Плоское движение точки теоретическая механика. Основные законы и формулы по теоретической механике
И Савельева .
При поступательном движении тела (§ 60 в учебнике Е. М. Никитина) все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.
Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.
Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147) или тепловоза (задача 141), фактически рассматриваем движение их центров тяжести.
Вращательное движение тела (Е. М. Никитин , § 61) нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.
Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), v (скорость) и а (ускорение) с его составляющими a t и a n .
Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины : φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε (угловое ускорение в рад/сек 2).
Закон вращательного движения тела выражается уравнением
φ = f (t).
Угловая скорость
- величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f" (t).
Угловое ускорение
- величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f"" (t).
Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах φ, а в оборотах φ об.
Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к радианному измерению углового перемещения и наоборот.
Так как один полный оборот соответствует 2π рад, то
φ = 2πφ об и φ об = φ/(2π).
Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что ω рад/сек и n об/мин выражают одно и то же понятие - скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах - в рад/сек или в об/мин.
Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
ω = πn/30 и n = 30ω/π.
При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами φ, ω и ε, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами s, v, a t и a n , характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).
Если R - расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 R=OA), то зависимость между φ - углом поворота тела и s - расстоянием, пройденным точкой тела за то же время, выражается так:
s = φR.
Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
v = ωR.
Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
a t = εR.
Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
a n = ω 2 R.
При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется по окружности - совершает криволинейное движение.
§ 33. Равномерное вращательное движение
Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.
Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ 0 + ωt.
В частном случае, когда начальный угол поворота φ 0 =0,
φ = ωt.
Угловую скорость равномерно вращающегося тела
ω = φ/t
можно выразить и так:
ω = 2π/T,
где T - период вращения тела; φ=2π - угол поворота за один период.
§ 34. Равнопеременное вращательное движение
Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным . Таким образом, равнопеременное вращение тела - частный случай неравномерного вращательного движения.
Уравнение равнопеременного вращения
(1)
φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
(2)
ω = ω 0 + εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.
В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ 0 , ω 0 и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.
Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.
Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3)
φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.
Исключим из (1) и (2) время t:
(4)
φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).
В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ 0 =0 и ω 0 =0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5)
φ = εt 2 /2;
(6)
ω = εt;
(7)
φ = ωt/2;
(8)
φ = ω 2 /(2ε).
§ 35. Неравномерное вращательное движение
Рассмотрим пример решения задачи, в которой задано неравномерное вращательное движение тела.
Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.
Кинематика точки
Выберем неподвижную систему координат Oxyz
с центром в неподвижной точке O
.
Тогда положение точки M
однозначно определяются ее координатами (x, y, z)
.
Таким образом, положение точки определяется вектором, проведенным из начала координат O
в точку M
.
Такой вектор называют радиус-вектором
:
,
где - единичные векторы в направлении осей x, y, z
.
Скорость точки
- это производная радиус-вектора по времени:
.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки. Модуль скорости:
.
Ускорение точки
- это производная вектора скорости по времени:
.
Модуль ускорения:
.
Касательное (тангенциальное) ускорение
- это проекция вектора ускорения на направление вектора скорости:
;
.
Оно вызывает изменение модуля скорости:
.
При скорость, по абсолютной величине, возрастает, и вектор направлен вдоль скорости. При скорость убывает, и вектор направлен противоположно скорости.
Нормальное ускорение
перпендикулярно вектору скорости и направлено к центру кривизны траектории:
.
Оно вызывает изменение направления скорости и связано с радиусом кривизны траектории ρ
:
.
Отсюда
.
Полное ускорение равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
.
Поскольку касательное ускорение перпендикулярно нормальному, , то
.
Кинематика твердого тела
Чтобы однозначно определить положение твердого тела, нужно указать три координаты (x A , y A , z A ) одной из точек A тела и три угла поворота. Таким образом, положение твердого тела определяется шестью координатами. То есть твердое тело имеет шесть степеней свободы.
В общем случае, зависимость координат точек твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется довольно громоздкими формулами. Однако скорости и ускорения точек определяются довольно просто. Для этого нужно знать зависимость координат от времени одной, произвольным образом выбранной, точки A
и вектора угловой скорости . Дифференцируя по времени, находим скорость и ускорение точки A
и угловое ускорение тела :
; ; .
Тогда скорость и ускорение точки тела с радиус вектором определяется по формулам:
(1)
;
(2)
.
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.
Отметим, что вектор угловой скорости одинаков для всех точек тела . Он не зависит от координат точек тела. Также вектор углового ускорения одинаков для всех точек тела .
См. вывод формул (1) и (2) на странице: Скорость и ускорение точек твердого тела > > >
Поступательное движение твердого тела
При поступательном движении, угловая скорость равна нулю. Скорости всех точек тела равны. Любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Таким образом, для изучения движения твердого тела при поступательном движении, достаточно изучить движение одной любой точки этого тела. См. раздел .
Равноускоренное движение
Рассмотрим случай равноускоренного движения. Пусть проекция ускорения точки тела на ось x
постоянна и равна a x
.
Тогда проекция скорости v x
и x
- координата этой точки зависят от времени t
по закону:
v x = v x0
+ a x t
;
,
где v x0
и x 0
- скорость и координата точки в начальный момент времени t = 0
.
Вращательное движение твердого тела
Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Выберем неподвижную систему координат Oxyz
с центром в точке O
.
Направим ось z
вдоль оси вращения. Считаем, что z
- координаты всех точек тела остаются постоянными. Тогда движение происходит в плоскости xy
.
Угловая скорость ω
и угловое ускорение ε
направлены вдоль оси z
:
; .
Пусть φ
- угол поворота тела, который зависит от времени t
.
Дифференцируя по времени, находим проекции угловой скорости и углового ускорения
на ось z
:
;
.
Рассмотрим движение точки M
,
которая находится на расстоянии r
от оси вращения. Траекторией движения является окружность (или дуга окружности) радиуса r
.
Скорость точки
:
v = ω r
.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Касательное ускорение
:
a τ = ε r
.
Касательное ускорение также направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение
:
.
Оно направлено к оси вращения O
.
Полное ускорение
:
.
Поскольку векторы и перпендикулярны друг другу, то модуль ускорения
:
.
Равноускоренное движение
В случае равноускоренного движения, при котором угловое ускорение постоянно и равно ε
,
угловая скорость ω
и угол поворота φ
изменяются со временем t
по закону:
ω = ω 0
+ ε t
;
,
где ω 0
и φ 0
- угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени t = 0
.
Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Выберем прямоугольную систему координат Oxyz . Оси x и y расположим в плоскости, в которой происходит перемещение точек тела. Тогда все z - координаты точек тела остаются постоянными, z - компоненты скоростей и ускорений равны нулю. Векторы угловой скорости и углового ускорения наоборот, направлены вдоль оси z . Их x и y компоненты равны нулю.
Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
v A cos
α = v B cos
β
.
Мгновенный центр скоростей
Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.
Чтобы определить положение мгновенного центра скоростей P
плоской фигуры, нужно знать только направления скоростей и двух его точек A
и B
.
Для этого через точку A
проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости .
Через точку B
проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости .
Точка пересечения этих прямых есть мгновенный центр скоростей P
.
Угловая скорость вращения тела:
.
Если скорости двух точек параллельны друг другу, то ω = 0 . Скорости всех точек тела равны друг другу (в данный момент времени).
Если известна скорость какой либо точки A
плоского тела и его угловая скорость ω
,
то скорость произвольной точки M
определяется по формуле (1)
, которую можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движения:
,
где - скорость вращательного движения точки M
относительно точки A
.
То есть скорость, которую имела бы точка M
при вращении по окружности радиуса |AM|
с угловой скоростью ω
,
если бы точка A
была неподвижной.
Модуль относительной скорости:
v MA = ω |AM|
.
Вектор направлен по касательной к окружности радиуса |AM|
с центром в точке A
.
Определение ускорений точек плоского тела выполняется с применением формулы (2)
. Ускорение любой точки M
равно векторной сумме ускорения некоторой точки A
и ускорения точки M
при вращении вокруг точки A
,
считая точку A
неподвижной:
.
можно разложить на касательное и нормальное ускорения:
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение направлено из точки M
к точке A
.
Здесь ω
и ε
- угловая скорость и угловое ускорение тела.
Сложное движение точки
Пусть O 1 x 1 y 1 z 1 - неподвижная прямоугольная система координат. Скорость и ускорение точки M в этой системе координат будем называть абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .
Пусть Oxyz - подвижная прямоугольная система координат, скажем, жестко связанная с неким твердым телом, движущимся относительно системы O 1 x 1 y 1 z 1 . Скорость и ускорение точки M в системе координат Oxyz будем называть относительной скоростью и относительным ускорением . Пусть - угловая скорость вращения системы Oxyz относительно O 1 x 1 y 1 z 1 .
Рассмотрим точку, совпадающую, в данный момент времени, с точкой M и неподвижной, относительно системы Oxyz (точка, жестко связанная с твердым телом). Скорость и ускорение такой точки в системе координат O 1 x 1 y 1 z 1 будем называть переносной скоростью и переносным ускорением .
Теорема о сложении скоростей
Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.
Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.
Кинематика точки.
1. Предмет теоретической механики. Основные абстракции.
Теоретическая механика - это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел
Механическим движением называется перемещение тела по отношению к другому телу, происходящее в пространстве и во времени.
Механическим взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет характер их механического движения.
Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.
Кинематика - это раздел теоретической механики, в котором изучаетсядвижение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, независимо от действующих на них сил.
Динамика - это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве в зависимости от действующих на них сил.
Объекты изучения в теоретической механике:
материальная точка,
система материальных точек,
Абсолютно твердое тело.
Абсолютное пространство и абсолютное время независимы одно от другого. Абсолютное пространство - трехмерное, однородное, неподвижное евклидово пространство. Абсолютное время - течет от прошлого к будущему непрерывно, оно однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.
2. Предмет кинематики.
Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (т.е. массы) и действующих на них сил
Для определения положения движущегося тела (или точки) с тем телом, по отношению к которому изучается движение данного тела, жестко, связывают какую-нибудь систему координат, которая вместе с телом образует систему отсчета.
Основная задача кинематики состоит в том, чтобы, зная закон движения данного тела (точки), определить все кинематические величины, характеризующие его движение (скорость и ускорение).
3. Способы задания движения точки
· Естественный способ
Должно быть известно:
Траектория движения точки;
Начало и направление отсчета;
Закон движения точки по заданной траектории в форме (1.1)
· Координатный способ
Уравнения (1.2) – уравнения движения точки М.
Уравнение траектории точки М можно получить, исключив параметр времени « t » из уравнений (1.2)
· Векторный способ
(1.3) Связь между координатным и векторным способами задания движения точки (1.4) |
Связь между координатным и естественным способами задания движения точки
Определить траекторию точки, исключив время из уравнений (1.2);
-- найти закон движения точки по траектории (воспользоваться выражением для дифференциала дуги)
После интегрирования получим закон движения точки по заданной траектории:
Связь между координатным и векторным способами задания движения точки определяется уравнением (1.4)
4. Определение скорости точки при векторном способе задания движения.
Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , а в момент времени t 1 – радиусом-вектором , тогда за промежуток времени точка совершит перемещение .
|
(1.5) средняя скорость точки, направлен вектор также как и вектор |
Скорость точки в данный момент времени
Чтобы получить скорость точки в данный момент времени, необходимо совершить предельный переход
(1.6)
(1.7)
Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке.
(единица измерения ¾ м/с, км/час)
Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор Δ v , то есть, направлен в сторону вогнутости траектории.
Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.
(еденица измерения - )
Как располагается вектор по отношению к траектории точки?
При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения , также как и вектор ср лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор ср будет направлен в сторону вогнутости траектории и будет лежать в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке М 1 . В пределе, когда точка М 1 стремится к М эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.