социальное, один из основных, наряду со свободой, идеалов справедливого обществ. устройства. Понятие Р. имело различное содержание в разные историч. эпохи и у разных классов.

Проблема Р. возникла на заре истории человеч. об­щества вместе с делением на классы, появлением рабо­владения. Для рабовладельч. системы было характерно глубокое неравенство, полное бесправие рабов, к-рые считались «говорящим орудием». Обществ. неравенст­во в антич. эпоху распространялось также на бедные слои господствующего класса. В эпоху феодализма обществ. неравенство приняло иной вид, выступая в форме сословного. Наиболее бесправным классом было крестьянство, зависевшее от феодалов не только эко­номически, но и политически. Наряду с этим сущест­вовала иерархия в самом господствующем классе - от мелких до крупных феодалов и стоявшего над ними монарха.

Будучи самым ясным, простым и понятным массам, лозунг борьбы против неравенства служил вдохнов­ляющим стимулом восстаний рабов и крест. войн. Од­новременно развивалось теоретич. осмысление причин обществ. неравенства и путей его преодоления. В чис­ле первых, кто прямо связал его с частной собствен­ностью на средства произ-ва, были Мор и Кампанелла. Особенно четко эта связь была показана Руссо в его работе «Об общественном договоре». Взгляды утопис­тов и просветителей оказали огромное воздействие на обществ. практику; в Английской бурж. революции 17 в. и Великой франц. революции действовали радикальные течения, провозгласившие своей целью утверждение всеобщего социального Р. - левеллеры, т. е. уравни­тели, в Англии, бабувисты (последователи Бабефа) во Франции.

Бурж. революция и утверждение капиталистич. строя привели к значит. изменениям в обществ. отно­шениях. Впервые были отменены сословия и сослов­ные привилегии, провозглашен принцип Р. граждан перед законом. Вместе с тем обществ. практика обнару­жила ограниченный и иллюзорный характер Р. в ус­ловиях капитализма. Бурж. равноправие действитель­но лишь постольку, поскольку условием существова­ния частного предпринимательства является наличие на рынке свободной рабочей силы и право продавать и покупать ей. Не может быть и речи о социальном Р. в обществе, разделенном на антагонистич. классы эксплу­ататоров и эксплуатируемых.

В эпоху гос.-монополистич. капитализма, когда благодаря борьбе рабочего класса и достижениям науч.-технич. революции повысился уровень жизни в развитых капиталиотич. странах, бурж. пропаганда использует это в спекулятивных целях, утверждая, будто проблема Р. успешно решается в т. н. государст­ве благоденствия. Практика опровергает эти утвержде­ния. В странах капитала продолжает увеличиваться неравенство между осн. массой трудового населения и узким верхушечным слоем монополистов. Острота этой проблемы постоянно дает о себе знать в классовых столк­новениях, усиливающих общее кризисное состояние совр. капитализма. Растет разрыв между экономически развитыми капиталистич. странами и развивающимися странами, к-рые являются жертвами неоколониального грабежа.

Марксизм-ленинизм указал практич. пути преодо­ления обществ. неравенства, утверждения справедли­вых отношений между людьми в условиях социализма, а затем и коммунизма. Социалистич. революция совер­шает коренной переворот в системе обществ. отношений. Все члены общества становятся в одинаковые условия в главном - в отношении к средствам произ-ва. С лик­видацией эксплуататорских классов, построением со­циализма решается ряд др. кардинальных задач, свя­занных с проблемой обществ. Р.: утверждается полное и подлинное политич. равноправие граждан независи­мо от их происхождения, социального положения, религ. верований и т. д.; на основе ленинского решения национального вопроса устраняются вражда и недоверие между нациями, устанавливается полное равноправие в сфере нац. отношений; ликвидация дискриминации женщин и женского труда, целенаправленная работа об­щества по охране материнства, вовлечение женщин в активную трудовую деятельность способствуют преодо­лению их неравноправного положения. При социализ­ме обеспечивается равное право всех трудиться и по­лучать оплату по труду, широкий комплекс социальных и политич. прав, гарантируемых гос-вом, создаются обществ. фонды потребления, распределяемые, как правило, вне зависимости от трудового вклада челове­ка. Принципиальное значение имеет ликвидация про­тивоположности между городом и деревней, умствен­ным и физич. трудом.

Означая крупнейший прогресс в деле утверждения подлинного Р., социализм в то же время не решает проблемы полностью.В силу сохранившихся социальных различий (в т. ч. между городом и деревней, трудом умственным и физи­ческим, более и менее квалифицированным) остает­ся и определ. имущественное неравенство (хотя, ко­нечно, оно не идет ни в какое сравнение с гигантским разрывом в материальном положении людей, сущест­вующим в эксплуататорском обществе). Полностью эта проблема может быть решена только при коммунизме, когда будет введен принцип распределения по потреб­ности.

Коммунистич. Р. не имеет ничего общего с вульгар­ными представлениями об уравнении способностей, вкусов и потребностей людей. Именно в условиях изобилия и высокой сознательности людей возможно полное развитие их индивидуальности, раскрытие все­го разнообразия их творч. способностей. В конечном счете марксизм-ленинизм понимает под Р. полное унич­тожение классов, создание условий для всестороннего развития всех членов общества.

Марксистско-ленинская теория решительно отрицает уравниловку - лозунг, с к-рым, как правило, высту­пают последователи различных направлений мелкобурж. социализма. Равное распределение продукта независимо от трудового вклада и квалификации людей в совр. условиях неизбежно оборачивается пре­пятствием для роста производит. сил, ведет не к накоп­лению обществ. богатства (и, следовательно, не к рос­ту благосостояния масс), а к его оскудению. Иначе го­воря, уравниловка в конечном счете означает Р. в ни­щете. Попытки введения уравнит. распределения неиз­менно заканчивались крахом.

Наиболее адекватной религиозной формой выражения фундаментального этического Р. стала иудео-христианская монотеистическая концепция Р. людей как творений единого Создателя. Вместе с тем в христианской религиозно-этической доктрине наряду с положительным Р. духовных способностей, позволяющих стремиться к спасению, присутствует всеобщее отрицательное Р., порожденное последствиями первородного греха. В антич. традиции идея этического Р. впервые появляется в стоической философии в связи с признанием равной природной причастности всех индивидов к Божественному Логосу. В дальнейшей истории философско-этической мысли к указанным основаниям концепции равного достоинства человеческих личностей (Р. душ и потенциально равной природной рациональной способности) добавились вне-рациональное природное Р. (Р. в стремлении к счастью, в объеме потребностей и т.д.), а также Р. с т.зр. сверхприродной (трансцендентальной) рациональности.

Наиболее строгим выражением идеи этического Р. в новоевропейской философии следует считать второй практический принцип воли И. Канта, согласно которому к человечеству (в своем лице и в лице др.) следует относиться как к цели и никогда - только как к средству. При этом утверждение разного (неравного) достоинства существ, обладающих рациональной способностью, понимается Кантом как явная логическая ошибка.

Современные теоретики стремятся точнее обозначить тот комплекс общих свойств, которые в достаточной мере закрепляли бы признание Р. В него входят: специфически человеческие эмоции и желания, способность к мышлению и использованию языка, способность вести счастливую жизнь, способность к составлению жизненных планов и моральной автономии, способность к вынесению справедливых суждений и т.д. (Б. Уильяме, Г. Властос, В. Франкена и др.). Однако некоторые исследователи считают, что, избавляя общество от «сексизма», «расизма» и «национализма», указанный список порождает др. вид неравноправия - «видизм» («speciesism») по отношению к иным живым существам (П. Сингер).

Идея общественного Р. может быть представлена как попытка распространить абстрактный идеал равного достоинства, глубоко укорененный фактически во всех современных духовных традициях, на различные сферы общественной жизни. В их формировании задействована т.н. презумпция Р., высказанная еще Аристотелем и состоящая в том, что именно социальное неравенство, а не Р. нуждается в оправдании перед лицом справедливости (Л. Стефен, И. Берлин, Р. Хэар и др.). Др. словами, для признания неравенства легитимным следует привести основательные аргументы, отталкивающиеся от самой морали, религии, метафизики или беспристрастного анализа действительных условий существования. В легально-политической области процедура, конституирующая эгалитарные и антиэгалитарные концепции, создает следующие полярные т.зр.: идея Р. политических гражданских прав, Р. перед законом и идея естественной иерархии. В социально-экономической области возникают иные два полюса: идея волюнтаристски-уравнительного распределения благ и идея полного санкционирования любого вида автоматически сложившегося неравного их распределения. Промежуточную позицию занимают проекты уравнивания граждан (подданных) через ограничение автоматических распределительных процессов (теории Р.стартовых возможностей, контроля над Р. условий соревнования и, наконец, уравнительной коррекции его результатов).

Существует ряд интеллектуальных традиций, со времен античности специфически использующих понятие Р. Первая традиция восходит к представлению об общине, где отсутствуют институционализированная власть и собственность, царствуют семейные (братские) отношения и гарантировано всеобщее одинаковое изобилие (подчас за счет невзыскательности и простоты). Эта традиция достигает своего пика в разработке социалистической идеи.

Вторая традиция исходит из приватного потребления благ и состязательного Р. при их достижении, неизбежного из-за невозможности найти априорную процедуру выделения достойнейших. Такая (либеральная) модель присутствует уже в некоторых рассуждениях Аристотеля и стоиков. В ее рамках ведущей проблемой оказывается вопрос о совместимости понятий Р. и свободы. Классическая либеральная концепция Р., созданная Дж. Локком, исходит из их бесконфликтного совмещения. Это вызвано тем, что исторически проблематичность отношений свободы и Р. выявляется только тогда, когда освобождение от конкретных форм иерархического порядка не является основной тенденцией политической жизни. Однако уже с кон. 18 в. формируется противоположное мнение о том, что Р. есть результат зависти, эгоизма, омассовления культуры и управления обществом, а значит, оно явно противостоит свободе (Э. Берк, А. Токвиль и др.).

Неполное определение ↓

Пусть даны 2 числовых выражения А иВ . Соединив их знаком равенства, получим некоторое высказывание, называемое числовым равенством.

Равенство А =В считается истинным тогда и только тогда, когда оба выраженияА иВ имеют числовые значения, причем эти значения одинаковы.

Пример . 1) 16: 2 = 3 + 5 – истинное числовое равенство, т.к. левая и правая части этого неравенства имеют значение 8;

2) 3 ∙ 4 = 15 – 4 – ложное равенство, т.к. значение левой части равно 12, а правой 11;

3) 15: (10 – 10) = 15 – ложно, т.к. выражение в левой части не имеет значения.

Из данного выше определения вытекает, что если истинны равенства А =В иС =D , гдеА ,В ,С, D – числовые выражения, то при условии выполнимости соответствующих операций, истинны и равенства (А ) + (С ) = (В ) + (D ), (А ) – (С ) = (В ) – (D ), (А ) ∙ (С ) = (В ) ∙ (D ), (А ) : (С ) = (В ) : (D ), т.е. числовые равенства можно почленно складывать, вычитать, умножать, делить.

Отношение равенства числовых выражений обладает свойствами:

1) рефлексивности (А =А );

2) симметричности (А =В В =А );

3) транзитивности (А =В  В =С А =С ), т.о. данное отношение является отношением эквивалентности и множество числовых выражений разбивается на классы эквивалентности, состоящие из выражений, имеющих одно и то же значение;

4) если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А =В (А ) + (С ) = (В ) + (С ));

5) если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А =В (А ) ∙ (С ) = (В ) ∙ (С ));

6) если обе части истинного числового равенства возвести в одну и ту же нечетную степень, то получим истинное числовое равенство (если п А =В (А ) п = (В ) п ;

7) если обе части истинного числового равенства, левая и правая части которого имеют неотрицательное значение, возвести в одну и ту же четную степень, то получим истинное числовое равенство (если п – четное натуральное число, значения числовых выраженийА иВ неотрицательны, тоА =В (А ) п = (В ) п . Если снять условие, что значения числовых выраженийА иВ неотрицательны, то вместо эквивалентности будем иметь лишь импликациюА =В  (А ) п = (В ) п .

§ 3. Числовые неравенства и их свойства

Пусть А иВ – два числовых выражения. Соединив их знаком > или <, получим некоторое высказывание, называемое числовым неравенством. НеравенствоА <В считается истинным, еслиА иВ имеют числовые значения, причем числовое значение выраженияА меньше числового значения выраженияВ .

Пример . 2 + 5 < 3 ∙ 4 – истинное неравенство, т.к. левая часть имеет значение 7, правая имеет значение 12 и 7 < 12.

Неравенство А ≤В является дизъюнкцией неравенстваА <В и равенстваА =В. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных элементарных высказываний.

Неравенство А <В <С является конъюнкцией неравенствА <В иВ <С. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинны оба неравенства.

Выполнив указанные в числовых выражениях действия, мы получим в левой и правой части неравенства соответствующие числа. Пусть а , b ,с ,d – соответствующие значения числовых выраженийА ,B ,C ,D .

Свойства числовых неравенств

1) если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство (А <В (А ) + (С ) < (В ) + (С ));

2) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то полученное числовое неравенство будет также истинным (А <В (А ) ∙ (С ) < (В ) ∙ (С ));

3) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то, чтобы получить истинное числовое неравенство, необходимо знак неравенства поменять на противоположный (А <В (А ) ∙ (С ) > (В ) ∙ (С ));

4) неравенства одного знака можно почленно складывать (А <В ,С <D (А ) + (С ) < (В ) + (D ));

5) неравенства одного знака, имеющие положительные значения, можно почленно перемножать (если А <В ,С <D , причема , b ,с ,d > 0, то (А ) ∙ (С ) < (В ) ∙ (D ));

6) обе части истинного числового неравенства можно возвести в одну и ту же нечетную степень (если п – нечетное натуральное число, тоА <В (А ) п < (В ) п );

7) возводить в четную степень обе части неравенства можно лишь в том случае, если обе они имеют неотрицательные значения (если п – четное натуральное число иа , b ≥ 0, тоА <В (А ) п < (В ) п );

8) если а , b < 0,А <В  > .

РАВЕНСТВО

РА́ВЕНСТВО, -а, ср.

1. Полное сходство, подобие (по величине, качеству, достоинству). Р. сил.

2. Положение людей в обществе, обеспечивающее их одинаковое отношение к закону, одинаковые политические и гражданские права, равноправие. Социальное р.

3. В математике: соотношение между величинами, показывающее, что одна величина равна другой. Знак равенства (=). Ставить знак равенства между кем-чем-н. (перен. : признавать равноценным, уравнивать).

| прил. равенственный , -ая, -ое (ко 2 знач. ; устар. ).

Что такое РАВЕНСТВО , РАВЕНСТВО это, значение слова РАВЕНСТВО , происхождение (этимология) РАВЕНСТВО , синонимы к РАВЕНСТВО , парадигма (формы слова) РАВЕНСТВО в других словарях

Парадигма, формы слова РАВЕНСТВО - Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку

Синонимы к РАВЕНСТВО - Словарь русских синонимов 4

РАВЕНСТВО синонимы

равенство

альтернат, единство, муссават, общность, одинаковость, паритет, паритетность, подобие, равновеликость, равноправие, равноправность, совпадение, соответствие, сходство, тождество, уравнение, эквивалентность

После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое числовое равенство

Первый раз мы сталкиваемся с числовыми равенствами еще в начальной школе, когда происходит знакомство с числами и понятием «столько же». Т.е. самые примитивные числовые равенства это: 2 = 2 , 5 = 5 и т.д. И на том уровне изучения мы называли их просто равенствами, без уточнения «числовые», и закладывали в них количественный или порядковый смысл (который несут натуральные числа). Например, равенство 2 = 2 будет соответствовать изображению, на котором – два цветка и на каждом сидит по две шмеля. Или, к примеру, две очереди, где вторыми по порядку стоят Вася и Ваня.

По мере появления знаний об арифметических действиях числовые равенства становятся сложнее: 5 + 7 = 12 ; 6 - 1 = 5 ; 2 · 1 = 2 ; 21: 7 = 3 и т.п. Затем начинают встречаться равенства, в записи которых участвуют числовые выражения разного рода. Например, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 · (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 · 1 + 3 − 1 и т.п. Дальше мы знакомимся с прочими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более интересный и разнообразный вид.

Определение 1

Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

Свойства числовых равенств

Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.

Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу b только в тех случаях, когда разность a − b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:

• свойство рефлексивности: a = a ;
• свойство симметричности: если a = b , то b = a ;
• свойство транзитивности: если a = b и b = c , то a = c ,где a , b и c – произвольные числа.

Свойство рефлексивности обозначает факт равенства числа самому себе: к примеру, 6 = 6 , − 3 = − 3 , 4 3 7 = 4 3 7 и т.п.

Доказательство 1

Нетрудно продемонстрировать справедливость равенства a − a = 0 для любого числа a: разность a − a можно записать как сумму a + (− a) , а свойство сложения чисел дает нам возможность утверждать, что любому числу a соответствует единственное противоположное число − a , и сумма их есть нуль.

Определение 3

Согласно свойству симметричности числовых равенств: если число a равно числу b ,
то число b равно числу a . К примеру, 4 3 = 64 , тогда 64 = 4 3 .

Доказательство 2

Обосновать данное свойство можно через разность чисел. Условию a = b соответствует равенство a − b = 0 . Докажем, что b − a = 0 .

Запишем разность b − a в виде − (a − b) , опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Новая запись выражения равна - 0 , а число, противоположное нулю, это нуль. Таким образом, b − a = 0 , следовательно: b = a .

Определение 4

Свойство транзитивности числовых равенств гласит, что два числа равны друг другу в случае их одновременного равенства третьему числу. К примеру, если 81 = 9 и 9 = 3 2 , то 81 = 3 2 .

Свойству транзитивности также отвечает определение равных чисел через разность и свойства действий с числами. Равенствам a = b и b = c соответствуют равенства a − b = 0 и b − c = 0 .

Доказательство 3

Докажем справедливость равенства a − c = 0 , из чего последует равенство чисел a и c . Посколькусложение числа с нулем не меняет само число, то a − c запишем в виде a + 0 − c . Вместо нуля подставим сумму противоположных чисел − b и b , тогда крайнее выражение станет таким: a + (− b + b) − c . Выполним группировку слагаемых: (a − b) + (b − c) . Разности в скобках равны нулю, тогда и сумма (a − b) + (b − c) есть нуль. Это доказывает, что, когда a − b = 0 и b − c = 0 , верно равенство a − c = 0 , откуда a = c .

Прочие важные свойства числовых равенств

Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:

Определение 5

Прибавив к (или убавив от) обеим частям числового равенства, являющегося верным, одно и то же число, получим верное числовое равенство. Запишем буквенно: если a = b , где a и b – некоторые числа, то a + c = b + c при любом c .

Доказательство 4

В качестве обоснования запишем разность (a + c) − (b + c) .
Это выражение легко преобразуется в вид (a − b) + (c − c) .
Из a = b по условию следует, что a − b = 0 и c − c = 0 , тогда (a − b) + (c − c) = 0 + 0 = 0 . Это доказывает, что (a + c) − (b + c) = 0 , следовательно, a + c = b + c ;

Определение 6

Если обе части верного числового равенства перемножить с любым числом или разделить на число, не равное нулю, тогда получим верное числовое равенство.
Запишем буквенно: когда a = b , то a · c = b · c при любом числе c . Если c ≠ 0 , тогда и a: c = b: c .

Доказательство 5

Равенство верно: a · c − b · c = (a − b) · c = 0 · c = 0 , и из него следует равенство произведений a · c и b · c . А деление на отличное от нуля число c возможно записать как умножение на обратное число 1 c ;

Определение 7

При a и b , отличных от нуля и равных между собой, обратные им числа также равны.
Запишем: когда a ≠ 0 , b ≠ 0 и a = b , то 1 a = 1 b . Крайнее равенство нетрудно доказать: с этой целью разделим обе части равенства a = b на число, равное произведению a · b и не равное нулю.

Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:

Определение 8

При почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Запись этого свойства такова: если a = b и c = d , то a + c = b + d для любых чисел a , b , c и d .

Доказательство 6

Обосновать это полезное свойство возможно, опираясь на указанные ранее свойства. Мы знаем, что к обеим частям верного равенства возможно прибавить любое число.
К равенству a = b прибавим число c , а к равенству c = d - число b , итогом станут верные числовые равенства: a + c = b + c и c + b = d + b . Крайнее запишем в виде: b + c = b + d . Из равенств a + c = b + c и b + c = b + d согласно свойству транзитивности следует равенство a + c = b + d . Что и нужно было доказать.

Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;

Определение 7

Наконец, опишем такое свойство: почленное перемножение двух верных числовых равенств дает верное равенство. Запишем при помощи букв: если a = b и c = d , то a · c = b · d .

Доказательство 7

Доказательство этого свойства подобно доказательству предыдущего. Умножим обе части равенства на любое число, умножим a = b на c , а c = d на b , получим верные числовые равенства a · c = b · c и c · b = d · b . Крайнее запишем как b · c = b · d . Свойство транзитивности дает возможность из равенства a · c = b · c и b · c = b · d вывести равенство a · c = b · d , которое нам необходимо было доказать.

И вновь уточним, что данное свойство применимо для двух, трех и более числовых равенств.
Так, можно записать: если a = b , то a n = b n для любых чисел a и b , и любого натурального числа n .

Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:

Если a = b , то b = a .

Если a = b и b = c , то a = c .

Если a = b , то a + c = b + c .

Если a = b , то a · c = b · c .

Если a = b и с ≠ 0 , то a: c = b: c .

Если a = b , a = b , a ≠ 0 и b ≠ 0 , то 1 a = 1 b .

Если a = b и c = d , то a · c = b · d.

Если a = b , то a n = b n .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.

Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.

Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.

Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например: и . Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.

Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.

Запись равенств, знак равно

Чтобы произвести запись равенства, используют знак равно (или знак равенства), обозначаемый как = .Такое обозначение является общепринятым.

Составляя равенство, равные объекты размещают рядом, записывая между ними знак равно. К примеру, равенство чисел 5 и 5 запишем как 5 = 5 . Или, допустим, нам необходимо записать равенство периметра треугольника А В С 6 метрам: P А В С = 6 м.

Определение 1

Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).

Когда возникает необходимость письменно обозначить неравенство объектов, используют знак не равно, обозначаемый как ≠ , т.е. по сути зачеркнутый знак равно.

Верные и неверные равенства

Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.

Составим равенство 7 = 7 . Числа 7 и 7 , конечно, являются равными, а потому 7 = 7 – верное равенство. Равенство 7 = 2 , в свою очередь, является неверным, поскольку числа 7 и 2 не равны.

Свойства равенств

Запишем три основных свойства равенств:

Определение 2

• свойство рефлексивности, гласящее, что объект равен самому себе;
• свойство симметричности: если первый объект равен второму, то второй равен первому;
• свойство транзитивности: когда первый объект равен второму, а второй – третьему, тогда первый равен третьему.

Буквенно сформулированные свойства запишем так:

• a = a ;
• если a = b , то b = a ;
• если a = b и b = c , то a = c .

Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.

Двойные, тройные и т.д. равенства

Совместно со стандартной записью равенства, пример которой мы приводили выше, также часто составляются так называемые двойные равенства, тройные равенства и т.д. Подобные записи представляют собой как бы цепочку равенств. К примеру, запись 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 - двойное равенство, а | A B | = | B C | = | C D | = | D E | = | E F | - пример четвертного равенства.

При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.

Например, записанное выше двойное равенство 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 обозначает равенства: 2 + 2 + 2 = 4 + 2 , и 4 + 2 = 6 , и 2 + 2 + 2 = 6 , а в силу свойства симметричности равенств и 4 + 2 = 2 + 2 + 2 , и 6 = 4 + 2 , и 6 = 2 + 2 + 2 .

Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter