Какие фигуры изучает стереометрия. Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

Лекция по теме «Предмет стереометрии»

Геометрия – это наука, которая изучает свойства геометрических фигур.

Школьный курс геометрии подразделяется на два раздела: планиметрию и стереометрию.

Планиметрия – раздел геометрии, который изучает свойства геометрических фигур на плоскости.

Планиметрию мы изучали в 7-9 классах.

В этом году мы начинаем изучать второй раздел геометрии - стереометрию

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур в пространстве.

Слово "стереометрия" происходит от греческих слов "стереос" объемный, пространственный и "метрио" измерять.

В стереометрии рассматриваются математические модели тех материальных объектов, с которыми имеют дело архитекторы, конструкторы, строители и другие специалисты.

Кроме того, школьный курс стереометрии служит основой для черчения и начертательной геометрии – важнейших дисциплин любого технического вуза.

Основные фигуры стереометрии

Итак, стереометрия изучает свойства геометрических фигур в пространстве.

Геометрических фигур в пространстве.

называют телами.

В стереометрии мы будем изучать свойства геометрических тел, вычислять их площади и объемы.

При изучении пространственных фигур используются их изображение на чертеже.

Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения.

Обычно выбирают то из них, которое наиболее удобно для исследования ее свойств.

На экране вы видите многогранники – куб, параллелепипед и пирамида, тела вращения – шар, конус и цилиндр.

При изображении пространственных фигур невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями.

С чего начинается стереометрия?

Также как планиметрия.

Планиметрию мы начинали изучать с основных понятий, фигур и аксиом.

Основные понятия стереометрии

Во-первых, это точка и прямая, как в планиметрии. И еще добавляется плоскость.

Итак, основными понятиями стереометрии являются: тоска, прямая, плоскость. Они принимаются без определений.

Новым для нас понятием является плоскость.

Плоскость, как и прямая в планиметрии, бесконечна. Она простирается во все стороны на неограниченное расстояние.

Геометрическими моделями части плоскости являются, например, поверхность стола, доски и т. д.

Изображают плоскости в виде параллелограмма, либо в виде произвольной области.

Обозначение, которые мы будем применять.

Точки. Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами A , B , C ….

На экране изображены 4 точки. Они обозначены буквами A , B , C и D

Прямые. Прямые обозначают строчными латинскими буквами a , b , c …, или двумя прописными латинскими буквами AB , CD , …

Во втором случае используются обозначения

двух точек, через которые прямая проходит.

На экране вы видите прямую a . На ней лежат точки M и N .

Прямая a может быть также обозначена как MN .

Плоскости. Плоскости обычно обозначают строчными греческими буквами (альфа, бета, гамма, дельта, …)

Плоскости также можно называть по трем точкам, через которые плоскости проходят.

Например, на экране плоскость синего цвета обозначена как α, она же может называться ABC .

Плоскость бежевого цвета обозначена β, она же может быть обозначена как KLN или KLM . Берутся любые три точки, через которые плоскость проходит.

Так же, как и в планиметрии, в стереометрии мы будем применять для точек знак: (принадлежит плоскости), а для прямых знак: (лежит в плоскости).

Перечеркнутые знаки означают отрицание – не принадлежит плоскости, не лежит в плоскости.

На рисунке вы видите, что две точки A и B принадлежат плоскости α (плоскость проходит через эти точки), а точки M, N, K не принадлежат этой плоскости (плоскость не проходит через эти точки).

Коротко это записывается так:

Точка А принадлежит плоскости α, точка B принадлежит плоскости α.

Точка M N не принадлежит плоскости α, точка K не принадлежит плоскости α.

На этом уроке мы познакомились с новым разделом геометрии – стереометрией.

Узнали, что основными понятиями стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Вспомнили, как изображаются точки и прямые. Узнали как изображается и обозначается плоскость.

Переходим к решению задач.

Задача 1.

Дано:

Точки A , B , C и D не лежащие в одной плоскости.

Указать плоскости, которым принадлежит:

а) прямая AB ;

б) точка F ;

в) точка C .

Решение.

а) Прямая AB лежит в двух плоскостях: ABC и ABD ;

б) Точка F принадлежит плоскостям: ABC и BCD ;

в) Точка C принадлежит трем плоскостям: ABC , BCD , ACD .

Предмет и аксиомы стереометрии. СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стерео» - объёмный, пространственный и «метро» - измерять. Первый дошедший до нас учебник – руководство по математике под названием «Начала», созданное древнегреческим ученым Евклидом в III в. до н. э. В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.

Условные изображения и обозначения прямых, точек и плоскостей Точка А принадлежит плоскости Точка В не принадлежит плоскости Прямая с не лежит в плоскости Прямая k лежит в плоскости Прямая m пересекает плоскость в точке А Плоскости и пересекаются по прямой а

Что такое аксиома? АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение»). Аксиомы были сформулированы Евклидом (III в. До н. э.) в его знаменитом сочинении «Начала».

Вспомним известные вам аксиом планиметрии: Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если две фигуры совмещаются наложением, то говорят, что они равны.

А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна. ВОПРОСЫ: -всегда ли три точки лежат в одной плоскости? -всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? -всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? -сколько плоскостей можно провести через две точки?

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. ВОПРОСЫ: верно ли утверждение: -если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? -если три точки окружности лежат в в этой плоскости? -если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника?

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей ВОПРОСЫ: могут ли две плоскости иметь: -только одну общую точку? -только две общие точки? -только одну общую прямую? -могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD 1 C 1, BB 1 C 1 и AA 1 B 1, AA 1 D 1 и A 1 B 1 C 1 ; а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC 1, ABC, ADD 1 ; б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P 1, R, S, N; в) назовите плоскости, в которых расположены прямые KP, С 1 D 1, RP, MK ; ВОПРОСЫ:

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK и DСС 1, BDC 1 ; е) назовите точки пересечения прямых DS и CC 1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1; ж) назовите общие точки плоскостей CDD 1 и BCC 1, ABC и АА1D1, BDC и ABB1.BDС1 и RSP; ВОПРОСЫ:

Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (пространственных фигур). Слово «стереометрия» состоит из греческих слов «стереос» - телесный, пространственный и «метрео» - измеряю.

Не нужно путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (т.е. свойства плоских фигур), а в стереометрии – свойства фигур в пространстве (т.е. свойства пространственных фигур).

Для лучшего понимания напомним некоторые сведения о многогранниках и дадим каждому многограннику наглядное описание.

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 1–10). Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми (рис. 1) и невыпуклыми (рис. 2). Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань. (Мы будем изучать только выпуклые многогранники.)

Приведем примеры отдельных многогранников.

Куб представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и все они - равные квадраты. У куба 12 равных ребер и 8 вершин (рис. 3).

Параллелепипед представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них - параллелограмм. Параллелепипед может быть прямым (рис. 4) или наклонным (рис. 5).

Параллелепипед, все грани которого прямоугольники, называют прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед изображается также, как и прямой. Из сказанного следует, что куб - это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

n-угольная пирамида представляет собой многогранник, одна грань которого, называемая основанием пирамиды, - некоторый выпуклый n-угольник, а остальные n граней - треугольники с общей вершиной (рис. 6). Эта общая вершина называется вершиной пирамиды, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами ее основания, называются боковыми ребрами пирамиды. Пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник, а боковые ребра равны между собой, называется правильной пирамидой (рис. 7). Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется треугольной пирамидой или тетраэдром. Таким образом, тетраэдр - это четырехгранник. Все его четыре грани - треугольники. Тетраэдр, все четыре грани которого - равные правильные треугольники, называется правильным тетраэдром (рис. 8). Правильный тетраэдр - это частный случай правильной треугольной пирамиды.

n-угольная призма представляет собой многогранник, две грани которого, называемые основаниями призмы, - равные n-угольники, а все остальные n граней - параллелограммы. Они называются боковыми гранями призмы. Призма может быть прямой (рис. 9) или наклонной (рис. 10). У прямой призмы все боковые грани - прямоугольники, у наклонной призмы хотя бы одна грань - параллелограмм, не являющийся прямоугольником.

Параллелепипед - это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Сферой называется множество всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние (рис. 11). Отрезок, соединяющий любую точку сферы с ее центром, называется радиусом сферы. Радиусом сферы называют также расстояние от любой точки сферы до ее центра. Для сферы, как и для окружности, определяются хорды и диаметр.

Шаром называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки - центра шара - не превосходит данного положительного числа, которое называется радиусом шара.

Шар и куб - примеры геометрических тел, сфера и плоскость - примеры поверхностей.