Системы линейных уравнений. Определители и системы линейных уравнений курсовая по математике, дипломная из математика
- Системы m
линейных уравнений с n
неизвестными.
Решение системы линейных уравнений — это такое множество чисел {x 1 , x 2 , …, x n }, при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.
где a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n — коэффициенты системы;
b i , i = 1, …, m — свободные члены;
x j , j = 1, …, n — неизвестные.
Вышеприведенная система может быть записана в матричном виде: A · X = B ,
где (A |B ) — основная матрица системы;
A — расширенная матрица системы;
X — столбец неизвестных;
B — столбец свободных членов.
Если матрица B не является нуль-матрицей ∅, то данная система линейных уравнений называется неоднородной.
Если матрица B = ∅, то данная система линейных уравнений называется однородной. Однородная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0 .
Совместная система линейных уравнений — это имеющая решение система линейных уравнений.
Несовместная система линейных уравнений — это не имеющая решение система линейных уравнений.
Определённая система линейных уравнений — это имеющая единственное решение система линейных уравнений.
Неопределённая система линейных уравнений — это имеющая бесконечное множество решений система линейных уравнений. - Системы n линейных уравнений с n неизвестными
Если число неизвестных равно числу уравнений, то матрица – квадратная. Определитель матрицы называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом Δ.
Метод Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Правило Крамера.
Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
где Δ i — определители, получаемые из главного определителя системы Δ заменой i -го столбца на столбец свободных членов. . - Системы m линейных уравнений с n неизвестными
Теорема Кронекера−Капелли .
Для того чтобы данная система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang(Α) = rang(Α|B) .
Если rang(Α) ≠ rang(Α|B) , то система заведомо не имеет решений.
Eсли rang(Α) = rang(Α|B) , то возможны два случая:
1) rang(Α) = n (числу неизвестных) − решение единственно и может быть получено по формулам Крамера;
2) rang(Α) < n − решений бесконечно много. - Метод Гаусса
для решения систем линейных уравнений
Составим расширенную матрицу (A |B ) данной системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей.
Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы (A |B ) с помощью элементарных преобразований над ее строками к диагональному виду (к верхнему треугольному виду). Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные.
К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:
1) перемена местами двух строк;
2) умножение строки на число, отличное от 0;
3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;
4) выбрасывание нулевой строки.
Расширенной матрице, приведенной к диагональному виду, соответствует линейная система, эквивалентная данной, решение которой не вызывает затруднений. . - Система однородных линейных уравнений.
Однородная система имеет вид:
ей соответствует матричное уравнение A · X = 0 .
1) Однородная система всегда совместна, так как r(A) = r(A|B) , всегда существует нулевое решение (0, 0, …, 0).
2) Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) < n , что равносильно Δ = 0.
3) Если r < n , то заведомо Δ = 0, тогда возникают свободные неизвестные c 1 , c 2 , …, c n-r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
4) Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:
X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r ,
где решения X 1 , X 2 , …, X n-r образуют фундаментальную систему решений.
5) Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы:
,
если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
Разложение общего решения по фундаментальной системе решений — это запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе.
Теорема . Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.
Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.
Теорема . Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A) < n .
Доказательство :
1) r не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк);
2) r < n , т.к. если r = n , то главный определитель системы Δ ≠ 0, и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x 1 = x 2 = … = x n = 0 , что противоречит условию. Значит, r(A) < n .
Следствие . Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ = 0.
Cтраница 1
Главный определитель составляется так, чтобы в первом столбце находились коэффициенты при том параметре, который откладывается по горизонтальной оси. В данном случае принято, что klK откладывается по вертикальной оси, a & 2it - по горизонтальной.
Главный определитель равен нулю, а хотя бы один вспомогательный определитель не равен нулю.
Главный определитель - Гурвица составляется следующим образом.
| Граф / С4 - х и его остовы. |
Главный определитель матрицы Р (или Q) имеет порядок т, а выражение соответствующие главные определители означает, что столбцы матрицы Р, входящие в рассматриваемый определитель, имеют такие же номера и такой же порядок, как строки матрицы Q, входящие в другой определитель.
Главный определитель D (p), называемый характеристическим, не зависит ни от искомой переменной, ни от места приложения возмущающей силы.
Составляем главный определитель А.
Составляем главный определитель системы и приравниваем его нулю. Об устойчивости судим по характеру корней. Степень характеристического уравнения определяется числом энергоемких элементов, независимо накапливающих энергию, с учетом полюсов у каждого из имеющихся в схеме частотно-зависимых управляемых источников. В некоторых случаях необходимо при исследовании устойчивости учитывать не только первый доминантный полюс ОУ или транзистора, но и остальные полюса.
Поскольку главный определитель системы (3.50) равен нулю, собственные векторы определяются не однозначно, а с точностью до постоянного множителя.
Выразим главный определитель D [ ф-ла (8.35) ] через параметры схемы.
Если главный определитель системы п линейных уравнений с п неизвестными не равен нулю, то система имеет единственное решение, если же этот определитель равен нулю, то система является либо неопределенной, либо несовместной.
Если главный определитель однородной системы (9) не равен нулю, то согласно предыдущей теореме система имеет единственное решение. Это решение является тривиальным. Если же главный определитель равен нулю, то система в соответствии с теоремой 2 может быть или несовместной, или неопределенной. Однако система уравнений (9) несовместной быть не может, так как существует тривиальное решение.
Если главный определитель однородной системы (9) не равен нулю, то согласно предыдущей теореме система имеет единственное решение. Это решение является тривиальным. Если же главный определитель равен нулю, то система. Однако система уравнений (9) несовместной быть не может, так как существует тривиальное решение.
Если главный определитель однородной системы (9) не равен нулю, то согласно предыдущей теореме система имеет единственное решение. Это решение является тривиальным. Если же главный определитель равен нулю, то система, в соответствии с теоремой 2 может быть или несовместной, или неопределенной. Однако система уравнений (9) несовместной быть не может, так как существует тривиальное решение.
Определителем второго порядка
и вычисляется по правилу
Числа
называютсяэлементами
определителя
(первый индекс указывает номер строки,
а второй
номер
столбца, на пересечении которых стоит
этот элемент); диагональ, образованная
элементами
,
,
называетсяглавной
,
элементами
,
побочной
.
Аналогично вводится понятие определителя третьего порядка.
Определителем третьего порядка называется число, которое обозначается символом
и вычисляется по правилу
Диагональ,
образованная элементами
,
,
,
называетсяглавной
,
элементами
,
,
побочной
.
Чтобы запомнить
какие произведения в правой части
равенства (1) берутся со знаком «
»,
а какие со знаком «
», полезно использовать следующее
«правило треугольников»:
Можно ввести понятие определителя 4-го, 5-го и т. д. порядков.
Минором
некоторого элемента определителя
называется определитель, образованный
из данного вычёркиванием строки и
столбца, на пересечении которых находится
этот элемент.
Алгебраическим
дополнением
некоторого элемента определителя
называется минор этого элемента,
умноженный на
,
где
номер
строки,
номер
столбца, на пересечении которых находится
этот элемент:
.
Свойства определителей.
Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами со столбцами.
Рассмотренная операция называется транспонированием. Свойство 1
устанавливает равноправность строк и столбцов определителя.
Задача 1. Вычислить определители:
1) 2)3)4).
Задача 2. Вычислить определители, разложив их по элементам первого столбца:
1)
2)
Задача 3.
Найти
из уравнений:
1)
2)
1.2. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера
I) Система двух линейных неоднородных уравнений с двумя неизвестными
Обозначим
основной
определитель системы;
,
вспомогательные
определители.
а) Если определитель
системы
, 
.
(1)
б) Если определитель
системы
,
то возможны случаи:
1)
(уравнения пропорциональны), тогда
система содержит только одно уравнение,
например,
и имеет бесконечно много решений
(неопределённая система). Для её решения
необходимо выразить одну переменную
через другую, значение которой выбирается
произвольно;
2) если хотя бы один
из определителей
отличен от нуля, то система не имеет
решений (несовместная система).
II) Система двух линейных однородных уравнений с тремя переменными
(2)
Линейное уравнение называется однородным , если свободный член этого уравнения равен нулю.
а) Если
,
то система (2) сводится к одному уравнению
(например, первому), из которого одно
неизвестное выражается через два других,
значения которых выбираются произвольно.
б) Если условие
не выполнено, то для решения системы
(2) перенесем одну переменную вправо и
решим систему двух линейных неоднородных
уравнений с использованием формул
Крамера (1).
III) Система трёх линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными:
Составим и вычислим
основной определитель
и вспомогательные определители
,
.
а) Если
,
то система имеет единственное решение,
которое находится по формулам Крамера:
, 
,
(3)
б) Если
,
то возможны случаи:
1)
,
тогда система будет иметь бесконечно
много решений, она будет сводиться либо
к системе состоящей из одного, либо из
двух уравнений (одну неизвестную
перенесём направо и решим систему двух
уравнений с двумя неизвестными);
2) хотя бы один из
определителей
отличен от нуля, система не имеет решения.
IV) Система трёх линейных однородных уравнений с тремя неизвестными:
Эта система всегда совместна, так как имеет нулевое решение.
а) Если определитель
системы
,
то она имеет единственное нулевое
решение.
б) Если же
,
то система сводится либо к двум уравнениям
(третье является их следствием), либо к
одному уравнению (остальные два являются
его следствием) и имеет бесконечно много
решений (см. п.II).
Задача 4. Решить систему уравнений
Решение. Вычислим определитель системы
Так как
,
то система имеет единственное решение.
Воспользуемся формулами Крамера (3). Для
этого вычислим вспомогательные
определители:
,
,
, 
,
Задача 5. Решить систему уравнений
Решение. Вычислим определитель системы:
Следовательно, система однородных уравнений имеет бесконечно много решение, отличных от нулевого. Решаем систему первых двух уравнений (третье уравнение является их следствием):
Перенесём переменную
в правую часть равенства:
Отсюда по формулам (1) получаем
,
.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 6. Решить с помощью определителей системы уравнений:
|
1)
|
2)
|
3)
|
|
4) |
5)
|
6)
|
|
7)
|
8)
|
9)
|
|
10)
|
11)
|
12)
|
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).
Определители
получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:
;
.
Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
Согласно теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (2):
онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
Три случая при решении систем линейных уравнений
Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:
Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений
(система совместна и неопределённа)
** 
,
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .
Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера
Пусть дана система
.
На основании теоремы Крамера
………….
,
где
-
определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:
Пример 2.
.
Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители
По формулам Крамера находим:
Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.
Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Находим определитель системы:
Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных
По формулам Крамера находим:
Итак, решение системы - (2; -1; 1).
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
К началу страницы
Продолжаем решать системы методом Крамера вместе
Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.
Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных
Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных - буквы. За примерами далеко ходить не надо.
Следующий пример - на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.
Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Находим определители при неизвестных
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управления войсками»
Только для преподавателей
"Утверждаю"
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент А.И.СМИРНОВА
"ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"
ЛЕКЦИЯ № 2 / 1
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2004г.
Протокол № ___________
Кострома, 2004.
Введение
1. Определители второго и третьего порядка.
2. Свойства определителей. Теорема разложения.
3. Теорема Крамера.
Заключение
Литература
1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.
2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.
ВВЕДЕНИЕ
На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме "Векторная алгебра" при вычислении векторного произведения векторов.
1-ый учебный вопросОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА
Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида
Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка называют выражение вида :
(1)
Числа а 11, …, а 22 называют э л е м е т а м и определителя.
Диагональ, образованная элементами а 11 ; а 22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а 12 ; а 21 -п о б о ч н ой.
Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Заметим, что в ответе получается число.
ПРИМЕРЫ. Вычислить:
Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка называется выражение вида :
Элементы а 11; а 22 ; а 33 – образуют главную диагональ.
Числа а 13; а 22 ; а 31 – образуют побочную диагональ.
Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:
" + " " – "
С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.
Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.
Это правило вычисления определителя третьего порядка называют
п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.
ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:
ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.
2-ой учебный вопросСВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.
.
Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.
Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.
Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину .
.
Свойство 3. Общий множитель элементов строки (или столбца ) можно выносить за знак определителя.
.
Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.
Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.
Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.
D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Свойство 5. Если все элементы какой–то строки (или столбца ) равны нулю, то определитель равен нулю.
Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при
Свойство 6. Если элементы двух строк (или столбцов ) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
.
Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.
Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
.
Доказывается непосредственной проверкой.
Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.
Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента а i j обозначается М i j . Так для элемента а 11 минор
Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1) k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическое дополнение элемента а i j обозначается А i j .
Таким образом, А i j =
.Выпишем алгебраические дополнения для элементов а 11 и а 12.
.
.
Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс , если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус , если эта сумма нечетная .