Сколько будет два разделить на ноль. Папа, а почему на ноль делить нельзя

Математическое правило относительно деления на ноль всем людям рассказывали еще в первом классе общеобразовательной школы. «Делить на ноль нельзя», - учили всех нас и запрещали под страхом подзатыльника делить на ноль и вообще обсуждать эту тему. Хотя некоторые учителя младших классов все-таки пробовали объяснить на простейших примерах, почему нельзя делить на ноль, но эти примеры были настолько нелогичны, что проще было просто запомнить это правило и не задавать лишних вопросов. Но все эти примеры были нелогичными по той причине, что логически объяснить это в первом классе нам учителя не могли, так как в первом классе мы и близко не знали, что такое уравнение, а логически это математическое правило объяснить можно только с помощью уравнений.

Все знают, что при делении любого числа на ноль выйдет пустота. Почему именно пустота, мы рассмотрим потом.

Вообще в математике только две процедуры с числами признаются независимыми. Это сложение и умножение. Остальные же процедуры считаются производные от этих двух процедур. Рассмотрим это на примере.

Скажите, сколько будет, например, 11-10? Мы все моментально ответим, что это будет 1. А как мы нашли такой ответ? Кто-то скажет, что это и так понятно, что будет 1, кто-то скажет, что от 11 яблок отнял 10 и посчитал, что получилось одно яблоко. С точки зрения логики все правильно, но вот по законам математики эта задача решается по-другому. Нужно вспомнить, что основными процедурами считаются сложение и умножение, поэтому нужно составить такое уравнение: х+10=11, а только потом х=11-10, х=1. Заметим, что сложение идет на первом месте, а только потом на основе уравнения мы можем отнимать. Казалось бы, зачем столько процедур? Ведь ответ и так очевиден. Но только такими процедурами можно объяснить невозможность деления на ноль.

Например, мы делаем такую математическую задачу: хотим 20 поделить на ноль. Итак, 20:0=х. Чтобы узнать, сколько же будет, нужно вспомнить, что процедура деления вытекает из умножения. Другими словами, деление-это производная процедура от умножения. Поэтому нужно составить уравнение из умножением. Итак, 0*х=20. Вот тут и тупик. Какое бы число мы не множили на ноль, все равно будет 0, но не 20. Вот отсюда и вытекает правило: делить на ноль нельзя. Ноль делить на любое число можно, а вот число на ноль - увы, нельзя.

Отсюда появляется еще один вопрос: а можно ли ноль делить на ноль? Итак, 0:0=х, значит 0*х=0. Это уравнение можно решить. Возьмем, например, х=4, значит 0*4=0. Получается, что если разделить ноль на ноль, получится 4. Но и здесь все не так просто. Если мы возьмем, например, х=12 или х=13, то выйдет тот же ответ (0*12=0). Вообще, какое бы мы число не подставляли, все равно выйдет 0. Поэтому, если 0:0, то получится бесконечность. Вот такая нехитрая математика. К сожалению, процедура деления ноль на ноль тоже бессмысленна.

Вообще, цифра ноль в математике самая интересная. К примеру, все знают, что любое число в нулевой степени дает единицу. Конечно, с таким примером в реальной жизни мы не встречаемся, но вот с делением на ноль жизненные ситуации попадаются очень часто. Поэтому запомним, что делить на ноль нельзя.

На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ). Но индийцы — философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.

В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами.

Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.

Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю. Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей — какого размера получаться дольки?

Получится бесконечное число "нулевых долек". Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей.

Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично

а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0. А отсюда: а=b. То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения.

Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4 . Делим 4 на ноль — нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: "Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?" Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.

А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть — бесчисленное множество решений.

Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее — высшая математика. Так что в некотором роде делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно, но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи. Делите на здоровье.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

• Tutorial

Моя трёхлетняя дочка София в последнее время частенько упоминает «ноль», например, в таком контексте:

- Соня, вот ты вроде сначала не послушалась, а затем послушалась, что же получается?..
- Ну… ноль!

Т.е. ощущение отрицательных чисел и нейтральности нуля уже имеет, о как. Скоро поинтересуется: почему же это на ноль делить нельзя?
И вот решил я простыми словами записать всё, что я ещё помню про деление на ноль и всё такое.

Деление вообще лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.
Ну, или один разделить на икс раз увидеть…

Тут сразу видно, что ноль - это центр жизни, вселенной и всего такого. Ответом на главный вопрос про всё это пусть себе будет 42, а вот центр - по-любому 0. У него даже знака нет, ни плюс (послушалась), ни минус (не послушалась), он таки реально ноль. И в поросятах знает толк.

Потому что если любого поросёнка умножить на ноль, то поросёнка засасывает в эту круглую чёрную дыру, и получается опять ноль. Не такой уж этот ноль и нейтральный, когда дело от сложения-вычитания доходит до умножения, не говоря уже про деление… Там если ноль сверху «0/x» - то опять чёрная дыра. Всё поедает в ноль. А вот если при делении, да ещё и снизу - «x/0», то начинается… следуй за белым кроликом, Соня!

В школе тебе скажут «на ноль делить нельзя» и не покраснеют. В доказательство тыкнут на калькуляторе «1/0=» и обычный калькулятор, тоже не покраснев, напишет «E», «Error», мол, «нельзя - значит нельзя». Хотя что там у тебя будет считаться обычным калькулятором - ещё вопрос. Мне вот сейчас, в 2014-ом, стандартный калькулятор на телефоне-андроиде пишет совсем другое:

Ничего себе бесконечность. Скользи себе взглядом, круги нарезай. Вот тебе и нельзя. Оказывается можно. Если осторожно. Потому что не осторожно мой Android пока тоже не согласен: «0/0=Error», опять нельзя. Попробуем ещё разок: «-1/0 = -∞», о как. Интересное мнение, но я с ним не согласен. Как не согласен и с «0/0=Error».

Кстати, JavaScript, который питает нынешние сайты, тоже не согласен с калькулятором андроида: зайди в консоль браузера (ещё F12?) и напиши там: «0/0» (ввод). JS тебе ответит: «NaN». Это не ошибка. Это «Not a Number» - т.е. какая-то штука такая, но не число. При том что «1/0» JS тоже понимает как «Infinity». Это уже ближе. Но пока только тепло…

В университете - высшая математика. Там пределы, полюса, и прочее шаманство. И всё усложняется, усложняется, ходят вокруг да около, но только бы не нарушать хрустальные законы математики. А вот если не пытаться вписать деление на ноль в эти существующие законы, то можно прочувствовать эту фантастику - на пальцах.

Для этого посмотрим-ка ещё раз на деление:

Следи за правой линией, справа налево. Чем ближе икс к нулю, тем сильнее взлетает вверх разделённое на икс. И где-то там в облаках «плюс бесконечность». Она всегда дальше, как горизонт, её не догонишь.

А теперь следи за левой линией, слева направо. Та же история, только теперь разделённое улетает вниз, бесконечно вниз, в «минус бесконечность». Отсюда и мнение, что «1/0= +∞», а «-1/0 = 1/-0 = -∞».

Но фокус в том, что «0 = -0», нету у нуля знака, если не усложнять с пределами. И вот если поделить единицу на такой «простой» ноль без знака, то не логично ли предположить, что получится и бесконечность - «просто» бесконечность, без знака, как ноль. Где она - сверху или снизу? Она везде - бесконечно далеко от нуля во всех направлениях. Это и есть ноль, вывернутый наизнанку. Ноль - нет ничего. Бесконечность - есть всё. И положительное, и отрицательное. Вообще всё. И сразу. Абсолют.

Но там что-то было про «0/0», что-то другое, не бесконечность… Сделаем такой трюк: «2*0=0», ага, скажет учительница в школе. Ещё: «3*0=0» - опять ага. И немного наплевав на «на ноль делить нельзя», мол, весь мир и так потихоньку делит, получим: «2=0/0» и «3=0/0». В каком там классе это проходят, только без нуля, конечно.

Минуточку, получается «2 = 0/0 = 3», «2=3»?! Вот поэтому и боятся, вот поэтому и «нельзя». Страшнее «1/0» только «0/0», его даже калькулятор андроида боится.

А мы не боимся! Потому что у нас есть сила математики воображения. Мы можем представить себя бесконечным Абсолютом где-то там в звёздах, посмотреть оттуда на грешный мир конечных чисел и людей и понять, что с этой точки зрения они все одинаковые. И «2» c «3», и даже «-1», и училка в школе, возможно, тоже.

Так вот, я скромно предполагаю, что 0/0 - это весь конечный мир, точнее всё, что и не бесконечно и не пустота.

Вот как выглядит ноль, делённый на икс, в моих фантазиях, далёких от официальной математики. На самом деле похоже на 1/х, только перегиб не в единице, а в нуле. Кстати, у 2/x перегиб в двойке, а у 0.5/x - в 0.5.

Получается, 0/x при x=0 принимает все конечные значения - не бесконечности, не пустоту. Там в графике дырочка в нуле, оси проглядывают.

Можно конечно возразить, что «0*0 = 0», а значит ноль (пустота) тоже попадает в категорию 0/0. Чуть забегу вперёд - там будут степени нуля и это возражение разлетится в осколки.

Упс, единичка-то в бесконечности тоже может быть тоже записана как 0/0, получится (0/0)/0 - бесконечность. Вот теперь порядок, всё можно выразить соотношением нулей.

Например, если к бесконечности прибавить конечное, то бесконечность поглотит конечное, останется бесконечностью:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

А если бесконечность умножить на пустоту, то они поглощают друг друга, и получается конечный мир:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

Но это только первый уровень сновидений. Можно копать глубже.

Если ты уже знаешь понятие «степень числа», и что «1/x = x^-1», то, подумав, сможешь перейти от всех этих делений и скобок (вроде (0/0)/0) просто к степеням:

1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

Подсказка.
Тут с бесконечностью и пустотой всё просто, как в школе. А конечный мир переходит к степеням вот так:

0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

Уфф!

Получается, что положительные степени нуля - это нули, отрицательные степени нуля - это бесконечности, а нулевая степень нуля - это конечный мир.

Такой вот получается универсальный объект «0^x». Такие объекты прекрасно между собой взаимодействуют, опять-таки многим законам подчиняются, красота, в общем.

Моих скромных познаний математики хватило, чтобы нарисовать из них абелеву группу, которая, будучи изолированной в вакууме («просто абстрактные объекты, такая форма записи, вроде экспоненты»), даже выдержала проверку крутейшим преподом по матану с вердиктом «интересно, но ничего не получится». Ещё бы тут что-нить получилось, это ж табуированная тема - деление на ноль. В общем, не грузись.

Попробуем лучше просто умножить бесконечность на конечное число:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

Опять же, бесконечность поглотила конечное число так же, как и её антипод ноль поглощает конечные числа, та же чёрная дыра:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

А ещё оказывается что степени - это как сила. Т.е. ноль второй степени сильнее нуля обычного (первой степени, 0^1). И бесконечность минус второй степени сильнее бесконечности обычной (0^-1).

А когда пустота сталкивается с абсолютом, они меряются силой - у кого больше, тот и победит:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

Если же они равны силами, то аннигилируются и остаётся конечный мир:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

Кстати, официальная математика уже рядом. Её представители знают про «полюса» и что у полюсов разная сила (порядок), а так же про «нуль порядка k». Но они всё топчутся на прочной поверхности «рядом с» и боятся прыгнуть в чёрную нору дыру.

И последний для меня - третий уровень сновидений. Вот, например, эти все 0^-1 и 0^-2 - бесконечности разной силы. Или 0^1, 0^2 - нули разной силы. Но ведь и «-1» и «-2» и «+1» и «+2» - это всё - 0/0, равное 0^0, уже проходили. Получается, что с этого уровня сновидений, уже всё равно вообще что это - нули, бесконечности, и даже конечный мир туда при некотором просветлении попадает. В одну точку. В одну категорию. Называется это счастье - Сингулярность.

Надо признать, что вне состояния просветления одной точки я не наблюдаю, но одну категорию - объединение «0^0 U 0^(0^0)» - вполне.

Какую из всего этого можно вынести пользу? Ведь даже чуть менее безумные «мнимые числа», что тоже рвут калькуляторы в Error = √-1, и те смогли стать официальной математикой и теперь упрощают расчёты сталеварения.

Как листья на дереве издалека кажутся одинаковыми, но если рассмотреть их внимательнее - они все разные. А если задуматься, то опять одинаковые. И мало чем отличаются от тебя или меня. Вернее, вообще ничем не отличаются, если крепко задуматься.

Польза тут в умении и фокусироваться на отличиях и абстрагироваться. Это очень полезно и в работе, и в жизни, и даже в отношении к смерти.

Вот такие путешествия в кроличью нору, Соня!

Говорят, можно поделить на ноль если определить результат деления на ноль. Просто нужно расширить алгебру. По странному стечению обстоятельств найти хоть какой-то, а лучше понятный и простой, пример такого расширения не удается. Чтобы исправить интернет нужна либо демонстрация одного из способов такого расширения, либо описание почему это не возможно.

Статья написана в продолжение тренда:

Disclaimer

Цель данной статьи - объяснить «человеческим языком», как работают фундаментальные основы математики, структурировать знания и восстановить упущенные причинно-следственные связи между разделами математики. Все рассуждения являются философскими, в части суждений расходятся с общепринятыми (следовательно, не претендует на математическую строгость). Статья рассчитана на уровень читателя «сдал вышку много лет назад».

Понимание принципов арифметики, элементарной, общей и линейной алгебры, математического и нестандартного анализа, теории множеств, общей топологии, проективной и аффинной геометрии - желательно, но не обязательно.

В ходе экспериментов ни одна бесконечность не пострадала.

Пролог

Выход «за рамки» - это естественный процесс поиска новых знаний. Но не всякий поиск приносит новое знание и следовательно пользу.

1. Вобще-то уже все поделили до нас!

1.1 Аффинное расширение числовой прямой

Начнем с того, с чего начинают, наверное, все искатели приключений при делении на ноль. Вспомним график функции .

Слева и справа от нуля функция уходит в разные стороны «небытия». В самом нуле вообще “омут” и ничего не видно.

Вместо того, чтобы бросаться в «омут» с головой, посмотрим что туда втекает и что оттуда вытекает. Для этого воспользуемся пределом - основным инструментом математического анализа . Основная “фишка” в том, что предел позволяет идти к заданной точке так близко, как это возможно, но не “наступить на нее”. Такая себе “оградка” перед “омутом”.

Оригинал

Хорошо, «оградку» поставили. Уже не так страшно. У нас есть два пути к «омуту». Зайдем слева - крутой спуск, справа - крутой подъем. Сколько к “оградке” не иди, ближе она не становится. Пересечь нижнее и верхнее «небытие» никак не выходит. Возникают подозрения, может мы идем по кругу? Хотя нет, числа-то меняются, значит не по кругу. Пороемся в сундучке с инструментами математического анализа еще. Кроме пределов с «оградкой» в комплекте идет положительная и отрицательная бесконечности . Величины совершенно абстрактные (не являются числами), хорошо формализованы и готовы к употреблению! Это нам подходит. Дополним наше «бытие» (множество вещественных чисел) двумя бесконечностями со знаком.

Математическим языком:

Именно это расширение позволяет брать предел при аргументе стремящемся к бесконечности и получить бесконечность в качестве результата взятия предела.

Есть два раздела математики которые описывают одно и тоже используя разную терминологию.

Подытожим:

В сухом остатке. Старые подходы перестали работать. Сложность системы, в виде кучи “если”, “для всех, кроме” и т.п., возросла. У нас было только две неопределенности 1/0 и 0/0 (мы не рассматривали степенные операции), стало пять. Раскрытие одной неопределенности породило еще больше неопределенностей.

1.2 Колесо

На введении беззнаковой бесконечности все не остановилось. Для того чтобы выбраться из неопределенностей нужно второе дыхание.

Итак, у нас есть множество вещественных чисел и две неопределенности 1/0 и 0/0. Для устранения первой мы выполнили проективное расширение числовой прямой (то есть ввели беззнаковую бесконечность). Попробуем разобраться со второй неопределенностью вида 0/0. Сделаем аналогично. Дополним множество чисел новым элементом, представляющим вторую неопределенность.

Определение операции деления основано на умножении. Это нам не подходит. Отвяжем операции друг от друга, но сохраним привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком "/".

Доопределим операции.

Данная структура называется «Колесом» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0.

Вроде все неплохо выглядит, но дьявол кроется в деталях:

Чтобы устаканить все особенности, дополнительно к расширению множества элементов прилагается бонус в виде не одного, а двух тождеств, описывающих дистрибутивный закон.

Математическим языком:

С точки зрения общей алгебры мы оперировали полем . А в поле, как известно, определены всего две операции (сложение и умножение). Понятие деления выводится через обратные, а если еще глубже, то единичные элементы. Внесенные изменения превращают нашу алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента).

В трудах первооткрывателей не всегда используются символы ∞ и ⊥. Вместо этого можно встретить запись в виде /0 и 0/0.

Мир уже не так прекрасен, не правда ли? Все же не стоит спешить. Проверим, справятся ли новые тождества дистрибутивного закона с нашим расширенным множеством .

На этот раз результат намного лучше.

Подытожим:

В сухом остатке. Алгебра работает отлично. Однако за основу было взято понятие «не определено» которое стали считать чем-то существующим и оперировать им. Однажды кто-нибудь скажет, что все плохо и нужно разбить данное «не определено» еще на несколько “не определено", но помельче. Общая алгебра скажет: “Без проблем, Бро!".
Примерно так постулированы дополнительные (j и k) мнимые единицы в кватернионах Добавить метки