Определение координаты движущегося тела конспект. Что мы узнали
Есть одна фундаментальная вещь! У меня есть пример, когда студенты до второго курса технического ВУЗа допускали глупые ошибки, потому что недостаточно понимали это.
Положение тела можно задать набором координат. Например, (50, -70, 10), что означает «тело сдвинуто от начала координат на 50 единиц по оси X, на 70 единиц против оси Y, на 10 единиц по Z».
В математике три (или два) числа с указанием координат называются вектором или радиус-вектором . Чтобы представить радиус-вектор в терминах «направленного отрезка-стрелочки», надо вообразить эту стрелку, исходящую из начала координат, и указывающую в интересующую нас точку.
Радиус-вектор точки A.
Зачем вообще нужны эти векторы, ведь, казалось бы, можно обойтись точками?
Но дело в том, что многие уравнения в физике записаны именно векторами (т.к. многие тела движутся в пространстве в каком-либо направлении), и если мы будем воспринимать точки как вектора, то нам будет легче проводить все расчёты.
К тому же есть множество калькуляторов, которые отлично работают с векторами – это позволяет вместо ряда уравнений для скаляров написать всего одно уравнение для векторов. Так что стоит помнить, что вектор – это не только «стрелочка», но и упорядоченный набор чисел.
Кроме того, векторная запись – это отличный способ не запутаться в знаках. Опыт показывает, что ученики и студенты допускают ощутимо больше ошибок со знаками, когда не пользуются векторной записью.
Смотрите, как можно расписать векторные уравнения очень простым способом.
Векторное уравнение:
В скалярной форме выглядит как система уравнений:
Т.е. чтобы превратить векторное уравнение в скалярное, достаточно расписать проекции этого уравнения на все оси, что значит заменить вектор «» на скаляры «x» и «y», а вектор «» на проекции «v x » и «v y ».
Как определять координаты движущегося тела
Допустим, тётя Люда на Камазе выехала из Москвы и проехала по трассе на север 90 километров. А затем развернулась обратно и проехала 150 километров (утюг, например, забыла выключить в Подмосковье). А дядя Витя на коне за это же время стартовал на 200 км южнее Москвы, и проскакал 120 км на север.
Вопрос: на каком расстоянии друг от друга тётя Люда и дядя Витя?
Примем Москву за начало координат. Введём также одну координатную ось, и направим её на север. Назовём ось X.
Стартовая позиция тёти Люды:
Первое перемещение тёти Люды обозначим как и его проекция на X равна = 90 км (вспоминаем, что она сначала ехала на север).
Второе перемещение тёти Люды и его проекция на X равна = -150 км (минус – потому что вектор направлен против оси X (вниз)).
Тогда последнее местоположение тёти Люды равно
Т.е. начальное положение + 1-е передвижение + 2-е передвижение.
Если переписать в скалярном виде, получается:
x L2 = r L0x + S L1x + S L2x = 0 + 90 - 150 = -60 км
Стартовая позиция дяди Вити на 200 км южнее Москвы, то есть проекция = -200 км. А проекция перемещения дяди Вити равна =120 км.
А радиус-вектор последнего местоположения дяди Вити равен: Т.е. также: стартовая позиция + 1-е перемещение.
Если спроецировать на оси, получится:
x V1 = r V0x + S V1x = -200 + 120 = -80 км.
Расстояние между дядей Витей и тётей Людой равно модулю от разности их радиус-векторов
D LV = |-60 - (-80)| = 20 км
Обратите внимание, что здесь всегда используется модуль, поскольку расстояние между объектами никогда не может быть отрицательным.
Если бы у нас была задача с двумя координатами, мы бы её решали примерно так же, за исключением двух моментов:
- Векторные уравнения мы расписывали бы как системы из двух уравнений с проекциями.
- Модуль вектора мы рассчитывали бы по теореме .
Тема урока: «Определение координаты движущегося тела»
Цель урока: Ввести понятия векторная и скалярная величина, координата, проекция вектора, модуль вектора. Сформулировать правила определения знака проекции.
Тип уроки: Комбинированный урок.
Проверка знаний:
1. Что называется механическим движением?
2. Что входит в понятие «система отсчета»?
3. Почему невозможно описать движение без выбора системы отсчета?
4. Какие точки катящегося вагона движутся и какие находятся в покое относительно дороги?
5. Что такое материальная точка?
6. Какое движение называется поступательным?
7. Что такое траектория?
8. Что такое пройденный путь?
9. Что такое перемещение?
10. ответить на вопросы к §2.
11. ответить на вопросы упр. 2 № 1,2.
Траектории движения двух материальных точек пересекаются. Означает ли это, что тела сталкиваются? Приведите пример, подтверждающий ваш ответ.
Тело, брошенное вертикально вверх, поднялось на высоту 20 м и упало в ту же точку. Чему равен путь, пройденный телом за то время, пока оно двигалось вверх? За время, пока оно двигалось вниз? За все время движения?
При каком условии путь равен модулю перемещения тела? Может ли модуль перемещения быть больше пройденного пути? Приведите примеры таких движений.
Автомобиль проехал 100 км. а) Какие точки колеса совершили максимальное перемещение? Минимальное? б) Какие точки колеса прошли максимальный путь? Минимальный?
Два тела, двигаясь прямолинейно, совершили одинаковые перемещения. Обязательно ли одинаковы пройденные ими пути? Ответ поясните примером.
План изложения нового материала:
Определение координаты движущегося тела.
Векторные и скалярные величины.
Проекция вектора.
Правило определения знака проекции.
Уравнение, с помощью которого можно определить координату тела.
Модуль вектора.
1. Изложение нового материала.
Определение координаты движущегося тела . При решении задач обычно составляют уравнения, связывающие физические величины, а затем решают эти уравнения. Если величины векторные, приходится «следить» не только за модулем каждой такой величины, но и за ее направлением. Решение задач значительно упрощается благодаря тому, что одну векторную величину можно задать с помощью нескольких скалярных величин следующим образом.
Любую векторную величину можно представить в виде суммы трех векторных величин, направленных вдоль осей координат. Эти векторные величины называют ее составляющими. Каждую составляющую векторной величины можно охарактеризовать просто числом: модуль этого числа равен модулю составляющей, а знак числа определяется направлением составляющей. Если она направлена в положительном направлении оси координат, - это число положительное, а если в отрицательном, - отрицательное. Это число называется проекцией данной векторной величины на соответствующую координатную ось.
Проекции векторной величины а на оси координат х, у, z обозначаются а х , а у и а г . Они измеряются в тех же единицах, что и модуль этой величины. Например, проекция перемещения измеряется в метрах, а проекция скорости - в метрах в секунду.
Свяжем проекции перемещения тела с его координатами. Для наглядности ограничимся движением на плоскости.
Пусть тело из точки с координатами х 0, у 0 переместилось в точку с координатами х, у. Тогда перемещение s - это вектор, проведенный из точки с координатами х 0, , у 0 в точку с координатами х, у. Следовательно,
s x = х - х 0 , s y =y -y 0. Таким образом,
x = x 0 + s x , y = y Q +s y .
Обращаем внимание: в этих формулах стоит знак «плюс», независимо от того, в каком направлении двигалось тело - в положительном направлении оси или в отрицательном.
2. Отработка знаний и умений.
Решение задачи упр.3 №1
Задание на дом: §3 упр.3 №2.
В кинематике решается основная задача механики:
по известным начальным условиям и характеру движения определяется положение тела в любой момент времени.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ
1. Выбрать удобную систему координат.
2. Схематично показать тела или материальные точки.
3. Показать векторы, начальные координаты, проекции векторов.
4. Записать основные уравнения (в векторной форме или в проекциях).
5. Найти проекции всех известных величин и подставить в уравнения.
6. Решить уравнения
ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ
При решении задач по механике требуется умение работать с векторными величинами.
Как, например, определить равнодействующую силу, если на тело одновременно действует несколько сил?
Как, например, определить направление движения пловца, переплывающего реку, если его сносит течением?
Для этого пригодится одно из правил сложения векторов:
Кинематика - Класс!ная физика
Знаете ли вы?
Наводнения на Марсе
Долгое время каналы на Марсе считали искусственными сооружениями, построенными жителями Марса. Над загадкой происхождения каналов ученые ломают головы и сегодня.
По одной из гипотез, марсианские каналы - результат наводнений, происходивших на планете миллионы лет назад.
Марсианские каналы, судя по фотографиям, очень разные - от небольших, размером со средний земной ручей, до огромных, глубиной в сотни метров и шириной до двух километров.
По мнению ученых, под поверхностью Марса когда-то находились огромные залежи льда. Падения метеоритов или процессы внутри планеты вызывали бурное его таяние. Потоки воды выплескивались на поверхность, образовывали каналы. Потом в холодной разреженной атмосфере Марса лед испарялся и частично возвращался на планету в виде снега.
Тема урока: «Определение координаты движущегося тела»
Цель урока: Ввести понятия векторная и скалярная величина, координата, проекция вектора, модуль вектора. Сформулировать правила определения знака проекции.
Тип уроки: Комбинированный урок.
Проверка знаний:
1. Что называется механическим движением?
2. Что входит в понятие «система отсчета»?
3. Почему невозможно описать движение без выбора системы отсчета?
4. Какие точки катящегося вагона движутся и какие находятся в покое относительно дороги?
5. Что такое материальная точка?
6. Какое движение называется поступательным?
7. Что такое траектория?
8. Что такое пройденный путь?
9. Что такое перемещение?
10. ответить на вопросы к §2.
11. ответить на вопросы упр. 2 № 1,2.
Траектории движения двух материальных точек пересекаются. Означает ли это, что тела сталкиваются? Приведите пример, подтверждающий ваш ответ.
Тело, брошенное вертикально вверх, поднялось на высоту 20 м и упало в ту же точку. Чему равен путь, пройденный телом за то время, пока оно двигалось вверх? За время, пока оно двигалось вниз? За все время движения?
При каком условии путь равен модулю перемещения тела? Может ли модуль перемещения быть больше пройденного пути? Приведите примеры таких движений.
Автомобиль проехал 100 км. а) Какие точки колеса совершили максимальное перемещение? Минимальное? б) Какие точки колеса прошли максимальный путь? Минимальный?
Два тела, двигаясь прямолинейно, совершили одинаковые перемещения. Обязательно ли одинаковы пройденные ими пути? Ответ поясните примером.
План изложения нового материала:
Определение координаты движущегося тела.
Векторные и скалярные величины.
Проекция вектора.
Правило определения знака проекции.
Уравнение, с помощью которого можно определить координату тела.
Модуль вектора.
1. Изложение нового материала.
Определение координаты движущегося тела. При решении задач обычно составляют уравнения, связывающие физические величины, а затем решают эти уравнения. Если величины векторные, приходится «следить» не только за модулем каждой такой величины, но и за ее направлением. Решение задач значительно упрощается благодаря тому, что одну векторную величину можно задать с помощью нескольких скалярных величин следующим образом.
Любую векторную величину можно представить в виде суммы трех векторных величин, направленных вдоль осей координат. Эти векторные величины называют ее составляющими. Каждую составляющую векторной величины можно охарактеризовать просто числом: модуль этого числа равен модулю составляющей, а знак числа определяется направлением составляющей. Если она направлена в положительном направлении оси координат, это число положительное, а если в отрицательном, отрицательное. Это число называется проекцией данной векторной величины на соответствующую координатную ось.
Проекции векторной величины а на оси координат х, у, z обозначаются ах, ау и аг. Они измеряются в тех же единицах, что и модуль этой величины. Например, проекция перемещения измеряется в метрах, а проекция скорости в метрах в секунду.
Свяжем проекции перемещения тела с его координатами. Для наглядности ограничимся движением на плоскости.
Пусть тело из точки с координатами х0, у0 переместилось в точку с координатами х, у. Тогда перемещение s это вектор, проведенный из точки с координатами х0, у0 в точку с координатами х, у. Следовательно,
sx = х - х0, sy=y-y0. Таким образом,
x = x0 + sx, y = yQ+sy.
Обращаем внимание: в этих формулах стоит знак «плюс», независимо от того, в каком направлении двигалось тело в положительном направлении оси или в отрицательном.
2. Отработка знаний и умений.
Решение задачи упр.3 №1
Задание на дом: §3 упр.3 №2.