Множеством значений функции является. Функция
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ САХАЛИНСКОЙ ОБЛАСТИ
ГБПОУ «СТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»
Практические работы
По дисциплине «Математика»
Раздел: « Функции, их свойства и графики».
Тема: Функции. Область определения и множество значений функции. Четные и нечетные функции.
Составила:
Преподаватель
Казанцева Н.А.
Южно-сахалинск-2017
Практические работы по математике по разделу « и методические указания по их выполнению предназначены для студентов ГБПОУ «Сахалинский строительный техникум»
Составител ь : Казанцева Н. А., преподаватель математики
Материал содержит практические работы по математике « Функции, их свойства и графики» и указания по их выполнению. Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по математике и предназначены для студентов Сахалинского строительного техникума , обучающихся по программам общего образования.
1)Практическое занятие №1. Функции. Область определения и множество значений функции.……………………………………………………………...4
2)Практическое занятие №2 . Четные и нечетные функции……………….6
Практическое занятие №1
Функции. Область определения и множество значений функции.
Цели: закрепить умения и навыки решения задач по теме: «Область определения и множество значений функции.
Оборудование:
Указание. Сначала следует повторить теоретический материал по теме: «Область определения и множество значений функции», после чего можно приступать к выполнению практической части.
Методические указания:
Определение : Область определения функции – это множество всех значений аргумента х, на котором задается функция (или множество х при которых функция имеет смысл).
Обозначение: D (у), D ( f )- область определения функции.
Правило: Для нахождения о бласти определения функции по графику необходимо график спроектировать на ОХ.
Определение: Область значения функции – это множество у, при которых функция имеет смысл.
Обозначение: Е(у), Е(f )- область значения функции.
Правило: Для нахождения о бласти значения функции по графику необходимо график спроектировать на ОУ.
№ 1.Найдите значения функции:
a ) f (x ) = 4 x + в точках 2;20 ;
б) f (x ) = 2 · cos (x ) в точках; 0;
в) f (x ) = в точках 1;0; 2;
г) f (x ) = 6 sin 4 x в точках; 0;
е) f (x ) = 2 9 x + 10 в точках 2; 0; 5.
№ 2.Найдите область определения функции:
a) f(x) = ; б ) f(x) = ; в ) f(x) = ;
г) f (x ) = ; д) f (x ) = ; е) f (x ) = 6 x +1;
ж) f (x ) = ; з) f (x ) = .
№3. Найдите область значений функции:
а) f (x ) = 2+3 x ; б) f (x ) = 2 7 x + 3.
№ 4.Найдите область определения и область значения функции, график которой изображен на рисунке:
Практическое занятие №2
Четные и нечетные функции.
Цели: закрепить умения и навыки решения задач по теме: «Четные и нечетные функции».
Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы
Указание. Сначала следует повторить теоретический материал по теме: «Четные и нечетные функции», после чего можно приступать к выполнению практической части.
Не забывайте о правильном оформлении решения.
Методические указания:
К важнейшим свойствам функций относится четность и нечетность.
Определение: Функция называется нечетной меняет свое значение на противоположное,
т.е. f (х )= f (х ) .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0;0).
Примеры : нечетными функциями являются у=х, у= , у= sin х и др.
Например, график у= действительно обладает симметричностью относительно начала координат (см. рис.1):
Рис.1. Г рафик у= (кубическая парабола)
Определение: Функция называется четной , если при изменении знака аргумента, она не меняет свое значение, т.е. f (х )= f (х ) .
График четной функции симметричен относительно оси ОУ.
Примеры : четными функциями являются функции у= , у= ,
у= cos x и др.
Например, покажем симметричность графика у= относительно оси ОУ:
Рис.2. Г рафик у=
Задания для практической работы:
№1. Исследуйте функцию на четность или нечетность аналитическим путем:
1) f (х ) = 2 х 3 – 3; 2) f (х ) = 5 х 2 + 3;
3) g (х ) = – + ; 4) g (х ) = –2 х 3 + 3;
5) у(х)= 7хс tg x ; 6) у(х)= + cos x ;
7) t (х)= tg x 3; 8) t (х)= + sin x .
№2. Исследуйте функцию на четность или нечетность аналитическим путем:
1) f (х ) = ; 2) f (х ) = 6 + · sin 2 x · cos x ;
3) f (х ) = ; 4) f (х ) = 2 + · cos 2 x · sin x ;
5) f (х ) = ; 6) f (х ) = 3 + · sin 4 x · cos x ;
7) f (х ) = ; 8) f (х ) = 3 + · cos 4 x · sin x .
№3. Исследуйте функцию на четность или нечетность по графику:
№4. Проверьте, является ли четной или нечетной функция?
Инструкция
Вспомните, что функция - это такая зависимость переменной Y от переменной Х, при которой каждому значению переменной X соответствует единственное значение переменной Y.
Переменная X является независимой переменной или аргументом. Переменная Y - зависимая переменная. Считается также, что переменная Y является функцией от переменной X. Значения функции равны значениям зависимой переменной.
Для наглядности записывайте выражения. Если зависимость переменной Y от переменной X является функцией, то это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначьте значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.
Исследование функции на четность или нечетность - один из шагов общего алгоритма исследования функции, необходимого для построения графика функции и изучения её свойств. В этом шаге необходимо определить, является ли функция четной или нечетной. Если про функцию нельзя сказать, что она является четной или нечетной, то говорят, что это функция общего вида.
Инструкция
Подставьте аргумента x аргумент (-x) и посмотрите, что получилось в итоге. Сравните с изначальной функцией y(x). Если y(-x)=y(x), имеем четную функцию. Если y(-x)=-y(x), имеем нечетную функцию. Если y(-x) не равняется y(x) и не равняется -y(x), имеем функцию общего вида.
Все операции с функцией можно производить только в том множестве, где она определена. Поэтому при исследовании функции и построения ее графика первую роль играет нахождение области определения.
Инструкция
Если функция имеет вид y=g(x)/f(x), решите f(x)≠0, потому что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Например, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. То есть областью определения будет множество (-∞; 4)∪(4; +∞).
Когда при определении функции присутствует корень четной , решите неравенство, где значение будет больше или равно нуля. Корень четной степени может быть взят только из неотрицательного числа. Например, y=√(x−2), x−2≥0. Тогда областью определения является множество , то есть если y=arcsin(f(x)) или y=arccos(f(x)), нужно решить двойное неравенство -1≤f(x)≤1. Например, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Областью определения будет отрезок [-3; -1].
Наконец, если задана комбинация различных функций, то область определения представляет собой пересечение областей определения всех этих функций. Например, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6). Сначала найдите область определения всех слагаемых. Sin(2*x) определен на всей числовой прямой. Для функции x/√(x+2) решите неравенство x+2>0 и область определения будет (-2; +∞). Область определения функции arcsin(x−6) задается двойным неравенством -1≤x-6≤1, то есть получается отрезок . Для логарифма имеет место неравенство x−6>0, а это есть интервал (6; +∞). Таким образом, областью определения функции будет множество (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), то есть (6; 7].
Видео по теме
Источники:
- область определения функции с логарифмом
Функция - это понятие, отражающее связь между элементами множеств или другими словами это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).
Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .
Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .
Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .
График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.
Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью .
D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R
График линейной функции — прямая.
Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:
k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .
1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .
Например: y=x+1
2) Функция монотонно убывает при k < 0 .
Например: y=-x+1
3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .
Например: y=-1
Обратная пропорциональность
Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac {k}{x} , где k — отличное от нуля, действительное число
D(f) : x \in \left \{ R/x \neq 0 \right \}; \: E(f) : y \in \left \{R/y \neq 0 \right \} .
Графиком функции y=\frac {k}{x} является гипербола.
1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.
Например: y=\frac{1}{x}
2) Если k < 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.
Например: y=-\frac{1}{x}
Степенная функция
Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число
1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in ; основной период функции T=2 \pi
Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.
Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.
Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).
НАПРИМЕР у=5+х
1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3
2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)
Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).
НАПРИМЕР.
1.у=1/х. (наз.гипербола)
2. у=х^2. (наз. парабола)
3.у=3х+7. (наз. прямая)
4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)
Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.
Область определения функции
Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).
Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.
1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
4. D (у)= }