Дан куб а в и с середины.

Главная

Бунин

А D С В А D B C Е F Задача 1. Дано: АВСDАВСD - куб, Е – середина ребра АВ, F – середина ребра ВС. Найти: косинус угла между прямыми АЕ и ВF. Решение. Построим проекцию отрезка ВF на плоскость АDD - АF. F АFǁ ВF, следовательно, угол ЕАF равен углу между АЕ и ВF. Косинус угла ЕАF найдем из треугольника ЕАF. Пусть ребро куба равно а. а Ответ: 0,8.

Задача 2. Дано: АВСDАВСD - куб, Е – середина ребра АВ, F – середина ребра СD. Найти: косинус угла между прямыми АЕ и ВF. D С D B C Е F А В А Решение. Построим проекцию отрезка АЕ на плоскость СDD - DF. DFǁ АЕ, следовательно, угол DFВ равен углу между АЕ и ВF. Косинус угла DFB найдем из треугольника DFB. Пусть ребро куба равно а. а

Задача 3. D С D B C Е А В А а Дано: АВСDАВСD - куб, Е – середина ребра АВ. Найти: косинус угла между прямыми АЕ и ВD. Решение. Выполним параллельный перенос отрезка АЕ в плоскости АВВ, получим отрезок ВЕ. Е ВЕ ǁ АЕ, следовательно, угол DВЕ равен углу между АЕ и ВD. Косинус угла DВЕ найдем из треугольника DВЕ. Пусть ребро куба равно а.

Задача 4. А В С АВ С Дано: АВСАВС - правильная призма, все ребра равны 1, D – середина ребра АВ, Е – середина ребра ВС. Найти: косинус угла между прямыми АD и ВЕ. D Е Решение. Выполним параллельный перенос отрезка АD в плоскости АВВ, получим отрезок ВD. D ВD ǁ АD, следовательно, угол DВЕ равен углу между АD и ВЕ. Косинус угла DВЕ найдем из треугольника DВЕ. 1 Угол СВD = 120°, т.к. смежный с углом равностороннего треугольника. Значит по теореме косинусов ЕD = Ответ: 0,7.

Задача 5. А В С D S Дано: SАВСD - правильная пирамида, все ребра равны 1, Е – середина ребра SВ, F – середина ребра SС. Найти: косинус угла между прямыми АЕ и ВF. Е F 1 А АF ǁ АЕ, следовательно, угол ВFА равен углу между АЕ и ВF. Косинус угла ВFА найдем из треугольника ВFА.

Задача 6. Дано: АВСDАВСD - куб, Е – середина ребра АВ. Найти: синус угла между прямой АЕ и плоскостью ВDD. D С D B C Е А В А а Решение. Выполним параллельный перенос отрезка АЕ в плоскости АВВ, получим отрезок FВ. F Построим перпендикуляр FK. К ВК – проекция наклонной FB на плоскость ВDD. Значит угол FBK – искомый. Найдем его синус. Пусть ребро куба равно а.

Вариант № 11669464

Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная десятичная дробь. Дробную часть от целой отделяйте десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать ответы на задания части С или загрузить их в систему в одном из графических форматов. Учитель увидит результаты выполнения заданий части В и сможет оценить загруженные ответы к части С. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Версия для печати и копирования в MS Word

С вершиной сторона основания равна Через прямую проведено сечение перпендикулярное ребру , площадь которого равна 18. Найти длину бокового ребра пирамиды.

SABCD с вершиной S сторона основания равна 1. Объем пирамиды равен Через сторону основания CD проведено сечение, которое делит пополам двугранный угол, образованный боковой гранью SCD и основанием. Найдите площадь сечения.

Решения заданий части С не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB , точка Q на ребре BC , точка R на ребре CD взяты так, что Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S . Найти величину угла между прямыми SP и SQ .

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагонали AC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC . Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45°. Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и плоскостью основания равен сторона основания равна 1, SH - высота пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку H параллельно ребрам SA и BC .

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскость проходит через прямую A 1 B 1 и середину ребра DD 1 . Найти расстояние от середины ребра DC до плоскости, если ребро куба равно 4.

В основании прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 лежит ромб ABCD со стороной и углом А , равным На ребрах AB, B 1 C 1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE , B 1 F = FC 1 и DG = 3GC . Найдите косинус угла между плоскостями EFG и ABC , если высота призмы равна 4,5.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с основанием ABCD точка M - середина ребра PA , точка K - середина ребра PB. Найдите расстояние от вершины A до плоскости CMK , если PC = 6, AB = 4.

В правильной треугольной призме все ребра которой равны, точка - середина Найдите угол между плоскостью и плоскостью где - середина

Дана правильная треугольная призма , стороны основания которой равны Найдите угол между прямыми и , если сумма длин всех сторон обеих оснований равна

Дан куб c ребром, равным 4. Пусть точка лежит на стороне так, что Найдите расстояние от точки до плоскости , где - середина

Дан единичный куб Пусть точка - середина Найдите расстояние от точки до прямой

Сфера с центром в точке вписана в прямоугольный параллелепипед Найдите угол между прямыми и где - середина

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , в основании которого лежит квадрат со стороной 1. На плоскости основания имеется квадрат CDKM . В этот квадрат вписана окружность, которая является основанием цилиндра с высотой, равной длине отрезка AA 1 . Найдите расстояние от середины основания цилиндра до точки пересечения диагоналей параллелепипеда, если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 2.

Дан куб c ребром 5 см. Точка движется по сторонам квадрата со скоростью 1см/с, стартуя из точки Двигаясь в направлении точка через 7 секунд остановилась. Найти угол между плоскостью и плоскостью где - середина

В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние между прямыми и

В основании прямой призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом и гипотенузой Найти расстояние от точки до прямой если точка - середина ребра которое равно

В кубе с ребром 1 на ребре и выбраны точки и соответственно так, что а Найти расстояние между прямыми и

В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите угол между плоскостями и

К диагонали куба провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Диагональ куба служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через вершины и Найдите величину этого угла.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S на сторонах AB и AC выбраны точки M и K соответственно так, что треугольник AMK подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия На прямой MK выбрана точка E так, что ME : EK = 7: 9. Найти расстояние от точки E до плоскости BSC , если сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна

В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной , со стороной основания, равной и боковым ребром 5 найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через середины и и вершину

Точки - середины ребер и соответственно куба Найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой

В правильной призме со стороной основания, равной и высотой, равной 2, проведено сечение через прямую которое делит призму на 2 многогранника равных объемов. Найти площадь сечения.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом А , равным 30°. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через меньший катет BC одного основания и середину гипотенузы противоположного основания призмы, если расстояние между основаниями призмы равно расстоянию от вершины А до искомого сечения и равно 6.

В пирамиде объемом 18 в основании лежит равнобедренный треугольник Боковая грань, проходящая через основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости основания пирамиды. На ребре отмечена точка так, что прямая образует угол с плоскостью основания, а объем пирамиды в два раза меньше объема пирамиды Найти площадь сечения если треугольник равносторонний.

Точка - середина стороны основания правильной треугольной призмы Боковое ребро призмы равно а сторона основания равна 12. Найдите синус угла между прямой и плоскостью боковой грани

В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.

Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра.

Основанием четырехугольной пирамиды является квадрат а высота пирамиды совпадает с ребром Найти высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3, а сторона квадрата равна 15.

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

Площадь треугольника, образованного диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S , вдвое больше площади её основания.

а) Постройте это сечение;

б) Найдите косинус плоского угла при вершине пирамиды.

В прямую призму ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , нижним основанием которой является ромб ABCD, а AA" , BB" , CC" , DD" - боковые ребра, вписан шар радиуса 1.

а) Постройте плоскость, проходящую через вершины A, B, C" .

б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что

В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 лежит квадрат ABCD со стороной, равной 3. Боковое ребро параллелепипеда равно 4. На ребре AA 1 отмечена точка M так, что AM : A 1 M = 1: 3.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью BMD 1 .

На боковых ребрах правильной треугольной призмы расположены точки и М соответственно. Известно, что угол между прямыми и АВ равен а угол между прямым КМ и АС –

а) Постройте плоскость, проходящую через точки и М.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота PO равна а сторона основания равна 6. Из точки О на ребро PC опущен перпендикуляр ОН . Докажите, что прямая PC перпендикулярна прямой DH . Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани.

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка K - середина ребра C 1 D 1 , точка P - середина ребра AD , точка M - середина ребра CC 1 .

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, P и M .

б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба рано 6.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD боковое ребро PA = 6, а сторона основания Через вершину А перпендикулярно боковому ребру PC проведена плоскость.

а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.

б) Найдите площадь полученного сечения.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра и SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM , где M - точка пересечения медиан грани SBC.

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторона основания равна а боковое ребро равно 2. Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 .

В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по а все остальные ребра равны по 2. Найдите объем пирамиды.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC ) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP - равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP , если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 все ребра равны 1. Точка E - середина ребра АС .

а) Постройте сечение призмы плоскостью A 1 B 1 E ;

б) Найдите площадь этого сечения.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна боковое ребро составляет с высотой угол Плоскость проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью

б) Определите объем прилегающей к вершине части пирамиды.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 4. Точка N - середина СВ , а точка M лежит на ребре AA 1 , причем AM : MA 1 = 3: 1. Определите расстояние между прямыми MN и BC 1 .

В правильной треугольной пирамиде SABC точка М - середина ребра SC , точка K - середина ребра AB .

а) Докажите, что прямая MK делит высоту SH пирамиды в отношении 1: 3.

б) Найдите угол между прямой MK и плоскостью ABC , если известно, что AB = 6, SA = 5.

ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 . Через точки B , D 1 , F 1 проведена плоскость β.

а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро AA 1 в такой точке M , что AM : A 1 M = 1: 2.

б) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью основания призмы, если известно, что AB = 1, AA 1 = 3.

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 . Через точки B , D 1 , F 1 проведена плоскость

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости DCC 1 .

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если известно, что AB = 1, AA 1 = 3.

В основании прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC = 8 и BD = 6.

а) Докажите, что прямые BD 1 и AC перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми BD 1 и AC , если известно, что боковое ребро призмы равно 12.

В правильной треугольной пирамиде PABC боковое ребро равно 10, а сторона основания равна Через точки В и С перпендикулярно ребру проведена плоскость α.

Задание.

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его ребер AB, B 1 C 1 , AD.

б) Найдите угол между плоскостью A 1 BD и плоскостью, проходящей через середины ребер AB, B 1 C 1 , AD.

Решение:

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его ребер AB , B 1 C 1 , AD .

Пусть точки P, M и K – середины ребер AB, B 1 C 1 , AD соответственно. Построим плоскость MPK. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Точки Р и К секущей плоскости принадлежат ребрам куба, поэтому Р и К – вершины многоугольника-сечения, а отрезок РК – его сторона. Построим остальные вершины и стороны сечения.

Прямая РК расположена в одной плоскости АВС с прямыми ВС и DС, пересекает эти прямые соответственно в точках Т 1 и Т 3 .

Поэтому Т 1 лежит в плоскости АВС (как точка прямой ВС) и Т 1 лежит в плоскости сечения (как точка прямой РК), значит, Т 1 – точка пересечения секущей плоскости и прямой ВС.

Аналогично, Т 3 лежит в плоскости АВС (как точка прямой DC) и Т 3 лежит в плоскости сечения (как точка прямой РК), значит, Т 3 – точка пересечения секущей плоскости и прямой DC.

В плоскости ВСС 1 лежат точки Т 1 и М, принадлежащие секущей плоскости, поэтому Т 1 М – прямая пересечения секущей плоскости и плоскости ВСС 1 .

Прямая Т 1 М расположена в одной плоскости ВСС1 с прямыми ВВ 1 и СС 1 , пересекает эти прямые соответственно в точках F и Т 2 . Поэтому F лежит в плоскости ВСС 1 (как точка прямой ВВ 1) и F лежит в плоскости сечения (как точка прямой Т 1 М), значит, F – точка пересечения секущей плоскости и прямой ВВ 1 ; точка F – еще одна вершина многоугольника-сечения, а отрезки FM и PF – его стороны.

Аналогично, точка Т 2 – точка пересечения прямой Т 1 М и СС 1 есть точка пересечения секущей плоскости с прямой СС 1 .

Прямая Т 2 Т 3 – прямая пересечения секущей плоскости и плоскости DCC 1 пересекает ребра D 1 C 1 и DD 1 соответственно в точках E и N, которые также являются вершинами многоугольника-сечения данного куба. Тогда отрезки ME, NE и NK – стороны этого сечения.

Таким образом, получаем многоугольник KPFMEN – искомое сечение данного куба плоскостью MPK. Отрезки PK, NE и NK проводим штриховыми линиями, как невидимые.

б) Найдите угол между плоскостью A 1 BD и плоскостью, проходящей через середины ребер AB , B 1 C 1 , AD .

Построим плоскость A 1 BD, для этого соединим точки A 1 , B и D. Треугольник ∆ A 1 BD – секущая плоскость A 1 BD.

Плоскость A 1 BD и плоскость МРК имеют общие точки пересечения L и Q, значит, эти плоскости пересекаются по прямой LQ.

Найдем угол между плоскостями A 1 BD и МРК. КР – средняя линия треугольника ABD, значит, KP параллельна BD, а BD лежит в плоскости A 1 BD, значит, KP параллельна плоскости A 1 BD. Получим, LQ параллельна KP и LQ параллельна BD.

Треугольник ∆ A 1 BD – равнобедренный, тогда А 1 О – медиана и высота, А 1 О перпендикулярна BD и LQ. Аналогично, С 1 О перпендикулярна BD и LQ, значит, С 1 О параллельна RH. Следовательно, угол ∠А 1 RH – линейный угол между плоскостями A 1 BD и МРК. Угол ∠А 1 RH равен углу ∠А 1 ОС 1 .

Рассмотрим треугольник ∆ А 1 ОС 1 . Так как за величину угла между двумя плоскостями берется величина острого двугранного угла (взят модуль), по теореме косинусов найдем величину угла ∠А 1 ОС 1 , получим

(1)

Пусть ребро куба равно 1.

Рассмотрим треугольник ∆АВС:

АС 2 = АВ 2 + ВС 2

АС 2 = 1 2 + 1 2 = 2

А 1 С 1 = АС = √2

Рассмотрим треугольник ∆ОСС 1:

ОС 1 2 = ОС 2 + СС 1 2

Разделы