Транскрипт

1 МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция.. Решение показательных уравнений и неравенств. 6. Логарифмы и их свойства. 7. Логарифмическая функция. 8. Решение логарифмических уравнений и неравенств.. Обобщение понятия степени. Квадратный корень из числа это такое число, квадрат которого равен. Корнем -й степени из числа называется такое число, я степень которого равна. Например, 7 =, так как = 7 или **=7 6 6 =, так как 6 = 6, но и (-) 6 =6 Поэтому числа и - являются корнями шестой степени из числа 6. Согласно определению, корень й степени из числа это решение уравнения =. Число корней этого уравнения зависит от и. Рассмотрим функцию f() =. На промежутке Д(y)=R Е(y)= 15 yа X А Б В Г Д 1 2 33 4 5 16 А Б В Г 17 8. На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой. 1) 2) у 2 1 х у 2 3) 4) х 1 у 2 1 х у 2 х 1 18 А Б 2 X 1 2X 1 X X В Д X X Другой 1 1 1 X X 1 ответ 2 Г 2 19 3 X 12 1,5 x Ответ: 2 ; 20 На рисунках изображены линии, надо им в соответствии подписать уравнения. 21 КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ ВИДА: f(x)= g(x)? 22 Функционально-графический метод Чтобы решить уравнение вида f(x)= g(x) функционально-графическим методом нужно: Построить графики функций у = f(x) и y = g(x) в одной системе координат. Определить абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Записать ответ. 23 Решите уравнение: y 3 x y 4 x Ответ: x 1 24 Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный? 25 РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ Ответ: x 1 26 Практическая работа 27 1. . Решите уравнения: 3 x 1 3 2 x 2.Решить неравенство cos x 1 3 2 3.Найти значение выражения х у,если (х; у) является решением системы уравнений. 0 0 x 0 0 х 1 x x 1, у2 х 2 у; 4.Найдите область значений функции у 2 х у 16 у 7 х 2 х 2 х 5 4 28 РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ 3 x 1 3 x 2 29 Ответ: x 1 30 РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ Решая эту систему, находим, что х = 0. 31 Решить неравенство cos x 1 3 x 32 Ответ: решений нет 33 . Решить неравенство 2 x x Ответ: 0 ; 34 Решаем систему уравнений х 1 у 2 1 , 3 х 2 у; 35 Решаем систему уравнений: 1. y * 2 x 1 1 2. x 2 y 1 y 2 x 1 1 y 2 y x2 x 1 36 х 0 у,0 если Найти значение выражения (х; у) является решением системы 0 0 уравнений. х 1 1, у2 х 2 у; Ответ: 0. 37 Домашнее задание: Решить графически систему уравнений. х 3 у 1, 2 х 6 у 2. Решите уравнение Решите неравенство 38 Укажите множество значений функции у 2 х Ответ: 1; у 7 х Ответ: 0 ;1 39 Найти область значений функции 2 у 16 х 2 х 4 2 1 у 16 5 х 2 х 5 4 40 Область значений функции у х 2х 2 1 1, 4 5 4 Вершина параболы 1 Е (у) ; 4 16 2 Ответ: у2 ; у 16 2 х 2 х 5 1 4 4 наим 1 у 16 х 2 2 х 5 4 1 1 1 4 у наиб 16 2 Ответ: 0 ; 0 , 5 41 При каких значениях параметра а уравнение имеет нечетное количество корней? 42 Так как график четной функции симметричен относительно оси орди то если является корнем уравнения, то и тоже является корнем уравнения. Поэтому данное уравнение может иметь нечетное количество корней только тогда, когда является корнем. в уравнение, имеем: Подставляя 43 Решить неравенство Ответ: (- ;2]. Ответ: (-1;0) 44 ВСЕМ ОГРОМНОЕ СПАСИБО ЗА СОТРУДНИЧЕСТВО! ВАМ, ДЕТИ, ВЕСЕЛЫХ КАНИКУЛ!!! 45

Тема: "Показательная функция. Функционально-графические методы решений уравнений, неравенств, систем"

Цель : рассмотреть задачи ЗНО с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>0, а1

Задачи урока:

повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции;

повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований;

находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика;

решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции.

работа с графиками функций, содержащими модуль;

рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя. Мотивация изучения данной темы

Слайд 1 Показательная функция. “Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств”

Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики.

Слайд 2-3 Цели и задачи урока.

Сегодня мы рассмотрим задачи ЗНО разных уровней сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>о,а1. С помощью графической программы выполним иллюстрации к задачам.

Слайд 4 Почему так важно знать свойства показательной функции?.

По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания .

Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания.

Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.

Приведите свои примеры

Применение в реальной жизни (доза принятия лекарств).

Сообщение о дозе принятия лекарств :

Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.Слайд5.

Уменьшение концентрации лекарства может быть аппроксимировано экспонентой, показатель которой содержит время. Очевидно, что скорость разрушения лекарства в организме должна быть пропорциональна интенсивности метаболических процессов.

Известен один трагический случай, который произошел из-за незнания этой зависимости. С научной точки зрения очень интересным для психиатров и нейрофизиологов является препарат ЛСД, вызывающий у нормальных людей своеобразные галлюцинации. Одни исследователи решили изучить реакцию слона на этот препарат. Для этого они взяли количество ЛСД, приводящее в ярость кошек, и умножили его на столько, во сколько раз масса слона больше массы кошки, считая, что доза вводимого препарата должна быть прямо пропорциональна массе животного. Введение такой дозы ЛСД слону привело через 5 минут к его гибели, из чего авторы заключили, что слоны обладают повышенной чувствительностью к этому препарату. Появившаяся позднее в печати рецензия на эту работу назвала ее «слоноподобной ошибкой» авторов эксперимента.

2. Актуализация знаний учащихся.

Что значит изучить функцию? (сформулировать определение, описать свойства, построить график)

Какая функция называется показательной? Приведите пример.

Какие основные свойства показательной функции вы знаете?

Область значения (ограниченность)

область определения

монотонность(условие возрастания убывания)

Слайд 6 . Укажите множество значений функции(по готовому чертежу)

Слайд 7. Назовите условие возрастания убывания функции и соотнесите формулу функции с ее графиком

Слайд 8. По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функции

Слайд а) у=3 x + 2

б) у=3 x-2 – 2

3.Диагностическая самостоятельная работа (с использованием ПК).

Класс делится на две группы. Основная часть класса выполняют тестовые задания. Сильные учащиеся выполняют более сложные задания.

Самостоятельная работа в программе Power point (для основной части

Самостоятельная работа(для сильной части класса)

Слайд9. Запишите алгоритм построения графика функции, назовите ее область определения, область значения, промежутки возрастания, убывания.

Слайд 10. Соотнесите формулу функции с ее графиком

Учащиеся проверяют свои ответы, не исправляя ошибки, самомтоятельные работы сдают учителю

Слайды 11-21 . Проверка теста для основной части

4. Изучение новой темы. Применение функционально-графического метода для решения уравнений,неравенств, систем, определения области значений сложной функции

Слайды 22-23. Функционально графический способ решения уравнений

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.

Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.

Записать ответ.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Слайд24-25.

Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный

СЛАЙД 26

5. Выполнение практической работы.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕИЙ. СЛАЙДЫ 27-30

Это уравнение возможно решить графическим способом. Учащимся предлагается выполнить задание, а затем ответить на вопрос: “Обязательно ли для решения этого уравнения строить графики функций?”. Ответ: “Функция возрастает на всей области определения, а функция - убывает. Следовательно, графики таких функций имеют не более одной точки пересечения, а значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что ”.

Решить уравнение 3 x = (х-1) 2 + 3

Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ. Слайды 31-33

Графические методы дают возможность решать неравенства, содержащие разные функции. Для этого после построения графиков функций, стоящих в левой и правой части неравенства и определения абсциссы точки пересечения графиков, необходимо определить промежуток на котором все точки одного из графиков лежат выше(ниже0 точек второго.

Решить неравенство:

а) сos x 1 + 3 x

Решение:

Ответ: ( ; )

Решить графически неравенство.

(График показательной функции лежит выше функции, записанной в правой части уравнения).

Ответ: х>2. О

.
Oтвет: х>0.

Показательная функция содержит знак модуля в показателе степени.слайд 34-35

Повторим определение модуля.

(запись на доске)

Сделать записи в тетради:

1).

2).

Графическая иллюстрация представлена на слайде.Объяснить, как построены графики.

Е(у)=(0;1]

Для решения этого уравнения нужно вспомнить свойство ограниченности показательной функции. Функция принимает значения > 1, а – 1 < > 1, поэтому равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Значит, Решая эту систему, находим, что х = 0.

.Нахождение области значений сложной функции. Слайды 36-37.

Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.

, - вершина параболы.

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = 16 t возрастает, так как 16>1 .

При наименьшем значении показателя функции

.

График иллюстрирует наш вывод.

Цель: рассмотреть задачи Единого государственного экзамена базового, повышенного и высокого уровня сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>1, а0.

Задачи урока:

1. повторить свойство монотонности показательной функции;
2. свойство ограниченности показательной функции;
3. повторить определение абсолютной величины; работа с графиками, содержащими модуль;
4. ввести понятие сложной функции; рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Оборудование: презентация графиков функций, подготовленная с применением графической программы “Advanced Grapher”.

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя.

Достаточно непросто определять область значений сложных функций.

Определим, что такое сложная функция. Если функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g – числу у число z, то говорят что h есть сложная функция, составленная из функции g и f и пишут h=g(f(x)).

При этом D(h) является E(f) или его частью D(h)E(f).

Слайд 7. Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.

, - вершина параболы.

Рисунок12.

Рисунок13.

Вопрос:

Показательная функция у = 16 t возрастает, так как 16>1 .

.

Рисунок14.

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = убывает, так как <1.

При наименьшем значении показателя функции

. Е(у)=(0;].

График иллюстрирует наш вывод.

4. Решение графически систем уравнений, содержащих показательную функцию.

Слайд 8. Найти значение выражения х+ у,если (х;у) является решением системы уравнений.

Параллельный перенос на 1 единицу влево.

Параллельный перенос на 2 единицы влево.

1.Показательная функция – это функция вида у(х) =а х, зависящая от показателя степени х, при постоянном значении основания степени a , где а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – множество действительных чисел).

Рассмотрим график функции, если основание не будет удовлетворять условию: а>0
a) a < 0
Если a < 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2

Если а = 0 – функция у = определена и имеет постоянное значение 0

в) а =1
Если а = 1 – функция у = определена и имеет постоянное значение 1

2. Рассмотрим подробнее показательную функцию:

0

Область определения функции (ООФ)

Область допустимых значений функции (ОДЗ)

3. Нули функции (у = 0)

4. Точки пересечения с осью ординат oy (x = 0)

5. Возрастания, убывания функции

Если , то функция f(x) возрастает
Если , то функция f(x) убывает
Функция y= , при 0 Функция у =, при a> 1 монотонно возрастает
Это следует из свойств монотонности степени с действительным показателем.

6. Чётность, нечётность функции

Функция у = не симметрична относительно оси 0у и относительно началу координат, следовательно не является ни чётной, ни нечётной. (Функция общего вида)

7. Функция у = экстремумов не имеет

8. Свойства степени с действительным показателем:

Пусть а > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Тогда для xϵR; yϵR:

Свойства монотонности степени:

если , то
Например:

Если a> 0, , то .
Показательная функция непрерывна в любой точке ϵ R.

9. Относительное расположение фунцкции

Чем больше основание а, тем ближе к осям ох и оу

a > 1, a = 20

Если а0, то показательная функция принимает вид близкий к y = 0.
Если а1, то дальше от осей ох и оу и график принимает вид близкий к функции у = 1.

Пример 1.
Построить график у =