Деление целых чисел. Делимое, делитель, частное
Деление определяется как действие, обратное умножению.
Разделить одно число на другое - значит найти такое третье число, которое, будучи умножено на делитель, даст в произведении делимое:
Основываясь на этом определении, выведем правило деления для рациональных чисел.
Прежде всего укажем раз навсегда, что делитель не может быть нулём. Деление на нуль исключается по той же причине, по которой оно было исключено в арифметике.
Абсолютная величина а равна произведению абсолютных величин и с. Значит, абсолютная величина в равна абсолютной величине а, делённой на абсолютную величину
Определим знак частного с.
Если делимое и делитель имеют одинаковые знаки, то частное - положительное число. Действительно, если а и положительны, то частное о тоже будет положительным числом.
Пример. так как
Если а и отрицательные, то частное с и в этом случае должно быть положительным, так как, умножив на ьего отрицательное число мы должны получить отрицательное число а.
Пример. так как
Если делимое и делитель имеют разные знаки, то частное - отрицательное число. Действительно, если а положительно, а отрицательно, то с должно быть отрицательным, так как, умножив на него отрицательное число мы должны получить положительное число а.
Пример. так как
Если а отрицательно, а положительно, то и в этом случае с должно быть отрицательным числом, так как, умножив на него положительное число мы должны получить отрицательное число а.
Пример. так как
Итак, мы пришли к следующему правилу деления:
Чтобы разделить одно наело на другое, надо абсолютную величину делимого разделить на абсолютную величину делителя и перед частным поставить знак плюс, если делимое и делитель имеют одинаковые знаки, и знак минус,
если делимое и делитель имеют противоположные знаки.
Как мы уже говорили, деление на нуль невозможно, поясним это более подробно. Пусть требуется разделить какое-нибудь не равное нулю число, например -3, на 0.
Если число а есть искомое частное, то, умножив его на делитель, то есть на 0, мы должны получить делимое, то есть - 3. Но произведение равно 0, и делимое - 3 не может получиться. Отсюда мы заключаем, что число
3 на нуль разделить нельзя.
Пусть требуется число 0 разделить на 0. Пусть а - искомое частное; умножив а на делитель 0, получим в произведении 0 при любом значении а:
Таким образом, мы не получили никакого определённого числа: умножив на 0 любое число, мы получим 0. Поэтому деление нуля на нуль также считается невозможным.
Для рациональных чисел остаётся в силе следующее основное свойство частного:
Частное двух чисел не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же число (не равное нулю).
Поясним это такими примерами.
1. Рассмотрим частное умножим делимое и делитель на - 4; тогда получим новое частное
Итак, в новом частном мы получили то же самое число 2.
2. Рассмотрим частное умножим делимое и делитель на - тогда получим такое частное:
Частное не изменилось, так как получилось то же самое число
Числа в делении располагаются так: на первом месте делимое, на втором делитель, после знака равно частное.
Делимое: делитель = частное.
Обозначим все неизвестные числа буквами
Пусть делимое будет равно а, делитель равен в, а частное с.
По условию, произведение (то есть умножение) делимого, делителя и частного равно 3136. Составим уравнение.
- а * в * с = 3136.
- Так как с равно а/в, заменим букву с на дробь а/в.
- а * в * а/в = 3136.
- Переменная в сокращается, остается а * а = 3136 или а 2 = 3136.
- По таблице квадратов найдем значение а, а равно 56.
Делимое равно 56. Получается следующее уравнение: 56: в = с
Выразим известное делимое через неизвестные переменные
Чтобы найти делимое, нужно перемножить делитель и частное, то есть 56 = в * с.
По условию, все участвующие числа натуральные, то есть целые положительные числа. Как мы знаем, 56 равно произведению только двух целых чисел - 7 и 8.
Получается два выражения:
Значит, частное (число после знака равно) может быть равен только или 7, или 8.
Ответ: Частное может быть 7 или 8.
Обозначим делимое через х, а делитель - через у.
Тогда частное от деления двух данных чисел будет равно х/у.
Согласно условию задачи, произведение делимого,делителя и частного равно 3136, следовательно, можем записать следующее соотношение:
х * у * (х/у) = 3136.
Упрощая полученное соотношение, получаем:
По условию задачи, делимое, делитель и частное - натуральные числа, следовательно, значение х = -56 не подходит.
Разложим число 56 на произведение простых сомножителей:
56 = 2 * 28 = 2 * 2 * 14 = 2 * 2 * 2 * 7.
Перечислим все возможные делители числа 56, при которых частное является натуральным числом.
Делитель 1, частное 56;
делитель 2, частное 28;
делитель 4, частное 14;
делитель 8, частное 7;
делитель 7, частное 8;
делитель 14, частное 4;
делитель 28, частное 2.
делитель 56, частное 1.
Ответ: частное может принимать значения 1, 2, 4, 8, 7, 14, 28, 56.
Функция a n =f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.
Числа a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…
Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, следовательно, a 1 — первый член последовательности;
a 2 - второй член последовательности;
a 3 - третий член последовательности;
a 4 - четвертый член последовательности и т.д.
Кратко числовую последовательность записывают так: a n =f (n) или {a n }.
Существуют следующие способы задания числовой последовательности:
1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.
Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.
Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:
0; 5; 10; 15; 20; 25; ...
Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом.
Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.
2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: a n =f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.
Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a k = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.
a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;
a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;
a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;
a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.
Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... .
Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: a k =2k-1.
3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.
Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {a n },
если a 1 =7; a n+1 = 5+a n .
a 2 =5+a 1 =5+7=12;
a 3 =5+a 2 =5+12=17;
a 4 =5+a 3 =5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .
Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {b n },
если b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .
b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;
b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;
b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .
4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;… .
Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.
Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a n). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n .
Получаем: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).
Следовательно, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.
Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.
Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).
Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.