Магнитное поле кругового витка с током. Магнитное поле кругового тока

Движение электрического заряда означает перемещение присущего заряду электрического силового поля. Кинетика потенциального электрического поля проявляется в форме возникающего вихревого магнитного поля охватывающего ток. Для обнаружения магнитного поля в качестве индикатора может служить ферромагнитный стержень, обладающий свободой вращения (например, магнитная стрелка).

Подобно электрическому полю, магнитное также характеризуют напряженностью , однако определение этого понятия связано уже не с зарядом, как это было в случае потенциального электрического поля, а с током, т.е. движением электричества.

Направленное поступательное перемещение зарядов и вихревое магнитное поле, отображающие движение электрического поля этих зарядов, представляет собой две стороны единого электромагнитного процесса, называемое электрическим током.

Экспериментальное исследование магнитного поля токов провели в 1820 г. французские физики Ж. Био и Ф. Савар, а П. Лаплас теоретически обобщил результаты этих измерений, получив в итоге формулу (для магнитного поля в вакууме):

, (1)

где 1/4 – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения;I – сила тока; – вектор, совпадающий с элементарным участком тока (рис. 3); – вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, в которой определяется

Как видно из выражения (1), вектор
направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг в направлении
связано с правилом правого винта (см. рис. 3). Для модуля dH можно написать следующее выражение:

, (2)

где  – угол между векторами и .

Р

ассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющим форму окружности радиусомR (круговой ток). Определим напряженность магнитного поля в центра кругового тока (рис. 4). Каждый элемент тока создает в центре напряженность, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение
сводится к сложению их модулей.

По формуле рассчитаем dH для случая   /2:

. (3)

Проинтегрируем это выражение по всему контуру, учитывая, что r  R :

H 
. (4)

Если контур состоит из n витков, то напряженность магнитного поля в центре его будет равна

H  . (5)

Описание аппаратуры и метода измерений

Целью данной работы является определение величиныH 0. Для измерения H 0 применяется прибор, называемый тангенс- гальванометром, который состоит из кольцеобразного проводника или очень плоской катушки большого радиуса. Плоскость катушки расположена вертикально, и вращением около вертикальной оси ей можно придать любое положение.

В центре катушки укреплен компас с очень короткой магнитной стрелкой. Рис. 5 дает сечение прибора горизонтальной плоскостью проходящей через центр витка, где NS – направление магнитного меридиана, AD – сечение катушки горизонтальной плоскостью, ab – магнитная стрелка компаса.

При отсутствии тока в катушке на стрелку abдействует только магнитное поле Земли и стрелка устанавливается по направлению магнитного меридиана NS.

Если по катушке пропускать ток, то стрелка отклоняется на угол . Теперь магнитная стрелка abнаходится под действием двух полей: магнитного поля Земли () и магнитного поля, созданного током ().

В условиях совмещения витка с плоскостью меридиана векторы и взаимно перпендикулярны, тогда (см. рис. 5):

;
. (6)

Так как длина магнитной стрелки ab мала по сравнению с радиусом витка, то в пределах стрелки H можно считать постоянной (поле однородно) и равным ее значению в центре катушки, определяемого формулой (5).

Решая совместно уравнения (5) и (6), получим:

. (7)

Этой расчетной формулой пользуются для определения H 0 в данной работе.

Напряженность магнитного поля на оси кругового тока (рис. 6.17-1), создаваемого элементом проводника Idl , равна

поскольку в данном случае

Рис. 6.17. Магнитное поле на оси кругового тока (слева) и электрическое поле на оси диполя (справа)

При интегрировании по витку вектор будет описывать конус, так что в результате «выживет» только компонента поля вдоль оси 0z . Поэтому достаточно просуммировать величину

Интегрирование

выполняется с учетом того, что подынтегральная функция не зависит от переменной l , а

Соответственно, полная магнитная индукция на оси витка равна

В частности, в центре витка (h = 0) поле равно

На большом расстоянии от витка (h >> R ) можно пренебречь единицей под радикалом в знаменателе. В результате получаем

Здесь мы использовали выражение для модуля магнитного момента витка Р m , равное произведению I на площадь витка Магнитное поле образует с круговым током правовинтовую систему, так что (6.13) можно записать в векторной форме

Для сравнения рассчитаем поле электрического диполя (рис. 6.17-2). Электрические поля от положительного и отрицательного зарядов равны, соответственно,

так что результирующее поле будет

На больших расстояниях (h >> l ) имеем отсюда

Здесь мы использовали введенное в (3.5) понятие вектора электрического момента диполя . Поле Е параллельно вектору дипольного момента, так что (6.16) можно записать в векторной форме

Аналогия с (6.14) очевидна.

Силовые линии магнитного поля кругового витка с током показаны на рис. 6.18. и 6.19

Рис. 6.18. Силовые линии магнитного поля кругового витка с током на небольших расстояниях от провода

Рис. 6.19. Распределение силовых линий магнитного поля кругового витка с током в плоскости его оси симметрии.
Магнитный момент витка направлен по этой оси

На рис. 6.20 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг кругового витка с током. Толстый медный проводник пропущен через отверстия в прозрачной пластинке, на которую насыпаны железные опилки. После включения постоянного тока силой 25 А и постукивания по пластинке опилки образуют цепочки, повторяющие форму силовых линий магнитного поля.

Магнитные силовые линии для витка, ось которого лежит в плоскости пластинки, сгущаются внутри витка. Вблизи проводов они имеют кольцевую форму, а вдали от витка поле быстро спадает, так что опилки практически не ориентируются.

Рис. 6.20. Визуализация силовых линий магнитного поля вокруг кругового витка с током

Пример 1. Электрон в атоме водорода движется вокруг протона по окружности радиусом а B = 53 пм (эту величину называют радиусом Бора по имени одного из создателей квантовой механики, который первым вычислил радиус орбиты теоретически) (рис. 6.21). Найти силу эквивалентного кругового тока и магнитную индукцию В поля в центре окружности.

Рис. 6.21. Электрон в атоме водорода а B = 2,18·10 6 м/с. Движущийся заряд создает в центре орбиты магнитное поле

Этот же результат можно получить с помощью выражения (6.12) для поля в центре витка с током, силу которого мы нашли выше

Пример 2. Бесконечно длинный тонкий проводник с током 50 А имеет кольцеобразную петлю радиусом 10 см (рис. 6.22). Найти магнитную индукцию в центре петли.

Рис. 6.22. Магнитное поле длинного проводника с круговой петлей

Решение. Магнитное поле в центре петли создается бесконечно длинным прямолинейным проводом и кольцевым витком. Поле от прямолинейного провода направлено ортогонально плоскости рисунка «на нас», его величина равна (см. (6.9))

Поле, создаваемое кольцеобразной частью проводника, имеет то же направление и равно (см. 6.12)

Суммарное поле в центре витка будет равно

Дополнительная информация

http://n-t.ru/nl/fz/bohr.htm - Нильс Бор (1885–1962);

http://www.gumer.info/bibliotek_Buks/Science/broil/06.php - теория Бора атома водорода в книге Луи де Бройля «Революция в физике»;

http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1922/bohr-bio.html - Нобелевские премии. Нобелевская премия по физике 1922 г. Нильс Бор.

Значение магнитной индукции для любого проводника определяется законом Био - Савара - Лапласа.

-в векторной форме, (15.6)

- в скалярной форме. (15.7)

Вектор всегда перпендикулярен плоскости, построенной на векторах и . С помощью закона Био - Савара - Лапласа рассчитаем магнитную индукцию поля прямого, кругового и соленоидального токов.

Вывод формулы напряжённости магнитного поля прямого тока (рис. 15.9; рис. 15.10) .

Применим формулу
для вычисления полей простейших токов. Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (Рис. 15.9) .Все dBв данной точке имеют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов dBможно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка 15.9 видно, что:

Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:

.

Угол для всех элементов бесконечно прямого тока изменяется в пределах от 0 до . Следовательно:

.

Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой: . (15.8)

Для того, чтобы получить напряженность магнитного поля, необходимо разделить правую часть формулы (15.8) на :

. (15.9)

Вывод формулы напряжённости магнитного поля кругового тока (рис. 15.11).

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности (круговой ток). Определим магнитную индукцию кругового тока

Рассмотрим индукции , создаваемых двумя элементами контура dl 1 и dl 2 . Т. к. угол между r и dl равен 90°, то sin 90°=1.

Закон Био - Савара - Лапласа для двух элементов:

Выбрав dl 1 =dl 2 и принимая, что r 1 =r 2 , получим:

Проинтегрируем это выражение по всему контуру и заменим r на получим:

(15.10)

В частности, при x=0 имеем:

(15.11)

магнитная индукция в центре кругового тока

Напряженность магнитного поля в центре кругового тока равна:

(15.12)

Формула для расчета напряженности магнитного поля кругового тока на его оси принимает вид:

(15.13)

Вывод формулы напряжённости магнитного поля соленоидального тока.

Соленоид представляет собой тонкий провод, навитый плотно, виток к витку, на цилиндрический каркас. В отношении создаваемого им поля соленоид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей прямой осью. Бесконечно длинный соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция которого перпендикулярна к плоскости. Следовательно, в любой точке внутри и вне соленоида вектор может иметь лишь направление, параллельное оси.

Возьмем прямоугольный контур 1-2-3-4. Циркуляцию вектора по этому контуру можно представить следующим образом:

Из четырех интегралов, стоящих в правой части, второй и четвертый равны нулю, так как вектор перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся.

Взяв участок 3-4 на большом расстоянии от соленоида(где поле заведомо должно быть очень слабым), третьим слагаемым можно пренебречь. Следовательно, можно утверждать, что:

Здесь В - магнитная индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1-2, -длина этого отрезка.

Если отрезок 1-2 проходит внутри соленоида на любом расстоянии от его оси, контур охватывает суммарный ток , где - число витков соленоида, приходящееся на единицу его длинны, - сила тока в соленоиде. Поэтому согласно:

Откуда: (15.14)

а напряженность магнитного поля соленоидального тока равна:

(15.15)

Отметим, что полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) располагается отрезок 1-2. Если этот отрезок располагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, вследствие чего:

.

Откуда В=0. Таким образом, вне бесконечного длинного соленоида магнитная индукция равна нулю, внутри - всюду одинакова и имеет величину, определяемую формулой (15.14). По этой причине в учении о магнетизме бесконечно длинный соленоид играет такую же роль, как плоский конденсатор в учении об электричестве. В обоих случаях поле однородно и полностью заключено внутри конденсатора (электрическое) и внутри соленоида(магнитное).

Произведение называется числом ампер - витков на метр.

Тесты к лекции №15

Тест 15.1.Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком бесконечно тонкого прямолинейного проводника, вычисляется по формуле…

£

£

£

£

Тест 15.2.Магнитная индукция в центре кругового тока определяется по формуле…

£

£

£

£

Тест 15.3.Форма существования материи, обладающая свойством передавать магнитное взаимодействие.

£ магнитное поле

£ магнитная индукция

£ пробный контур

£ магнитный момент

Тест 15.4.Дайте определение пробного контура.

£ контур, вносящий помехи в исходное поле.

£ контур, усиливающий исходное поле.

£ контур, ослабляющий исходное поле.

£ контур, который не создает заметных искажений исходного поля.

Тест 15.5.Формула выражает:

£ вектор магнитной индукции

£ напряженность магнитного поля

£ магнитную индукцию

£ магнитный момент

Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток. Сила Ампера. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Сила Лоренца. Определение удельного заряда электрона

16.1. Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток

16.2. Сила Ампера

16.3. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

16.4. Сила Лоренца

16.5. Определение удельного заряда электрона

Пусть постоянный электрический ток силой I протекает по плоскому круглому контуру радиуса R . Найдем индукцию поля в центре кольца в точке O (рис. 431).

рис. 431
 Мысленно разобьем кольцо на малые участки, которые можно считать прямолинейными, и применим закон Био -Саварра-Лапласа для определения индукции поля, создаваемого этим элементом, в центре кольца. В данном случае вектор элемента тока (IΔl) k и вектор r k , соединяющий данный элемент с точкой наблюдения (центр кольца), перпендикулярны, поэтому sinα = 1 . Вектор индукции поля, созданного выделенным участком кольца, направлен вдоль оси кольца, а его модуль равен

 Для любого другого элемента кольца ситуация абсолютно аналогична − вектор индукции также направлен по оси кольца, а его модуль определяется формулой (1). Поэтому суммирование этих векторов выполняется элементарно и сводится к суммированию длин участков кольца

 Усложним задачу − найдем индукцию поля в точке A , находящейся на оси кольца на расстоянии z от его центра (рис. 432).

рис. 432
 По-прежнему, выделяем малый участок кольца (IΔl) k и строим вектор индукции поля ΔB k , созданным этим элементом, в рассматриваемой точке. Это вектор перпендикулярен вектору r , соединяющему выделенный участок с точкой наблюдения. Векторы (IΔl) k и r k , как и ранее, перпендикулярны, поэтому sinα = 1 . Так кольцо обладает осевой симметрией, то суммарный вектор индукции поля в точке A должен быть направлен по оси кольца. К этому же выводу о направлении суммарного вектора индукции можно прийти, если заметить, что каждому выделенному участку кольца имеется симметричный ему с противоположной стороны, а сумма двух симметричных векторов направлена вдоль оси кольца. Таким образом, для того чтобы определить модуль суммарного вектора индукции, необходимо просуммировать проекции векторов на ось кольца. Эта операция не представляет особой сложности, если учесть, расстояния от всех точек кольца до точки наблюдения одинаковы r k = √{R 2 + z 2 } , а также одинаковы углы φ между векторами ΔB k и осью кольца. Запишем выражение для модуля искомого суммарного вектора индукции


 Из рисунка следует, что cosφ = R/r , с учетом выражения для расстояния r , получим окончательное выражение для вектора индукции поля


 Как и следовало ожидать, в центре кольца (при z = 0 ) формула (3) переходит в полученную ранее формулу (2).

 Задания для самостоятельной работы.
 1. Постройте график зависимости индукции поля (3) от расстояния до центра кольца.
 2. Сравните полученную зависимость (3) с выражением для модуля напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженным кольцом (36.6) . Объясните возникшие принципиальные различия между этими зависимостями.

Используя общий рассматриваемый здесь метод, можно рассчитать индукцию поля в произвольной точке. Рассматриваемая система обладает осевой симметрией, поэтому достаточно найти распределение поля в плоскости, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Пусть кольцо лежит в плоскости xOy (рис. 433),

рис. 433
а поле рассчитывается в плоскости yOz . Кольцо следует разбить на малые участки, видимые из центра под углом Δφ и просуммировать поля создаваемые этими участками. Можно показать (попробуйте проделать это самостоятельно), что компоненты вектора магнитной индукции поля, создаваемого одним выделенным элементом тока, в точке с координатами (y, z ) рассчитываются по формулам:


 Необходимое суммирование не может быть проведено аналитически, так как при переходе от одного участка кольца к другому изменяются расстояния до точки суммирования. Поэтому «простейший» способ провести такое суммирование − использовать компьютер.
 Если же известно значение вектора индукции (или хотя бы имеется алгоритм его расчета) в каждой точке, то можно построить картину силовых линий магнитного поля. Очевидно, что алгоритм построения силовых линий векторного поля не зависит от его физического содержания, а такой алгоритм был кратко рассмотрен нами при изучении электростатики.
 На рис. 434 картина силовых линий рассчитана при разбиении кольца на 20 частей, этого оказалось вполне достаточно, так как и при 10 интервалах разбиения получался практически тот же рисунок.

рис. 434
 Рассмотрим выражение для индукции поля на оси кольца на расстояниях значительно больших радиуса кольца z >> R . В этом случае формула (3) упрощается и приобретает вид

где IπR 2 = IS = p m − произведение силы тока на площадь контура, то есть магнитный момент кольца. Эта формула совпадает (если как обычно, заменить μo в числителе на ε o в знаменателе) с выражением для напряженности электрического поля диполя на его оси.
 Такое совпадение не случайно, более того, можно показать, что подобное соответствие справедливо для любой точки поля, находящейся на больших расстояниях от кольца. Фактически малый контур с током является магнитным диполем (два одинаковых малых противоположно направленных элемента тока) − поэтому его поле совпадает с полем

Правило буравчика. Наглядное представление о характере магнитного поля, возникающего вокруг какого-либо проводника, по которому идет электрический ток, дают картины линий магнитного поля, получаемые так, как это было описано в § 122.

На рис. 214 и 217 изображены такие картины линий, полученные с помощью железных опилок для поля длинного прямолинейного проводника и для поля кругового витка с током. Рассматривая внимательно эти рисунки, мы прежде всего обращаем внимание на то, что линии магнитного поля имеют, вид замкнутых линий. Это свойство их является, общим и очень важным. Какова бы ни была форма проводников, по которым идет ток, линии создаваемого им магнитного поля всегда замкнуты сами на себя, т. е. не имеют ни начала, ни конца. В этом существенное отличие магнитного поля от электрического, линии которого, как мы видели в § 18, всегда начинаются на одних зарядах и кончаются на других. Мы видели, например, что линии электрического поля заканчиваются на поверхности металлического тела, которая оказывается заряженной, и внутрь металла электрическое поле не проникает. Наблюдение же над магнитным полем показывает, наоборот, что линии его никогда не оканчиваются на какой-нибудь поверхности. Когда магнитное поле создается постоянными магнитами, то не так легко проследить, что и в этом случае магнитное поле не оканчивается на поверхности магнитов, а проникает внутрь их, ибо мы не можем использовать железные опилки для наблюдения того, что делается внутри железа. Однако и в этих случаях тщательное исследование показывает, что магнитное поле проходит сквозь железо, и линии его замыкаются сами на себя, т. е. являются замкнутыми.

Рис. 217. Картина линий магнитного поля кругового витка с током

Это важное различие между электрическими и магнитными полями связано с тем, что в природе существуют электрические заряды и не существует магнитных. Поэтому линии электрического поля идут от заряда к заряду, у магнитного же поля нет ни начала ни конца, и линии его имеют замкнутый характер.

Если в опытах, дающих картины магнитного поля тока, заменить опилки маленькими магнитными стрелками, то северные концы их укажут направление линий поля, т. е. направление поля (§ 122). Рис. 218 показывает, что при изменении направления тока изменяется и направление магнитного поля. Взаимную связь между направлением тока и направлением поля, им создаваемого, легко запомнить при помощи правила буравчика (рис. 219).

Рис. 218. Связь между направлением тока в прямолинейном проводнике и направлением линий магнитного поля, создаваемого этим током: а) ток направлен сверху вниз; б) ток направлен снизу вверх

Рис. 219. К правилу буравчика

Если ввинчивать буравчик (правый винт) так, чтобы он шел по направлению тока, то направление вращения его ручки укажет направление поля (направление линий поля).

В такой форме это правило особенно удобно для установления направления поля вокруг длинных прямолинейных проводников. В случае кольцевого проводника то же правило применимо к каждому участку его. Еще удобнее для кольцевых проводников правило буравчика сформулировать так:

Если ввинчивать буравчик так, чтобы он шел по направлению поля (вдоль линий поля), то направление вращения его ручки укажет направление тока.

Нетрудно видеть, что обе формулировки правила буравчика совершенно равноценны и их можно одинаково применять к определению связи между направлением тока и направлением магнитной индукции поля при любой форме проводников.

124.1. Укажите, какой из полюсов магнитной стрелки на рис. 73 северный и какой южный.

124.2. К вершинам и проволочного параллелограмма (рис. 220) подведены провода от источника тока. Какова магнитная индукция поля в центре параллелограмма ? Как будет направлена магнитная индукция в точке , если ветвь параллелограмма сделать из медной проволоки, а ветвь – из алюминиевой проволоки того же сечения?

Рис. 220. К упражнению 124.2

124.3. Два длинных прямолинейных проводника и , не лежащих в одной плоскости, перпендикулярны друг к другу (рис. 221). Точка лежит посередине кратчайшего расстояния между этими прямыми – отрезка . Токи в проводниках и равны и имеют указанное на рисунке направление. Найдите графически направление вектора в точке . Укажите, в какой плоскости лежит этот вектор. Какой угол образует он с плоскостью, проходящей через и ?

Рис. 221. К упражнению 124.3

124.4. Выполните то же построение, что в задаче 124.3, переменив на обратное: а) направление тока в проводнике ; б) направление тока в проводнике ; в) направление тока в обоих проводниках.

124.5. По двум круговым виткам – вертикальному и горизонтальному идут токи одной и той же силы (рис. 222). Направления их указаны на рисунке стрелками. Найдите графически направление вектора в общем центре витков . Под каким углом будет наклонен этот вектор к плоскости каждого из круговых витков? Выполните то же построение, изменив направление тока на обратное сначала в вертикальном витке, затем в горизонтальном и, наконец, в обоих.

Рис. 222. К упражнению 124.5

Измерения магнитной индукции в разных точках поля вокруг проводника, по которому идет ток, показывают, что магнитная индукция в каждой точке всегда пропорциональна силе тока в проводнике. Но при данной силе тока магнитная индукция в различных точках поля различна и чрезвычайно сложно зависит от размеров и формы проводника, по которому проходит ток. Мы ограничимся одним важным случаем, когда эти зависимости сравнительно просты. Это – магнитное поле внутри соленоида.