Open Library - открытая библиотека учебной информации. Векторное уравнение прямой

Если прямая параллельна плоскости, то векторы и перпендикулярны (рисунок 16), поэтому ∙ = 0, то есть

Ат + Вп + Ср = 0.

Рисунок 16 – Параллельность прямой и плоскости

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна плоскости, то векторы и параллельны (рисунок 17), поэтому

Рисунок 17 – Перпендикулярность прямой и плоскости

Пересечение прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой плоскости

Для того чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью Ах + Ву + Сz + D = 0, надо решить систему, составленную из этих уравнений. Проще всего это сделать, записав уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставляя эти выражения для х , у , z в уравнение плоскости, найдем значение t , при котором прямая и плоскость пересекаются. Возвращая найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Если прямая параллельна плоскости и Ах 0 + Ву 0 + Сz 0 + D = 0, где (x 0 , y 0 , z 0) координаты точки М 0 , принадлежащей прямой, то прямая лежит в плоскости.

Таким образом, одновременное выполнение равенств

является условием принадлежности прямой плоскости .

Вопросы для самопроверки

1 Записать формулу, по которой находится угол между прямой и плоскостью.

2 Записать условие параллельности прямой и плоскости.

3 Записать условие перпендикулярности прямой и плоскости.

4 Записать условия принадлежности прямой плоскости.

Пример 1 . Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М 0 (2; 0; 1).

Решение

Убедимся, что точка М 0 не принадлежит прямой:

.

Точка Р (1; – 1; – 1) принадлежит данной прямой, а = (1; 2; – 1) – направляющий вектор этой прямой (рисунок 18).

Рисунок 18 – Иллюстрация к примеру 1

Пусть М (х ; у ; z ) – произвольная точка исходной плоскости, тогда векторы = (х – 2; у ; z – 1), = (– 1; – 1; – 2) и = (1; 2; – 1) компланарны. Значит,

= 0,

5(х – 2) – 3у – (z – 1) = 0.

Таким образом, уравнение исходной плоскости имеет вид

5х – 3у – z – 9 = 0.

Пример 2 . Найти точку М 1 симметричную точке М (3; 1; – 1) относительно плоскости 3х + у + z – 20 = 0.

Решение

Нормальный вектор заданной плоскости = (3; 1; 1). Через точку М проведем перпендикуляр к плоскости (рисунок 19). Уравнение перпендикуляра имеет вид

.

Рисунок 19 – Иллюстрация к примеру 2

Найдем координаты точки N пересечения прямой ММ 1 и плоскости

Запишем параметрические уравнения прямой

Подставим выражения для х , у , z в уравнение плоскости

3(3 + 3t ) + (1 + t ) + (– 1 + t ) – 20 = 0.

После упрощения получим

11t = 11,

Подставив вместо t в параметрические уравнения прямой 1, найдем координаты проекции точки М на плоскость

x N = 6, y N = 2, z N = 0,

то есть N (6; 2; 0).

Координаты точки М 1 найдем по формулам

, , ,

2x N – x M = 9, = 2y N – y M = 3, = 2z N – z M = 1.

Таким образом, имеем М 1 (9; 3; 1).

Пример 3 . Найти уравнение проекции прямой на плоскость х + у + 2z – 5 = 0.

Решение

Через прямую l проведем плоскость β перпендикулярную плоскости α (рисунок 20). Тогда направляющий вектор = (1; 2; 3) прямой и нормальный вектор = (1; 1; 2) данной плоскости перпендикулярны нормальному вектору β, следовательно, = × .

= = + – = (1; 1; – 1).

Рисунок 20 – Иллюстрация к примеру 3

Уравнение плоскости β запишем в виде

1(х – 1)+ 1(у – 1) – z = 0,

х + у – z – 2 = 0.

Искомую проекцию можно определить общими уравнениями, как линию пересечения двух плоскостей:

Пример 4. Найти расстояние от точки А (1; 3; 5) до прямой .

Решение

Так как по определению расстояние от точки А до прямой – это длина перпендикуляра АВ , проведенного из данной точки к данной прямой, то, определив координаты точки В , вычислим искомое расстояние как расстояние между точками А и В .

Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки А к прямой. Точка В – это точка пересечения прямой с плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой. Уравнение этой плоскости имеет вид

6(х – 1)+ 2(у – 3) – (z – 5)= 0,

6х + 2у – z – 7 = 0.

Найдем координаты точки пересечения плоскости с прямой

6(– 30 + 6t ) + 2∙2t – (– – t ) – 7 = 0,

41t – = 0,

Точка пересечения В (– 3; 9; – 7). Найдем расстояние между точками А и В :

d = = = 14,

Задачи для самостоятельного решения

1 Определить взаимное расположение прямой и плоскости:

а) , х – 2у + z – 15 = 0;

б) , х + 2у – 2z + 6 = 0;

в) , 2х + 3у + z – 1 = 0;

(Ответ : а) прямая параллельна плоскости; б) прямая лежит в плоскости; в) (2; – 3; 6))

2 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А (3; 4; 0) и прямую . (Ответ : х – 2у + z + 5 = 0)

3 Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярно плоскости 2х + 3у – z = 4. (Ответ : 8х – 5у + z – 11 = 0)

Список используемой литературы

1 Гурский Е.И. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии / – 2-е изд. доп. – Минск: Выш. шк., 1982. – 272 с.

2 Гусак А.А. Справочное пособие по решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Минск: ТетраСистемс, 1998. – 228 с.

3 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009.

4 Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / под ред. В.Т. Воднева. – Минск: Выш. шк., 1990. – 288 с.

5 Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. Ч. 1 / под ред. А.П. Рябушко. – Минск: Выш. шк., 1990–1991.

Учебное издание

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания

к решению задач по теме

«Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»

для студентов всех форм обучения и специальностей

Составители:

Шендрикова Ольга Александровна

Юрченко Ирина Викторовна

Редактор А.А. Щербакова

Технический редактор Н.Г.Тверская

Подписано в печать Формат 60×84 1 ∕ 16.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Ризография.

Усл.печ.л. Уч.-изд.

Тираж экз. Заказ.

Учреждение образования

Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/272 от 04.04.2014 г.

Отпечатано в учреждении образования

«Могилевский государственный университет продовольствия».

Пр-т Шмидта, 3, 212027, Могилев.

Прямая и плоскость.

ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются точка , прямая и плоскость .

Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Через любую прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Плоскость делит (разбивает) пространство на два полупространства.

Две плоскости в пространстве либо параллельны (т. е. не имеют общих точек), либо пересекаются по прямой.

Прямая либо параллельна плоскости (т. е. не имеет с ней рбщих точек), либо пересекает ее в одной точке, либо целиком лежит в плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости .

Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Две прямые в пространстве либо пересекаются (имеют одну общую точку), либо скрещиваются, либо параллельны

(на рис. прямые а и b пересекаются, прямые а , с и d параллельны, прямые b и d скрещиваются).

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну; то же справедливо и для параллельных прямых.
Через две скрещивающиеся прямые невозможно провести плоскость. Признак параллельности прямых .
Две прямые, каждая из которых параллельна третьей прямой, параллельны между собой.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной (ортогональной, или нормальной) этой плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости (рис.).

Если прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости.

Пусть прямая пересекает плоскость в точке А и перпендикулярна плоскости; отрезок АВ этой прямой (рис.) называется перпендикуляром, проведенным (или опущенным) к этой плоскости из точки В .

Длина перпендикуляра АВ называется расстоянием от точки В до плоскости.
Из произвольной точки вне плоскости можно опустить на плоскость один перпендикуляр и множество наклонных (рис.).

Если АВ — перпендикуляр, ВС — наклонная, то АС — проекция наклонной на плоскость, точка С — основание наклонной, точка А — основание перпендикуляра.
Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Теорема о трех перпендикулярах .
Прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, если она перпендикулярна проекции этой наклонной (рис.). Верно и обратное утверждение.

Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Условия параллельности и перпендикулярности

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Уравнение прямой, проходящей через две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), имеет вид

Общие уравнения прямой в пространстве.

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

Пусть в пространстве заданы две плоскости: × + D 1 = 0 и × + D 2 = 0, векторы нормали имеют координаты: (A 1 , B 1 , C 1), (A 2 , B 2 , C 2); (x, y, z).

Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

Общие уравнения прямой в координатной форме:

Угол между плоскостями.

Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j 1 соотношением: j = j 1 или j = 180 0 - j 1 , ᴛ.ᴇ.

cosj = ±cosj 1 .

Определим угол j 1 . Известно, что плоскости бывают заданы соотношениями:

(A 1 , B 1 , C 1), (A 2 , B 2 , C 2).

Угол между плоскостями находится по формуле:

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны крайне важно и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинœеарны: ïï .Это условие выполняется, если: .

Угол между прямыми в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j 1 или j = 180 0 - j 1 . Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны крайне важно и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны крайне важно и достаточно, чтобы косинус угла между ними равен нулю.

Угол между прямой и плоскостью.

Определœение. Углом между прямой и плоскостью принято называть любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть плоскость задана уравнением, а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 90 0 - j, где a - угол между векторами и. Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, крайне важно и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого крайне важно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, крайне важно и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинœеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.