Найти длину вектора по координатам точек. Смешанное произведение трех векторов

Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

Определение 3

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

Определение 4

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).

Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

Определение 5

Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

$\overline{c}={m,n}$

Как найти длину вектора?

Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

Пример 1

Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).

Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит

$=x$, $[ OA_2]=y$

Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

$|\overline{α}|^2=^2+^2$

$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

Пример задач

Пример 2

Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается

Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными , если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными : вектора , и - коллинеарны.

Произведением вектора на число называется вектор, сонаправленный вектору , если title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :

Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника .

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма , нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов : чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора (то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами:

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для , а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1 . Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .

2 . Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

3 . Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD O . Найдите длину суммы векторов и .

4 . Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O . Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

5 . Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

6 . Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

7 .Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).

8 .Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .

9 . Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

10 . Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).

11 .Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).

12 . Задание 4 (№ 27720)

ABC равны Найдите длину вектора +.

13 . Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи).

14 . Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox

На оси абсцисс и ординат называются координатами вектора . Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у) , а сам вектор как: =(х, у).

Формула определения координат вектора для двухмерных задач.

В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1) и B(x 2 ; y 2 ) можно вычислить:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1).

Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) можно вычислить применив формулу:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора . (Свойство 3, приведенное ниже).

Свойства координат вектора.

1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты .

2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.

3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат .

4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.

5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов .

6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Еще со школьной скамьи нам известно, что такое вектор – это отрезок, который имеет направление и характеризуется численным значением упорядоченной пары точек. Число, равняющееся длине отрезка, который служит основой, определяется как длина вектора . Для ее определения мы будем использовать систему координат . А также учитываем еще одну характеристику – направление отрезка . Для того, чтобы найти длину вектора, можно воспользоваться двумя способами. Самый простой – берем линейку и измеряем, какова же она будет. А можно воспользоваться формулой. Этот вариант мы сейчас и рассмотрим.

Необходимо:

— система координат (х, у);
— вектор;
— знания по алгебре и геометрии.

Инструкция:

• Формулу определения длины направленного отрезка запишем следующим образом r²= x²+y² . Извлекаем корень квадратный из r² и полученное число будет результатом. Чтобы найти длину вектора, совершаем следующие действия. Обозначаем начальную точку координат (х1;у1) , конечная точка (х2;у2) . Находим x и y путем разности координат конца и начала направленного отрезка. Проще говоря, число (х) определяем по следующей формуле х=х2-х1 , а число (у) соответственно у=у2-у1 .
• Находим квадрат суммы координат по формуле x²+y² . Извлекаем корень квадратный из полученного числа, который и будет длиной вектора (r) . Решение поставленной задачи упростится, если сразу будут известны начальные данные координат направленного отрезка. Все, что потребуется – это подставить данные в формулу.
• Внимание! Вектор может находиться не на плоскости координат, а в пространстве, в таком случае к формуле прибавится еще одно значение, и она будет иметь следующий вид: r²= x²+y²+ z² , где – (z) дополнительная ось, помогающая определить величину направленного отрезка в пространстве.