Все книги можно скачать бесплатно и без регистрации.

NEW. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. 3-е изд. 1967 год. 664 стр. djvu. 5.7 Mб.
В настоящей монографии в развернутом изложении и со всесторонним освещением предмета автором представлен материал, включающий самое основное и важнейшее в области тензорного анализа и римановой геометрии.
Отличительной чертой книги являются выходы из области чистого тензорного анализа и римановой геометрии в механику и физику (особое внимание в этом плане уделено теории относительности). Рассматриваются псевдоевклидовы и псевдоримановы пространства, пространства афинной связности. На ряде примеров даны основные идеи теории геометрических объектов, в том числе теория спиноров в четырехмерном пространстве. Изложение дополнено также рядом частных вопросов фундаментального значения (теория кривых и гиперповерхностей в римановом пространстве и др.).
Книга предназначена специалистам в области тензорного анализа и римановой геометрии, инженерам, может также служить учебником для студентов вузов.
По своему характеру эта книга гораздо ближе к учебнику, чем к монографии, предназначенной для специалистов. Материал вполне доступен студенту III курса университета.

Скачать

NEW. В.И. Филиппенко. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2009 год. 27 стр. PDF. 333 Кб.
В пособии рассмотрены основные понятия теории поля: градиент, дивергенция, ротор, циркуляция. Даны приложения теорем Гаусса – Остроградского и Стокса. Указаны условия потенциальности и соленоидальности векторных полей. Приведены детальные решения типовых примеров на вычисление числовых характеристик векторного поля. Подобрано достаточное количество примеров для самостоятельного решения студентами.
Пособие предназначено для студентов-заочников ЮРГУЭС.
Рекомендую прочитать при изучении элктричесво м магнетизм по общей физике.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. 3-е изд., перераб. 2003 год. 304 стр. djvu. 2.0 Мб.
Излагаются основы тензорного исчисления и некоторые его приложения к геометрии, механике, физике. В качестве приложений строится общая теория поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений, деформации и рассматриваются некоторые вопросы кристаллофизики. Последняя глава знакомит с элементами тензорного анализа.
Для студентов высших технических учебных заведений.

Скачать

Ю.А. Аминов. Геометрия векторного поля. 1990 год. 215 стр. djvu. 5.1 Мб.
Излагаются результаты по геометрии векторных полей в трехмерном евклидовом пространстве, начиная с работ Фосса, Синцова, Лилиенталя и др. Рассматриваются векторные поля в гс-мерном пространстве, системы уравнений Пфаффа, внешние формы. Кратко излагаются некоторые топологические понятия, формулируется теорема де Рама. Вводится инвариант Годбийона - Вея слоения, доказывается формула Уайтхеда. .
Для студентов, аспирантов и научных работников по специальности «геометрия и топология». а).

. . . . Скачать

Анчиков А. М. Основы векторного и тензоррного анализа. 1988 год. 140 стр. djv. 1.5 Мб.
Для студентов физических и радиофизических сспециальностей университететов и втузов, желающих выучить курс самостоятельно.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. Тензорное исчисление. 1969 год. 352 стр. тdjvu. 3.4 Мб.
Излагаются основы тензорного исчисления и некоторые его приложения к геометрии, механике и физике. В качестве приложений строится общая теория поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений, дефт Последняя глава знакомит с элементами тензорного анализа.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Аверу Ж. и др. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ PИMAHOBА ГЕОМЕТРИЯ. 175 стр. djvu. 3.9 Мб.
Коллективная монография, написанная группой французских математиков под редакцией Артура Бессе. В книге систематически изложены результаты из области геометрии и анализа, отражены их связи с современными проблемами физики. Для математиков разных специальностей, физиков-теоретиков, аспирантов и студентов университетов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

3.Т. БАЗЫЛЕВ, К.И. ДУНИЧЕВ. Геометрия 2. в 2-х томах. Уч. пособ. 1975 год. 368 стр. djvu. 5.4 Мб.
Содержание: ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО И МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

3. Т. БАЗЫЛЕВ, К. И. ДУНИЧЕВ, В. П. ИВАНИЦКАЯ. Геометрия. в 2-х томах. Уч. пособ. для 1-го курса. 1974 год. 353 стр. djvu. 5.1 Мб.
Настоящий курс геометрии, издаваемый в двух книгах, составлен на основании лекций, прочитанных авторами на математическом факультете Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской. Он соответствует новой программе, принятой в педагогических институтах в 1970 г. Изложение этого курса полностью согласовано с новой программой по алгебре и теории чисел. Курс построен так, что такие важнейшие понятия современной математики, как понятия множества, векторного пространства, отображения, преобразования, математической структуры, составляют рабочий инструмент при изучении геометрии. Аксиоматический метод начинает применяться лишь в главе об я-мерных аффинных и евклидовых пространствах. До этого материал излагается на базе тех геометрических представлений, которые сложились у слушателей при изучении школьного курса геометрии. Аксиоматику школьного курса геометрии и ее связи с другими аксиоматиками геометрии рассматриваем в разделе оснований геометрии (во второй части предлагаемого курса).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Борисенко, Тарапов. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. Пожалуй наиболее понятная на эту тему книга. Изложенного материала вполне хватит для понимания разделов физики (особенно полезна для электричества и магнетизма). В конце книги разобрано много полезных примеров. Размер 2.1 Мб.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . скачать

Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. 1982 год. 480 стр. djvu. 6.5 Мб.
Книга посвящена классификационным задачам теорин пространств постоянной кривиз- кривизны и симметрических пространств. Видное место в кей, занимает принадлежащее автору полное решение классической проблемы сферических пространственных форм. Но охвачен значительно более широкий круг проблем, включая частичную классификацию псевдорима- новых пространств постоянной крквизны. Первые две главы представляют собой вводный курс в современную риманову геометрию.
Для научных работников и аспирантов, специализирующихся по геометрии, топологии, по теории групп Ли, а также физиков-теоретиков и специалистов по математической кристаллографии. Может быть полезна студентам старших курсов университетов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

П.Б. Гусятников, С.В. Резниченкко. Векторная алгебра в примерах и задачах. Учеб.пособ. 1985 год 233 стр. djvu. 4.1 Мб.
Книга посвящена век горному исчислению и его применению к решению геометрических задач Приведены необходимые сведения из элементарной геометрии, рассмотрены векторы и линейные операции над ними, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Достаточно простое пособие, но помещенный в нем материал должен знать любой студент-технарь.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. Учеб.пособ. 2001 год 575 стр. djvu. 5.1 Мб.
Учебное пособие охватывает основные разделы тензорного исчисления, используемые в механике и электродинамике сплошных сред, механике композитов, кристаллофизике, квантовой химии: алгебру тензоров, тензорный анализ, тензорное описание кривых и поверхностей, основы тензорного интегрального исчисления. Изложена теория инвариантов, теория индифферентных тензоров, задающих физические свойства сред, теория анизотропных тензорных функций,а также основы тензорного исчисления в римановых пространствах и пространствах аффинной связности.
Для студентов и аспирантов высших учебных заведений, обучающихся по физико-математическим и машиностроительным специальностям.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

В.А. Желнорович. Теория спиноров и ее применение. 2001 год. 401 стр.djvu. 3.1 Mб.
Книга содержит систематическое изложение теории спиноров в конечномерных евклидовых и римановых пространствах; рассматривается применение спиноров в теории поля и релятивистской механике сплошной среды. Основная математическая часть связана с исследованием инвариантных алгебраических и геометрических соотношений между спинорами и тензорами. Специально и подробно излагается теория спиноров и методы тензорного представления спиноров и спинорных уравнений в четырехмерном и трехмерном пространствах. В качестве приложения рассматривается инвариантная тензорная формулировка некоторых классов дифференциальных спинорных уравнений, содержащих, в частности, важнейшие спинорные уравнения теории поля и квантовой механики; даются точные решения уравнений для релятивистских спиновых жидкостей, уравнений Эйнштейна-Дирака и некоторых нелинейных спинорных уравнений теории поля. Книга содержит большой фактический материал и может использоваться в качестве справочника. Книга предназначена для специалистов в области теории поля, а также для студентов и аспирантов физико-математических специальностей.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

П.А. Жилин. Векторы и тензоры второго ранга. >1996 года. 275 стр. djvu. 1.5 Мб.
Книга является первой частью слегка обработанного конспекта лекций по курсу теоретическая механика, который читается автором студентам физико-механического факультета. Автору приходилось учитывать противоречивые требования. С одной стороны, это современный курс повышенного типа, читаемый будущим инженерам-механикам-исследователям на протяжении втрого, третьего и четвертого семестров. С другой стороны, при чтении курса автор мог рассчитывать только на то, что студенты владеют математикой в объеме школьной программы.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

О.Э. Зубелевич. Лекции по тензорному анализу. 51 стр. PDF. 281 Кб.
В лекциях две главы: 1. Полилинейная алгебра, 2. Дифференциальное исчисление тензоров.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. Векторный анализ. Задачи и примеры с подробными решениями. Учеб.пособ. 2007 год 158 стр. djvu. 944 Кб.
Предлагаемый сборник задач можно рассматривать как краткий курс векторного анализа, в котором сообщаются без доказательства основные факты с иллюстрацией их на конкретных примерах. Поэтому предлагаемый задачник может быть использован, с одной стороны, для повторения основ векторного анализа, а с другой --- как учебное пособие для лиц, которые, не вдаваясь в доказательства тех или иных предложений и теорем, хотят овладеть техникой операций векторного анализа. При составлении задачника авторы использовали материал, содержащийся в имеющихся курсах векторного исчисления и сборниках задач. Значительная часть задач составлена самими авторами.В начале каждого параграфа приводится сводка основных теоретических положений, определений и формул, а также дается подробное решение 100 примеров. В книге содержится более 300 задач и примеров для самостоятельного решения. Все они снабжены ответами или указаниями к решению. Имеется некоторое количество задач прикладного характера, которые выбраны так, чтобы их разбор не требовал от читателя дополнительных сведений из специальных дисциплин. Материал шестой главы, посвященной криволинейным координатам и основным операциям векторного анализа в криволинейных координатах, внесен в книгу для того, чтобы дать читателю хотя бы минимальное количество задач для приобретения необходимых навыков.
Сборник задач рассчитан на студентов дневных и вечерних отделений технических вузов, инженеров, а также на студентов-заочников, знакомых с векторной алгеброй и математическим анализом в объеме первых двух курсов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

В.Ф. Каган. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. В 2-х частях. 1947-1948 годы. djvu.
Часть 1. Аппарат исследования. Общие основания теории и внутренняя геосетрия поверхносткй. 514 стр. 16.4 Мб.
Часть 2. Поверхности в пространстве. Отображения и изгибания поверхностей. Специальные вопрося. 410 стр. 14.8 Мб.
Книга для тех, кто хочет досконально разобраться в тензорном анализе.

В книге излагаются основные сведения из векторной и тензорной алгебры, понятие тензорных полей и тензорный анализ, включающий интегральные теоремы; содержится ряд задач тензорного исчисления в применении к механике сплошных сред и электромагнетизму. Все операции подробно разобраны в ортогональных системах координат и дано обобщение на случай произвольной криволинейной системы координат. Книга предназначена для студентов, изучающих аэрогидромеханику, теорию упругости и другие предметы, использующие тензорный аппарат.

Необходимость применения тензорного исчисления в современной физике вызвана не столько удобством и наглядностью математических формулировок законов, сколько объективными свойствами изучаемых явлений.
Что касается предметов, изучаемых в технических вузах, то в первую очередь в гидромеханике, теории упругости и электротехнике векторное исчисление давно уже широко применяется. Успехи технических наук, углубление их теоретической базы требуют знания основ тензорного исчисления, особенно той части, которая связана с рассмотрением декартовой системы координат.
Современная научно-техническая литература изобилует примерами широкого использования тензорного и векторного исчисления. Лучшие учебники для втузов по специальным дисциплинам учитывают эту тенденцию совершенствования математического аппарата современных естественных наук.
Программы по математике наших втузов включают необходимый материал по важному разделу основ векторной алгебры и векторного анализа. Однако иногда изложение этих разделов носит относительно формальный характер, и это естественно, ибо физическое содержание этого математического аппарата наиболее полно может быть раскрыто в тех специальных дисциплинах, которые используют его.

Оглавление
Предисловия
Глава первая Основные сведения из векторной алгебры
1.1. Векторы н скаляры
1.2. Сложение и вычитание векторов. Проекция вектора на ось
1.3. Умножение вектора на скаляр. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора
1.4. Скалярное и векторное произведения двух векторов
1.5. Произведения трех векторов
1.6. Взаимные базисы векторон Ковариантные и контравариантные
составляющие вектора. Сокращенные обозначения
1.7. Переменные векторы
Задачи с решениями
Упражнения
Глава вторая Понятие тензора и закон преобразования его компонент
2.1. Компоненты тензоров и их преобразование. Равноправность координатных систем
2.2. Тензоры нулевого ранга (скаляры)
2-3 Тензоры 1-го ранга (векторы)
2.4. Тензоры 2-го ранга
2.5. Тензоры высших рангов
2.6. Преобразование компонент векторов и тензоров при повороте координатной плоскости вокруг перпендикулярной оси
2.7. Инвариантность тензорных уравнений
2.8. Криволинейные координаты
2.9. Тензоры в системах обобщенных координат
Задачи с решениями
Упражнения
Глава третья Тензорная алгебра
3.1. Сложение тензоров
3.2. Умножение тензоров
3.3. Свертывание тензоров
3.4 Свойство симметрии тензоров
3.5. Единичный тензор Метрический тензор
3.6 Главные оси тензора Приведение тензора к главным осям 3 7 Инварианты тензора
3.8. Признак тензорности величин
3.9. Псевдотензоры
3.10. Линейное n-мерное пространство Векторы и тензоры в n-мерном
пространстве
Задачи с решениями
Упражнения
Глава четвертая Векторный и тензорный анализ
4 1. Тензорное поле. Циркуляция
4 2 Теорема Остроградского н теорема Стокса
4.3 Скалярное поле Производная по направлению Оператор V
4.4. Векторное поле Дивергенция и вихрь векторного поля Дифференцирование вектора по направлению
4.5. Поле тензора 2-го ранга. Поток, дивергенция и производная по направлению тензорного поля
4.6. Ковариантное дифференцирование тензоров. Ковариантиая производная вектора. Символы Кристоффеля
4.7. Применение дифференциальных операций к различного вида векторным и скалярным функциям
4.8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа 4 9. Потенциальное векторное поле. Скалярный потенциал
4.10. Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал
4 11. Лапласово векторное поле. Гармонические функции
4.12. Основная теорема векторного анализа
Задачи с решениями
Упражнения

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Векторный анализ и начала тензорного исчисления, Борисенко А.И., Тарапов И.Е., 1966 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Это было очень давно, когда я учился классе в десятом. Среди довольно скудного в научном плане фонда районной библиотеки мне попалась книга - Угаров В. А. «Специальная теория относительности». Эта тема интересовала меня в то время, но информации школьных учебников и справочников было явно недостаточно.

Однако, книгу эту я читать не смог, по той причине, что большинство уравнений представлялись там в виде тензорных соотношений. Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Погружение в специальную литературу не приносило просветления. Технарю достаточно тяжело переварить строгий абстрактный язык чистой математики. Тем не менее, от случая к случаю я возвращался к этому вопросу, и вот спустя почти шестнадцать лет наступило просветление, о чем и будет рассказано под катом. Возможно, мои рассуждения покажутся примитивными и упрощенными, но понимание любой сложной вещи принято разворачивать от процесса оперирования простыми понятиями, поэтому начнем.

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь между ними

Рассмотрим вектор, и без потери общности наших рассуждений, рассмотрим вектор заданный на плоскости. Как известно из курса ещё школьной геометрии, любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов

Здесь - коэффициенты разложения, (под верхним индексом следует понимать именно номер компоненты, а не возвдение в степень), называемые контрвариантные координаты вектора . Геометрически это можно изобразить так, как показано на рисунке ниже. Векторы называют базисными, угол между ними, при условии , может быть произвольным, произвольна так же ненулевая длина базисных векторов. Указанный базис задает косоугольную систему координат на плоскости, с осями .

Исходя из чертежа длины отрезков и равны

Однако, это не единственный способ определить вектор в данной системе координат. Его можно так же задать ортогональными проекциями на оси . Нетрудно видеть, что эти проекции равны

С другой стороны, выразим длины этих проекций через длины базисных векторов таким образом

Где и - ковариантные координаты вектора .

Сравниваем (3), (5) и (4), (6)

Умножим (7) на , а (8)
на и преобразуем их
Введем матрицу
тогда (9) и (10) можно выразить следующим соотношением
Выражение (12) дает связь между ковариантными контрaвариантными координатами вектора, определяемую лишь видом матрицы , зависящей от длин взаимного расположения базисных векторов. Пока никак не будем интерпретировать полученный результат, а просто запомним его.

Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контравариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом

а в ковариантной форме - матрицей-строкой

2. Скалярное произведение векторов

Перейдем к пространству более высокой размерности и рассмотрим два вектора
где базисные векторы , как и выше, ненулевые
некомпланарные векторы. Перемножим векторы скалярно.
В последнем выражении аккуратно раскроем скобки
и снова введем матрицу
и тогда скалярное произведение можно свернуть весьма компактным образом
Первое, что можно заметить, при уменьшении числа измерений пространства мы перейдем от (14) к (11) а выражение
(15) будет работать и давать склярное произведение векторов, но уже на плоскости. То есть мы получили некую обобщающую форму записи операции скалярного умножения, не зависящую ни от размерности пространства, ни от рассматриваемого базиса, все свойства которого обраны в матрице . Внимательно взглянув на (15) мы поймем ещё одну вещь
что есть ничто иное как ковариантные координаты вектора . То есть, (15) можно переписать
Но и это не предел упрощения

3. Правило Эйнштейна

Хитный и проницательный Альберт Эйнштейн придумал правило суммирования, в выражениях подобных (17), избавляющее математика от надоедливой и избыточной . В выражениях (16) и (17) можно опустить знак суммы, подразумевая суммирование по повторяющемуся индексу, который называют «немым». То есть, (16) переписываем так
здесь j - индекс, по которому происходит суммирование. По правилу, этот индекс должен чередовать свое положение - если у первого множителя он внизу, то у второго должен быть вверху и наоборот. Выражение (17) будет выглядеть так
Ну а (15) придет к виду
А теперь мы посмотрим, для чего надо было городить такой огород.

4. Анализ на простых примерах

Допустим, что наш базис - декартов, то есть ортонормированый. Тогда, матрица становится единичной
Пусть вектор задан в таком базисе. Квадрат длины вектора, как известно, это скалярное произведение этого вектора самого на себя, то есть
И мы получили… квадрат длины вектора, заданного в прямоугольной системе координат!

Ещё пример, дабы не загроможнать который, будем работать в двух измерениях. Пусть система координат подобна той, что изображена на рисунке из параграфа 1, и в ней задан вектор своими контравариантными rоординатами. Тогда

где - угол между векторами базиса. Вычислим длину вектора
Ровно такой же результат мы получим, если воспользуемся теоремой косинусов и найдем квадрат длины диагонали параллелограмма.

Что получается? Работая в разных системах координат, мы использовали одну единственную формулу (20) для вычисления скалярного произведения. И её вид совершенно не зависит ни от базиса, ни от числе измерений пространства, в котором мы работаем. Базисом определяются лишь конкретные значения компонент матрицы .

Так вот, уравнение (20) выражает скалярное произведение двух векторов в тензорной, то есть независимой от выбранного базиса форме .

Матрица задает так называемый метрический тензор . Её вид
определяет каким образом в выбранных координатах вычисляется расстояние между двумя точками.

Но почему мы называем эту матрицу тензором? Следует понимать, что математическая форма, в данном случае квадратная матрица, содержащая набор компонент, это ещё не тензор. Понятие тензора несколько шире, и прежде чем мы скажем, что такое тензор, мы рассмотрим ещё один вопрос.

5. Преобразование метрического тензора при смене базиса

Перепишем соотношение (20) в матричной форме, так нам будет легче оперировать им
где c - скалярное произведение векторов. Верхний индекс несет смысл системы координат, в которой заданы векторы и определен метрический тензор. Скажем это система координат СК0. Преобразование вектора к некоторой другой системе
координат СК1 описывается матрицей преобразования , то есть
Подставим (22) в (21)

В последнем выражении

метрический тензор, компоненты которого определяются новым базисом. То есть, в новом базисе операция имеет аналогичную форму
Тем самым мы показали ещё одно свойство тензора - его компоненты меняются синхронно с компонентами векторов того пространства, в котором определен тензор . То есть теперь мы можем сказать, что тензор - это математический объект, представленный набором компонент и правилом их преобразования при смене базиса .

Теперь, используя правило Эйнштейна, перепишем (22) и (23) в тензорной форме

где - элементы матрицы . Проиллюстрируем (25) на трехмерном примере. Пусть матрица преобразования координат имеет вид
Распишем преобразование компонента метрического тензора, выполняя суммирование по немым индексам k и l в (25)
откуда видно что в (25) выполняется транспонирование матрицы перехода, умножение результата на метрический тензор и
умножение полученной матрицы на матрицу перехода.

Теперь рассмотрим конкретный пример, на плоскости, чтобы не писать излишне громоздких выкладок

Пусть вектор задан в двух нормированных базисах: прямоугольном
и косоугольном . Преобразование из косоугольной системы координат в прямоугольную выражается матрицей

обратное преобразование
Пусть также, в прямоугольных координатах наш вектор имеет компоненты
и совсем нетрудно увидеть, что длина его . Метрический тензор в ортонормированном базисе представляется единичной матрицей
значит
Зададим угол наклона осей и вычислим контравариантные компоненты вектора в косоугольных осях

То есть

и скалярное произведение и длина вектора инвариантны , то есть неизменны при преобразовании координат, а так и должно быть. При этом, мы использовали по сути одно и то же соотношение (20) для работы в разных базисах, предварительно преобразовав метрический тензор в соответствии с правилом преобразования векторов в рассматриваемых пространствах
(25).

Заключение и выводы

Что мы увидели в предыдущем параграфе? Если свойства пространства, в котором заданы векторы известны, то для нас не составляет труда выполнить, строго формальным образом, действия над векторами, используя соотношения, вид которых от формы пространства независим. Причем соотношения (20), (24) и (25) дают нам и алгоритм вычисления и способ преобразования компонент выражений, используемых алгоритмом. В этом - мощь и сила тензорного подхода.

Многие физические теории, например ОТО, оперируют искривленным пространством-временем, и там другой подход просто неприемлем. В искривленном пространстве-времени метрический тензор задан локально, в каждой его точке, и если попытаться обойтись без тензоров, у нас ничего не выйдет - мы получим громоздкие и неповоротливые уравнения, если получим их вообще.

В прикладных областях науки тензорная запись выражений применима там, где требуется получать уравнения, независимые от используемой системы координат.

Но это ещё не всё. Мы не поговорили о свойствах метрического тензора, не рассмотрели векторное произведение и тензор Леви-Чевиты. Не поговорили о ранге тензоров и операциях с ними, не разобрались до конца с правилами индексации компонент тензоров и о многом другом. Об этом будет написано несколько позднее, а пока - спасибо всем моим читателям за внимание. Добавить метки

Наименование дисциплины: Векторный и тензорный анализ

Направление подготовки: 011200 Физика

Профиль подготовки:

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

1.Целями освоения дисциплины «Векторный и тензорный анализ» являются:

дать базовые знания по векторному и тензорному анализу, необходимые для освоения последующих курсов; обучить студентов наиболее важным математическим методам физики, а также проиллюстрировать использование этих методов на примерах конкретных физических задач; закрепить и развить знания, умения и приемы, полученные при изучении математических курсов, на которые опирается данный курс; подготовить исходный уровень знаний и навыков, необходимых для дальнейшего обучения студентов.

2.Дисциплина «Векторный и тензорный анализ» относится к базовой части цикла Б2. (математический и естественно- научный цикл) .

Данный курс является промежуточным между традиционными курсами математики и теоретической физики. Для освоения курса необходимы умение вычислять производные функций одной и нескольких переменных, а также неопределенных и определенных интегралов (курс «Математического анализа»), владеть матричным аппаратом (курс «Линейная алгебра»), использовать геометрические методы (курс «Аналитическая геометрия»), и знание основ классической механики (курс «Механика»). Математический аппарат, излагаемый в рамках курса «Векторный и тензорный анализ», необходим для успешного освоения теоретических курсов физики: теоретическая механика, электродинамика, квантовая механика и статистическая физика.

3.В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

определения градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля;

дифференциальные операторы Набла и Лапласа в декартовой системе координат;

определения символ Кронекера и тензор Леви-Чевита, их основные свойства.

работать с векторами в декартовой и криволинейных ортогональных (сферической и цилиндрической) системах координат;

вычислять градиент скалярного поля, дивергенцию и ротор векторного поля;

выполнять простейшие операции над тензорами произвольного ранга;

применять теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса при вычислениях интегралов по поверхности и по объему.

навыками вычислений геометрических характеристик линии в пространстве;

дифференцированием векторных функций одной переменной;

алгеброй тензоров;

преобразованием тензорных функций при вращении;

умением вычислять градиент скалярного поля, дивергенцию и ротор векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

4.Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.

№ п/п	Раздел дисциплины
	Векторная алгебра. Скалярные и векторные величины. Вектор и его характеристики. Системы координат, базис. Векторная функция. Дифференцирование векторной функции. Формула Тейлора для векторной функции.
	Элементы дифференциальной геометрии. Дифференциальная геометрия линии в пространстве. Кривизна, кручение. Главная нормаль и бинормаль. Понятие соприкасающейся плоскости.
	Скалярное поле. Определение. Поверхность уровня скалярного поля. Градиент скалярного поля. Оператор Набла в декартовой системе координат. Производная по направлению. Физический смысл.
	Векторное поле. Понятие векторного поля. Векторные линии. Поток векторного поля. Физический смысл потока через замкнутую поверхность. Дивергенция векторного поля. Инвариантное определение. Выражение для дивергенции в декартовой системе координат. Теорема Гаусса – Остроградского.
	Векторное поле. Циркуляция векторного поля. Понятие ротора векторного поля и его физический смысл. Выражение для ротора в декартовой системе координат. Теорема Стокса. Потенциальное поле. Примеры. Нахождение потенциала потенциального поля. Соленоидальное поле. Векторный потенциал.
	Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа скалярного и векторного полей. Тензорный анализ. Переход от одного ортогонального базиса к другому. Преобразование базиса и координат вектора. Определение тензора в ортогональном базисе.
	Тензорный анализ. Действия над тензорами. Главные направления тензора. Тензорные инварианты. Собственные значения и собственные векторы. Символ Кронекера. Псевдотензоры. Тензор Леви-Чевита.
	Тензорный анализ. Тензоры в косоугольном базисе. Метрический тензор. Ковариантные и контравариантные компоненты тензора. Криволинейные координат. Построение базиса. Коэффициенты Ламэ.
	Криволинейные системы координат. Выражение для градиента, дивергенции и ротора в криволинейной системе координат. Цилиндрическая и сферическая системы координат.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

1.Нарынская Е.Н., Поваров А.В. Векторное и тензорное исчисление: учебное пособие. - Ярославль: ЯрГУ, 2005. - 96 с.

2.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - С.-Петербург: Лань, 2003. - 832 с.

3.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. Задачи и примеры с подробными решениями. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 144 с.

4.Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 304 с.

5.Письменный Д.Т. Лекции по высшей математике. Часть 2. - М.: Аирф ПРЕСС, 2004.

б) дополнительная литература:

1.Тамм И.Е. Основы теории электричества. Приложение. - М.: Наука, 1989.

2.Шилов Г.Е. Лекции по векторному анализу. - М.: Наука, 1954.

3.Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. - М.: Изд-во МГУ, 1986.

4.Поздняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. - М.: Изд-во МГУ, 1990.

5.Коренев Г.В. Тензорное исчисление. - М.: Изд-во МФТИ, 1996.

6.Горшков А.Г., Рабинкий Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механики сплошной среды: Учебник для вузов. - М.: Наука, 2000. - 214 с.

7.Григорьев А.И. и др. Тензорная алгебра в примерах и задачах: Учебное пособие. - Ярославль: ЯрГУ, 1999. - 50 с.

8.Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. - М.: Высшая школа, 1966. - 252 с.

9.Борисенко А.И. Механика сплошной среды: В 3 ч. Ч.1: Векторный анализ и начала тензорного исчисления / Борисенко А.И., Тарапов И.Е. -Харьков: Золотые страницы, 2003. - 320 с.

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО ½Сыктывкарский государственный университет\

Ю.Н. БЕЛЯЕВ

ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНЫЙ

Учебное пособие

Сыктывкар 2008

ÓÄÊ 514.742.4(075) ÁÁÊ 22.14

Печатается по постановлению редакционно-издательско- го совета Сыктывкарского госуниверситета

Ðå ö å í ç å í ò û:

кафедра математического анализа Коми государственного педагогического института,

Г.В. Уфимцев канд. физ.-матем. наук, доцент, Сыктывкарский лесной институт

Беляев Ю.Н.

Á 43 Введение в векторный анализ: Учебное пособие. Сыктывкар: Èç-âî СыктГУ, 2008. 215 с.: ил.

ISBN 978-5-87237-601-1

Данное пособие содержит основные сведения из алгебры векторов.

Правила дифференцирования вектор-функции по скалярному аргументу демонстрируются на примерах из механики, в частности из кинематики материальной точки и абсолютно тв¼рдого тела.

Основные функции точки градиент скалярного поля, расхождение и вихрь векторного поля даны в инвариантной по отношению к выбору системы координат форме. Интегральное представление вихря и расхождения векторного поля используются для доказательства теорем Остроградского и Стокса. Даны подборка формул для градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в некоторых ортогональных системах координат, а также задачи для самостоятельной работы студентов с примерами решения типовых задач, используемых для контроля усвоения материала.

Книга предназначена для студентов физических специальностей.

c Беляев Ю.Н., 2008

c Сыктывкарский госуниверситет, 2008

ISBN 978-5-87237-601-1

1.5. Умножение вектора на число. . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Сложение векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7. Основные свойства векторов. . . . . . . . . . . . . . 11

1.8. Правило многоугольника. . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9. Разность векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ÿ 2. Примеры векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Радиус-вектор точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Перемещение, скорость и ускорение. . . . . . . . . 22

2.3. Понятие силы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ÿ 3. Линейное пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1. Примеры линейных пространств. . . . . . . . . . . 29

3.2. Размерность и базис линейного пространства. . . . 34

4.1. Векторный базис. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Свойства координат вектора. . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. Размерность векторного множества. . . . . . . . . . 40

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Ÿ 5. Проекции вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1. Проекция вектора на плоскость. . . . . . . . . . . . 43

5.2. Проекция вектора на ось. . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3. Свойства проекции вектора на ось. . . . . . . . . . 45

Ÿ 6. Приложение к тригонометрии. . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1. Проекции единичного вектора. . . . . . . . . . . . . 46

6.2. Тригонометрическая форма записи проекции. . . . 46

6.3. Основное тригонометрическое тождество. . . . . . 47

6.4. Формулы приведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5. Теорема синусов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ÿ 7. Вектор в ортонормированном базисе. . . . . . . . . . .

7.1. Координаты вектора в ортонормированном базисе. 50

7.2. Длина вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3. Направляющие косинусы. . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.4. Угол между направлениями. . . . . . . . . . . . . . 52

7.5. Радиус-вектор в декартовой системе координат. . 53

7.6. Определение векторной суммы методом проекций. 55

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Ÿ 8. Скалярное произведение векторов. . . . . . . . . . . . . 59

8.1. Cвойства скалярного произведения. . . . . . . . . . 60

8.2. Евклидовое пространство. . . . . . . . . . . . . . . 61

8.3. Теорема косинусов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.4. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Ÿ 9. Векторное произведение векторов. . . . . . . . . . . . . 68

9.1. Свойства векторного произведения. . . . . . . . . . 69

9.2. Векторное произведение в ортонормированном базисе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.3. Выражение векторного произведения через

	оределители второго и третьего порядков. . . . . .
	Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ÿ 10. Произведения тр¼х векторов. . . . . . . . . . . . . . . .
	10.1. Смешанное произведение. . . . . . . . . . . . . . .
	10.2. Двойное векторное произведение. . . . . . . . . .
	2. Вектор-функция скалярного аргумента
	Производная вектор-функции по скалярному аргументу

1.1. Геометрический смысл производной. . . . . . . . . 79

1.2. Основные свойства производных. . . . . . . . . . . 82

Ÿ 2. Интеграл от вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ÿ 3. Оси естественного тр¼хгранника. . . . . . . . . . . . . . 91

3.1. Формулы Френе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.2. Скорость и ускорение в осях натурального триэдра. 96

3.3. Вычисление кривизны пространственной кривой. . 99

3.4. Кручение пространственной кривой. . . . . . . . . 103 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Ÿ 4. Криволинейные ортогональные системы координат. . . 104

4.1. Базисные векторы и коэффициенты Ламе. . . . . . 107

4.2. Скорость и ускорение материальной точки в криволинейной ортогональной системе координат. 108

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Ÿ 5. Сложение движений. Приложение к кинематике. . . . . 112

5.1. Перемещение системы отсч¼та. Угловая скорость. 113

5.2. Скорости точек тв¼рдого тела. . . . . . . . . . . . . 116

5.3. Ускорения тв¼рдого тела. . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4. Абсолютная скорость движения материальной точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.5. Сложение ускорений. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

à ë à â à 3. Функции точки

Ÿ 1. Скалярное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

1.1. Поверхность уровня скалярного поля. . . . . . . . 133

1.2. Дифференцируемое скалярное поле. . . . . . . . . 134

1.3. Производная по направлению. . . . . . . . . . . . . 135

1.4. Геометрический смысл градиента. . . . . . . . . . . 136

1.5. Градиент суммы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1.6. Градиент сложной функции. . . . . . . . . . . . . . 141

1.7. Градиент в ортогональной системе координат. . . . 143 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Ÿ 2. Векторное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.1. Уравнение векторной линии. . . . . . . . . . . . . . 148

2.2. Криволинейный интеграл от векторного поля. . . . 151

2.3. Вычисление криволинейного интеграла. . . . . . . 153

2.4. Вихрь векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.1. Поток скорости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.2. Поток векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.3. Нормаль к поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.4. Вычисление потока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3.5. Поток через замкнутую поверхность. . . . . . . . . 170 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Ÿ 4. Расхождение векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . 171

4.1. Расхождение в ортогональной системе координат. 172

4.2. Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.3. Лапласово векторное поле. . . . . . . . . . . . . . . 175 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Ÿ 5. Символические обозначения основных дифферен-

циальных операций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.1. Символический вектор набла. . . . . . . . . . . . . 177

5.2. Оператор Лапласа, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.3. Производная вектора по другому вектору. . . . . 179

5.4. Дифференциальные операции от произведений функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.5. Дифференциальные операции второго порядка. . 183 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Ÿ 6. Некоторые ортогональные системы координат. . . . . . 184

6.1. Система цилиндрических координат. . . . . . . . . 185

6.2. Сферическая система координат. . . . . . . . . . . 186

6.3. Система параболических цилиндрических координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4. Система параболоидальных координат. . . . . . . . 188

6.5. Система эллиптических цилиндрических координат. 189

6.6. Система вытянутых эллипсоидальных координат. 190 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Ÿ 7. Теорема Стокса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Ÿ 8. Теорема Остроградского и связанные с ней формулы. 195

8.1. Теорема Остроградского. . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.2. Формула для градиента. . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.3. Формула для вихря. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.4. Формулы Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Ответы и решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ

Ÿ 1. Геометрическое понятие вектора

1.1. Введение. Одно из основных геометрических понятий вектор, возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся величиной и направлением, в трудах нескольких ученых почти одновременно в середине XIX века. Первое векторное исчисление на плоскости развил в 1835 году итальянский ученый Беллавитис (Guito Bellavitis, 1835-1880). Примерно в это же время получили известность работы Аргана (Jean Robert Argand, 1768-1822) и Весселя (Caspar Wessel, 17451818) о геометрической интерпретации комплексных чисел. Окончательное оформление векторной алгебры было выполнено в работах Германа Грассмана (Hermann Grassmann, 18091877), Уильяма Гамильтона (William Rowen Hamilton, 18051865) и Дж.У. Гиббса (Josiah Willard Gibbs, 1839-1903).

Понятие вектора играет важнейшую роль в современной математике и е¼ приложениях, например в механике, теории относительности, электродинамике, квантовой физике и других разделах естествознания.

1.2. Скаляры и векторы. Величины называются скалярными (скалярами), если они после выбора единицы измерения полностью характеризуются одним числом. Примерами скаляров являются время t, объем V , масса m, температура T , работа силы A, электрический заряд q и др.

Два скаляра одной и той же размерности равны, если при измерении их одной и той же единицей меры получаются оди-

наковые числа.

Такие величины, как скорость ~v, ускорение ~a, сила F , на-

пряженность электрического поля E , требующие для своего за-

дания не только указания числового значения, но и направления в пространстве, называются векторными величинами, или

векторами.

Термины скаляр (1843) и вектор (1845) были придуманы Гамильтоном, который образовал их соответственно от латинских слов scale шкала и vector несущий.

Простейшим скаляром является отвлеченное число, а простейшим вектором прямолинейный отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление от начальной точ- ки отрезка к его конечной точке.

1.3. Изображение и обозначения векторных вели- чин. Существует несколько различных форм обозначения векторных величин. Одна из старейших черточка над буквой. Именно так обозначал направленный отрезок Арган. Максвелл (James Clerk Maxwell, 1831-1879) обозначал векторы готическими буквами, Гамильтон и Гиббс греческими буквами. Обозначение векторов жирными буквами было предложено Хэвисайдом (Oliver Heaviside, 1850-1925).

В данной работе геометрические векторы обозначаются бук-

вами со стрелкой вверху: ~a, b, ~c и т.п. Иногда мы будем обо-

значать вектор, начальная точка которого есть A, а конечная

B, символом AB. На рисунках векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков, имеющих не только определенную длину, но и определенное направление, указываемое стрелкой на конце отрезка.

Длина вектора, которая иначе называется модулем вектора, обозначается той же буквой, что и вектор, но без стрелки. Иногда для обозначения модуля вектора берется обозначение самого вектора, помещенного в прямые скобки. Например, p = jp~j модуль вектора p~.

Нуль-вектор вектор 0, длина которого равна нулю, может иметь любое направление в пространстве.

Угол между векторами p~ и q~ это наименьший угол, на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим (рис.1). Будем обозначать этот угол сим-

волом (p;~ q~).

Ÿ 1. Геометрическое понятие вектора

1.4. Равенство векторов. Когда мы сравниваем векторные физические величины, то подразумевается, что они имеют одинаковую физическую размерность.

Различают три разных типа векторов. Каждый из них объединяет совокупность векторов с одинаковыми свойствами.

Свободные векторы определяются направлением линии действия и модулем. Такие векторы равны, если они равны по мо-

дулю f = g и одинаково направлены, т.е. (f; ~g) = 0: Иными

словами, мы не различаем двух свободных векторов f и ~g, имеющих разные точки приложения и получающиеся один из другого параллельным переносом.

Равенство двух векторов f и ~g символически записывается следующим образом:

Связанный вектор. Для определения связанного вектора AB требуется указать его линию действия (на рис. 2a это линия xx0 ), направление на этой линии (от x к x0 ), его начало (A) и длину вектора. Связанные векторы это векторы, для эквивалентности которых необходимо их равенство по длине, одинаковое направление и общее начало. Примером такого вектора может служить сила, приложенная к некоторой точке упругого

) (p;~ q~)

Скользящий вектор. Определение остается таким же, как и в предыдущем случае, если исключить требование о закреплении начала вектора. Оно может находиться в любой точке оси xx0 . Скользящими называют такие векторы, которые счита-

ются эквивалентными, если они равны по модулю, одинаково

направлены и лежат на одной прямой (например, AB = A B на (рис. 2b)). Примерами таких векторов являются силы, рас-

сматриваемые в статической механике.

Поскольку направлние нулевого вектора не определено, все нулевые векторы считаются равными.

Все нижеследующие правила, в частности умножение вектора на скалярные величины и правило сложения векторов, будут даны применительно к свободным векторам. Распространение этих определений на связанные и скользящие векторы не представляет труда.

1.5. Умножение вектора на число. При умножении вектора ~a на действительное число получается вектор ~c, такой, что его модуль равен j ja, и направленный в ту же сторону, что и вектор ~a при > 0, и в противоположную сторону, если < 0. Умножение любого вектора ~a на нуль дает нулевой вектор. Таким образом,

		~c; c = a; (~c;~a) = 0; åñëè > 0;
		0; åñëè = 0:d
				a; (~c;~a) = ; åñëè < 0;

Векторы ~c и ~a, связанные равенством (1.1), параллельны друг другу или лежат на одной прямой. Такие векторы называют коллинеарными 1 .

На рис. 3 в качестве примера показаны вектор ~a и полу- чающиеся из него в результате умножения на числа 2 и 0:5 векторы 2~a и 0:5~a.

В соответствии с данным определением умножения вектора на число любой вектор ~a можно представить в виде произведения

~a = a~ea ;

1 Термин образован от латинскихco вместе èlinearis линейный и означает буквально ½солинейность\ . Гамильтон в своем векторном исчис-

лении ввел название termino-collinear для векторов, которые имеют общее начало и концы которых лежат на одной прямой. Это название упростил Гиббс, благодаря которому термин ½коллинеарность\ вошел в векторную