Корреляционные функции случайных процессов. Корреляционной функции случайного процесса

Помехи в системах связи описываются методами теории случайных процессов.

Функция называется случайной, если в результате эксперимента она принимает тот или иной вид, заранее неизвестно, какой именно. Случайным процессом называется случайная функция времени. Конкретный вид, который принимает случайный процесс в результате эксперимента, называется реализацией случайного процесса.

На рис. 1.19 показана совокупность нескольких (трех) реализаций случайного процесса , , . Такая совокупность называется ансамблем реализаций. При фиксированном значении момента времени в первом эксперименте получим конкретное значение , во втором – , в третьем – .

Случайный процесс носит двойственный характер. С одной стороны, в каждом конкретном эксперименте он представлен своей реализацией – неслучайной функцией времени. С другой стороны, случайный процесс описывается совокупностью случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайный процесс в фиксированный момент времени Тогда в каждом эксперименте принимает одно значение , причем заранее неизвестно, какое именно. Таким образом, случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени является случайной величиной. Если зафиксированы два момента времени и , то в каждом эксперименте будем получать два значения и . При этом совместное рассмотрение этих значений приводит к системе двух случайных величин. При анализе случайных процессов в N моментов времени приходим к совокупности или системе N случайных величин .

Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса.Поскольку случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени, является случайной величиной, то можно говорить о математическом ожидании и дисперсии случайного процесса:

, .

Так же, как и для случайной величины, дисперсия характеризует разброс значений случайного процесса относительно среднего значения . Чем больше , тем больше вероятность появления очень больших положительных и отрицательных значений процесса. Более удобной характеристикой является среднее квадратичное отклонение (СКО) , имеющее ту же размерность, что и сам случайный процесс.

Если случайный процесс описывает, например, изменение дальности до объекта, то математическое ожидание – средняя дальность в метрах; дисперсия измеряется в квадратных метрах, а Ско – в метрах и характеризует разброс возможных значений дальности относительно средней.

Среднее значение и дисперсия являются очень важными характеристиками, позволяющими судить о поведении случайного процесса в фиксированный момент времени. Однако, если необходимо оценить «скорость» изменения процесса, то наблюдений в один момент времени недостаточно. Для этого используют две случайные величины , рассматриваемые совместно. Так же, как и для случайных величин, вводится характеристика связи или зависимости между и . Для случайного процесса эта характеристика зависит от двух моментов времени и и называетсякорреляционной функцией: .

Стационарные случайные процессы. Многие процессы в системах управления протекают однородно во времени. Их основные характеристики не изменяются. Такие процессы называютсястационарными. Точное определение можно дать следующим образом. Случайный процесс называется стационарным, если любые его вероятностные характеристики не зависят от сдвига начала отсчета времени. Для стационарного случайного процесса математическое ожидание, дисперсия и СКО постоянны: , .

Корреляционная функция стационарного процесса не зависит от начала отсчета t, т.е. зависит только от разности моментов времени:

Корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет следующие свойства:

1) ; 2) ; 3) .

Часто корреляционные функции процессов в системах связи имеют вид, показанный на рис. 1.20.

Рис. 1.20. Корреляционные функции процессов

Интервал времени , на котором корреляционная функция, т.е. величина связи между значениями случайного процесса, уменьшается в М раз, называетсяинтервалом или временем корреляции случайного процесса. Обычно или . Можно сказать, что значения случайного процесса, отличающиеся по времени на интервал корреляции, слабо связаны друг с другом.

Таким образом, знание корреляционной функции позволяет судить о скорости изменения случайного процесса.

Другой важной характеристикой является энергетический спектр случайного процесса. Он определяется как преобразование Фурье от корреляционной функции:

.

Очевидно, справедливо и обратное преобразование:

.

Энергетический спектр показывает распределение мощности случайного процесса, например помехи, на оси частот.

При анализе САУ очень важно определить характеристики случайного процесса на выходе линейной системы при известных характеристиках процесса на входе САУ. Предположим, что линейная система задана импульсной переходной характеристикой . Тогда выходной сигнал в момент времени определяется интегралом Дюамеля:

,

где – процесс на входе системы. Для нахождения корреляционной функции запишем и после перемножения найдем математическое ожидание

Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками случайного процесса, но они не дают достаточного представления о том, какой характер будут иметь отдельные реализации случайного процесса. Это хороню видно из рис. 9.3, где показаны реализации двух случайных процессов, совершенно различных по своей структуре, хотя и имеющих

одинаковые значения математического ожидания и дисперсии. Штриховыми линиями на рис. 9.3 показаны значения для случайных процессов.

Процесс, изображенный на рис. 9.3, а, от одного сечения к другому протекает сравнительно плавно, а процесс на рис. 9.3, б обладает сильной изменчивостью от сечения к сечению Поэтому статистическая связь между сечениями в первом случае больше, чем во втором, однако ни по математическому ожиданию, ни по дисперсии этого установить нельзя.

Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю структуру случайного процесса, т. е. учесть связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени или, иными словами, учесть степень изменчивости случайного процесса, необходимо ввести понятие о корреляционной (автокорреляционной) функции случайного процесса.

Корреляционной функцией случайного процесса называют неслучайную функцию двух аргументов которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени) равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин соответствующих сечений случайного процесса:

где - двумерная плотность вероятности; - центрированный случайный процесс; - математическое ожидание (среднее значение) случайного процесса.

Различные случайные процессы в зависимости от того, как изменяются их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарные и нестационарные. Разделяют стационарность в узком смысле и стационарность в широком смысле.

Стационарным в узком смысле называют случайный процесс если его n-мерные функции распределения и плотности вероятности при любом не зависят от сдвига всех точек

Вдоль оси времени на одинаковую величину т. е.

Это означает, что два процесса имеют одинаковые статистические свойства для любого т. е. статистические характеристики стационарного случайного процесса неизменны во времени.

Стационарный случайный процесс - это своего рода аналог установившегося процесса в детерминированных системах. Любой переходный процесс не является стационарным.

Стационарным в широком смысле называют случайный процесс математическое ожидание которого постоянно:

а корреляционная функция зависит только от одной переменной - разности аргументов при этом корреляционную функцию обозначают

Процессы, стационарные в узком смысле, обязательно стационарны и в широком смысле; однако обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле, вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик случайного процесса используются только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, которая описывает свойства случайного процесса через его математическое ожидание и корреляционную функцию, называют корреляционной теорией.

Для случайного процесса с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью определяют его n-мерную плотность вероятности.

Поэтому для нормальных случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают.

Теория стационарных процессов разработана наиболее полно и позволяет сравнительно просто производить расчеты для многих практических случаев. Поэтому допущение о стационарности иногда целесообразно делать также и для тех случаев, когда случайный процесс хотя и нестационарен но на рассматриваемом отрезке времени работы системы статистические характеристики сигналов не успевают сколько-нибудь существенно измениться. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, будут рассматриваться случайные процессы, стационарные в широком смысле.

При изучении случайных процессов, стационарных в широком смысле, можно ограничиться рассмотрением только процессов с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю, т. е. так как случайный процесс с ненулевым математическим ожиданием представляют как сумму процесса с нулевым математическим ожиданием и постоянной неслучайной (регулярной) величиной, равной математическому ожиданию этого процесса (см. далее § 9.6).

При выражение для корреляционной функции

В теории случайных процессов пользуются двумя понятиями средних значений. Первое понятие о среднем значении - это среднее значение по мнооюеству (или математическое ожидание), которое определяется на основе наблюдения над множеством реализацчй случайного процесса в один и тот же момент времени. Среднее значение по множеству принято обозначать волнистой чертой над выражением, описывающим случайную функцию:

В общем случае среднее значение по множеству является функцией времени

Другое понятие о среднем значении - это среднее значение по времени, которое определяется на основе наблюдения за отдельной реализацией случайного процесса на протяжении

достаточно длительного времени Т. Среднее значение по времени обозначают прямой чертой над соответствующим выражением случайной функции и определяют по формуле:

если этот предел существует.

Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализаций множества, определяющих случайный процесс. Вообще говоря, для одного и того же случайного процесса среднее по множеству и среднее по времени значения различны. Однако существует класс стационарных случайных процессов, называемых эргодическими, для которых среднее по множеству равно среднему по времени, т. е.

Корреляционная функция эргодического стационарного случайного процесса неограниченно убывает по модулю при

Однако надо иметь в виду, что не всякий стационарный случайный процесс является эргодическим, например случайный процесс каждая реализация которого постоянна во времени (рис. 9.4), является стационарным, но не эргодическим. В этом случае средние значения, определенные по одной реализации и в результате обработки множества реализаций, не совпадают. Один и тот же случайный процесс в общем случае может быть эргодическим по отношению к одним статистическим характеристикам и неэргодическим по отношению к другим. В дальнейшем будем считать, что по отношению ко всем статистическим характеристикам условия эргодичности выполняются.

Свойство эргодичности имеет очень большое практическое значение. Для определения статистических свойств некоторых объектов, если трудно осуществить одновременное наблюдение за ними в произвольно выбранный момент времени (например, при наличии одного опытного образца), его можно заменить длительным наблюдением за одним объектом. Иными словами, отдельная реализация эргодического случайного

процесса на бесконечном промежутке времени полностью определяет весь случайный процесс с его бесконечными реализациями. Собственно говоря, этот факт лежит в основе описанного ниже метода экспериментального определения корреляционной функции стационарного случайного процесса по одной реализации.

Как видно из (9.25), корреляционная функция представляет собой среднее значение по множеству. Для эргодических случайных процессов корреляционную функцию можно определить как среднее по времени от произведения , т. е.

где - любая реализация случайного процесса; х - среднее значение по времени, определяемое по (9.28).

Если среднее значение случайного процесса равно нулю то

Основываясь на свойстве эргодичности, можно дисперсию [см. (9.19)] определить как среднее по времени от квадрата центрированного случайного процесса, т. е.

Сравнивая выражения (9.30) и (9.32) при можно установить очень важную связь между дисперсией и корреляционной функцией - дисперсия стационарного случайного процесса равна начальному значению корреляционной функции:

Из (9.33) видно, что дисперсия стационарного случайного процесса постоянна, а следовательно, постоянно и среднее квадратическое отклонение:

Статистические свойства связи двух случайных процессов можно характеризовать взаимной корреляционной функцией которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов равна

Для эргодических случайных процессов вместо (9.35) можно записать

где - любые реализации стационарных случайных процессов соответственно.

Взаимная корреляционная функция характеризует взаимную статистическую связь двух случайных процессов в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени . Значение характеризует эту связь в один и тот же момент времени.

Из (9.36) следует, что

Если случайные процессы статистически не связаны друг с другом и имеют равные нулю средние значения, то их взаимная корреляционная функция для всех равна нулю. Однако обратный вывод о том, что если взаимная корреляционная функция равна нулю, то процессы независимы, можно сделать лишь в отдельных случаях (в частности, для процессов с нормальным законом распределения), общей же силы обратный закон не имеет.

Заметим, что корреляционные функции могут вычисляться и для неслучайных (регулярных) функций времени. Однако когда говорят о корреляционной функции регулярной функции то под этим понимают просто результат формального

применения к регулярной функции операции, выражаемой интегралом:

Приведем некоторые основные свойства корреляционных функций

1. Начальное значение корреляционной функции [см. (9.33)] равно дисперсии случайного процесса:

2. Значение корреляционной функции при любом не может превышать ее начального значения, т. е.

Чтобы доказать это, рассмотрим очевидное неравенство из которого следует

Находим средние значения по времени от обеих частей последнего неравенства:

Таким образом, получим неравенство

3. Корреляционная функция есть четная функция , т. е.

Это вытекает из самого определения корреляционной функции. Действительно,

поэтому на графике корреляционная функция всегда симметрична относительно оси ординат.

4. Корреляционная функция суммы случайных процессов определяется выражением

где - взаимные корреляционные функции

Действительно,

5. Корреляционная функция постоянной величины равна квадрату этой постоянной величины (рис. 9.5, а), что вытекает из самого определения корреляционной функции:

6. Корреляционная функция периодической функции, например представляет собой косинусоиду (рис. 9-5, 5), т. е.

имеющую ту же частоту что и и не зависящую от сдвига фазы

Чтобы доказать это, заметим, что при нахождении корреляционных функций периодических функций можно использовать следующее равенство:

где - период функции

Последнее равенство получается после замены интеграла с пределами от -Т до Т при Т со суммой отдельных интегралов с пределами от до , где и использования периодичности подынтегральных функций.

Тогда, учитывая сказанное выше, получим т.

7. Корреляционная функция временной функции, разлагаемой в ряд Фурье:

Рис. 9.5 (см. скан)

имеет на основании изложенного выше следующий вид:

8. Типичная корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет вид, представленный на рис. 9.6. Ее можно аппроксимировать следующим аналитическим выражением:

С ростом связь между ослабевает и корреляционная функция становится меньше. На рис. 9.5, б, в приведены, например, две корреляционные функции и две соответствующие им реализации случайного процесса. Легко заметить, что корреляционная функция, соответствующая случайному процессу с более тонкой структурой, убывает быстрее Другими словами, чем более высокие частоты присутствуют в случайном процессе, тем быстрее убывает соответствующая ему корреляционная функция.

Иногда встречаются корреляционные функции, которые могут быть аппроксимированы аналитическим выражением

где - дисперсия; - параметр затухания; - резонансная частота.

Корреляционные функции подобного вида имеют, например, случайные процессы типа турбулентности атмосферы, фединга радиолокационного сигнала, углового мерцания цели и т. п. Выражения (9.45) и (9.46) часто используются для аппроксимации корреляционных функций, полученных в результате обработки экспериментальных данных.

9. Корреляционная функция Стационарного случайного процесса, на которой наложена периодическая составляющая с частотой также будет содержать периодическую составляющую той же частоты.

Это обстоятельство можно использовать как один из способов обнаружения «скрытой периодичности» в случайных процессах, которая может не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи реализации случайного процесса.

Примерный вид корреляционной функции процесса содержащего в своем составе кроме случайной также и периодическую составляющую, показан на рис. 9.7, где обозначена корреляционная функция, соответствующая случайной составляющей. Чтобы выявить скрытую периодическую составляющую (такая задача возникает, например, при выделении малого полезного сигнала на фоне большой помехи), лучше всего определить корреляционную функцию для больших значений когда случайный сигнал уже сравнительно слабо коррелирован и случайная составляющая слабо сказывается на виде корреляционной функции.

9. Корреляционная функция и её основные свойства.

Для полного описания случайных процессов вводится понятие коррел ф-и .

равных математическом ожидании, дисперсии, СКО

Предп, что закон распределения нормальный. На графиках видно резкое отличие процессов,несмотря на их равные вероятностные хар-ки.

Например, слежение за самолетом. Если он в момент времени t занял положениех 1 то этим самым его возможное положениех 2 в следующий моментt 2 ограничено, т. е. события (x 1 ,t 1 ) и (x 2 ,t 2 ) не будут независимыми. Чем более инерционен изучаемый объект, тем больше эта взаимозависимость, иликорреляция . Корр ф-я математически выражает корреляцию двух функций или корреляцию функции с самой собой (автокорр-я функция ). Коррфункция описывается в следующем виде:

где t 1 иt 2 – любые моменты времени, то естьt 1 иt 2 Т

Корреляция - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин.

Корреляционная функция – такая неслучайная функцияR x (t 1 ,t 2 ) двух аргументов, которая для любой пары фиксированных значений аргументовt 1 иt 2 равна корреляционному моменту, соответствующих этим сечениям случайных величинx (t 1 ) иx (t 2 ).

Корреляционная функция - функция времени, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами.

При совпадении моментов t 1 иt 2 корреляционная функция равна дисперсии. Нормированная корреляционная функция вычисляется по формуле:

Свойства корреляционных функций

1. Корреляционная функция R x (t 1 ,t 2 ) симметрична относительно своих аргументов:

в соответствии с определением корреляционной функции X (t ).

2. При добавлении к случайной функции X (t ) произвольного неслучайного слагаемого

(t ), корреляционная функцияZ (t ) X (t ) (t ),

то R z (t 1 ,t 2 ) =R x (t 1 ,t 2 ).

3. При умножении случайной функции X (t ) на произвольный неслучайный множитель ψ(t ) корреляционная функцияR x (t 1 ,t 2 ) умножается на ψ(t 1 )ψ(t 2 ).

Погрешности измерений, обусловленные наведенными помехами и собственными шумами электронных приборов, описываются с помощью математической теории, получившей название "теория случайных процессов ". Напомним основные понятия этой теории, которые мы будем использовать в дальнейшем изложении и которые используются ГОСТ 8.009 [ГОСТ ] при нормировании случайной составляющей погрешности измерений.

,

. . В пределе, при приведенные оценки параметров стремятся к их истинным значениям. В приведенных формулах для оценок параметров и самих параметров использованы одни и те же обозначения, поскольку в дальнейшем мы будем использовать только оценки, если иное не оговорено специально. Отдельно взятая реализация случайного процесса является детерминированной (неслучайной) функцией, поэтому для нее можно найти спектральную характеристику с помощью преобразования Фурье: В соответствии с этим определением, шума измеряется в или , и т. п. Отметим, что в теории случайных процессов понятие мощности отличается от общепринятого: предполагается, что энергия шума выделяется на сопротивлении в 1 Ом, но размерность не указывается, поэтому вместо размерности мощности используется , . Аналогично, энергия измеряется не в , а в . Автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности связаны между собой преобразованием Фурье (теорема Винера-Хинчина [Баскаков ]): ; , Если энергетический спектр лежит в диапазоне частот от >0 до , например, благодаря применению фильтра, то можно считать, что за пределами указанного диапазона частот его значения равны нулю и это позволяет изменить пределы интегрирования в (4.16): . При использовании формул (4.16) и (4.19) надо помнить, что в ней применен двусторонний энергетический спектр (симметричный относительно начала оси ординат). В случае одностороннего спектра , заданного в диапазоне частот , коэффициент "2" должен отсутствовать: В зарубежной справочной литературе на графиках спектральной плотности мощности шума транзисторов, операционных усилителей и др. обычно по оси ординат откладывается корень квадратный из спектральной плотности мощности шума , имеющий размерность , и т. п. В этом случае напряжение шума (среднеквадратическое значение) можно найти как . Для белого шума и предыдущее выражение упрощается: . Рассмотрим суммирование двух случайных погрешностей и с нулевым математическим ожиданием (т. е. центрированных случайных величин). Дисперсия суммы двух случайных величин по определению равна математическому ожиданию квадрата их суммы: = , где и - операторы дисперсии и математического ожидания ; , - среднеквадратические отклонения случайных величин и . Величина называется ковариацией ("совместной вариацией") случайных величин и . Ковариацию дискретных случайных величин можно оценить по их дискретным значениям и с помощью формулы среднего арифметического: . Коэффициентом корреляции называют отношение ковариации к произведению среднеквадратических отклонений и случайных величин и : . Здесь знак "-" используется когда случайные величины вычитаются, например, если находится разность напряжений двух измерительных каналов. При этом наличие корреляции между каналами частично уменьшает погрешность разности. В случае, когда случайные величины статистически независимы (), предыдущее выражение упрощается: . Такое суммирование называют геометрическим , поскольку оно выполняется аналогично нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника. Если коэффициент корреляции , то, то коэффициент корреляции можно оценить как. Тангенс угла наклона линии называется коэффициентом регрессии. Уравнение линии регрессии можно получить Статистическая зависимость между погрешностями средств измерений в общем случае нелинейная, однако этой нелинейностью обычно пренебрегают.

1. Математическое ожидание неслучайного процесса j(t ) равно самому неслучайному процессу:

Из выражения (1.9) следует, что любая центрированная неслучайная функция равна нулю, поскольку

2. Если случайная величина Y (t ) представляет собой линейную комбинацию функций X i (t ):

, (1.11)

где - неслучайные функции t , то

. (1.12)

Последнее соотношение следует из того, что операция определения математического ожидания линейна.

3. Корреляционная функция неслучайного процесса тождественно равна нулю. Это свойство следует непосредственно из (1.10).

4. Корреляционная функция не изменяется от прибавления к случайной функции любой неслучайной функции . Действительно, если , то

Отсюда следует, что корреляционные функции случайных процессов и

Совпадают. Поэтому при определении корреляционных функций всегда можно считать, что рассматриваемый процесс является центрированным.

5. Если случайный процесс Y (t ) представляет собой линейную комбинацию случайных процессов X i (t ):

,

где - неслучайные функции, то

, (1.14)

где - собственная корреляционная функция процесса X i (t ), - взаимная корреляционная функция процессов и .

Действительно:

, =

.

Если случайные процессы попарно некоррелированы, то

. (1.15)

Полагая в (1.14) , получим выражение для дисперсии линейной комбинации случайных процессов:

В частном случае некоррелированных случайных процессов

. (1.17)

6. Корреляционная функция является неотрицательно определенной функцией:

. (1.18)

Действительно, представим (1.18) в виде:

.

Так как интеграл есть предел интегральной суммы, то последнее выражение можно представить в виде предела суммы математических ожиданий, которая, в свою очередь, равна математическому ожиданию суммы. Поэтому операции интегрирования и математического ожидания можно менять местами. В результате получим:

7. Корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов. Взаимная корреляционная функция этим свойством не обладает.

Симметричность корреляционной функции вытекает непосредственно из её определения:

В то же время для взаимной корреляционной функции имеем:

Взаимная корреляционная функция удовлетворяет следующему соотношению:

8. Корреляционная функция и взаимная корреляционная функция удовлетворяют следующим неравенствам:

Часто вместо собственной и взаимной корреляционных функций рассматривают нормированные корреляционные функции :

, (1.23)

. (1.24)

Нас основании (1.21) и (1.22) для нормированных корреляционных функций справедливы неравенства:

. (1.25)

Пример Заданный случайных процесс представляет собой сумму случайного и неслучайного процессов: . Заданы , определить

Используя (1.9) и (1.12), будем иметь:

Согласно (1.15)

и, наконец, в соответствии с (1.17) .

КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Стационарные процессы

Случайный процесс называется стационарным , если его многомерный закон распределения зависит лишь от взаимного расположения моментов времени t 1 , t 2 , . . .t n , т.е. не меняется при одновременном сдвиге этих моментов времени на одинаковые величины:

Если выражение (2.1) удовлетворяется при любом n , то такой процесс называется стационарным в узком смысле.

При n =1 выражение (2.1) приобретает вид:

И при , 2.2)

т.е. одномерный закон распределения стационарного процесса не зависит от времени. Следовательно, от времени не будут зависеть и характеристики случайного процесса, зависящие от одномерного закона распределения: математическое ожидание и дисперсия случайного процесса:

, . (2.3)

При n =2 выражение (2.1) переписывается следующим образом:

Следовательно корреляционная функция стационарного процесса, определяемая двумерным законом распределения, будет зависеть лишь от интервала времени t

По определению А.Я.Хинчина процесс является стационарным в широком смысле , если условие стационарности (2.1) удовлетворяется лишь при n= 1 и 2.

Следовательно, условия стационарности процесса в широком смысле можно сформулировать в виде:

· математическое ожидание и дисперсия такого процесса не зависят от времени - и D X ;

· корреляционная функция процесса зависит лишь от интервала между сечениями по времени - .

K XX (t) является четной функцией своего аргумента:

Следует помнить, что взаимная корреляционная функция представляет собой нечетную функцию:

, (). (2.7)

Нормальные процессы

Случайный процесс является нормальным , если нормальным является любой многомерный закон:

× ), (2.8)

где (2.9)

Относительные собственные и взаимные корреляционные функции, и двух значениях случайной величины Y – y 1 и y 2 . Из рисунка видно, что математическое ожидание реализации при Y =y 1 равно y 1 , а при Y =y 2 – y 2 .

Рис.2.1. Пример стационарного неэргодического процесса

Таким образом, по единственной реализации стационарного, но неэргодического процесса нельзя судить о характеристиках процесса в целом.

Марковские процессы

Если вероятностные свойства случайного процесса полностью определяются значением его ординаты в заданный момент времени и не зависят от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, то такой случайный процесс называется Марковским. Иногда такие процессы называют процессами без последействия.