Поверхность определяется как множество точек , координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений:

Если функция F (x , y , z) {\displaystyle F(x,\,y,\,z)} непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью .

Помимо указанного выше неявного способа задания , поверхность может быть определена явно , если одну из переменных, например, z, можно выразить через остальные:

Более строго, простой поверхностью называется образ гомеоморфного отображения (то есть взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности единичного квадрата. Этому определению можно дать аналитическое выражение.

Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и v задан квадрат , координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Примером простой поверхности является полусфера. Вся же сфера не является простой поверхностью . Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности.

Подмножество пространства, у каждой точки которого есть окрестность, являющаяся простой поверхностью , называется правильной поверхностью .

Поверхность в дифференциальной геометрии

Геликоид

Катеноид

Метрика не определяет однозначно форму поверхности. Например, метрики геликоида и катеноида , параметризованных соответствующим образом, совпадают, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины (изометрия). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при её изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус) .

Метрические коэффициенты E , F , G {\displaystyle E,\ F,\ G} определяют не только длины всех кривых, но и вообще результаты всех измерений внутри поверхности (углы, площади, кривизна и др.). Поэтому всё, что зависит только от метрики, относится к внутренней геометрии.

Нормаль и нормальное сечение

Векторы нормали в точках поверхности

Одной из основных характеристик поверхности является её нормаль - единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке:

Знак нормали зависит от выбора координат.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол θ {\displaystyle \theta } . Тогда кривизна k {\displaystyle k} кривой связана с кривизной k n {\displaystyle k_{n}} нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье :

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

Здесь D (y , z) D (u , v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x , y) D (u , v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | {\displaystyle {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y"_{u}&y"_{v}\\z"_{u}&z"_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z"_{u}&z"_{v}\\x"_{u}&x"_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x"_{u}&x"_{v}\\y"_{u}&y"_{v}\end{vmatrix}}} .

Все производные берутся в точке (x 0 , y 0 , z 0) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} .

Кривизна

Для разных направлений в заданной точке поверхности получается разная кривизна нормального сечения, которая называется нормальной кривизной ; ей приписывается знак плюс, если главная нормаль кривой идёт в том же направлении, что и нормаль к поверхности, или минус, если направления нормалей противоположны.

Вообще говоря, в каждой точке поверхности существуют два перпендикулярных направления e 1 {\displaystyle e_{1}} и e 2 {\displaystyle e_{2}} , в которых нормальная кривизна принимает минимальное и максимальное значения; эти направления называются главными . Исключение составляет случай, когда нормальная кривизна по всем направлениям одинакова (например, у сферы или на торце эллипсоида вращения), тогда все направления в точке - главные.

Поверхности с отрицательной (слева), нулевой (в центре) и положительной (справа) кривизной.

Нормальные кривизны в главных направлениях называются главными кривизнами ; обозначим их κ 1 {\displaystyle \kappa _{1}} и κ 2 {\displaystyle \kappa _{2}} . Величина:

называется гауссовой кривизной , полной кривизной или просто кривизной поверхности. Встречается также термин скаляр кривизны , который подразумевает результат свёртки тензора кривизны ; при этом скаляр кривизны вдвое больше, чем гауссова кривизна.

Гауссова кривизна может быть вычислена через метрику, и поэтому она является объектом внутренней геометрии поверхностей (отметим, что главные кривизны к внутренней геометрии не относятся). По знаку кривизны можно классифицировать точки поверхности (см. рисунок). Кривизна плоскости равна нулю. Кривизна сферы радиуса R всюду равна 1 R 2 {\displaystyle {\frac {1}{R^{2}}}} . Существует и поверхность постоянной отрицательной кривизны -

Сказка о возникновении шара

Однажды, оставшись один дома, красавец Полукруг долго принаряживался и жеманился перед небольшим в оловянных рамках зеркалом и не мог налюбоваться собою.

«Что людям вздумалось расславлять, будто я хорош?- говорил он. – Лгут люди, я совсем не хорош. Почему девушки провозгласили, что лучшего парня и не было еще никогда и не будет никогда на селе Хатанга?».

Полукруг знал и слышал все, что про него говорили, и был капризным, как красавец. Он мог целый день любоваться собой перед зеркалом, рассматривая себя со всех сторон. И вдруг случилось чудо, когда Полукруг повернулся перед зеркалом вокруг себя, он увидел в зеркале собственное отражение в форме Шара.

Из истории возникновения

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, то есть шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова «шар» и «сфера» происходят от одного и того же греческого слова «сфайра» - мяч. При этом слово «шар» образовалось от перехода согласных сф в ш .

В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.

Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.

Определение

• Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
• Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Общие понятия

• Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.
• Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.
• Центр, радиус, диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара.

Касательная плоскость к сфере

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Сечение шара плоскостью

• Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
• Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг. (диаметральное сечение).

Задача на тему шар (д/з)

На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки. (1.7 см, 2.15 см, 3.12 см, 4.20 см)

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Мы продолжаем знакомство со сферой и её элементами.

На прошлом занятии вы изучили случаи взаимного расположения плоскости и сферы.

Следует помнить, что если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы данной плоскостью является окружностью.

Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскость и сфера не имеют общих точек.

Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют единственную общую точку.

Рассмотрим подробно случай, когда плоскость и сфера имеют единственную общую точку.

Касательной плоскостью называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, данную общую точку называют точкой касания.

Рассмотрим касательную плоскость α к сфере с центром в точке О.

Докажем, что радиус сферы перпендикулярен касательной плоскости α.

1.Проведём доказательство методом от противного, то есть предположим, что радиус ОА не перпендикулярен касательной плоскости α.

2. Следовательно, ОА — наклонная к плоскости α, значит расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса ОА.

3. Таким образом, получили — сфера и плоскость α пересекаются по окружности, что является противоречием условию о том, что плоскость α и сфера имеют одну общую точку.

Следовательно, радиус ОА перпендикулярен к плоскости α.

Итак, мы доказали теорему о свойстве касательной плоскости к сфере: радиус сферы, перпендикулярен к касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы.

Данное свойство аналогично свойству касательной к окружности.

Докажем обратную теорему.

1.Проведём радиус сферы перпендикулярно к плоскости, проходящей через его конец.

2.Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, значит, плоскость и сфера имеют только одну общую точку, следовательно, данная плоскость является касательной к сфере.

Таким образом, мы доказали, что если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, то эта плоскость является касательной к сфере.

Применим полученные знания при решении задач.

Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найти расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

1)Докажем, что точка А принадлежащая отрезку ОР, будет ближайшей к точке Р.

Выберем произвольную точку N на сфере.

Проведём отрезки NO и NP.

Из неравенства треугольника ONP следует:

ОА+АР=ОР, тогда

ON+NP OA+AP, где ON и OA это радиусы.

Следовательно, R+ NP R+АР или NP АР.

Итак, АР NP, а так как точка N выбрана произвольно, то точка А, принадлежащая отрезку ОР, будет ближайшей к точке Р.

2.Найдём длину искомого отрезка АР как разность отрезков ОР и ОА, где ОА радиус сферы R.

По известной теореме радиус сферы, перпендикулярен к касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы, имеем, что треугольник ОКР — прямоугольный.

Отрезок ОР является гипотенузой данного треугольника, найдём его по теореме Пифагора:

ОР=√ОК2+КР2=√1122+152=√12544+225=√12769=113 см

Итак, АР=ОР-ОА=113-112=1 см.

Таким образом, расстояние от точки, лежащей на плоскости касательной, к сфере до ближайшей к ней точки сферы равно 1 см.

Симметрия шара

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Доказательство: Пусть - диаметральная плоскость и Х - произвольная точка шара. Построим точку Х", симметричную точке Х относительно плоскости. Плоскость перпендикулярна отрезку ХХ" и пересекается ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ" следует, что ОХ" =ОХ.

Так как ОХ?R, то и ОХ"?R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.

Пусть теперь Х"" - точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ"" = ОХ?R, т.е. точка Х"" принадлежит шару. Теорема доказана полностью.

Касательная плоскость к шару

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

Доказательство: Пусть б - плоскость касательная к шару, и А - точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости б, отличную от А. Так как ОА - перпендикуляр, а ОХ - наклонная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.

Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.