К арифметическим действиям относятся:

Сложение является начальным понятием, для которого невозможно дать строгое формальное определение. Тем не менее, чтобы придать этому действию некоторое разумное представление, мы скажем, что сложение - это операция нахождения суммы двух или нескольких чисел, где под суммой понимается общее количество единиц, содержащихся в рассматриваемых числах вместе. Эти числа называются слагаемыми. Например, 11 + 6 = 17. Здесь 11 и 6 - слагаемые, 17 - сумма. Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится: 11 + 6 = 17 и 6 + 11 = 17.

Вычитание является действием, обратным к сложению, так как это операция нахождения одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа (уменьшаемого) другое (вычитаемое) - значит найти такое третье число (разность), которое при сложении с вычитаемым дает уменьшаемое: 17 - 6 = 11. Здесь 17 - уменьшаемое, 6 - вычитаемое, 11 - разность.

Умножение. Умножить одно число n (множимое) на другое целое число m (множитель) - значит повторить множимое n в качестве слагаемого m раз. Результат умножения называется произведением. Запись операции умножения: n x m или n m . Например, 12 x 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48. Таким образом, 12 x 4 = 48 или 12 4 = 48. Здесь 12 - множимое, 4 - множитель, 48 - произведение. Если множимое n и множитель m поменять местами, то произведение не изменится. Например, 12 · 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48 и соответственно, 4 · 12 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48. Поэтому множимое и множитель часто называются сомножителями.

Деление является действием, обратным к умножению, так как это операция нахождения одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю: Разделить одно число (делимое) на другое (делитель) - значит найти такое третье число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое: 48: 4 = 12. Здесь 48 - делимое, 4 - делитель, 12 - частное. Частное от деления одного целого числа на другое целое число может и не быть целым числом. Тогда это частное представляется в виде дроби. Если частное - целое число, то говорят, что эти числа делятся нацело. В противном случае мы выполняем деление с остатком. Пример: 23 не делится на 4, в этом случае мы можем записать: 23 = 5 · 4 + 3. Здесь 3 - остаток.

Возведение в степень. Возвести число (основание степени) в целую степень (показатель степени) - значит повторить его сомножителем столько раз, каков показатель степени. Результат называется степенью. Запись возведения в степень:

3 5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243

Здесь 3 - основание степени, 5 - показатель степени, 243 - степень.

Вторая степень любого числа называется квадратом, третья - кубом. Первой степенью любого числа является само это число.

Извлечение корня является действием, обратным к возведению в степень, так как это операция нахождения основания степени по степени и её показателю. Извлечь корень n-ой степени (n - показатель корня) из числа a (подкоренное число) - значит найти третье число, n-ая степень которого равна а. Результат называется корнем. Например:

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня являются попарно взаимно-обратными операциями.

Арифметического действия

Зависимость между компонентами и результатами арифметического действия является для некоторых вычислительных приемов теоретической основой. Методика по раскрытию этой зависимости в основном одинакова для любого арифметического действия. Рассмотрим суть этой методики на примере зависимости между слагаемыми и суммой.

Продумывается практическая ситуация, которую легко можно продемонстрировать. Составляется простая задача (решаемая одним действием).

Задача. Мама положила на одну тарелку 3 красных яблока, а на вторую - 4 зеленых яблока. Сколько всего яблок на двух тарелках?

В ходе беседы с детьми выясняется, что для ответа на вопрос задачи надо выполнить действие сложение. Записывается решение этой задачи, повторяются названия чисел (компонентов и результата действия) для данного действия и над числами укрепляются таблички с соответствую­щими названиями (необходимо заготовить три комплекта таких табли­чек). Получается такая запись:

1-е слагаемое 2-е слагаемое сумма

Как называлось число 7 при решении первой задачи?

Сумма (укрепляем табличку).

А как называлось число 3?

1-е слагаемое (укрепляем табличку).

Как называлось число 4?

2-е слагаемое (укрепляем табличку). Используя полученную запись, формулируем вывод: если из суммы вычесть первое слагаемое, получится второе слагаемое. Аналогично проводим работу и формулируем второй вывод о получении первого слагаемого. Затем проводится работа по формированию умения применять эту зависимость в ходе выполнения соответствующих упражнений. Аналогично рассматриваются зависимости: между суммой и первым слагаемым. Оба случая объединяются. Вывод: если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. В начальной школе рассматриваются зависимости:

Между суммой и слагаемыми; между разностью и уменьшаемым; между разностью и вычитаемым;

Между произведением и множителями; между частным и делимым; между частным и делителем.

Раздел II. Формирование вычислительных навыков. Методика обучения младших школьников решению задач. Методика изучения алгебраического и геометрического материала. Методика работы над величинами .

Лекция 10. Общие вопросы методики обучения решению задач

1. Основные понятия математики.

2. Текстовые задачи в обучении математике в начальных классах.

3. Задача и ее элементы. Классификация задач.

4. Основные этапы работы над задачей.

5. Методические приемы, используемые при обучении решению задач.

Литература: (1) Глава 3, § 1; (2) §6, 21, 36, 51; (4) Глава 1; (5) Глава 4; (9) Глава 4. § 1, 2.

Основные понятия математики

Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являю­щийся реальным предметом, принято называтьтекстовыми (сюжетны­ми, практическими, арифметическими и т.д.). Перечисленные названия берут начало от способа записи (задача представлена в виде текста), сю­жета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычисле­ниями). В последнее время наиболее распространенным является тер­мин "текстовая задача".

Текстовой задачей будем называть описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компо­нента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величи­ны по известным числовым значениям других величин и зависимостям), установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, найти последова­тельность требуемых действий.

Придерживаясь современной терминологии, можно сказать, что текстовая задача представляет собойсловесную модель ситуации, явления, события, процесса и т.д. И, как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики.

Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т.е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, называютусловиями (или условием)задачи.

Величину, значения которой требуется найти, называютискомой величиной, а числовые значения искомых величин- искомыми илинеизвестными.

Систему взаимосвязанных условий и требований называютвысказывательной моделью задачи. Для того, чтобы уяснить структуру задачи, надо выявить ее условия и требования, то есть построить высказывательную модель задачи.

Термин "решение задачи" широко применяется в математике. Им обозначают связанные между собой, но все же неодинаковые понятия:

1) решением задачи называютрезультат, т.е. ответ на требование задачи;

2) решением задачи называютпроцесс нахождения этого результата, то есть вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до конца;

3) решением задачи называют лишьте действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

Cтраница 2

По значению этого переноса также производится анализ на переполнение (р 27 - 1) или исчезновение (р 3 0) порядка в результате арифметических действий. Правда, в различных моделях машин этот анализ реализуется по-разному, что обусловлено в первую очередь соображениями рациональности построения конкретных схем.  

Это сделано намеренно, поскольку легче работать непосредственно с значениями, хранимыми в базе данных, чем с порожденными данными, которые получаются в результате арифметических действий с этими значениями. Более поздние версии системы INGRES разрешают работать с произвольными выражениями, но мы будем придерживаться этого ограничения, поскольку оно ближе к реляционному исчислению Кодда.  

В алгебре (точнее, в арифметике) понятие предела встречается при выполнении арифметических действий над иррациональными числами, результатами которых являются фактически пределы последовательностей, составленных из результатов соответствующих арифметических действий над десятичными приближениями заданных иррациональных чисел. Понятие предела присутствует и при определении бесконечной суммы членов убывающей геометрической прогрессии, а также при определении показательной функции ах, а О, х - действительное число. Сначала определяется степень аг с рациональным показателем г, а затем говорится, что полученные значения по непрерывности распространяются на все действительные числа. При дальнейшем изучении школьного курса математики к этому интуитивному определению, как правило, больше не возвращаются.  

Введенные выше операции над элементами пространства благ имеют смысл при любой размерности пространства; это позволяет нам использовать соответствующие геометрические термины (перенос, гомотетия), понимая их как результаты соответствующих арифметических действий.  

В этой таблице в верхней строке записано одно из слагаемых, а в первом столбце - другое слагаемое. Результаты арифметических действий в таблице находятся на пересечении соответствующих строк и столбцов.  

Не пытаясь дать сразу ответ на этот вопрос, можно все же признать естественным положение, при котором в части некоторых ожиданий и целей деятельность руководства фирмы всегда является более или менее успешной. В результате арифметического действия сложения, в котором не всегда учитываются даже все стороны, получается некая усредненная оценка.  

В предыдущем параграфе было указано, что в результат арифметической операции входит ошибка округления. Величина этой ошибки должна учитываться при анализе результатов дальнейших арифметических действий, выполняемых на ЭВМ. Прежде чем проследить распространение ошибки вычислений, рассмотрим абсолютную и относительную погрешности каждой из четырех арифметических операций.  

Первый из них называется законом монотонности суммы, а второй - законом монотонности произведения. Рассмотренные свойства числовых неравенств являются выражением законов монотонности результатов арифметических действий для множества действительных чисел. Так, второе и четвертое свойства выражают закон монотонности суммы, третье и шестое свойства - закон монотонности произведения, седьмое свойство - закон монотонности степени, а восьмое свойство - закон монотонности арифметического корня.  

Индикаторы этих регистров образуют линейку из 13 лампочек, что соответствует единому 13-разрядному коду при операциях циклического сдвига и взаимодействию этих регистров при переполнениях НР (СМ) в результате арифметических действий. С помощью сумматора осуществляются все арифметические и логические операции в машине, а также взаимодействие с буферными регистрами внешних устройств и с клавишным регистром при автоматической работе.  

Такое непосредственное отыскание предела в большинстве случаев представляет собой весьма громоздкое и трудное действие. Но если знать - раз и навсегда - производные всех основных элементарных функций (мы пока знаем только производную степенной функции у х), а также правила, по которым следует дифференцировать сложные функции, и результаты арифметических действий, то можно находить производные любых элементарных функций, не выполняя всякий раз указанного предельного перехода.  

Такое непосредственное отыскание предела большинстве случаев представляет собой весьма громоздкое и грудное действие. Но если знать - раз и навсегда - производные всех основных элементарных функций (мы пока знаем только производную степенной функции у - х), а также правила, по которым следует дифференцировать сложные функции, и результаты арифметических действий, то можно находить производные любых элементарных функций, не выполняя всякий раз указанного предельного перехода.  

Большинство современных компьютеров имеет 2 - х или 4 - х байтовые целые. Некоторые из более новых машин имеют 8-байтовые целые. Поскольку результат арифметических действий с указателями зависит от размера объектов, на которые указывает указатель, арифметические действия с указателями являются машин - независимыми.  

Большинство современных компьютеров имеет 2 - х или 4 - х байтовые целые. Некоторые из более новых машин имеют 8-байтовые целые. Поскольку результат арифметических действий с указателями зависит от размера объектов, на которые указывает указатель, арифметические действия с указателями являются машиннозависимыми.