Найти ооф функции. Область определения обратных тригонометрических функций

Мы узнали, что существует X - множество, на котором формула, которой задана функция, имеет смысл. В математическом анализе это множество часто обозначают как D (область определения функции ). В свою очередь множество Y обозначают как E (область значений функции ) и при этом D и E называют подмножествами R (множества действительных чисел).

Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью её определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл, то есть наибольшее множество значений аргумента, которое приводит к действительным значениям функции . Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором "функция работает".

Для общего понимания пример пока без формулы. Функция задана в виде пар отношений:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Найти область определения это функции.

Ответ. Первый элемент пар - это переменная x . Так как в задании функции даны и вторые элементы пар - значения переменной y , то функции имеет смысл только для тех значений икса, которым соответствует определённое значения игрека. То есть берём все иксы данных пар в порядке возрастания и получаем из них область определения функции:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Та же логика работает, если функция задана формулой. Только вторые элементы в парах (то есть значения игрека) получаем, подставляя в формулу те или иные значения икса. Однако, чтобы найти область определения функции, нам не нужно перебирать все пары иксов и игреков.

Пример 0. Как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ()? Нужно всего лишь решить неравенство

x - 5 ≥ 0 ,

так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции - все значения икса больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху - фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции заштрихована, при этом в "плюсовом" направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Если вы пользуетесь компьютерными программами, которые на основании введённых данных выдают какой-то ответ, то можете заметить, что при некоторых значениях введённых данных программа выдаёт сообщение об ошибке, то есть о том, что при таких данных ответ не может быть вычислен. Такое сообщение предусмотрено авторами программы, если выражение для вычисления ответа достаточно сложно или касается какой-то узкой предметной области, или же предусмотрено авторами языка программирования, если дело касается общепринятых норм, например, что нельзя делить на нуль.

Но и в том и в другом случае ответ (значение некоторого выражения) не может быть вычислен по той причине, что выражение при некоторых значениях данных не имеет смысла.

Пример (пока не совсем математический): если программа выдаёт название месяца по номеру месяца в году, то, введя "15", вы получите сообщение об ошибке.

Чаще всего вычисляемое выражение как раз и представляет собой функцию. Поэтому такие недопустимые значения данных не входят в область определения функции . И в вычислениях от руки так же важно представлять область определения функции. Например, вы вычисляете некоторый параметр некоторого изделия по формуле, представляющей собой функцию. При некоторых значениях аргумента на входе вы на выходе не получите ничего.

Область определения постоянной

Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[ .

Пример 1. Найти область определения функции y = 2 .

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f (x ) = 2 определено при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения корня n -й степени

В случае, когда функция задана формулой и n - натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если - 1 ≤ x ≤ 1 . Следовательно, область определения данной функции - [- 1; 1] .

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху - это область определения данной функции.

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции с целым показателем степени

если a - положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ ;

если a - отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы - так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции - вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если - положительное, то областью определения функции является множество 0; + ∞[ .

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции - степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции - множество - ∞; + ∞[ .

Область определения показательной и логарифмической функции

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[ .

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Область определения тригонометрических функций

Область определения функции y = cos(x ) - так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x ) - множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x ) - множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция - десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь - синус "икса". Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при "иксе" равным нулю, "пи", два, умноженном на "пи" и вообще равным произведению числа "пи" и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k - целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x ) - множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arccos(x ) - так же множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arctg(x ) - множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x ) - так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок [- 4; 4] .

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок .

Область определения дроби

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x , при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции - множество ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Для начала научимся находить область определения суммы функций . Понятно, что такая функция имеет смысл для всех таких значений переменной, при которой имеют смысл все функции, составляющие сумму. Поэтому не вызывает сомнений справедливость следующего утверждения:

Если функция f - это сумма n функций f 1 , f 2 , …, f n , то есть, функция f задается формулой y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) , то областью определения функции f является пересечение областей определения функций f 1 , f 2 , …, f n . Запишем это как .

Давайте условимся и дальше использовать записи, подобные последней, под которыми будем понимать , записанных внутри фигурной скобки, либо одновременное выполнение каких-либо условий. Это удобно и достаточно естественно перекликается со смыслом систем.

Пример.

Дана функция y=x 7 +x+5+tgx , и надо найти ее область определения.

Решение.

Функция f представлена суммой четырех функций: f 1 - степенной функции с показателем 7 , f 2 - степенной функции с показателем 1 , f 3 - постоянной функции и f 4 - функции тангенс.

Взглянув в таблицу областей определения основных элементарных функций, находим, что D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , а областью определения тангенса является множество всех действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции f – это пересечение областей определения функций f 1 , f 2 , f 3 и f 4 . Достаточно очевидно, что это есть множество всех действительных чисел, за исключением чисел .

Ответ:

множество всех действительных чисел, кроме .

Переходим к нахождению области определения произведения функций . Для этого случая имеет место аналогичное правило:

Если функция f - это произведение n функций f 1 , f 2 , …, f n , то есть, функция f задается формулой y=f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x) , то область определения функции f есть пересечение областей определения функций f 1 , f 2 , …, f n . Итак, .

Оно и понятно, в указанной области определены все функции произведения, а значит и сама функция f .

Пример.

Y=3·arctgx·lnx .

Решение.

Структуру правой части формулы, задающей функцию, можно рассматривать так f 1 (x)·f 2 (x)·f 3 (x) , где f 1 – это постоянная функция, f 2 – это функция арктангенс, а f 3 – логарифмическая функция с основанием e .

Нам известно, что D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) и D(f 3)=(0, +∞) . Тогда .

Ответ:

областью определения функции y=3·arctgx·lnx является множество всех действительных положительных чисел.

Отдельно остановимся на нахождении области определения функции, заданной формулой y=C·f(x) , где С – некоторое действительное число. Легко показать, что область определения этой функции и область определения функции f совпадают. Действительно, функция y=C·f(x) – это произведение постоянной функции и функции f . Областью определения постоянной функции является множество всех действительных чисел, а область определения функции f есть D(f) . Тогда область определения функции y=C·f(x) есть , что и требовалось показать.

Итак, области определения функций y=f(x) и y=C·f(x) , где С – некоторое действительное число, совпадают. Например, область определения корня есть , становится ясно, что D(f) - это множество всех x из области определения функции f 2 , для которых f 2 (x) входит в область определения функции f 1 .

Таким образом, область определения сложной функции y=f 1 (f 2 (x)) - это пересечение двух множеств: множества всех таких x , что x∈D(f 2) , и множества всех таких x , для которых f 2 (x)∈D(f 1) . То есть, в принятых нами обозначениях (это по сути система неравенств).

Давайте рассмотрим решения нескольких примеров. В процессе мы не будем подробно описывать , так как это выходит за рамки этой статьи.

Пример.

Найти область определения функции y=lnx 2 .

Решение.

Исходную функцию можно представить в виде y=f 1 (f 2 (x)) , где f 1 – логарифм с основанием e , а f 2 – степенная функция с показателем 2 .

Обратившись к известным областям определения основных элементарных функций, имеем D(f 1)=(0, +∞) и D(f 2)=(−∞, +∞) .

Тогда

Так мы нашли нужную нам область определения функции, ей является множество всех действительных чисел, кроме нуля.

Ответ:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Пример.

Какова область определения функции ?

Решение.

Данная функция сложная, ее можно рассматривать как y=f 1 (f 2 (x)) , где f 1 – степенная функция с показателем , а f 2 – функция арксинус, и нам нужно найти ее область определения.

Посмотрим, что нам известно: D(f 1)=(0, +∞) и D(f 2)=[−1, 1] . Остается найти пересечение множеств таких значений x , что x∈D(f 2) и f 2 (x)∈D(f 1) :

Чтобы arcsinx>0 вспомним свойства функции арксинус . Арксинус возрастает на всей области определения [−1, 1] и обращается в ноль при x=0 , следовательно, arcsinx>0 для любого x из промежутка (0, 1] .

Вернемся к системе:

Таким образом, искомая область определения функции есть полуинтервал (0, 1] .

Ответ:

(0, 1] .

Теперь давайте перейдем к сложным функциям общего вида y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Область определения функции f в этом случае находится как .

Пример.

Найти область определения функции .

Решение.

Заданную сложную функцию можно расписать как y=f 1 (f 2 (f 3 (x))) , где f 1 – sin , f 2 – функция корень четвертой степени, f 3 – lg .

Нам известно, что D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1) , то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1 , а наибольшее при x = 1 .

Мы получили область значений функции арксинуса .

Пример.

Найдите множество значений функции на отрезке .

Решение.

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку :

Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках :

Следовательно, множеством значений функции на отрезке является отрезок .

Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) промежутках (a; b) , .

Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.

Пример.

Определите множество значений функции на интервале (-2; 2) .

Решение.

Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток (-2; 2) :

Точка x = 0 является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через нее, а график функции от возрастания переходит к убыванию.

есть соответствующий максимум функции.

Выясним поведение функции при x стремящемся к -2 справа и при x стремящемся к 2 слева, то есть, найдем односторонние пределы:

Что мы получили: при изменении аргумента от -2 к нулю значения функции возрастают от минус бесконечности до минус одной четвертой (максимума функции при x = 0 ), при изменении аргумента от нуля к 2 значения функции убывают к минус бесконечности. Таким образом, множество значений функции на интервале (-2; 2) есть .

Пример.

Укажите множество значений функции тангенса y = tgx на интервале .

Решение.

Производная функции тангенса на интервале положительна , что указывает на возрастание функции. Исследуем поведение функции на границах интервала:

Таким образом, при изменении аргумента от к значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности, то есть, множество значений тангенса на этом интервале есть множество всех действительных чисел .

Пример.

Найдите область значений функции натурального логарифма y = lnx .

Решение.

Функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента . На этом интервале производная положительна , это говорит о возрастании функции на нем. Найдем односторонний предел функции при стремлении аргумента к нулю справа, и предел при x стремящемся к плюс бесконечности:

Мы видим, что при изменении x от нуля к плюс бесконечности значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности. Следовательно, областью значений функции натурального логарифма является все множество действительных чисел.

Пример.

Решение.

Эта функция определена для всех действительных значений x . Определим точки экстремума, а также промежутки возрастания и убывания функции.

Следовательно, функция убывает при , возрастает при , x = 0 - точка максимума, соответствующий максимум функции.

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

Таким образом, на бесконечности значения функции асимптотически приближаются к нулю.

Мы выяснили, что при изменении аргумента от минус бесконечности к нулю (точке максимума) значения функции возрастают от нуля до девяти (до максимума функции), а при изменении x от нуля до плюс бесконечности значения функции убывают от девяти до нуля.

Посмотрите на схематический рисунок.

Теперь хорошо видно, что область значений функции есть .

Нахождение множества значений функции y = f(x) на промежутках требует аналогичных исследований. Не будем сейчас подробно останавливаться на этих случаях. В примерах ниже они нам еще встретятся.

Пусть область определения функции y = f(x) представляет собой объединение нескольких промежутков. При нахождении области значений такой функции определяются множества значений на каждом промежутке и берется их объединение.

Пример.

Найдите область значений функции .

Решение.

Знаменатель нашей функции не должен обращаться в ноль, то есть, .

Сначала найдем множество значений функции на открытом луче .

Производная функции отрицательна на этом промежутке, то есть, функция убывает на нем.

Получили, что при стремлении аргумента к минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к единице. При изменении x от минус бесконечности до двух значения функции убывают от одного до минус бесконечности, то есть, на рассматриваемом промежутке функция принимает множество значений . Единицу не включаем, так как значения функции не достигают ее, а лишь асимптотически стремятся к ней на минус бесконечности.

Действуем аналогично для открытого луча .

На этом промежутке функция тоже убывает.

Множество значений функции на этом промежутке есть множество .

Таким образом, искомая область значений функции есть объединение множеств и .

Графическая иллюстрация.

Отдельно следует остановиться на периодических функциях. Область значений периодических функций совпадает с множеством значений на промежутке, отвечающем периоду этой функции.

Пример.

Найдите область значений функции синуса y = sinx .

Решение.

Эта функция периодическая с периодом два пи. Возьмем отрезок и определим множество значений на нем.

Отрезку принадлежат две точки экстремума и .

Вычисляем значения функции в этих точках и на границах отрезка, выбираем наименьшее и наибольшее значение:

Следовательно, .

Пример.

Найдите область значения функции .

Решение.

Мы знаем, что областью значений арккосинуса является отрезок от нуля до пи, то есть, или в другой записи . Функция может быть получена из arccosx сдвигом и растяжением вдоль оси абсцисс. Такие преобразования на область значений не влияют, поэтому, . Функция получается из растяжением втрое вдоль оси Оy , то есть, . И последняя стадия преобразований – это сдвиг на четыре единицы вниз вдоль оси ординат. Это нас приводит к двойному неравенству

Таким образом, искомая область значений есть .

Приведем решение еще одного примера, но без пояснений (они не требуются, так как полностью аналогичны).

Пример.

Определите область значений функции .

Решение.

Запишем исходную функцию в виде . Областью значений степенной функции является промежуток . То есть, . Тогда

Следовательно, .

Для полноты картины следует поговорить о нахождении области значений функции, которая не является непрерывной на области определения. В этом случае, область определения разбиваем точками разрыва на промежутки, и находим множества значений на каждом из них. Объединив полученные множества значений, получим область значений исходной функции. Рекомендуем вспомнить

В математике бесконечное множество функций. И у каждой - свой характер.) Для работы с самыми разнообразными функциями нужен единый подход. Иначе, какая же это математика?!) И такой подход есть!

При работе с любой функцией мы предъявляем ей стандартный набор вопросов. И первый, самый важный вопрос - это область определения функции. Иногда эту область называют множеством допустимых значений аргумента, областью задания функции и т.п.

Что такое область определения функции? Как её находить? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными... Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. Поехали?)

Ну, что тут сказать... Только респект.) Да! Естественная область определения функции (о которой здесь идёт речь) совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам.

А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения.)

Дополнительные ограничения на область определения функции.

Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Т.е. в задании присутствуют какие-то дополнительные условия, которые придумал составитель. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции.

Что касается ограничений в задании - тут всё просто. Обычно, и искать-то ничего не надо, всё в задании уже сказано. Напомню, что ограничения, написанные автором задания, никак не отменяют принципиальные ограничения математики. Нужно просто не забыть учесть условия задания.

Например, такое задание:

Найти область определения функции:

на множестве положительных чисел.

Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта область:

D(f)=(-∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да...) Пример из предыдущего урока:

Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.

Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:

D(f): х ∈ N

Как видите, область определения функции - не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к осмотру функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают всякие, простые и сложные. Но...

Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств... И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система...

Мораль: глаза боятся, голова решает!)