются в способах составления схем и равенств к задаче.
Физкультминутка «Вспомни и покажи».
Если я покажу четное число, то вы должны присесть столько раз, какое число я показала, а если назову нечетное – ваша задача сделать столько хлопков над головой, какое число я назвала.
Создание проблемной ситуации.
Принятие задачи и ее формулировка детьми.
На экране демонстрируется еще одна задача
«На празднике сначала было 7 зайчиков, а потом стало 9. На сколько больше зверят стало на празднике?»
Подойдет ли наша схема к данной задаче?
Чего не хватает в нашей схеме?
Что нам известно в задаче?
Какой поставлен вопрос?
Почему наша схема к данной задаче не подходит?
Фронтальная.
Совместное формулирование проблемы Ответы детей.
Принятие детьми проблемы.
2. Этап ознакомления с новым материалом.
Решение проблемных ситуаций с комментариями учителя
Совместное разрешение проблемы и вывод.
Развитие мыслительных операций, формирование и развитие логических операций
В процессе обсуждения учащиеся приходят к выводу, что нужна другая схема и изображают ее с опорой на условие задачи.
Ребята, посмотрите, теперь мы видим сколько пришло зайчиков сначала, и сколько потом их стало.
А как нам показать на схеме, насколько зверей стало больше?
Мы вычеркнем количество зверей, которое было из общего количества зверей. Учитель демонстрирует это на схеме, зачеркивая 7 кружков.
Сколько кружков осталось?
Как мы получили число 2?
Мы из большего числа вычли меньшее.
Вывод: чтобы узнать на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее. Это утверждение сопровождается схематичной жестикуляцией.
Индивидуальная и фронтальная
Ответы детей, работа со схемой и равенством в тетради.
Соотнесение своих знаний с новым материалом
Физкультминутка.
Музыкально-динамическая интерактивная физкультминутка с использованием мультимедийной установки «Веселая зарядка».
3.Операционно-исполнительный этап
Работа в подгруппах
Создание возможности выразить свою точку зрения, умение работать в подгруппе, развитие коммуникативных способностей
Работа с раздаточным материалом «рукавичками».
Ребята, а всем зайчатам, чтобы не замерзнуть нужны рукавички, давайте им поможем подобрать пару.
На рукавичках даны равенства к которым нужно подобрать необходимое число.
Контроль осуществляется через представление командами результатов работы. На оставшихся лишних рукавичках сравниваются числа и выясняется на сколько одно число больше или меньше другого. Ответ каждой подгруппы оценивается другими подгруппами при помощи сигнальной карточки.
Групповая
Ответы детей
Поупражняются в решении равенств на основе знания состава числа и в сравнении чисел.
4. Этап отработки навыка.
Применение полученных знаний в самостоятельной деятельности
Систематизация представлений о связи сложения с увеличением, а вычитания с уменьшением числа.
Работа с учебником.
Ребята, посмотрите, нам необходимо поставить знаки < или > .
Первое равенство обсуждается совместно, последующие выполняются учениками самостоятельно.
Групповая, парная, индивидуальная.
По степени помощи.
Ответы детей, работа в тетрадях, работа в парах.
Усовершенствование навыков сравнения чисел.
Работа в парах.
Работа в парах способствует формированию коммуникативных навыков, а также создается ситуация успеха для слабых и средне-слабых учащихся, которые тоже ощущают свою значимость. Ребята получают возможность доказать друг другу правильность решения.
Ребята, а теперь вы с соседом поменяйтесь тетрадями и давайте проверим, верно ли вы выполнили задание.
Парная
По степени помощи
Умение работать в паре
Усовершенствование навыков сравнения чисел и постановки знаков > и < .
5.Этап рефлексии.
Ученики оценивают свою работу по усвоению нового материала и в целом работу на уроке.
Ребята, а теперь отметьте на нашей дорожке как вы научились сравнивать два числа. Кто понял и теперь умеет это делать – поставьте * на верх дорожки, кто еще затрудняется – в середину. Кому сложно и нужно еще поучиться вниз.
И смайликом отметьте, ваше отношение к уроку. Если вы активно работали и вам было интересно, то улыбку.
А если вам было сложно и непонятно, то – грусть.
Фронтальная.
Способность к рефлексии.
Осознают, что схема к задаче зависит от поставленного условия, утверждаются в способе сравнения двух чисел.
Предмет: математика
Наименование учебно-методического комплекта (УМК): «РИТМ »
Тема урока: Сравнение чисел и величин по длине, объёму, массе .
Тип урока: Систематизация и обобщение знаний.
Цель урока: учить первоклассников устанавливать связи «схема-признак»; восстановить в их памяти способы сравнения предметов по изученным признакам; обобщить и закрепить материал о величинах (на примере величин длина, объем, масса).
Задачи урока:
Сформировать способность к описанию результатов наблюдений за свойствами предметов (цвет, форма, размер, материал, объем, площадь, масса);
Сформировать умение выделять совокупности предметов или фигур, обладающих общим признаком;
Тренировать мыслительные операции, развивать моторику мелких мышц, способность к самоконтролю, развивать навыки общения;
Воспитывать у учащихся отношения делового сотрудничества (доброжелательность друг к другу, уважать мнение других, уметь слушать товарищей);
Прививать интерес к предмету.
Планируемые результаты:
Личностные :
Формировать учебно-познавательный интерес к материалу;
Умение оценивать свою работу и работу своих товарищей;
Воспитывать ответственность за свою работу;
Развивать мотивацию к учению и познанию;
готовность и способность к саморазвитию, развитие толерантности.
Метапредметные:
регулятивные:
Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;
Проговаривать последовательность действий на уроке;
Понимать учебную задачу урока; осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя;
Оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки;
Высказывать своё предположение;
познавательные:
Уметь ориентироваться в своей системе знаний;
Находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке;
коммуникативные:
Формулировать собственное мнение и позицию;
Слушать и понимать мнение других;
Выполнять правила работы в паре;
Предметные:
Умение отличать свойства предметов, которые являются величинами, от тех свойств, которые не являются величинами;
Знания о том, что можно делать с величинами: сравнивать, измерять;
Умение сравнивать величины и их числовые значения;
Умение сравнивать результаты;
Умение работать в группе.
Оборудование урока : демонстрационные карточки с названиями признаков (длина, объем, цвет, площадь, форма, периметр, ширина, материал, масса), карточки (индивидуальные), весы, 4 кубика (внешне одинаковые, но различные по массе – 2 кубика одинаковой массы), демонстрационный кораблик, презентация к уроку.
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, раздаточный материал для работы групп (шарики, мячики, коробочки из разного материала, разные по размеру, воздушные шары, проволока), математический веер, карточки для индивидуальной работы.
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА
| Организационный момент |
|||||||||||||||||||
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
||||||||||||||||||
| Здравствуйте. Я рада приветствовать вас. Давайте создадим для успешной работы хорошее настроение. Посмотрите друг на друга добрыми глазами. Улыбнитесь друг другу доброй улыбкой. Подарите друг другу добрый взгляд. Скажите друг другу, негромко, доброе слово. Настроение отличное. Начнем работу Готовы ли вы начать урок? Проверьте свое рабочее место. | Проверяют готовность к уроку. Слушают учителя. Делятся своим настроением, говорят добрые слова. Настраиваются на предстоящую работу в классе |
||||||||||||||||||
| Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. |
|||||||||||||||||||
| Над какой учебной задачей мы будем работать? По каким признакам мы сравниваем величины? (по длине, объёму, массе) Умеете ли вы сравнивать величины? Покажите нашими специальными значками как вы сравниваете по длине, периметру, площади, материалу, цвету, форме, массе, объему. | Дети отвечают на вопросы. Показывают значками, как нужно сравнивать предметы по какому-то признаку. |
||||||||||||||||||
| Актуализация знаний |
|||||||||||||||||||
| 1.Конкретно - практическая работа по сравнению предметов по заданному признаку Что показывает схема? (предметы неодинаковые по какому- то признаку) Задания по группам : Найти предметы неодинаковые по длине Найти предметы неодинаковые по массе Найти предметы неодинаковые по размеру -Назовите величины. ДЛИНА ЦВЕТ МАССА ВЕЛИЧИНЫ ОБЪЁМ ЗАПАХ ФОРМА – Почему они являются величинами? | Масса, длина, объем. Их можно измерить. Мы будем говорить о величинах. |
||||||||||||||||||
| Выдаю группе проволочки одинаковой длины. Сделайте ломаные из 2-х, 3-х, 4-х, 5-ти звеньев. По какому признаку ломаные одинаковые? (материал, длина) | |||||||||||||||||||
| Сравнение величин По какому признаку можно сравнить 2 предмета? Какая схема подходит? 1. Мышка и слон. Сравниваем по массе, размеру 2. Треугольник и квадрат. Сравниваем по размеру или форме 3. Два сосуда с водой. Сравниваем по объёму. Крош и Ёжик решили помочь Нюше полить цветы. | Смотрят слайды, сравнивают |
||||||||||||||||||
| Устный счёт Сравниваем величины по количеству предметов. Ставим знак больше или меньше. На сколько больше или меньше? Пингвины 2 и 4 Рыбки 8 и 4 Ключи 3 и 1 Будильники и настольные лампы 3 и 4 Какое число на 2 больше 3, 4 Какое число меньше 8 на 1 , на 3 меньше 6, на 1 больше 10 | По картинкам сравниваем их количество Показываем ответ с помощью математического веера |
||||||||||||||||||
| Обобщение и систематизация знаний |
|||||||||||||||||||
| – Ребята, о чем мы сегодня будем говорить на уроке? Чтобы узнать побольше о них, я предлагаю вам поработать в группах. Каждая группа получит свое задание, в котором нужно выполнить практическую работу. В группе должен быть ответственный. Один говорит – другие слушают. Своё несогласие высказывай вежливо. Если не понял, переспроси. Работать должен каждый на результат. Задание 1 группе Вставь число, которое соответствует массе животного 8, 5 и 2
2) Поставь знаки больше, меньше или равно. Задание 2 группе 1) Измерь длину рыбки по линейке и запиши. Меченосец
2). Восстанови запись: Оцени работу. Задание 4 группе Выполни практическую работу. 1) Измерь объём кружки, стакана, банки, используя мерку – кружку и запиши данные. 2) Восстанови запись: Оцени работу . IV. Обобщение. Выводы по группам. 1 группа – Какая величина была в вашем задании? Кто из животных имеет меньшую массу? Котенок? Для чего человек это должен знать? 2 группа
3группа – С какой величиной работали вы? Вывод делается по таблице которая получилась в ходе ответов уч-ся.
– Какие действия мы выполняли с величинами? | О величинах Ребята работают в группах. Каждая группа выполняет своё задание. Демонстрируют свою работу. Отвечают на вопросы. |
||||||||||||||||||
| Физминутка |
|||||||||||||||||||
| Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция |
|||||||||||||||||||
| Каллиграфическая минутка Какое число следует за числом 6? предшествует числу 7? Самостоятельная работа. | Дети отвечают на вопросы Выполняют самостоятельную работу на карточках Проверяют работу в группах Проверяем работу вместе, зачитывая ответы |
||||||||||||||||||
| По какому признаку сравнили величины? Стр. 103, № 7 Учебник и слайды По какому признаку сравнила предметы Ира? (по объёму) Даша? (по высоте) Таня? (по массе) Сравните предметы с помощью схемы. | Дети рассматривают рисунки, схемы, сопоставляют рисунки со схемами и делают выводы |
||||||||||||||||||
| Составление задач с опорой на рисунок и схему Стр. 111, № 18 Давайте составим задачу про отца и сына. По схеме определяем, чему равны величины. Что это? (Пакет с овощами и картошкой) По какому признаку можно сравнить эти предметы? (по массе) Что это? (ведра с водой) По какому признаку можно сравнить эти предметы? (по объёму) Что это? (2 рыбки) По какому признаку можно сравнить эти предметы | В группах дети коллективно составляют задачи. Проговаривают текст задачи с опорой на рисунок и схему. Устно отвечают на вопрос. Показывают на схеме, на сколько одна величина больше или меньше другой |
||||||||||||||||||
| Рефлексия (подведение итогов занятия) |
|||||||||||||||||||
| Над какой темой мы сегодня работали? У меня всё получилось Я испытывал затруднения Я ничего не понял В чём вы испытывали затруднения? Что вы делали легко, без затруднений? | Показывают с помощью знака, своё отношение к уроку. Высказывают своё отношение. |
||||||||||||||||||
| Дополнительное задание Задача на логическое мышление |
|||||||||||||||||||
| 1. Стоя на одной ноге, курица весит 1кг. Сколько весит эта курица, когда она стоит на двух ногах? 2 одинаковых арбуза весят столько же, сколько 3 одинаковых дыни. Что тяжелее: арбуз или дыня? | Вывод: Курица, стоя на двух ногах, весит 1 кг. |
||||||||||||||||||
Средние величины
В клинической медицине и практике здравоохранения мы часто сталкиваемся с признаками, имеющими количественную характеристику (рост, число дней нетрудоспособности, уровень кровяного давления, посещения поликлиники, численность населения на участке и т.д.). Количественные значения могут быть дискретными или непрерывными. Пример дискретного значения – число детей в семье, пульс; пример непрерывного значения – артериальное давление, рост, вес (число может быть дробным, переходящим в следующее)
Каждое числовое значение единицы наблюдения называется вариантой (x). Если все варианты построить в возрастающем или убывающем порядке и указать частоту каждой варианты (p), то можно получить так называемый вариационный ряд .
Вариационный ряд, имеющий нормальное распределение, графически представляет собой колокол (гистограмма, полигон).
Для характеристики вариационного ряда, имеющего нормальное распределение (или распределение Гаусса-Ляпунова), всегда используются две группы параметров:
1. Параметры, характеризующие основную тенденцию ряда: средняя величина (`x), мода(Мо), медиана (Ме).
2. Параметры, характеризующие рассеянность ряда: среднее квадратичное отклонение (d), коэффициент вариации (V).
Средняя величина (`x) – это величина, определяющая одним числом количественную характеристику качественно однородной совокупности.
Мода (Мо) – чаще всего встречающаяся варианта вариационного ряда.
Медиана (Ме) – варианта, делящая вариационный ряд на равные половины.
Среднее квадратичное отклонение (d) показывает, как в среднем отклоняется каждая варианта от средней величины.
Коэффициент вариации (V ) определяет изменчивость вариационного ряда в процентах и дает возможность судить о качественной однородности изучаемой совокупности. Целесообразно использовать для сравнения вариации различных признаков (а также степени изменчивости сильно отличающихся групп, групп особей разных видов, например, вес новорожденных и семилетних детей).
Лимиты или пределы (lim) – минимальное и максимальное значение вариант. простейший способ дать характеристику вариационному ряду, указать его размах, минимальное и максимальное значение ряда, т.е. его лимиты. Однако лимиты не указывают на то, как распределяются по изучаемому признаку отдельные члены совокупности, поэтому используют указанные выше две группы параметров вариационного ряда.
Имеются разные модификации вычисления параметров вариационного ряда. Их выбор зависит от самого вариационного ряда и технических средств.
В зависимости от того как варьирует признак – дискретно или непрерывно, в широком или узком диапазоне различают простой невзвешенный, простой взвешенный (для дискретных величин) и интервальный вариационный ряд (для непрерывных величин).
Группировку рядов проводят при большом числе наблюдений следующим путем:
1. Определяют размах ряда вычитанием минимальной варианты из максимальной.
2. Полученное число делят на желаемое число групп (минимальное число – 7, максимальное – 15). Так определяется интервал.
3. Начиная с минимальной варианты, строят вариационный ряд. Границы интервалов должны быть четкие, исключающие попадание одной и той же варианты в разные группы.
Вычисление параметров вариационного ряда ведется от центральной варианты. Если ряд непрерывный, то центральная варианта вычисляется как полусумма начальных вариант предыдущей и последующей групп. Если это прерывный ряд, то центральная варианта вычисляется как полусумма начальной и конечной вариант в группе.
Вычисление параметров вариационного ряда
Алгоритм вычисления параметров простого невзвешенного вариационного ряда:
1. Располагают варианты в возрастающем порядке
2. Суммируют все варианты (Sx);
3. Разделив сумму на число наблюдений, получают невзвешенную среднюю ;
4. Вычисляют порядковый номер медианы (Ме);
5. Определяют варианту медианы (Ме)
6. Находят отклонение (d) каждой варианты от средней (d = x -`x)
7. Возводят отклонение в квадрат (d 2);
8. Суммируют d 2 (Sd 2);
9. Вычисляют среднее квадратичное отклонение по формуле: ± ;
10. Определяют коэффициент вариации по формуле: 
.
11. Делают вывод о полученных результатах.
Примечание: в однородной статистической совокупности коэффициент вариации бывает 5-10%, 11-20% - средняя вариации, более 20% - высокая вариация.
Пример:
В отделении реанимации и интенсивной терапии было проведено лечение 9 больных с сосудистым поражением мозга. Длительность лечения каждого больного в днях: 7, 8, 12, 6, 4, 10, 9, 5,11.
1. Строим вариационный ряд (x): 4,5,6,7,8,9,10,11,12
2. Вычисляем сумму вариант: Sx = 72
3. Вычисляем среднее значение вариационного ряда: =72/9=8 дней;
4. 
;
5. Ме n =5 =8 дней;
| x | d | d 2 |
| -4 | ||
| -3 | ||
| -2 | ||
| -1 | ||
| +1 | ||
| +2 | ||
| +3 | ||
| +4 | ||
| S=72 | S=0 | Sd 2 =60 |
9. 
(дней);
10. Коэффициент вариации равен: ;
Алгоритм вычисления параметров простого взвешенного вариационного ряда:
1. Располагают варианты в возрастающем порядке с указанием их частоты (p);
2. Перемножают каждую варианту на свою частоту (x*p);
3. Суммируют произведения xp (Sxp);
4. Вычисляют среднюю величину по формуле (`x)= ;
5. Находят порядковый номер медианы ;
6. Определяют варианту медианы (Ме);
7. Чаще всего встречающуюся варианту принимают за моду (Мо);
8. Находят отклонения d каждой варианты от средней (d = x - `x);
9. Возводят отклонения в квадрат (d 2);
10. Перемножают d 2 на p (d 2 *p);
11. Суммируют d 2 *p (Sd 2 *p);
12. Вычисляют среднее квадратичное отклонение (s) по формуле: ± ;
13. Определяют коэффициент вариации по формуле: .
Пример.
Измерялось систолическое артериальное давление у девушек в возрасте 16 лет.
| Систолическое артериальное давление, мм рт.ст. x | Число обследованных, p | x*p | d | d 2 | d 2 *p |
| -11.4 | 130.0 | 260.0 | |||
| -9.4 | 88.4 | 265.2 | |||
| -7.4 | 54.8 | 219.2 | |||
| -5.4 | 29.2 | 175.2 | |||
| -1.4 | 2.0 | 20.0 | |||
| +0.6 | 0.4 | 9.6 | |||
| 2.6 | 6.8 | 40.8 | |||
| 4.6 | 21.2 | 84.8 | |||
| 6.6 | 43.6 | 130.8 | |||
| 10.6 | 112.4 | 337.2 | |||
| 12.6 | 158.8 | 317.6 | |||
| n=67 | Sxp=7194 | Sd 2 p=1860.4 |
мм рт.ст.;
Мм рт.ст.
;
Ме=108 мм рт.ст.; Мо=108 мм рт.ст.
Алгоритм вычисления параметров сгруппированного вариационного ряда способом моментов:
1. Расположить варианты в возрастающем порядке с указанием их частоты (р)
2. Провести группировку вариант
3. Вычислить центральную варианту
4. Варианту с самой высокой частотой принимают за условную среднюю (А)
5. Вычислить условное отклонение (а) каждой центральной варианты от условной средней (А)
6. Перемножают а на р (а*р)
7. Суммируют произведения ар
8. Определяют величину интервала y путем вычитания центральной варианты из предыдущей
9. Вычисляют среднюю величину по формуле:
;
10. Для вычисления условного квадратичного отклонения условные отклонения возводят в квадрат (а 2)
11. Перемножают а 2 *р
12. Суммируют произведения а*р 2
13. Вычисляют среднее квадратичное отклонение по формуле
Пример
Имеются данные мужчин в возрасте 30-39 лет
| масса, кг х | Число обследованных р | Серединная варианта х с | а | а 2 | а 2 *р | а*р | Накопленные частоты |
| 45-49 | 47,5 | -4 | -4 | ||||
| 50-54 | 52,5 | -3 | -9 | ||||
| 55-59 | 57,5 | -2 | -14 | ||||
| 60-64 | 62,5 | -1 | -10 | ||||
| 65-69 | 67,5 | ||||||
| 70-74 | 72,5 | ||||||
| 75-79 | 77,5 | ||||||
| 80-84 | 82,5 | ||||||
| 85-89 | 87,5 | ||||||
| сумма |
- средняя арифметическая
; - среднее квадратичное отклонение; 
- ошибка средней
Оценка достоверности
Статистическая оценка достоверности результатов медико-статистического исследования складывается из ряда этапов – точность результатов зависит отдельных этапов.
При этом встречаются две категории ошибок: 1) ошибки, которые нельзя заранее учесть математическими методами (ошибки точности, внимания, типичности, методические ошибки и т.д.); 2) ошибки репрезентативности, связанные с выборочным исследованием.
Величина ошибки репрезентативности определяется как объемом выборки, так и разнообразием признака и выражается средней ошибкой. Средняя ошибка показателя вычисляется по формуле:
где m – средняя ошибка показателя;
p – статистический показатель;
q – величина обратная p (1-p, 100-p, 1000-p, и т.д.)
n – число наблюдений.
При числе наблюдений менее 30 в формулу вводится поправка:
Ошибка средней величины исчисляется по формулам:
; 
;
где s - среднее квадратичное отклонение;
n – число наблюдений.
Пример 1.
Из стационара выбыло 289 человек, умерло – 12.
Летальность составит:
; ;
При проведении повторных исследований средняя (М) в 68% случаев будет колебаться в пределах ±m, т.е. степень вероятности (p), с которой мы получим такие доверительные границы средней, равна 0,68. Однако такая степень вероятности обычно не удовлетворяет исследователей. Наименьшей степенью вероятности, с которой хотят получить определенные границы колебания средней (доверительные границы), является 0,95 (95%). В этом случае доверительные границы средней должны быть расширены путем умножения ошибки (m) на доверительный коэффициент (t).
Доверительный коэффициент (t) – число, показывающее, во сколько раз нужно увеличить ошибку средней величины, чтобы при данном числе наблюдений с желаемой степенью вероятности (p) утверждать, что средняя величина не выйдет за получаемые таким образом пределы.
При p=0.95 (95%) t=2, т.е. M±tm=M+2m;
При p=0.99 (99%) t=3, т.е. M±tm=M+3m;
Сравнение средних показателей
При сравнении двух средних арифметических (или двух показателей), вычисленных за различные периоды времени или в несколько отличающихся условиях, определяется существенность различий между ними. При этом применяется следующее правило: разница между средними (или показателями) считается существенной в том случае, если арифметическая разность между сравниваемыми средними (или показателями) будет больше, чем два квадратных корня из суммы квадратов ошибок этих средних (или показателей), т.е.
(для сравниваемых средних);
(для сравниваемых показателей).
Валерий Галасюк
– академик
АЭН Украины, генеральный директор аудиторской фирмы “КАУПЕРВУД” (г. Днепропетровск),
член Президиума Совета Союза аудиторов Украины, член Аудиторской Палаты
Украины, председатель ревизионной комиссии Украинского общества оценщиков,
заместитель председателя Правления Ассоциации налогоплательщиков Украины,
заместитель председателя комиссии по оценке эффективности инвестиционной
деятельности Украинского общества финансовых аналитиков, ведущий оценщик
Украинского общества оценщиков
Виктор Галасюк
– директор департамента кредитного консалтинга информационно-консалтинговой
фирмы “ИНКОН-ЦЕНТР” (консалтинговая группа “КАУПЕРВУД”), магистр экономики
предприятия, лауреат конкурсов молодых оценщиков Украинского общества
оценщиков
Математика – единственный совершенный метод,
позволяющий провести самого себя за нос
Эйнштейн
Мое дело сказать правду, а не заставить верить в нее
Руссо
Данная статья посвящена фундаментальной проблеме, возникающей в процессе численного сравнения величин. Сущность этой проблемы заключается в том, что при определенных условиях различные способы численного сравнения одних и тех же величин фиксируют разную степень их неравенства . Уникальность данной проблемы состоит не столько в том, что она до сих пор не была решена, хотя, казалось бы, процедуры численного сравнения досконально изучены и не вызывают вопросов даже у школьников, сколько в том, что она до сих пор не нашла должного отражения в общественном сознании и, что еще более важно, в практической деятельности.
Как известно, численно сравнивать две величины можно либо отвечая на вопрос «На сколько одна величина больше другой?», либо отвечая на вопрос «Во сколько раз одна величина больше другой?». То есть для того, чтобы численно сравнить две величины необходимо либо вычесть одну из другой (), либо разделить одну на другую (). При этом, как показали исследования, существует всего два исходных типа критериев численного сравнения величин: и , и ни один из них не имеет исключительного права на существование .
Возможны всего 13 качественно различающихся вариантов соотношения на числовой оси значений двух сравниваемых величин X и Y (см. рис.1) .
При сравнении двух величин X и Y на базе критерия сравнения при любом варианте их соотношения на числовой оси не возникает проблем. Ведь независимо от значений величин X и Y, критерий сравнения однозначно характеризует расстояние между точками X и Y на числовой оси.
Вместе с тем использование критерия сравнения для сравнения величин X и Y при некоторых вариантах их соотношения на числовой оси может привести к возникновению проблем , так как в этих случаях значения величин X и Y могут оказать значительное влияние на результаты сравнения. Например, при сравнении величин 0,0100000001 и 0,0000000001, соответствующих варианту 5 на «четках Галасюка», использование критерия сравнения показывает, что первое число больше второго на 0,01, а использование критерия сравнения показывает, что первое число больше второго в 100 000 001 раз. Таким образом, при определенном соотношении сравниваемых величин на числовой оси, критерий сравнения указывает на незначительную степень неравенства сравниваемых величин X и Y, а критерий сравнения указывает на значительную степень их неравенства .
Или, например, при сравнении величин 1 000 000 000 100 и
1 000 000 000 000, соответствующих тому же варианту 5 на «четках Галасюка»,
использование критерия сравнения показывает,
что первое число больше второго на 100, а использование критерия сравнения
показывает,
что первое число приблизительно равно второму, поскольку оно больше второго
числа лишь в 1,0000000001 раз. Таким образом, при определенном соотношении
сравниваемых величин на числовой оси, критерий сравнения указывает
на значительную степень неравенства
сравниваемых величин X и Y,
а критерий сравнения указывает
на незначительную степень их неравенства
.
Поскольку проблема, о которой идет речь в данной статье, возникает лишь при использовании критерия сравнения , то для ее изучения рассмотрим сравнение двух величин m и n на базе критерия сравнения . Для сравнения этих величин разделим m на n : .
Анализ результатов сравнения величин m и n осуществим в два этапа: на первом неизменным примем знаменатель отношения – величину n , на втором числитель - величину m (см.рис.2).
Для осуществления первого этапа анализа построим график зависимости отношения от величины m (см.рис.3), при этом следует отметить, что при n =0 отношение не определено.
Как видно на рисунке 3, если n=const, n¹0, то при |m|→∞ отношение | |→∞, а при |m|→0 отношение | |→0.
Для осуществления второго этапа анализа, построим график зависимости отношения от величины n (см.рис.4), при этом следует отметить, что при n =0 отношение не определено.
Как видно на рисунке 4, если m=const, m¹0, n¹0, то при |n|→∞ отношение | |→0, а при |n|→0 отношение | |→∞. Следует обратить внимание, что при возрастании значений |n | равные изменения |n | влекут все меньшие изменения отношения | |. А при приближении к нулю значений |n | равные изменения |n | влекут все большие изменения отношения | |.
Обобщив результаты I и II этапов анализа, представим их в виде следующей таблицы, включив в нее также и результаты анализа сравнения на базе исходного типа критериев (см. табл.1). Ситуации, при которых X=0 и Y=0 нами здесь не рассматриваются. Мы надеемся проанализировать их в будущем.
Таблица 1
Обобщенные результаты анализа сравнения величин
X
и
Y
на основе двух исходных типов критериев сравнения
(X ¹ 0 и Y ¹ 0)
|
7. Галасюк В.В. Сколько должно быть исходных типов критериев экономической эффективности затрат: один, два, три…?//Фондовый рынок.-2000.-№3.-С.39-42. 8. Галасюк В.В. О двух исходных типах критериев экономической эффективности затрат//Вопросы оценки,Москва.-2000.-№1.-С.37-40. 9. Пуанкаре Анри. О науке: Пер. с франц.-М.-Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.-560 с. 20.10.2002 |
Взгляните на рисунок. Вы видите две мензурки, в каждой из которых налито некоторое количество жидкости. Скажите, в какой из мензурок жидкости больше? Если вы считаете, что в правой – вы ошибаетесь! Правильный ответ такой: погрешность, возникающая при измерении объема жидкости этими мензурками, не позволяет сказать, в какой мензурке налито больше жидкости.
Как же это следует понимать? Давайте вспомним, что использование любого измерительного прибора обязательно сопровождается погрешностью измерения. Она зависит от цены деления шкалы этого прибора. Поскольку на правой мензурке деления более крупные, значит, погрешность измерения объема будет больше. Измерим объемы жидкостей в мензурках с учетом погрешностей.
Изобразим на двух числовых прямых измеренные значения объемов (отмечены желтыми точками) и интервалы между границами погрешностей измерений:
В отличие от измеренных значений, истинные значения объемов жидкостей находятся в неизвестном месте внутри интервалов. Истинный объем жидкости в левой мензурке может быть равен, например, 270 мл, а истинный объем жидкости в правой мензурке, например, 250 мл (отмечены красными точками).
Мы специально выбрали второе «красное» число меньше первого (ведь такая ситуация тоже может быть). А это значит, что правая мензурка может содержать меньший объем жидкости, чем левая, несмотря на то, что уровень жидкости в правой мензурке выше. Невероятно, но факт!