Знание фигуры и размеров Земли необходимо во многих областях и прежде всего для определения положения объектов на земной поверхности и правильного её изображения в виде карт, планов и цифровых моделей местности.

Земная поверхность представляет собой ряд неровностей: горы, лощины, овраги, равнины, долины, плато и прочие очертания суши чередуются с водным пространством океанов, морей, рек, озер и других водоемов.
Площадь поверхности океанов и морей во много раз больше площади суши. Из 510 млн. кв. км всей поверхности нашей планеты 361 млн. кв. км (71 %) занимают водоемы, и лишь 149 млн. кв. км (29 %) - суша.

Подводная поверхность включает в себя систему срединно-океанических хребтов, подводные вулканы, океанические желоба, подводные каньоны, океанические плато и абиссальные равнины. Надводная часть земной поверхности также характеризуется многообразием форм - горы, овраги, возвышенности, низменности и т. д.
С течением времени поверхность Земли из-за тектонических процессов и эрозии постоянно изменяется.

Если представить карту земной поверхности в целом, то отдельные неровности - горы, овраги, лощины и т. д. в сравнении с рельефом всей земной поверхности будут настолько незначительными, что общий вид Земли представится в виде формы, близкой к форме шара, радиус которого - около 6370 км.

Последние исследования формы земной поверхности показали, что она уклоняется от правильной геометрической формы сфероида и в реальности имеет форму неправильной объемной фигуры, отдаленно напоминающей грушу, и получившей название "геоид ", от греческого "гео" - Земля.
Термин "геоид" для обозначения реальной формы Земли предложил в 1873 году немецкий физик Иоганн Листинг.

Теоретически поверхность геоида совпадает с поверхностью морей и океанов в их спокойном состоянии, и мысленно продолжается под (или над) сушей. Эта поверхность принимается за математическую поверхность Земли, или, как ее называют в обиходе, "уровень моря", от которого отсчитывают высоты точек суши (так называемые ортометрические высоты). Реальная форма геоида весьма сложна и зависит от распределения масс и плотностей в теле Земли. Точно установить положение поверхности геоида на суше очень сложно, поскольку измерения силы тяжести выполняются на физической поверхности Земли, а затем довольно сложными приемами редуцируются на математическую поверхность (геоид) с некоторой долей погрешности. Для упрощения расчетов поверхности геоида и получения более точных результатов моделирования, математики применяли и применяют различные приемы (поверхность квазигеоида Молоденского, модель геоида EGM96, использующая сферические функции - гармоники и т. д.). Все эти математические приемы достаточно сложны. В последние годы заметный прогресс в получении реальной модели земной поверхности позволило получить развитие спутниковой системы измерений.

В настоящее время наиболее широкое использование получил геоцентрический эллипсоид WGS84 (World Goodetic System 1984). Он служит основой для измерения местоположений во всем мире. Система спутниковой навигации GPS сообщает координаты в системе эллипсоида WGS84 (World Goodetic System 1984).
Общеземной эллипсоид ориентируется в теле Земли согласно следующим условиям (определяемыми международными геодезическими организациями, которые организуются и направляются Международной ассоциацией геодезии, действующей по инициативе и в рамках Международного геодезического и геофизического союза):

• Малая полуось должна совпадать с осью вращения Земли.
• Центр эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли.
• Сумма квадратов отступлений геоида от общеземного эллипсоида должна быть по всей Земле наименьшей из всех возможных.

Тем не менее, некоторые погрешности и отступления от реальной поверхности имеются при любых, применяемых в настоящее время, расчетах и измерениях.
Для геодезических работ рекомендуется использовать средний эллипсоид GRS80 (Geodetic Reference System 1980), принятый Генеральной Ассамблеей Международной ассоциацией геодезии в 1979 г.

Фигура геоида связана с направлением силы тяжести и, следовательно, существенно зависит от неравномерного распределения масс в земной коре. Поэтому поверхность геоида имеет неправильную, в геометрическом отношении весьма сложную фигуру с неравномерно изменяющейся кривизной. Однако исследованиями установлено, что поверхность геоида в общем близка к поверхности эллипсоида вращения с небольшим сжатием по направлению малой (полярной) оси.
Иногда такой эллипсоид называют сфероидом.
В геодезии для обозначения формы земной поверхности часто используют термин "фигура Земли" .

Математическая поверхность Земли

Рассмотрим любое тело в виде материальной точки А на физической поверхности Земли (рис. 1 ).
На точку А оказывают влияние две силы: сила притяжения Fп , направленная к центру Земли, и центробежная сила вращения Земли вокруг своей оси Fц , направленная от оси вращения по перпендикуляру.
Равнодействующая этих сил называется силой тяжести Fт .
В любой точке земной поверхности направление силы тяжести, называемое ещё вертикальной или отвесной линией, можно легко и просто определить с помощью уровня или отвеса. Оно играет очень большую роль в геодезии. По направлению силы тяжести ориентируется одна из осей пространственной системы координат.
Если через точку А построить замкнутую поверхность, которая в каждой своей точке будет перпендикулярна отвесной линии (направлению силы тяжести), то данную поверхность можно принять в качестве математической при решении некоторых частных задач в геодезии.
Такая поверхность получила название уровенной или горизонтальной . Её недостаток в том, что она содержит элемент неопределенности, т. е. через любую точку можно провести свою уровенную поверхность, и таких поверхностей будет бесчисленное множество.
Для устранения этой неопределенности при решении общих геодезических задач принимается так называемая общая математическая поверхность, т. е. уровенная поверхность, которая в каждой своей точке совпадает со средним уровнем морей и океанов в момент полного равновесия всей массы воды под влиянием силы тяжести. Такая поверхность носит название общей фигуры Земли или поверхности геоида.
Геоид - выпуклая замкнутая поверхность, совпадающая с поверхностью воды в морях и океанах в спокойном состоянии и перпендикулярная к направлению силы тяжести в любой её точке (см. рис.1 ).
Из-за неравномерного распределения масс внутри Земли геоид не имеет правильной геометрической формы, и в математическом отношении его поверхность характеризуется слишком большой сложностью. Поэтому там, где это допустимо, поверхность геоида заменяется приближенными математическими моделями, в качестве которых принимается в одних случаях земной сфероид, в других - земной шар, а при топографическом изучении незначительных по размеру территорий - горизонтальная плоскость, т. е. плоскость, перпендикулярная к вертикальной линии в данной точке.

Земной сфероид - эллипсоид вращения, который получается вращением эллипса вокруг его малой оси b (см. рис.1 ), совпадающей с осью вращения Земли, причем центр эллипсоида совмещается с центром Земли.
Размеры эллипсоида подбирают при условии наилучшего совпадения поверхности эллипсоида и геоида в целом (общеземной эллипсоид) или отдельных его частей (референц-эллипсоид). Фигура референц-эллипсоида наилучшим образом подходит для территории отдельной страны или нескольких стран. Как правило, референц-эллипсоиды принимают для обработки геодезических измерений законодательно.

Размеры земного эллипсоида в разное время определялись многими учеными по материалам градусных измерений. В США, Канаде, Мексике, Франции при создании карт пользуются размерами эллипсоида Кларка, в Финляндии и некоторых других странах - размерами эллипсоида Хейфорда, в Австрии - размерами эллипсоида Бесселя.
Наиболее удачная математическая модель Земли в виде референц-эллипсоида была предложена проф. Ф. Н. Красовским с большой полуосью a = 6378245 м, малой - b = 6356863 м и коэффициентом сжатия у полюсов α = (a-b)/a = 1/298.3 ~ 1/300.
Постановлением Совета Министров СССР № 760 от 7 апреля 1946 года эллипсоид Красовского принят для территории нашей страны в качестве математической поверхности Земли.
В инженерной геодезии для практических расчетов за математическую поверхность Земли принимают шар со средним радиусом R = 6371.11 км. Объем шара равен объему земного эллипсоида.

Если на поверхности такого эллипсоида выделить фигуру в виде треугольника со сторонами примерно 25 км каждая, то окажется, что все линии в пределах поверхности этого треугольника, проложенные по поверхности эллипсоида, будут различаться по длине всего на 20 мм от длины прямых линий, соединяющих одноименные точки.
Такая разница для многих вычислений и измерений является настолько незначительной, что ей можно пренебречь и считать данные линии спроектированными не на сферическую поверхность, а на плоскость. Этим приемом пользуются при составлении планов и крупномасштабных карт.
Таким образом, участок сферической поверхности Земли в пределах треугольника со сторонами в 25 км (площадью до 320 кв. км) можно принять за плоскость.
При геодезических измерениях, не требующих повышенной точности, за плоскость условно принимается и окружность на поверхности Земли радиусом до 10 км.

Физическая поверхность Земли

При топографическом изучении физической поверхности Земли надводная и подводная части рассматриваются отдельно. Надводная часть (суша) - местность (территория) является предметом изучения топографии. Подводную часть - акваторию (поверхность, покрытую водами морей и океанов) изучает океанография. В свою очередь местность разделяют на ситуацию и рельеф.
Ситуацией называют совокупность постоянных предметов местности: рек, озер, растительного покрова, дорожной сети, населенных мест, сооружений и т. п. Границы между отдельными объектами ситуации называются контурами местности.
Рельефом (от лат. "relevo" - поднимаю) называют совокупность неровностей суши, дна океанов и морей, разнообразных по очертаниям, размерам, происхождению, возрасту и истории развития.
О рельефе местности можете почитать отдельные статьи сайта.

Рельеф как совокупность неровностей физической поверхности Земли рассматривается по отношению к её уровенной поверхности.
Рельеф слагается из положительных (выпуклых) и отрицательных (вогнутых) форм и образуется главным образом в результате длительного одновременного воздействия на земную поверхность эндогенных (внутренних) и экзогенных (внешних) процессов.
Рельеф изучает раздел геодезии - геоморфология.

В геодезии для обозначения формы земной поверхности используют термин – фигура Земли. Знания фигуры Земли необходимы для определения объектов на земной поверхности и точного их отображения в виде планов и фактов. Физическая поверхность Земли: 70.8%-подводная, 29.2%-надводная.Рельеф, как и надводный так и подводный, примерно одинаков и состоит из гор, вулканов, каньонов, впадин.Физическая поверхность Земли представляет собой по форме напоминает «груши» с несколькими вмятинами. На космических снимках земной поверхности - показана в виде сферы. Т.к. подводная часть покрыта морями и океанами, поэтому из-за волнений океанов через любую точку на поверхности можно провести N-ное количество уровенных поверхностей. В 1873г была предложена уровенная поверхность, которая совпадает с уровнем морей и океанов в спокойной состоянии – основная уровенная поверхность. На уровенной поверхности имеется т.А, на которую действуют 2 силы. 1) Гравитационная сила притяжения, которая направлена к центру масс Земли. 2) Центробежная сила вращения Земли, которая перпендикулярна оси вращения Земли. Равнодействующая 2ух этих сил – сила тяжести, в которой каждая точка отвесна. Если через т.А провести выпуклую, замкнутую, уровенную поверхность, то через т.А можно будет провести N-ное количество урвоенных поверхностей. Такая математическая модель – уровенная (горизонтальная), т.к. отвесная линия имеет прямой угол с т.А. Такая модель имеет условие неопределенности, на ней можно решать только частные задачи. 1873г немецкий астролог Листингом Иоганн предложил математическую модель «геойдом» (землеподобным). Геойд – выпуклая, замкнутая, уровенная поверхность, которая совпадает с поверхностью морей и океанов в свободном состоянии и мысленном продолжении под материками, при этом сила тяжести в любой точке отвесна. Очень сложная математическая модель. Для решения 1ого геойда используется 300 сферических коэффициентов. Для последнего – 60000. Если для решения взять первые 2- 3 коэффициента, то получим сферу (шар) . Уровенная поверхность, которого будет отличаться от поверхностого уровня геойда на 22км. Если добавить еще несколько, то получим вращающееся колесо. А ошибка составит 100-150км. Эллипсоидное вращение – образованная вращением эллипса вокруг своей оси. Для составления топографических карт и планов в основном применяется референц-эллипсоидное вращение. Данный эллипсоид ориентирован, так чтобы его поверхность совпадала с геойдом на территории страны или соседних стран. США-Эллипсоид Кларка(1866). Франция – Эллипсоид Бесселя, который применялся в России до 1946г. С 1946г. в России применяется референц-эллипсои с параметрами: большая полуось 6378245м и сжатием α= 298.3 . Малая полуось «б» вычисляется (b=a(1+α)). Для технических и картографических расчетов используется радиус шара . Радиус Земли 6378.11км.

4.Системы координат: географические, прямоугольные, полярные. Высота. Когда высота называется отметкой?

Для определения положения точки на земной поверхности применяется географическая система координат (угловая система т.к. результат измерений показывается в градусах) . Координатными осями в географической системе координат является начальный меридиан и экватор. Впервые начальный меридиан был узаконен в 15 веке и проходил через остров Фетро. До1884г каждая страна имела свой начальный меридиан. В России проходил через Пулково, во Англии через Гринвич. С 1884г для всех стран установили единый начальный меридиан, который называется Гринвичский (или нулевой меридиан) 0 0 . Меридиан точки – дуга большого круга, проходящего через северный и южный дуга малого круга проходящего через точку и параллельно экватору. Для определения географических координат применялись значения широты и долготы. Широта – угол образованный отвесной линией совпадающей с радиусом Земли проходящую через т.Б и плоскостью экватора. Широта отсчитывается от экватора к северному полюсу от 0 0 до 90 0 и к южному от 0 0 до 90 0 и называется серенной или южной высотой. Долгота – двугранный угол образованный плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана проходящего через т.С. Долгота отсчитывается от начального меридиана к востоку от 0 – 180 и называется восточной долготою, а также к западному от 0 – 180 и называется западным меридианом. Прямоугольная система координат(линейная) строится и определяется на плоскости. Координатные оси состоят из 2ух взаимно перпендикулярных прямых. Вертикальная ось – X. Горизонтальная ось – Y. Точка пересечения – начало координат. В геодезии в основном применяется левая часть системы координат. Каждая ось имеет свой знак. Для ориентирования имеется градусная система. Полярная система координат (линейноугловая). Система плоских координат образованных прямыми лучами, который называется полярной осью. т.О – полюс. Измеряемое расстояния до определяемого. т.А – радиус вектора (полярное расстояние). По OX изменяется горизонтально. Данная система координат используется при топографической съемки местности, а также при составлении топографических планов. Выше перечисленные координаты являются плановыми координатами. Для создания топографического плана или карты необходима координат, которая называется – высота. Высота(H) – расстояние по отвесной линии от уровенной поверхности заданной Государственной геодезической сетью, которая является исходной(нулевой) до точки на земной поверхности.1)Ортометрическая высота – расстояние по отвесной линии от уровенной поверхности геоида, до точки на земной поверхности (абсолютная). 2)Геодезическая высота – расстояние по нормали от уровенной поверхности референц -эллипсоид а до точки на земной поверхности. 3)Нормальная система высот –расстояние по отвесной линии от уровенной поверхности квазигеоида до точки на земной поверхности. В России все высоты показаны в нормальной системе высот. Квазигеоид(почти геоид)- выпуклая, замкнутая поверхность, уровенные поверхности которого совпадают с поверхностью геоида в морях и океанах, и отличаются от неё на суше и в равнинных районах на 1- 2 см, а в горных на 2 см. 4) Условная высота – расстояние по отвесной линии по заданной уровенной поверхности до определяемой точки. Разность высот между точками на местности – превышение (h). Высота и превышение имеют свой знак (+/-). В России применяется Балтийская система высот, то есть уровенная поверхность Балтийского моря совпадает с уровенной поверхностью геоида. Отсчет ведется 0ого штриха кронштадтского футшток а. Если высота показана числом, то такая высота – отметка.

Штурманский метод решения задач судовождения требует знания закономерностей движения судна по поверхности Земли. Это возможно лишь при знании формы нашей планеты и ее основных размеров. Многовековые попытки решить эту научную проблему привели к представлению физической формы Земли в виде геоида - сглаженного тела, размеры которого наиболее близки к размерам нашей планеты. Геоид - тело, ограниченное невозмущенной поверхностью уровня Мирового океана, мысленно продолженной под материками и островами таким образом, что она в каждой своей точке перпендикулярна отвесной линии (рис. 1.1). Геоид получен экспериментально и его поверхность не может быть описана конечным математическим уравнением. Поэтому на поверхности геоида невозможно решать математические задачи судовождения. Возникает необходимость аппроксимации геоида другим телом - моделью Земли, имеющей простое математическое описание. При решении навигационных задач судовождения нашли применение две основные модели Земли: эллипсоид вращения (сфероид) и сфера (шар). Геоид очень близок по форме к эллипсоиду вращения, образованному вращением эллипса вокруг малой оси. Эллипсоид вращения - математически правильная фигура. Именно поэтому для решения задач геодезии, судовождения и картографии с высокой точностью за модель Земли принимают эллипсоид вращения и называют его земным эллипсоидом (рис. 1.2).

Размеры и форму эллипсоида определяют его элементы: большая полуось а, малая полуось b, сжатие, эксцентриситет Для наилучшего представления о геоиде в целом используют земной эллипсоид и определяют его так, чтобы:

объем эллипсоида был равен объему геоида;

плоскость экватора и малая ось эллипсоида совпадали соответственно с плоскостью экватора и осью вращения Земли;

сумма квадратов отклонений геоида от общего земного эллипсоида по всей их поверхности была наименьшей.

В 1964 г. на XII конгрессе Международного астрономического союза был принят общий земной эллипсоид, который хорошо согласуется со всей поверхностью геоида. Его размеры: а = 6378160 м; а = 1: 298,5. В наши дни для решения геодезических и навигационных задач широко используются общие земные эллипсоиды
(World Geodetic System), разработанные в разные годы: WGS-72, WGS-84, элементы которых даны в табл. 1.1. Для наилучшего же представления формы геоида в определенной области земной поверхности (территории отдельной страны) подбирают наиболее подходящий земной эллипсоид и определяют его так, чтобы:

Плоскость экватора и малая ось эллипсоида были параллельны соответственно плоскости экватора и оси вращения Земли; сумма квадратов отклонений геоида от этого эллипсоида в пределах заданной области была наименьшей.ъ

Земной эллипсоид с определенными размерами, соответствующим образом ориентированный в теле Земли и принятый за модель Земли в государстве, называется референц-эллипсоидом. Положение референц-эллипсоида в теле Земли определяется исходными геодезическими датами:

Координатами точки, в которой выполнена взаимная привязка геоида и эллипсоида; направлением между двумя объектами на поверхности Земли; высотой геоида над референц-эллипсоидом.

В нашей стране с 1946 г. в качестве модели Земли принят эллипсоид, элементы которого были определены под руководством профессора Ф. Н. Красовского. При этом использовались результаты измерений, выполненных на территории СССР, стран Западной Европы и США. Этот эллипсоид получил название референц-эллиписоида Красовского. Его элементы: большая полуось а = 6378245 м,

малая полуось b = 6 356 863 м, сжатие α = 1:298,3, эксцентриситет е = 0,0818. Положение (ориентировка) эллипсоида Красовского определяется:

Координатами центра круглого зала Пулковской обсерватории (широта 59°46"18,55", долгота 30° 1942,09"); направлением из этой точки на пункт Бугры (азимут 121° 10"38,79"); нулевой разностью высот геоида и референц-эллипсоида Красовского в Пулкове. В различных государствах рассчитаны и используются в качестве моделей Земли референц-эллипсоиды различных размеров (табл. 1.1). При решении многих задач навигации, не требующих повышенной точности, Землю принимают за шар определенного радиуса R. При этом для определения размеров земного шара могут быть поставлены различные условия, например:

Объем земного шара равен объему земного эллипсоида при этом Подставив значения полуосей эллипсоида Кра- совского, получим значение радиуса земного шара R = = 6371109,7 м; поверхность шара равна поверхности эллипсоида, при этом Для эллипсоида Красовского R = 6371116 м; радиус земного шара равен среднему радиусу кривизны ограниченного участка территории эллипсоида, расположенного в широте φ, при этом длина одной минуты дуги большого круга шара равна одной морской миле; при этом R - 6366707 м.

ФОРМА ЗЕМЛИ И ЕЕ МОДЕЛИ

РАЗДЕЛ 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НАВИГАЦИИ

Глава 1

ОРИЕНТИРОВАНИЕ НА МОРСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

ФОРМА ЗЕМЛИ И ЕЕ МОДЕЛИ

Навигация (от лат. navigation – мореплавание) – это математическая наука о способах определения оптимального пути судна на водной поверхности Земли и о способах прокладки этого пути на морской навигационной карте (от лат. optimus – наилучший).

Морская навигационная карта (сокращенно МНК) – это плоское изображение выпуклой поверхности морей и океанов с прилегающими участками суши в виде береговой полосы.

Перенос выпуклой поверхности Земли на плоскость производится путем математических вычислений.

Прокладка пути судна производится путем решения геометрических задач на водной поверхности Земли и на карте.

Математические вычисления по переносу выпуклой поверхности Земли на карту и решение геометрических задач по прокладке пути судна на водной поверхности Земли и на карте возможны только в том случае, если планета Земля является геометрическим телом.

Геометрическое тело

В качестве примера можно привести геометрическую фигуру шар , который имеет наиболее простую форму, т.к. все точки поверхности шара одинаково удалены от его центра. Поэтому форму и размер шара определяет один параметр – радиус шара (от греч. parametron – отмеривающий).

К размерам шара относится площадь поверхности шара (F ш) и объем шара (V ш), которые вычисляются с помощью известных формул:

В математике площадь объемной фигуры называют поверхностью. Например, площадь шара – это поверхность шара.

Планета Земля, созданная 4.7 миллиардов лет назад из газово-пылевого космического вещества, имеет очень сложную форму, которая не поддается математическому описанию. Поэтому возникает необходимость аппроксимации (замены) планеты Земля геометрическим телом, которое называется геометрической (математической) моделью Земли.

Аппроксимацию планеты Земля (от лат. approximo – приближаюсь) производят путем последовательного приближения внешнего контура Земли к форме геометрического тела:

­ сначала создают физическую модель Земли, которой является фигура планеты Земля, более простой формы. Поэтому эта модель получила название геоид, что в переводе с греческого языка – вид Земли (от греч. слов ge – Земля и iodos – вид);

­ на базе геоида создают геометрическую модель Земли – эллипсоид, форма и размеры которого наиболее близки форме и размерам геоида. Поэтому этот эллипсоид называется земным эллипсоидом или референц-эллипсоидом (от лат. referens – сообщающий – часть сложного слова, которая определяет, что референц-эллипсоид является носителем информации о форме и размерах Земли);

­ на базе земного эллипсоида создают геометрическую модель Земли – шар, размеры которого наиболее близки размерам земного эллипсоида. Поэтому этот шар называется земным шаром .

Принцип создания геоида основан на «сглаживании» физической поверхности планеты Земля с целью получения фигуры более простой формы.

Физическая поверхность Земли (от греч. physika – природа) – это наружная оболочка планеты Земля, которая состоит из двух сфер (рисунок 1.1):

1. Гидросфера (от греч. hydor – вода) – это наружная водная оболочка Мирового океана (8-11), которая окружает материки и острова (1-7) и занимает около 71% земной поверхности.

2. Литосфера (от греч. lithos – камень) – это твердая часть поверхности Земли, которая состоит из материковой и океанической земной коры и верхней мантии (мантия Земли – это оболочка, расположенная между земной корой и ядром Земли).

«Сглаживание» физической поверхности планеты Земля производят путем удаления с этой поверхности той части литосферы, которая возвышается над уровнем Мирового океана в виде материков и островов.

Таким образом, геоид – это фигура планеты Земля, ограниченная гидросферой, над которой не возвышается литосфера Земли. На рисунке 1.1 «б» фигура геоида показана в разрезе с помощью двойной овальной кривой.

Однако сглаженная поверхность геоида тем не менее имеет сложную форму. Поэтому геоид не является геометрической фигурой. Наиболее близкой по форме к геоиду является геометрическая фигура эллипсоид, поверхность которого имеет наибольшее совмещение с поверхностью геоида (рисунок 1.2).

Эллипсоид – это геометрическая объемная фигура, которая образована вращением плоской фигуры под названием эллипс.

Эллипс – это овальная кривая, которая образована сжатием окружности, в результате чего эллипс имеет вытянутую большую ось ЕQ и укороченную малую ось Р 1 Р 2 (рисунок 1.3).

Форму и размер эллипса определяют следующие параметры (рисунок 1.3):

­ длина большой полуоси эллипса «a »;

­ длина малой полуоси эллипса «b »;

­ коэффициент сжатия эллипса и сжатие эллипса ;

­ эксцентриситет эллипса ε;

­ отстояние фокусов эллипса F 1 и F 2 от центра этого эллипса, которое обозначено буквой «с ».

Эксцентриситет эллипса (ε) – это число, равное отношению расстояния между фокусами эллипса к длине большой оси эллипса. Поскольку расстояние между фокусами равно 2с , а длина большой оси равна 2а , то .

Фокусы эллипса – это точки F 1 и F 2 на большой оси эллипса, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса равна длине большей оси этого эллипса:

где - расстояние любой точки эллипса до фокусов, которые называются фокальными радиусами точки эллипса.

Эллипсоид, образуемый вращением эллипса вокруг большой оси EQ, называется вытянутым эллипсоидом .

Эллипсоид, образуемый вращением эллипса вокруг малой оси Р 1 Р 2 , называется сжатым эллипсоидом или сфероидом .

В качестве математической модели Земли применяют сжатый эллипсоид и поэтому земной эллипсоид имеет еще один синонимичный термин – земной сфероид (от греч. synonymos – одноименный).

Земной эллипсоид (земной сфероид или референц-эллипсоид) имеет следующие параметры, которые определяют его форму и размеры:

Длина большой полуоси эллипсоида «a »;

Длина малой полуоси эллипсоида «b »;

Полярное сжатие эллипсоида ;

Величина первого эксцентриситета эллипсоида , которая равна величине эксцентриситета эллипса, вращением которого получен данный эллипсоид.

Принцип создания земного эллипсоида основан на вычислении таких значений параметров a , b , и е , при которых эллипсоид приобретает форму и размеры, близкие форме и размерам геоида. Основным признаком близости земного эллипсоида и геоида по форме и размерам является наибольшее совпадение поверхностей этих фигур (рисунок 1.2).

Форма и размеры земного эллипсоида наиболее близки форме и размерам геоида при соблюдении следующих условий (рисунок 1.2):

1. Объем земного эллипсоида должен быть равен объему геоида.

2. Малая ось земного эллипсоида должна совпадать с осью вращения Земли.

3. Плоскость экватора земного эллипсоида должна совпадать с плоскостью экватора геоида.

4. Алгебраическая сумма квадратов геодезической высоты всех точек геоида должна быть наименьшей.

– это плоскость сечения, которая проходит через центр этого эллипсоида под углом 90º к оси вращения Земли.

Если совместить 2 фигуры – геоид и земной эллипсоид, то поверхность геоида на каком-либо участке может совпадать с поверхностью земного эллипсоида, либо возвышаться над поверхностью земного эллипсоида, либо находиться ниже. На рисунке 1.2 поверхности обеих фигур совмещены в точке А, а точка В геоида находится над поверхностью земного эллипсоида и точка С расположена ниже поверхности земного эллипсоида.

Геодезическая высота точки геоида (h) – это высота какой-либо точки поверхности геоида относительно поверхности земного эллипсоида, которая может иметь следующие значения (рисунок 1.2):

Нулевая геодезическая высота точки А (h A =0) – когда точка А является точкой соприкосновения геоида и земного эллипсоида;

Положительная геодезическая высота точки В (+h B) – когда точка В находится над поверхностью земного эллипсоида;

Отрицательная геодезическая высота точки С (-h C) – когда точка С находится под поверхностью земного эллипсоида.

Чтобы обеспечить наибольшее совпадение поверхностей геоида и земного эллипсоида – алгебраическая сумма геодезических высот всех точек геоида, возведенных в квадрат, должна быть наименьшей, т.е. стремиться к нулю:

Таким образом, земной эллипсоид (земной сфероид, референц-эллипсоид) – это геометрическая объемная фигура эллипсоид, форма и размеры которой наиболее близки к форме и размерам геоида. Поэтому земной эллипсоид является геометрической (математической) моделью Земли, которую применяют в качестве математической основы для решения следующих задач:

1. Математическое построение морской навигационной карты (МНК).

2. Определение местоположения судна на водной поверхности Земли.

3. Определение направления движения судна и пройденного судном расстояния и для решения других навигационных задач.

Начиная с 1830 года, было создано множество земных эллипсоидов, параметры которых вычисляли какие астрономы и геодезисты, как Эри (Англия), Бессель (Германия), Кларк (Англия), Хейфорд (США), Красовский (СССР) и многие другие (таблица 1.1).

Таблица 1.1

Анализ таблицы 1.1 показывает, что земные эллипсоиды разных авторов имеют разную форму и размеры, т.к. значения параметров этих эллипсоидов отличаются на величину до одного километра. Это объясняется тем, что каждый земной эллипсоид имеет свою точку привязки к геоиду, которая является исходной точкой для вычисления параметров этого эллипсоида.

Точкой взаимной привязки геоида и земного эллипсоида является точка соприкосновения поверхностей этих фигур, в окрестностях которой поверхности земного эллипсоида и геоида совпадают наиболее точно. Поэтому каждая страна использует для создания карт тот земной эллипсоид, который имеет наилучшее приближение к поверхности геоида на территории этой страны.

Таким образом, эллипсоид, который применяют в качестве математической основы при составлении карт территории какой-либо страны принято называть национальным геодезической системой (National Geodetic System NGS). Так, например, до 1946 года национальной геодезической системой России и Украины был земной эллипсоид Бесселя. В 1942 году под руководством профессора Московского научно-исследовательского института геодезии Красовского Феодосия Николаевича был создан земной эллипсоид, поверхность которого имеет лучшее приближение к геоиду на территории России и Украины, нежели поверхность эллипсоида Бесселя, т.к. точкой взаимной привязки эллипсоида Красовского и геоида является центр круглого зала Пулковской астрономической обсерватории вблизи Санкт-Петербурга (Геодезия – от греч. слов ge – Земля и daio – разделяю: наука о форме и размерах Земли. Астрономия – от греч. слов astron – звезда и nomos – закон. Обсерватория – от лат. observatio – наблюдение). Поэтому в настоящее время в России и в Украине для составления морских навигационных карт используют национальную геодезическую систему «Пулково-42», которая является эллипсоидом Красовского.

Расчет параметров орбиты навигационных спутников Земли (от лат. orbita – колея, путь) производят на базе Всемирных геодезических систем, к которым относятся следующие земные эллипсоиды:

Всемирная геодезическая система 1984 года (Word Geodetic System of 1984 year WGS-84) – земной эллипсоид, который является математической основой для расчета параметров орбиты искусственных спутников Земли американской спутниковой радионавигационной системы (СРНС) «НАВСТАР» - Navigation Satellite providing Time And Rane – навигационная спутниковая система, обеспечивающая измерение времени и местоположения, более известная под названием – GPS – Global Positioning System – глобальная система позицирования.

Параметры Земли 1990 года – ПЗ-90 (Parameter of Earth of 1990 year – PE-90) или Советская геодезическая система 1990 года (Soviet Geodetic Systemof 1990 year – SGS-90) – земной эллипсоид, который является математической основой для расчета параметров орбиты искусственных спутников Земли российской спутниковой радионавигационной системы (СРНС) «ГЛОНАСС» (Глобальная Навигационная Спутниковая Система).

Если сравнить длину большой и малой полуосей любого земного эллипсоида в таблице 1.1, то малая полуось (b ) окажется короче большой полуоси (а) в среднем на 21 км, что составляет 0,3% длины большой полуоси. Для наглядности можно изобразить земной эллипсоид в уменьшенном виде так, чтобы его большая полуось равнялась одному метру (а = 1 м), то малая полуось будет короче на 3 миллиметра (b = 0,997 м). При такой незначительной разнице большой и малой осей – земной эллипсоид по форме очень близок шару. Поэтому для решения практических задач навигации, которые не требуют повышенной точности, вполне допустимо применять более простую по форме геометрическую (математическую) модель Земли – шар, размеры которого наиболее близки размерам земного эллипсоида.

Таким образом, земной шар

Принцип создания земного шара основан на вычислении такого радиуса шара, при котором размеры этого шара будут наиболее близки размерам земного эллипсоида. В зависимости от способа вычисления радиуса шара – созданы следующие модификации земного шара:

1. Земной шар, объем которого равен объему земного эллипсоида.

В этом случае радиус шара определяют из равенства объемов земного шара и земного эллипсоида:

2. Земной шар, поверхность которого наиболее близка поверхности земного эллипсоида. В этом случае радиус земного шара определяют из равенства площадей земного шара и земного эллипсоида:

3. Земной шар, радиус которого равен длине большой полуоси земного эллипсоида: R ЗШ = а .

ВЫВОДЫ

1. Навигация – это математическая наука о способах определения оптимального пути судна на водной поверхности Земли и о способах прокладки этого пути на морской навигационной карте.

2. Морская навигационная карта (МНК) – это плоское изображение выпуклой поверхности морей и океанов с прилегающими участками суши.

3. Перенос выпуклой поверхности Земли на плоскость карты, прокладка пути судна на водной поверхности Земли и на карте производятся путем математических вычислений, основой для которых является планета Земля в виде геометрического (математического) тела.

4. Геометрическое (математическое) тело – это объемная фигура простой формы, которая поддается математическому описанию, когда форму и размеры этого тела можно выразить с помощью простых математических формул.

5. Поскольку планета Земля имеет сложную форму, которая не поддается математическому описанию - возникает необходимость аппроксимации (замены) нашей планеты геометрическим (математическим) телом.

6. Аппроксимацию планеты Земля производят в следующей последовательности:

6.1 На базе планеты Земля создают физическую модель Земли – геоид.

6.2 На базе геоида создают геометрическую (математическую) модель Земли – земной эллипсоид.

6.3 На базе земного эллипсоида создают геометрическую (математическую) модель Земли – земной шар.

7. Геоид – это фигура планеты Земля, ограниченная гидросферой, над которой не возвышается литосфера Земли. При этом:

7.1 Гидросфера Земли – это наружная водная оболочка Мирового океана, которая окружает материки и острова и занимает около 71% земной поверхности.

7.2 Литосфера Земли – это твердая часть поверхности планеты Земля, которая состоит из земной коры и верхней мантии Земли.

8. Геоид не является геометрическим телом, т.к. сглаженная поверхность планеты Земля без материков и островов имеет сложную форму.

9. Земной эллипсоид или земной сфероид или референц-эллипсоид – это геометрическая фигура эллипсоид (сфероид), форма и размеры которой наиболее близки к форме и размерам геоида. При этом:

9.1 Эллипсоид – это объемная фигура, поверхность которой образована вращением эллипса вокруг большой или малой оси:

9.1.1 Эллипсоид, образуемый вращением эллипса вокруг большой оси, называется вытянутым эллипсоидом .

9.1.2 Эллипсоид, образуемый вращением эллипса вокруг малой оси, называется сжатым эллипсоидом .

9.2 Эллипс – это плоская овальная кривая, которая образована путем сжатия окружности.

9.3 Окружность – это замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от ее центра.

9.4 Сфероид – это сжатый эллипсоид.

9.5 Плоская кривая – это кривая, лежащая в плоскости.

10. Форму и размеры земного эллипсоида определяют следующие параметры:

10.1 Длина большой полуоси эллипсоида «a »;

10.2 Длина малой полуоси эллипсоида «b »;

10.3 Степень полярного сжатия эллипсоида ;

10.4 Величина первого эксцентриситета эллипсоида . При этом:

10.4.1 Первый эксцентриситет эллипсоида – это эксцентриситет эллипса, вращением которого образован этот эллипсоид.

10.4.2 Эксцентриситет эллипса – это число, равное отношению расстояния между фокусами эллипса к длине большой оси эллипса.

10.4.3 Фокусы эллипса – это 2 точки на большой оси эллипса, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса равна длине большей оси этого эллипса.

11. Земной эллипсоид должен соответствовать следующим условиям:

11.1 Объем земного эллипсоида должен быть равен объему геоида.

11.2 Малая ось земного эллипсоида должна совпадать с осью вращения Земли.

11.3 Плоскость экватора земного эллипсоида должна совпадать с плоскостью земного экватора геоида.

11.4 Алгебраическая сумма квадратов геодезической высоты всех точек геоида должна быть наименьшей.

12. Плоскость экватора земного эллипсоида – это плоскость сечения, которая проходит через центр этого эллипсоида под углом 90º к малой оси.

13. Плоскость экватора геоида – это плоскость сечения, которая проходит через центр геоида под углом 90º к оси вращения Земли.

14. Геодезическая высота точки (h) – это высота какой-либо точки поверхности геоида относительно поверхности земного эллипсоида, которая может иметь следующие значения:

14.1 Нулевая геодезическая высота точки (h=0), когда эта точка является точкой соприкосновения поверхностей геоида и земного эллипсоида.

14.2 Положительная геодезическая высота точки (+h), когда эта точка находится над поверхностью земного эллипсоида.

14.3 Отрицательная геодезическая высота точки (-h), когда эта точка находится под поверхностью земного эллипсоида.

15. Земной шар – это шар, размеры которого наиболее близки размерам земного эллипсоида.

16. Принцип создания земного шара основан на вычислении такого радиуса шара, при котором размеры этого шара будут наиболее близки размерам земного эллипсоида. В зависимости от способа вычисления радиуса шара – созданы следующие модификации земного шара:

16.1 Земной шар, объем которого равен объему земного эллипсоида:

16.2 Земной шар, поверхность которого равна поверхности земного эллипсоида:

16.3 Земной шар, радиус которого равен длине большой полуоси земного эллипсоида: R ЗШ = а .

17. Земной эллипсоид является математической основой для создания морских навигационных карт (МНК) и для решения навигационных математических задач.

18. Земной шар является математической основой для решения практических навигационных задач в том случае, если это решение не требует повышенной точности.