Вычислить площадь треугольника который отсекает плоскость. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие
Практическое занятие № 15
«Решение задач на приложение двойных интегралов»
1. Цель: Выработать навыки и умения в решении задач на приложение двойных интегралов в геометрии»
2. Пояснения к работе:
Краткие теоретические сведения
Вычисление площади плоской фигуры
Площадь S плоской области D в прямоугольных координатах вычисляется по формуле:
Пример. Вычислить площадь области, ограниченной линиями и у = х + 6 .
Решение: Найдем точки пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:
Решением будет пара значений (-3; 9) и (-2; 4) - координаты точек пересечения графиков
Область D
Согласно формуле (1), получим
Вычисление объема тела
Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у), снизу плоскостью z = 0 xOy (z = 0) область D , вычисляется по формуле
Пример. z = 2x+1, x= 0, у = 4,
Решение: Тело, ограниченное заданными поверхностями, представляет собой вертикальный параболический цилиндр, расположенный в I октанте. Сверху тело ограничено плоскостью z = 2x+1 , сбоку параболическим цилиндром у =x и плоскостями х = 0 и у = 4 , снизу
параболой у =x и прямыми х = 0 и у = 4 . Найдем точки пересечения параболы у =x и прямой у = 4 :
Получаем два решения: (-2; 4) и (2; 4). Значение не рассматриваем, т.к. цилиндр расположен в I октанте. Область D запишем в виде системы неравенств 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 4. Согласно формуле (3), получим
Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
Решение: Данное тело есть прямой круговой цилиндр, ограниченный сверху плоскостью
А снизу - кругом в плоскости z=0 . Область D в основании цилиндра запишем в виде системы неравенств
Согласно формуле (3), получим
Первый интеграл табличный и равен:
Второй интеграл вычисляется подстановкой ;следовательно, второй интеграл равен:
Окончательно находим
(куб. ед.).
Вычисление площади поверхности
Если поверхность задана уравнением z=f(x, у) и проектируется в область D плоскости хОу (z = 0), то площадь S поверхности вычисляется по формуле
(4)
yOz (x = 0), то уравнение поверхности следует решить относительно переменной х и формула примет вид
(5)
Если поверхность проектируется на плоскость хОу(у = 0), то уравнение поверхности следует решить относительно переменной у и формула примет вид
(6)
Пример. Вычислить площадь треугольника, образованного при пересечении плоскости
x + 3y + 2z = 6 с координатными плоскостями.
Решение: найдем отрезки, отсекаемые на координатных осях данной плоскостью:
Чтобы воспользоваться формулой (4), решим уравнение данной плоскости относительно переменной z
и найдем частные производные:
При z = 0 имеем х + 3у = 6 , откуда ; следовательно, в плоскости z = 0 область D запишется в виде системы неравенств
. Тогда
Пример. Вычислить площадь части поверхности цилиндра , заключенной между плоскостями z = 0, z = 4x, y = 0 .
Решение: искомая поверхность лежит в I октанте. Проекция поверхности на плоскость xOz (у = 0) есть прямоугольный треугольник, в котором ОА=х = 4 и уравнение гипотенузы OВ имеет вид z = 4x . Следовательно, область D в плоскости xOz определяется системой неравенств 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 4x
Поскольку заданная поверхность спроектирована на плоскость xOz, для вычисления площади поверхности применим формулу (6). Из уравнения цилиндра получим
(y ≥ 0)
Находим частные производные: 
Тогда 
Для вычисления последнего интеграла применили подстановку .
Пример.
Вычислить площадь части поверхности цилиндра , вырезанной цилиндром .
Решение: искомая поверхность образована пересечением двух цилиндров и . В эти уравнения поверхностей входят квадраты переменных, поэтому искомая поверхность симметрична относительно каждой из координатных плоскостей и для вычисления рассмотрим 1/8 ее часть, лежащую в I октанте.
Область интегрирования D представляет собой 1/4 часть круга , заключенного между положительными полуосями Ох и Оу , и определяется системой неравенств
, откуда 
Следовательно,
Задание
Вариант 1
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 
;
2. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями
, ограниченного плоскостями
2. Вычислите объем тела, ограниченного
3. Вычислите площадь части поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями z = 0, z = 2x, y = 0, x = 0.
4. Контрольные вопросы:
1. Назовите формулу для вычисления площади плоской фигуры;
2. Как найти объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у), снизу плоскостью z = 0 и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости xOy (z = 0 ) область D ?
3. По какой формуле вычисляется площадь S поверхности, если поверхность задана уравнением
z=f(x, у) и проектируется в область D плоскости хОу (z = 0 )?
5.1 Наименование работы
5.2 Цель работы
5.3 Задание
5.4 Формулы для расчета
5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов
5.6 Выводы по работе
5.7 Ответы на контрольные вопросы
6. Литература:
1. Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах: Учебное пособие - М. Новая волна, 2005, 2 кн., с. 453-457;
2. Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие - М. Высшая школа, 2003, с.375-381;
«в отрезках»
Каждое уравнение первой степени
Ах + By + Сz + D = 0
(в декартовых координатах) определяет плоскость. Если в этом уравнении отсутствует свободный член (D = 0), то плоскость проходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из текущих координат (т. е. какой либо из коэффициентов А, В, С равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая одноимённа с отсутствующей координатой; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость проходит через эту ось. Если в уравнении отсутствуют два члена с текущими координатами (какие-либо два из коэффициентов А, В, С равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноимённые с отсутствующими координатами; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью.
Если в уравнении плоскости
Ax + By + Cz + D = 0
ни один из коэффициентов А, В, С, D не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду
суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) называется уравнением плоскости в «отрезках».
940.
1) через точку М 1 (2; - 3; 3) параллельно плоскости Оху ;
2) через точку М 2 (l; -2; 4) параллельно плоскости Oxz ;
3) через точку М 3 (-5; 2; -1) параллельно плоскости Oyz.
941 . Составить уравнение плоскости, которая проходит:
1) через ось Ох и точку М 1 (4; -1; 2);
2) через ось Оу и точку М 2 (1; 4; -3);
3) через ось Oz и точку М 3 (3; -4; 7).
942. Составить уравнение плоскости, которая проходит:
1) через точки М 1 (7; 2; -3) и М 2 (5; 6; -4) параллельно оси Ох;
2) через точки P 1 (2; -1; 1) и Р 2 (3; 1; 2) параллельно оси Оу ;
3) через точки Q 1 (3; -2; 5) и Q 2 (2; 3; 1) параллельно оси Oz.
943 . Найти точки пересечения плоскости 2х - 3у - 4z- 24 = 0 с осями координат.
944 . Дано уравнение плоскости х + 2у - 3z - 6 = 0. Написать для неё уравнение «в отрезках».
945. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3х - 4у - 24z + 12 = 0 на координатных осях.
946. Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость
5х -6у + 3z + 120 = 0
от координатного угла Оху .
947. Вычислить объём пирамиды, ограниченной плоскостью 2х - 3у + 6z - 12 = 0 и координатными плоскостями.
948 . Плоскость проходит через точку M 1 (6; -10; 1) и отсекает на оси абсцисс отрезок a = - 3 и на оси апликат отрезок с = 2. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».
949 . Плоскость проходит через точки M 1 (1; 2; -1) и M 2 (-3; 2; 1) и отсекает на оси ординат отрезок b - 3. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».
950. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M 1 (2; -3; -4) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным из начала координат).
951. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки M 1 (-1; 4; -1), М 2 (-13; 2; -10) и отсекает на осях абсцисс и апликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.
952. Составить уравнения плоскостей, которые проходят через точку M 1 (4; 3; 2) и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой длины.
953 . Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок с = - 5 и перпендикулярной к вектору п = {-2; 1; 3 }.
954. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору l = {2; 1; -1} и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = 3, b = - 2.
955 . Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости 2х - 2у + 4z - 5 = 0 и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = - 2, b = .
9.2. Плоскость (задача 3) 131 9.2.7. Найдите расстояние d от точки P (1, 4, 5) до плоскости x − 2y − 2z + 3 = 0. Решение. Используя формулу подраздела 7.4 (задача 4), находим |1 − 8 − 10 + 3| 14 d= √ = . 1+4+4 3 9.2.8. Запишите уравнения плоскостей, удалённых от плоскости 2x + 6y + 3z − 6 = 0 на расстояние d = 5. Решение. Искомые плоскости параллельны данной, а потому их векторы нормали можно взять совпадающими с вектором нормали N = (2, 6, 3) данной плоскости. Таким образом, искомое уравнение имеет вид 2x + 6y + 3z + D = 0. Осталось определить свободный член D. Возьмём любую точку на данной плоскости, например M0 (3, 0, 0). По условию она удалена от плоскости 2x + 6y + 3z + D = 0 |6 + D| |6 + D| на расстояние d = 5. Поэтому √ = 5, = 5, 6 + D = 4 + 36 + 9 7 = ±35. Отсюда D1 = 29, D2 = −41. Имеем две плоскости 2x+6y+3z+ +29 = 0 и 2x + 6y + 3z − 41 = 0, удалённые от данной точки на рас- стояние d = 5. Ответ. 2x + 6y + 3z + 29 = 0, 2x + 6y + 3z − 41 = 0. Задачи для самостоятельного решения 9.2.9. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (−1, 2, −3) перпендикулярно вектору N = (3, −2, 5). Ответ. 3x − 2y + 5z + 22 = 0. 9.2.10. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (3, 0, −4) параллельно плоскости x − 4y + 2z + 6 = 0. Ответ. x − 4y + 2z + 5 = 0. 9.2.11. Запишите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: M1 (0, −1, 2), M2 (2, 0, 3), M3 (−3, 4, 0). Ответ. 7x − y − 13z + 25 = 0. 9.2.12. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки M1 (−2, 1, 4) и M2 (0, 3, 1) перпендикулярно плоскости 4x + 3y − 5z+ +4 = 0. Ответ. x + 2y + 2z − 8 = 0. 9.2.13. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (−5, 2, −1) параллельно плоскости OXZ. Ответ. y − 2 = 0. 9.2.14. Вычислите площадь треугольника, который отсекает плоскость 5x − 6y + 3z + 120 = 0 от координатного угла OXY . Ответ. 240. 132 9. Методические указания (контрольная работа №2) 9.2.15. Вычислите объём пирамиды, ограниченной плоскостью 2x − 3y + 6z − 12 = 0 и координатными плоскостями. Ответ. 8. 9.2.16. На оси OY найдите точку, отстоящую от плоскости x + 2y − 2z − 2 = 0 на расстояние d = 4. Ответ. (0, 7, 0), (0, −5, 0). 9.3. Прямая в пространстве (задачи 4, 5, 6) Необходимо изучить подраздел 7.5. Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, (1) A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 общее уравнение прямой, где N1 = (A1 , B1 , C1) N2 = (A2 , B2 , C2). Если известен направляющий вектор l = (m, n, p) прямой и какая- нибудь точка M0 (x0 , y0 , z0) на ней, то прямую можно определить соотношением r = r0 + tl, (2) где r0 радиус-вектор точки M0 , r радиус-вектор любой точки прямой, t(−∞ < t < +∞) числовой параметр. В координатной форме уравнение (2) можно записать в двух ви- дах: x = x + tm, 0 y = y0 + tn, (3) z = z0 + tp x − x0 y − y0 z − z0 и = = . (4) m n p Соотношения (3) называют параметрическими, а (4) кано- ническими уравнениями прямой. Подчеркнём, что в параметриче- ских уравнениях прямой коэффициенты при параметре t определя- ют координаты направляющего вектора. Нужно уметь переходить от уравнения прямой в форме (1) к уравнениям прямой в формах (3) и (4). Покажем, как это сделать. Уравнения (1) можно рассматривать как систему относи- тельно неизвестных x, y, z. Так как векторы N1 = (A1 , B1 , C1) и N2 = (A2 , B2 , C2) непараллельны, то один из определителей A1 B1 A1 C1 B1 C1 D1 = , D2 = или D3 = не равен A2 B2 A2 C2 B2 C2 нулю. Следовательно, ранг основной матрицы системы, а пото- му и расширенной, равен двум. Поэтому в системе (1) одно неиз- вестное свободное, а два других зависимые. Если, например, 9.3. Прямая в пространстве (задачи 4, 5, 6) 133 D1 = (A1 B2 − A2 B1) = 0, то в качестве свободного можно принять неизвестное z, а в качестве зависимых x и y. Разрешая си- стему (1) относительно x и y, получаем общее решение системы x = αz + γ, y = βz + δ. Положив z = t, находим параметрические уравнения x = αt + γ, x−γ y−δ z−0 y = βt + δ, и канонические уравнения = = z=t α β 1 прямой. Заметим, что направляющий вектор l параллелен вектору , поскольку l⊥N1 и l⊥N2 . Параметрические и канонические уравнения прямой определяют- ся неоднозначно, поскольку точку M0 (x0 , y0 , z0) можно выбрать на прямой многими способами, направляющий вектор l определяется также с точностью до скалярного множителя, т.е. если l направ- ляющий, то вектор λl (λ = 0) также направляющий. Итак, чтобы записать уравнение прямой, необходимо найти либо две плоскости, проходящие через эту прямую, либо её направляющий вектор и точку, лежащую на прямой. Две прямые r = r1 + tl1 и r = r2 + tl2 могут быть параллель- ными, если l1 l2 ; совпадать, если r1 − r2 l1 l2 ; пересекаться, если (r1 − r2 , l1 , l2) = 0; скрещиваться, если (r1 − r2 , l1 , l2) = 0. Напомним, что здесь r1 и r2 радиусы-векторы каких-нибудь точек, лежащих на первой или второй прямой соответственно, а l1 и l2 направляющие векторы. Следующие простые задачи (9.3.1 9.3.5) встречаются во многих более сложных. 9.3.1. Запишите параметрические и канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями: 2x + 3y + z − 16 = 0, (а) x + 2y − z + 6 = 0. 2 3 Решение. Так как D = = 1 = 0, то неизвестное z си- 1 2 стемы (а) можно принять в качестве свободного и записать 2x + 3y = 16 − z, Находим общее решение этой системы, выра- x + 2y = −6 + z. x = −5z + 50, жая x и y через z: Полагая z = t, записываем пара- y = 3z − 28. x = −5t + 50, x − 50 y + 28 z метрические y = 3t − 28, и канонические = = z=t −5 3 1 134 9. Методические указания (контрольная работа №2) уравнения прямой. Точка M0 (50, −28, 0) получена из параметриче- ских уравнений при t = 0. В качестве точки M0 можно взять и дру- гую точку, например (0, 2, 10), получающуюся при t = 10. Ответ. l = (−5, 3, 1); M0 (50, −28, 0). 9.3.2. Запишите канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M1 (1, −3, 4) и M2 (−2, 1, 2). Решение. В качестве направляющего вектора можно взять вектор l = M1 M2 = (−3, 4, −2), а в качестве точки M0 любую из точек M1 x−1 y+3 z−4 или M2 . Поэтому = = канонические уравнения −3 4 −2 прямой M1 M2 . x = 3t − 2, 9.3.3. Найдите точку M0 пересечения прямой y = −2t + 3, и z = 4t − 1 плоскости x + 2y + 4z − 30 = 0. Решение. Находим то значение параметра t0 , при котором происходит пересечение прямой и плоскости. Так как точка M0 (3t0 − 2, −2t0 + 3, 4t0 − 1) лежит в данной плоскости, то её коор- динаты удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, 3t0 − −2 + 2(−2t0 + 3) + 4(4t − 1) − 30 = 0, 3t0 − 2 − 4t0 + 6 + 16t − 4 − 30 = = 15t0 − 30 = 0, t0 = 2. Полагая в параметрических уравнениях прямой t = 2, находим точку пересечения M0 (4, −1, 7). Ответ. (4, −1, 7). x = 3t − 4, x = 2t − 5, 9.3.4. Докажите, что прямые y = −2t + 1, и y = −3t + 5, z =t+3 z = 4t − 4 пересекаются. Найдите уравнение плоскости, в которой они распо- ложены. Решение. Как мы уже отмечали, условием пересечения двух пря- мых является выполнение равенства (r1 − r2 , l1 , l2) = 0. В нашем случае r1 = (−4, 1, 3), r2 = (−5, 5, −4), l1 = (3, −2, 1), l2 = (2, −3, 4). Находим −1 4 −7 −1 4 −7 (r1 − r2 , l1 , l2) = 3 −2 1 = 0 10 −20 = 0, 2 −3 4 0 5 −10 т.е. прямые пересекаются. Плоскость, в которой они расположены, параллельна векторам l1 , l2 и проходит через точку M1 (−4, 1, 3). В качестве вектора нормали i j k можно взять N = = 3 −2 1 = (−5i − 10j − 5k) (1, 2, 1). 2 −3 4 9.3. Прямая в пространстве (задачи 4, 5, 6) 135 Поэтому уравнение плоскости можно записать в виде x + 2y + z+ +D = 0. Поскольку плоскость проходит через точку M1 (−4, 1, 3), то −4 + 2 + 3 + D = 0, D = −1. Уравнение x + 2y + z − 1 = 0 является искомым. Ответ. x + 2y + z − 1 = 0. x = 2t + 1, x = t + 4, 9.3.5. Докажите, что прямые y = 3t + 4, и y = 2t + 8, z = −2t + 3 z = 3t − 4 пересекаются. Найдите координаты точки M0 их пересечения. Решение. Доказать, что прямые пересекаются можно так же, как и в задаче 9.3.4. Но мы рассмотрим другой способ решения. Если данные прямые пересекаются, например, в точке M0 (x0 , y0 , z0), то существуют значения параметра t = t1 для первой прямой и t = t2 для другой, которые соответствуют одной и той же точке M0 . Поэто- 2t1 + 1 = t2 + 4, 2t1 − t2 = 3, му получаем систему 3t1 + 4 = 2t2 + 8, или 3t1 − 2t2 = 4, −2t1 + 3 = 3t2 − 4, 2t1 + 3t2 = 7. Имеем систему трёх уравнений с двумя неизвестными t1 и t2 . Ес- ли система совместна, то прямые пересекаются, если несовместна, то не пересекаются. Записываем основную и расширенную матрицу 2 −1 | 3 |2 −1| | 3 системы: 3 −2 | 4 → |0 −1| | − 1 (первую строку умно- 2 3 |7 0 4 | 4 жили на три и вычли её из второй, умноженной на два, затем первую строку вычли из последней). Видим, что ранг основной и расширенной матриц равен двум, т.е. система совместна, и прямые пересекаются. Данная система эк- 2t1 − t2 = 3, вивалентна системе Следовательно, t2 = 1, t1 = 2. −t2 = −1. Положив в уравнении первой прямой t = 2 (второй прямой t = 1), найдём точку пересечения M0 (5, 10, −1). 9.3.6. Найдите точку Q, являющуюся проекцией точки P (−46, 2, −12) на прямую L x − 2y + z + 12 = 0, (б) 2x + 3y − z − 22 = 0. Найдите точку S, симметричную точке P относительно этой прямой. Решение. Точку Q найдём как точку пересечения прямой L c плоскостью Π, проходящей через точку P перпендикулярно прямой L. Запишем параметрические уравнения прямой L. Так −2 1 как = 0, то неизвестное x можно принять в качестве 3 −1 136 9. Методические указания (контрольная работа №2) свободного системы (б). Положим x = t и выразим из системы (б) неизвестные y и z через t. x = t, y = −3t + 10, (в) z = −7t + 8 параметрические уравнения данной прямой. Направляющий вектор l = (1, −3, −7) можно принять в качестве вектора нормали плос- кости Π. Записываем уравнение плоскости Π: x − 3y − 7z + D = 0, −46 − 6 + 84 + D = 0 (поскольку точка P лежит в плоскости Π), D = −32. Уравнение плоскости Π: x − 3y − 7z − 32 = 0. Находим точку пересечения прямой (в) с плоскостью Π (см. задачу 9.3.3): t − 3(−3t + 10) − 7(−7t + 8) − 32 = 0, 59t − 118 = 0, t = 2. Из (в) при t = 2 находим координаты точки Q(2, 4, −6). Координаты точки S обозначим (x, y, z). Так как точка Q середина отрезка P S −46 + x 2+y (рис. 9.5), то = 2, x = 50; = 4, 2 2 −12 + z y = 6; = −6, z = 0, S(50, 6, 0). 2 Ответ. Q(2, 4, −6); S(50, 6, 0). Рис. 9.5. 9.3.7. Найдите координаты точки Q, являющейся проекцией точ- ки P (−2, 1, 4) на плоскость x − 4y + 5z + 28 = 0. Найдите координа- ты точки S, симметричной точке P относительно данной плоскости. Решение. Точку Q находим как точку пересечения прямой L, про- ходящей через точку P перпендикулярно данной плоскости. Прямая L параллельна вектору нормали N = (1, −4, 5) плоскости, поэтому вектор N является направляющим для этой прямой. Записываем па- x = t − 2, раметрические уравнения прямой L: y = −4t + 1, и находим точ- z = 5t + 4 ку пересечения её с плоскостью: (t−2)−4(−4t+1)+5(5t+4)+28 = 0, 42t + 42 = 0; t = −1. Следовательно, Q(−3, 5, −1). (В уравнении пря- мой положили t = −1.) Координаты точки S находим таким же спо- собом, как и в задаче 9.3.6: S(−4, 9, −6). Ответ. Q(−3, 5, −1); S(−4, 9, −6). 9.3.8. Найдите расстояние d от точки P (1, −2, 3) до прямой L x = 2t + 4, y = −t + 3, z = 2t − 1. 9.3. Прямая в пространстве (задачи 4, 5, 6) 137 Решение. В п. 7.5 (задача 2) приведена формула вычисле- || ния расстояния d от точки до прямой: d = , где r1 l радиус-вектор данной точки, r0 радиус-вектор какой-нибудь точ- ки прямой, l направляющий вектор прямой. В нашем случае r1 = (1, −2, 3), r0 = (4, 3, −1), l = (2, −1, 2). Находим i j k = −3 −5 4 = −6i + 14j + 13k, 2 −1 2 √ || = 62 + 142 + 132 = 401, √ √ 401 |l| = 4 + 1 + 4 = 3; d = . 3 √ 401 Ответ. . 3 Если прямая L задана общим уравнением, то нужно перейти к параметрическим, как это сделано в задаче 9.3.1. 9.3.9. Найдите расстояние d между скрещивающимися прямыми L1 и L2 , заданными параметрическими уравнениями: x = t + 2, x = 2t + 1, y = 2t + 1, y = 2t + 4, z = t + 3, z = t + 2. Решение. В п. 7.5 (задача 3) приведена формула вычисления ве- личины d: |(r2 − r1 , l1 , l2)| d= , || где r1 , r2 радиусы-векторы точек, лежащих на первой (второй) прямой, l1 , l2 направляющие векторы этих прямых. В нашем слу- чае r1 = (2, 1, 3), r2 = (1, 4, 2), l1 = (1, 2, 1), l2 = (2, 2, 1). −1 3 −1 −1 3 −1 Вычисляем: (r2 −r1 , l1 , l2) = 1 2 1 = 0 5 0 = 5; 2 2 1 2 2 1 5 √ = j − 2k; d = √ = 5. √ 1+4 Ответ. 5. 9.3.10. Дано, что прямая L пересекает ось ординат в точке (0, 4, 0), параллельна плоскости x + 2y + 3z + 2 = 0 и перпендику- лярна оси OZ. Найдите координаты точки Q пересечения этой пря- мой с плоскостью Y = 0. 138 9. Методические указания (контрольная работа №2) Решение. Неизвестен направляющий вектор l прямой L. Пусть l = (m, n, p). По условию задачи вектор l параллелен плоскости x + 2y + 3z + 2 = 0, следовательно, он перпендикулярен вектору её нормали N = (1, 2, 3). Поэтому (l, N) = 0, m + 2n + 3p = 0. Вектор l также перпендикулярен оси OZ, т.е. вектору k = (0, 0, 1), следо- вательно, p = 0. Таким образом, m + 2n = 0. Положим n = 1, тогда m = −2, т.е. l = (−2, 1, 0). Запишем каноническое уравнение прямой x y−4 z L: = = . Полагая в этом уравнении y = 0, получим x = 8, −2 1 0 z = 0. Точка Q имеет координаты (8, 0, 0). Ответ. (8, 0, 0). Замечание. Из условия перпендикулярности прямой L оси OZ не следует, что прямая L пересекает ось OZ, следует лишь перпенди- кулярность вектора l оси OZ. 9.3.11. Две прямые, пересекающиеся в точке P (2, 3, 1), парал- лельны плоскости x + 2y + 2z − 4 = 0. Одна из них пересекает ось OZ, а вторая ось OY . Найдите косинус острого угла между на- правляющими векторами этих прямых. Решение. Одна из прямых проходит через точку P (2, 3, 1) и точку M1 (0, 0, z0), а вторая через точку P (2, 3, 1) и точку M2 (0, y0 , 0). Поэтому их направляющими векторами l1 и l2 являют- ся векторы PM1 и PM2 , следовательно, l1 = (−2, −3, z0 − 1), l2 = = (−2, y0 − 3, −1). По условию задачи векторы l1 и l2 параллель- ны плоскости x + 2y + 2z − 4 = 0, т.е. перпендикулярны вектору N = (1, 2, 2). Поэтому (l1 , N) = 0, −2 − 6 + 2(z0 − 1) = 0, (l2 , N) = = −4 + 2(y0 − 3) = 0. Отсюда z0 = 5; y0 = 5. Таким образом, l1 = = (−2, −3, 4), l2 = (−2, 2, −1). Находим косинус угла между векто- рами l1 и l2: (l1 , l2) 4−6−4 2 cos ϕ = =√ √ =− √ . |l1 ||l2 | 4 + 9 + 16 4 + 4 + 1 3 29 2 Ответ. cos ϕ = − √ . 3 29 9.3.12. Прямая L проходит через точку P (1, 2, −4), пересекает x = t + 2, ось OX в точке Q(x0 , 0, 0) и пересекает прямую y = 3t − 1, Най- z = 4t + 3. дите x0 . Решение. Как нам известно, условием пересечения двух пря- мых является равенство (r2 − r1 , l1 , l2) = 0. В нашем случае r2 = (1, 2, −4), r1 = (2, −1, 3), l1 = (1, 3, 4), l2 = PQ = (x0 − 1, −2, 4). 9.3. Прямая в пространстве (задачи 4, 5, 6) 139 −1 3 −7 Находим (r2 − r1 , l1 , l2) = 1 3 4 = x0 − 1 −2 4 3 −7 −1 −7 −1 3 = (x0 − 1) +2 +4 = 3 4 1 4 1 3 = 33(x0 − 1) + 6 − 24 = 0, 33x0 − 33 + 6 − 24 = 0, 33x0 − 33 + 6 − 24 = 0, 17 33x0 = 51; x0 = . 11 17 Ответ. . 11 9.3.13. Запишите уравнение плоскости Π, проходящей через пря- x + 2y + 3z − 1 = 0, мую параллельно вектору AB = (3, −4, 5). x − 3y + 2z + 4 = 0 Решение. Плоскость Π параллельна направляющему вектору l прямой и вектору AB, поэтому вектор N = является векто- ром нормали. Найдём вектор l. Разрешив данную систему относительно x и z (y свободное x = 13y − 14, неизвестное), получим Полагая y = t, запишем па- z = 5 − 5y. x = 13t − 14, раметрические уравнения прямой y = t, Видим, что век- z = −5t + 5. тор l = (13, 1, −5) направляющий прямой и что точка M0 (−14, 0, 5) лежит на прямой. Находим i j k N = = 3 −4 5 = (15i + 80j + 55k) (3, 16, 11). 13 1 −5 Записываем уравнение плоскости 3x + 16y + 11z + D = 0. Точка M0 лежит на плоскости, поэтому −42 + 55 + D = 0; D = −13. Уравнение 3x + 16y + 11z − 13 = 0 искомое. Ответ. 3x + 16y + 11z − 13 = 0. Задачи для самостоятельного решения 9.3.14. Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскости 5x − 7y + 2z − 3 = 0 с плоскостью z = 0. x − 0,6 y z Ответ. = = . 7 5 0 140 9. Методические указания (контрольная работа №2) 9.3.15. Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M0 (2, 4, −3) параллельно вектору l = (5, −2, 3). x−2 y−4 z+3 x = 5t + 2, Ответ. = = ; y = −2t + 4, 5 −2 3 z = 3t − 3. 9.3.16. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через точки M1 (3, −2, 2) и M2 (0, 1, −2), и найдите точку её пересече- ния с плоскостью Z = 0. x−3 y+2 z−2 3 1 Ответ. = = ; ,− ,0 . 3 −3 4 2 2 2x − 3y + 5z − 6 = 0, 9.3.17. Докажите, что прямая пересе- x + 5y − 7z + 10 = 0 кает ось OY . Укажите координаты точки пересечения. Ответ. (0, −2, 0). 9.3.18. Запишите параметрические уравнения прямой x − 2y + 3z − 4 = 0, 3x + 2y − 5z − 4 = 0. x = 2t + 2, Ответ. y = 7t − 1, z = 4t. 9.3.19. Составьте канонические уравнения проекции прямой 5x − 4y − 2z − 6 = 0, на плоскость 2x − y + z − 3 = 0. x + 2z − 2 = 0 x−2 y−1 z Ответ. = = . 2 3 −1 9.3.20. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей 3x − y + 2z − 7 = 0, через точку M0 (2, 3, 5) параллельно прямой x + 3y − 2z + 3 = 0. x−2 y−3 z−5 Ответ. = = . 2 −4 −5 9.3.21. Докажите, что прямые, заданные параметрическими x = 2t − 3, x = t + 5, уравнениями y = 3t − 2, и y = −4t − 1, пересекаются, и z = −4t + 6 z =t−4 найдите их точку пересечения. Ответ. (3, 7, −6).