Решение задач с помощью систем уравнений. Решение задач с помощью составления систем уравнений
Тема урока: «Решение уравнений с помощью систем»
Цель: научить решать уравнения с помощью систем.
Задачи:
Обучающиие.
Научить решать уравнения с помощью систем и закрепить эти знания
Развивающие.
Развитие операций мышления (обобщение, анализа, выделение существенного). Развитие внимания.
Развития навыков сотрудничества.
Воспитательные.
Воспитание сознательного отношения к изучению алгебры.
Воспитание стремления к самосовершенствованию.
Тип урока – комбинированный.
Ход урока
Ι.Мотивация к учебной деятельности.
Цель: организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности.
– Добрый день, ребята! Эпиграфом нашего урока будут слова – «В единстве наша сила».
Тема нашего урока «Решение уравнений с помощью систем. Как Вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? (Ответы обучающихся). Обобщим и закрепим полученные знания о решении уравнений с помощью систем.
ΙΙ. Проверка домашнего задания.
Цель: организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.
Обменяйтесь, пожалуйста, тетрадями и проверьте, как выполнено задание друг у друга.
Продолжите предложение «Я знаю по данной теме …», «Я умею по данной теме….». Скажите чем отличаются понятия «знаю» и «умею»?
III . Выявление места и причины затруднения
Цель: организовать восстановление фиксацию места затруднения, соотнесение своих действий с используемыми эталонами – определить те знания и умения, которых недостаёт для решения исодной задачи.
Я предлагаю вам решить следующее уравнение
Скажите, пожалуйста, что мы называем уравнением? (Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений)
Что означает решить уравнение? (Решить уравнение - значит найти все его корни, то есть те значения x , которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет)
IV . Построение проекта выхода из затруднения
Цель: организовать построение проекта выхода из затруднения.
Как Вы думаете, что нужно сделать, чтобы решить это уравнение с помощью систем? (Возвести в квадрат) Правильно. Какой вы знаете способ решения этого уравнения? (Возможные варианты ответов: возвести в квадрат и сделать проверку, но при этом могут появиться лишние корни; нет, не можем). Нужно учесть, при решении этого уравнения, что правая часть его больше или равна 2.
Какое уравнение мы получили? (Квадратное). Предположите, ребята, можно ли правильно и грамотно решить уравнение сразу и целиком? (Нет) А если разбить его на составляющие части и решить по отдельности? (Да, можно) То есть мы можем сказать, что даже в уравнениях в единстве – сила. Подумайте и скажите, что является примером проявления единства и силы? (Ответы: во время войны люди едины).
Корни данного уравнения 3 и -23/7. Первый корень удовлетворяет неравенству х>2, а второй корень не удовлетворяет. Решением уравнения является только один корень. (Ответ х=3)
Ребята, сейчас при решении данного уравнения мы использовали теорему:
Этой теоремой мы будем пользоваться при решении подобных уравнений. Откройте пожалуйста учебник на странице 243. Прочитайте еще раз теорему.
V .Первичное закрепление.
Сейчас я предлагаю вам решить следующие уравнения.
Тем, кто занимается на «5» уравнение под номером один, остальным задание под номером 2.
(В тетрадях решение записывают все. На доске записывает решение один обучающийся. После решения открываю слайд с правильным ответом для задания под номером 1)
V . Самостоятельная работа с самопроверкой.
Цель: организовать самостоятельное выполнение обучающимися типовых заданий на новый способ действия.
Тест на компьютерах.
VI .Включение в систему знаний и повторение.
Цель: организовать выявление типов заданий, где используется новый способ.
Может вы уже где - то встречались с подобными уравнениями? (Это задание В5,
Итак, с чем мы с вами сегодня познакомились? Что вы узнали нового? (Ответы)
Сейчас я снова хочу обратиться к эпиграфу нашего урока «В единстве наша сила». Ребята, как вы думаете, почему к уроку я выбрала именно этот эпиграф? (Ответы обучающихся).
VII . Рефлексия учебной деятельности .
Цель: организовать оценивание обучающимися собственной деятельности на уроке.
«Ребята, продолжите, пожалуйста, фразу «На уроке мне удалось….» (Ответы обучающихся.)
VIII . Домашнее задание .
Цели :
- научить детей решать задачи с помощью составления систем уравнений;
- познакомить и литературным наследием родного края, вспоминая творчество П.П.Бажова;
- использовать при решении задач факты окружающей действительности.
ХОД УРОКА
1. Подготовка к восприятию материала (проверка опорных знаний)
Учитель, используя медиапроектор, восстанавливает изученную ранее тему. Детям задаются вопросы их предполагаемые ответы, воспроизводятся на экране.
Вопросы:
- Посмотрите на экран, что вы видите? (Презентация . Слайд 1)
- Что такое система уравнений? (Презентация . Слайд 2)
- Какие способы решения систем уравнений вы знаете? (Презентация . Слайд 3)
- Давайте вспомним суть применения каждого способа (Презентация . Слайды 4, 5, 6).
– Система уравнений не только позволяет установить общие корни уравнений, содержащихся в ней, но и становится хорошим помощником при решении задач. В таких задачах неизвестных компонентов более одного и они связаны друг с другом условием. Сегодня мы рассмотрим задачи, в которых неизвестно два каких либо элемента и будем учиться решать такие задачи с помощью составления системы уравнений.
Дети записывают в тетрадях число, тему урока. (Презентация . Слайд 7)
2. Изучение новой темы
Задача 1
– Рассмотрим для примера такую задачу.
Я знаю, что в классе 20 учеников. Среди них есть
девочки и мальчики. А еще я знаю, что девочек
больше чем мальчиков на 4 человека. Сколько
мальчиков и девочек в этом классе? Ответ можно
узнать двумя способами: 1) просто пересчитать; 2)
решить такую задачу: (Презентация
.
Слайд 8)
Пусть х
– количество
девочек
y
– количество мальчиков
Т.к. мальчиков и девочек вместе – 20. Получим
уравнение: х + у = 20
С другой стороны девочек больше чем мальчиков на
4
Значит можно получить следующее
уравнение х – у = 4
Объединим оба эти уравнения в систему, т.к в
каждом уравнении речь идет об одних и те же
детях., получим:
Далее дети самостоятельно решают систему
уравнений, на листочках под копирку.
Ответ: В классе 8 мальчиков и 12 девочек.
3. Самостоятельная работа в парах
У вас на партах лежат цветные карточки. На экране появятся условия задач. Вы выбираете для решения ту задачу, которая расположена на таком же цветном фоне, что и цвет вашей карточки. (Слайд 9)
Записывают составленную систему на тех же листочках под копирку.
Задача 2
1) В Зоопарке г. Екатеринбурга, живет много разных животных. Среди них есть медведи – бурые и белые. Известно, что всего в зоопарке живет 9 медведей, а бурых на 5 медведей больше, чем белых. Сколько белых и бурых медведей живет в зоопарке г. Екатеринбурга?
Решение:
Ответ: В зоопарке 2 белых медведя и 7 бурых медведей.
2) В Зоопарке г. Екатеринбурга, живет много разных животных. Среди них есть лисы – черные и рыжие. Известно, что всего в зоопарке живет 7 лис, а черных на 3 лисы меньше, чем рыжих. Сколько черных и рыжих лис живет в зоопарке г. Екатеринбурга?
Решение
Ответ: В зоопарке 5 рыжих лисиц и 2 черные лисицы.
После того как дети самостоятельно составили систему уравнений – листочки сдают, проверка. Решать эти системы они будут дома.
– Вы должны поднять карточку в том случае, если система составлена правильно. (Презентация . Слайд 10)
4. Закрепление материала
– А сейчас, я хочу рассказать вам об очень
интересном человеке. Он родился в 28 января 1879
году, в семье мастера Сысертского завода. И отец,
и дед его, и прадед всю жизнь провели на
медеплавильных заводах Сысертского горного
округа. В 1899 году он стал народным учителем и
трудовой свой путь начал в глухой уральской
деревне Шайдурихе, возле старинного города
Невьянска.
С детства он прислушивался к рассказам рабочих
об их тяжелой жизни, позже изучил много
документов, рассказывающих о горнозаводском
Урале. В летние каникулы он пешком или на
велосипеде путешествовал по уральским заводам и
деревням, по реке Чусовой, изучал труд камнерезов
и гранильщиков, сталеваров и литейщиков,
беседовал с ними о тайнах их ремесла
Люди говорили, что живет в горах Малахитница
(Хозяйка Медной горы), охраняет камни, рядом с ней
всегда много ящериц, а иногда и сама ящерицей
оборачивается.
А звали этого интересного человека Павел
Петрович Бажов.
(Презентация
.
Слайд11)
Колдун уральский бородатый,
Бажов дарит нам новый сказ.
«Живинка в деле» – сказ богатый
И поучительный для нас.
В нем слово каждое лучится,
Его направленность мудра,
Найдут, чему здесь поучиться,
Любого дела мастера
Важны в работе ум и чувство,
В труде двойное естество
«Живинкой в деле» мастерство
Преображается искусство,
И нет тогда ему границ.
И совершенству нет предела,
Не оторвать тогда от дела
Ни мастеров, ни мастериц.
Их вдохновение безмерно,
Глаза их пламенем горят.
Они работают? Неверно.
Они – творят.
Демьян Бедный
– Вы знаете его сказы или повести?
– Что означает слово «сказ»?
Сказ – это литературное произведение, в котором рассказчиком является не сам писатель, а другой, вымышленный им человек.
– В сказах Бажова живет хранительница недр,
покровительница уральских рудокопов. Как ее
зовут?
– Хозяйка Медной горы. (Презентация
.
Слайд12)
– В каких сказах Бажова встречается Хозяйка
Медной горы?
- Малахитовая шкатулка,
- Каменный цветок
- Горный мастер
- Хрупкая веточка
- Таюткино зеркальце
- Две ящерки
- Приказчиковы подошвы
- Сочневы камешки
– В сказах Бажова главными героями выступали и дети (Презентация . Слайд 13), это такие сказы как:
- Тяжелая витушка
- Серебряное копытце
- Хрупкая веточка
- Каменный цветок
- Огневушка-Поскакушка
- Таюткино зеркальце
- Малахитовая шкатулка
- Жабреев ходок
- Голубая змейка
– У меня в руках книга, в которой собраны произведения П.П.Бажова. Она называется «Малахитовая шкатулка». В этой книге разное количество сказов и повестей. Книга большая и в ней много страниц.
Задача 3 (Презентация . Слайд 15)
Я знаю, что 2 сказа о Хозяйке Медной горы и 3 сказа о героях-детях занимают 94 страницы. А 3 сказа о Хозяйке Медной горы и и 4 сказа о героях детях занимают 133 страниц. Помогите мне узнать, сколько страниц может занимать 1 сказ о Хозяйке Медной горы и 1 сказ о героях-детях?
Х стр. – о Х.
М.г.
2х + 3у = 94
У стр. – о
Д.
3х + 4у = 133
Получим систему
Ответ: 1 сказ о ХМг занимает 23 страницы; 1 сказ о детях занимает 16 страниц
Задача 4 (дополнительно) (Презентация . Слайд17)
Старик Кокованя приютил у себя сироту. Девочка Даренка была смышленая и чудная. Встретилась она с волшебным козлом, которого прозвали Серебряное копытце. При каждой встрече с ним можно было собрать много каменьев. При первой встрече Даренка собрала два мешочка гранатов и три мешочка малахита, всего 1300 гр. А при второй встрече один мешочек гранатов и два мешочка малахит, всего 800 грамм. Сколько грамм самоцветов содержится в каждом мешочке с малахитом и в каждом мешочке с гранатом?
Хгр – 1 мешочек
малахита
2у + 3х = 1300
Угр – 1 мешочек
граната
у + 2х = 800
Получим систему 
Ответ: В 1 мешочке 300гр малахита и 200гр. граната
– Я предлагаю каждому из вас, вернувшись, домой, прочитать сказы Бажова, ведь он писал их для нас.
5. Подведение итогов урока, выставление оценок.
– Итак, подведем итоги. Какая сегодня у нас была
тема урока?
– Что нового вы узнали, чему научились?
– Остались ли у вас вопросы, на которые учитель
должен будет ответить на следующем уроке?
6. Домашнее задание
- Решить задачу 1 графическим способом.
- Составить и решить задачу, в которой вы можете узнать возраст своих родителей, с помощью системы уравнений.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Маслова С. В.
МГПИ им. М. Е. Евсевьева, каф. методики начального образования
Решение задач с помощью систем уравнений
В настоящее время изучение системы уравнений и решение задач с их помощью является прерогативой курса алгебры старших классов. В основном система уравнений рассматривается как два или несколько уравнений, в которых одни и те же буквы обозначают одни и те же числа. Приведем примеры некоторых видов задач, решаемых с помощью системы уравнений в курсе алгебры. В итоге решение системы уравнений сводится к решению одного квадратного уравнения. Особо обратим внимание на способ составления самой системы.
1. Задача с геометрическим содержанием : «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см 2 . Найти катеты».
Решение: Пусть катеты равны х и у сантиметрам. Используя теорему Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника, условие задачи запишем так:
Прибавляя к первому
уравнению системы второе, умноженное на 4, получаем: 
откуда 
или Так как х
и у
– положительные числа, то Из этого уравнения
выразим у
через х
и подставим в одно из уравнений системы, например во второе: 
Решим полученное
уравнение:
Подставляя эти
значения в формулу находим 
В обоих случаях один
из катетов равен 5 см,другой
12 см.
Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.
2. Задача с нумерационным содержанием : «При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 16. Найти это число».
Решение: Пусть двузначное число будет записано как 10х+у. Используя правило о взаимодействии компонентов при делении с остатком, условие задачи запишем так:
Раскрыв скобки в первом уравнении, выразим из него значение у : Подставив значение у в первое уравнение системы, получим квадратное уравнение: - не удовлетворяет условию задачи.
Подставляя полученное значение в формулу находим
Ответ: двузначное число 64.
3. Задача на нахождение площади : «Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, если его площадь равна 6 га?»
Решение: Пусть длина и ширина участка прямоугольной формы равны х и у метрам. Используя формулы нахождения периметра и площади прямоугольника, а также соотношения 1 км=1000 м и 1 га=10000 м, условие задачи запишем так:
Выразим из второго уравнения значение у : Подставив значение у в первое уравнение системы, получим квадратное уравнение:
Подставляя полученные
значения в формулу 
Ответ: длина и ширина участка 300 м и 200 м.
Если старшеклассники по условию задачи составляют систему уравнений, в процессе решения которой не фигурирует квадратное уравнение, то сама задача может быть решена и учащимися младших классов. Единственная программа, взявшая на себя смелость использовать системы уравнений в начальном курсе математики, это система развивающего обучения Л. В. Занкова. Рассмотрим некоторые примеры решения задач с помощью составления системы уравнений из начального курса математики.
1. Задача на движение : «Расстояние между городами 564 км. Навстречу друг другу из городов одновременно вышли поезда и встретились через 6 часов. Скорость одного поезда на 10 км больше скорости другого. Чему равна скорость каждого поезда?»
Решение: Пусть х км/ч - скорость первого поезда, а у км /ч – скорость второго поезда. По условию задачи поезда встретились через 6 часов. Тогда, 6х км - пройдёт до встречи первый поезд, 6у км - пройдёт до встречи второй поезд. Их встреча означает, что суммарно они прошли до встречи путь в 564 км, то есть 6х+6у=564 – первое уравнение.
Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго, то есть, разность между скоростями равняется 10. Получим второе уравнение: х-у=10
Ответ: 52 км/ч, 42 км/ч.
2. Задача на уравнивание двух совокупностей : «На двух полках 84 книги. Если с одной полки снять 12 книг, то на обоих полках книг станет поровну. Сколько книг станет на каждой полке? А сколько было сначала?»
Решение: Пусть х книг – на первой полке, а у книг - на второй полке. По условию задачи на двух полках суммарно составляют 84 книги, то есть х+у=84 – первое уравнение.
Если с первой полки снять 12 книг, то количество книг на обоих полках будет поровну. Получим второе уравнение: х-12=у.
В итоге получим систему уравнений:
(книг) - было на первой полке.
84-48=36 (к.) - было на второй полке.
48-12=36 (к.) - станет на каждой полке.
Ответ: по 36 книг, 48 книг и 36 книг.
3. Задача на предположение : «У мальчика в коллекции есть жуки и пауки – всего 8 штук. Если пересчитать все ноги в коллекции. То их окажется 54. Сколько в коллекции жуков и сколько пауков?»
Решение: Пусть х – количество жуков, а у - количество пауков. Суммарно составляют 8 штук. Получим первое уравнение – х+у=8.
А так как у жука 6 ног, то ног всего будет 6х. У паука 8 ног, то 8у – это всего ног у паука. Суммарно составляют 54.Тогда приходим ко второму уравнению: 6х+8у=54.
Решая задачи при помощи уравнений, мы искали, как правило, одно неизвестное. Но встречаются и задачи, где есть несколько неизвестных. Такие задачи принято решать посредством составления систем уравнений.
Навстречу друг другу из одного города в другой, расстояние между которыми составляет 30 км, едут два велосипедиста. Предположим, что если велосипедист 1 выедет на 2 ч раньше своего товарища, то они встретятся через 2,5 часа после отъезда велосипедиста 2; если же велосипедист 2 выедет 2мя часами ранее велосипедсита 1, то встреча произойдет через 3 часа после отъезда первого. С какой скоростью движется каждый велосипедист?
Решение.
1. Определим скорость велосипедиста 1 как х км/ч, а скорость велосипедиста 2 как у км/ч.
2. Если первый велосипедист выедет на 2 ч раньше второго, то, согласно условию, он будет ехать до встречи 4,5 ч, тогда как второй 2,5 часа. За 4,5 ч первый проедет путь 4,5х км, а за 2,5 ч второй проедет путь 2,5у км.
3. Встреча двух велосипедистов означает, что суммарно они проехали путь 30 км, т.е. 4,5х + 2,5 у = 30. Это и есть наше первое уравнение.
4. Если второй выедет на 2 ч раньше первого, то, согласно условию, он будет ехать до встречи 5 ч, тогда как первый – 3 ч. Используя рассуждения, аналогичные изложенным выше рассуждениям, приходим к уравнению:
5. Итак, мы получили систему уравнений
{4,5х + 2,5 у = 30,
{3х + 5у = 30.
6. Решив полученную систему уравнений, мы найдем корни: х = 5, у = 3.
Т.о., первый велосипедист едет со скоростью 5 км/ч, а второй – 3 км/ч.
Ответ: 5 км/ч, 3 км/ч.
Вкладчику на его сбережения через год было начислено 6 $ процентных денег. Добавив 44 $, вкладчик оставил деньги еще на год. По истечении года вновь было произведено начисление процентов, и теперь вклад вместе с процентами составил 257,5 $. Какая сумма составляла вклад первоначально и сколько процентов начисляет банк?
Решение.
1. Пусть х ($) – первоначальный вклад, а у (%) – это проценты, которые начисляются ежегодно.
2. Тогда к концу года к первоначальному вкладу добавится (у/100) ∙ х $.
Из условия получаем уравнение (ух/100) = 6.
3. По условию известно, что в конце года вкладчик внес еще 44 $, так что вклад в начале второго года составил х + 6 + 44, т.е. (х + 50) $. Таким образом, сумма, полученная к концу второго года с учетом начисления, равнялась (х + 50 + (у/100)(х + 50)) $. По условию эта сумма равна 275,5 $. Это позволило нам составить второе уравнение:
х + 50 + (у/100)(х + 50) = 257,5
4. Итак, мы получили систему уравнений:
{(ух/100) = 6,
{х + 50 + (у/100)(х + 50) = 257,5
После преобразования системы уравнений мы получим:
{ху = 600,
{100х + 50у + ху = 20750.
Решив систему уравнений, мы нашли два корня: 200 и 1,5. Только первое значение удовлетворяет нашему условию.
Подставим значение х в уравнение и найдем значение у:
если х = 200, то у = 3.
Таким образом, первоначальный вклад составлял 200 $, а банк в год производит начисление а размере 3 %.
Ответ: 200 $; 3 %.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.