Объём шара

После столь длительных подготовок, мы, основываясь на теоретических знаниях изложенных выше, можем приступить к доказательству теоремы о вычислении объёма шара с помощью определённого интеграла.

Теорема . Объём шара радиуса R равен .

Доказательство . Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. 10). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х -- абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:

Так как , то

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при , получим

Теорема доказана.

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью (рис. 11). Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента. Объем шарового сегмента находится при помощи тех же рассуждений из рис. 11, стоит лишь веять не все тело («цилиндр без конуса»), а его часть, отсеченную плоскостью, параллельной основанию. Рассмотрим, например, шаровой сегмент, лежащий выше секущей плоскости, проведенной на высоте х от плоскости основания полушара, т.е. на расстоянии от верхней точки полушара. Величина h называется стрелкой сегмента. Искомый объем будет равен разности объемов цилиндра радиуса R с высотой h и усеченного конуса; так как радиус малого основания конуса равен, то получаем для объема сегмента

Раскрывая скобки и упрощая выражение, приведем его к виду

Эта формула выведена для сегмента, стрелка которого не превосходит радиуса шара. Она остается верна и для сегмента c любой стрелкой. Пусть сегмент со стрелкой - дополнительный к сегменту со стрелкой. Вычислим его объём как разность объёмов шара и сегмента со стрелкой h:

Заменим здесь h через 2R-h 1 :

Раскрывая скобки и производя упрощения, получим

т.е. такую же формулу, что и раньше.

Интересен вывод формулы объёма шарового сегмента с помощью определённого интеграла.

Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рисунке 12 h=AB ), то V шарового сегмента вычисляется по формуле

Действительно, проведём ось Ox перпендикулярно к плоскости (рис. 12). Тогда площадь S(x) произвольного сечения шарового сегмента плоскостью, перпендикулярной к оси Ox, выражается формулой (1) при. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при, получим

Как видите, вычисление объёмов тел с помощью интеграла даёт большой выигрыш во времени.

Ар-хи-мед До-си-фея при-вет-ству-ет! Неза-дол-го пе-ред сим я пре-про-во-дил к те-бе неко-то-рые пред-ме-ты мо-их иcсле-до-ва-ний, вме-сте с най-ден-ны-ми мною до-ка-за-тель-ства-ми […] Ныне я кон-чил и дру-гие неко-то-рые мне на мысль при-шед-шие тео-ре-мы, из ко-их до-сто-при-ме-ча-тель-ней-шие суть сии: […] Ци-линдр, име-ю-щий ос-но-ва-ни-ем наи-боль-ший круг ша-ра, а вы-со-ту, рав-ную по-пе-реч-ни-ку оно-го, есть по-лу-тор-ный ша-ра ; и его по-верх-ность есть по-лу-тор-ная же по-верх-но-сти ша-ра. Свой-ства сии без со-мне-ния су-ще-ство-ва-ли в ска-зан-ных фигу-рах, но до-се-ле не бы-ли ещё за-ме-че-ны ни-кем из за-ни-мав-ших-ся Гео-мет-ри-ей…

Ар-хи-мед. О ша-ре и ци-лин-дре.

На-хож-де-ние со-от-но-ше-ния меж-ду объ-ё-ма-ми ша-ра и опи-сан-но-го око-ло него ци-лин-дра Ар-хи-мед (Ар-хи-мед Си-ра-куз-ский, др.-греч. Ἀρχιμήδης, лат. Archimedes, 287 до н. э. - 212 до н. э.) счи-тал сво-им глав-ней-шим ма-те-ма-ти-че-ским от-кры-ти-ем. Не слу-чай-но на над-гро-бии Ар-хи-ме-да бы-ли изоб-ра-же-ны шар и ци-линдр.

Ко-гда я был кве-сто-ром, я отыс-кал в Си-ра-ку-зах его <Ар-хи-ме-да> мо-ги-лу, со всех сто-рон за-рос-шую тер-нов-ни-ком, слов-но из-го-ро-дью, по-то-му что си-ра-ку-зяне со-всем за-бы-ли о ней, слов-но ее и нет. Я знал несколь-ко стиш-ков, со-чи-нен-ных для его над-гроб-но-го па-мят-ни-ка, где упо-ми-на-ет-ся, что на вер-шине его по-став-ле-ны шар и ци-линдр. И вот, осмат-ри-вая мест-ность близ Ак-ра-гант-ских во-рот, где очень мно-го гроб-ниц и мо-гил, я при-ме-тил ма-лень-кую ко-лон-ну, чуть–чуть воз-вы-шав-шу-ю-ся из за-ро-с-лей, на ко-то-рой бы-ли очер-та-ния ша-ра и ци-лин-дра. Тот-час я ска-зал си-ра-ку-зя-нам - со мной бы-ли пер-вей-шие граж-дане го-ро-да, - что это-го–то, ви-ди-мо, я и ищу. Они по-сла-ли ко-са-рей и рас-чи-сти-ли ме-сто. Ко-гда до-ступ к нему от-крыл-ся, мы по-до-шли к ос-но-ва-нию па-мят-ни-ка. Там бы-ла и над-пись, но кон-цы её стро-чек стёр-лись от вре-ме-ни по-чти на-по-ло-ви-ну. Вот до ка-кой сте-пе-ни слав-ней-ший, а неко-гда и учё-ней-ший гре-че-ский го-род по-за-был па-мят-ник ум-ней-ше-му из сво-их граж-дан: по-на-до-бил-ся че-ло-век из Ар-пи-на, чтобы на-пом-нить о нём.

Ци-це-рон. Туску-лан-ские бе-се-ды.

Рас-смот-рим ры-чаж-ные ве-сы. Пред-ста-вим, что с од-ной сто-ро-ны ве-сов рас-по-ло-жен ци-линдр, вы-со-той рав-ной ра-ди-у-су ос-но-ва-ния, а с дру-гой сто-ро-ны, на том же рас-сто-я-нии от под-ве-са что и ци-линдр, - ко-нус и по-ло-ви-на ша-ра . При-чём та-кие, что ра-ди-ус ос-но-ва-ния ко-ну-са и вы-со-та рав-ны ра-ди-у-су ци-лин-дра, ра-ди-ус ша-ра ра-вен ра-ди-у-су ци-лин-дра.

Ар-хи-мед. Со-чи-не-ния / Пе-ре-вод, всту-пи-тель-ная ста-тья и ком-мен-та-рии И. Н. Ве-се-лов-ско-го. - М.: ГИФМЛ, 1962.

«Определение сферы и шара» - Шаровой слой. Определение шара. Вокзалы Западной Европы. Символ шара. Сфера и плоскость. Шаровой сектор. Взаимное расположение сферы и плоскости. Точка. Шаровой сегмент. Планеты имеют форму шара. Определение сферы. Касательная плоскость. Радиус сферы. Площадь сферы. Шар символизировал удачу. Символ будущего.

«Чем отличается сфера от шара» - Уравнение сферы. Определение сферы. Уравнение сферы радиуса R. Предметы окружающей обстановки. Окружность. Координаты центра. Представление о сфере. Вывести уравнение сферы. Центр сферы. Шар. Сфера. Понятие сферы. Круг. Сфера и шар.

«Шар» - Организация творческой исследовательской деятельности учащихся. Три уровня самостоятельной деятельности: репродуктивный (тренировочный); реконструктивный; творческий (поисковый). Конус. Повторение теоретических положений. Тема: «Шар, вписанный в пирамиду, призму, конус». Исследова-тельская практика, процесс работы над темой.

««Сфера и шар» 11 класс» - Расстояние от центра сферы до плоскости. Площадь поверхности сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Радиус сечения. Определение сферы. Сфера и плоскость. Расположение. Сфера. Как изобразить сферу. Шар. Определение сферы, шара. Взаимное расположение окружности и прямой. Координаты центра. Физкультминутка.

«Касательная плоскость к сфере» - Сфера и шар. Площадь сферы. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Уравнение сферы. Взаимное расположение прямой и плоскости. В отличие от боковой поверхности конуса или цилиндра, сферу невозможно развернуть на плоскость. Касательная плоскость к сфере.

«Задачи на шар и сферу» - Шар вписан в цилиндр. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, вписан в один шар. Цели и задачи. Устный тест: «Тела вращения». Шар и сфера. Установите соответствие. Решение задач по готовым чертежам. Конус. Площадь сферы. Работа у доски.

Всего в теме 12 презентаций

Объем шара Теорема Объем шара радиуса R равен 4/3 πR 3 R x B O C M A Доказательство Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке O и выберем ось Ox произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей через точку M этой оси, является кругом с центром в точке M. Обозначим радиус этого круга через R, а его площадь через S(x), где x-абсцисса точки М. Выразим S(x) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим R = OC²-OM² = R²-x² Так как S (x) = п r ², то S (x) = п (R²-x²). Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е., для всех х, удовлетворяющих условию –R x R. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при a = –R, b = R, получаем: R R R R R V = п (R²-x²) dx = п R² dxп - x²dx = п R²x - пx³/3 = 4/3 пR³. -R -R -R -R -R Теорема доказана x

Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора А) Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. На рисунке 1 секущая плоскость α, проходящая ч-з т.В, разделяет шар на 2 шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков АВ и ВС диаметра АС, перпендикулярного к секу- щей плоскости, называются высотами сегментов. х АВ=h α О А С Шаровой сегмент Рис.1

Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рис.1 h =АВ), то объём V шарового сегмента вычисляется по формуле: V = пh² (R-1/3h). · Б) Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между 2-мя параллельными секущими плоскостями (рис.2). Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя. Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёмов 2-ух шаровых сегментов. А В С х Рис.2 Шаровой слой

В) Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90 градусов, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов (рис.3). Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объём V шарового сектора вычисляется по формуле: V = 2/3 пR² h h O R r Рис.3 Шаровой сектор

Площадь сферы В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для неё не пригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развёртки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Пусть описанный около сферы многогранник имеет n граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанных многогранников стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани => ">

Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен. Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис.). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходя­щей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х - абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим: (2.6.1) Так как, то (2.6.2) Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х,удовлетворяющих условию. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при, получим Теорема доказана.

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке геометрии, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Скачать всю презентацию «Цилиндр конус шар.ppt» можно в zip-архиве размером 397 КБ.

Цилиндр

«Объём цилиндра» - Объём цилиндра. Конусы из жизни. Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Ведро – пример усечённого конуса. Объём усечённого конуса. Башня в Гёреме (Иран) Туманность конуса. Конус: история. Водовзводная башня (Москва) Собственный дом архитектора К.Мельникова (Москва) Замок Сфорца (Милан).

«Цилиндр геометрия 11 класс» - 4. 3. Теоретический материал Задачи. 4. Радиус основания. 2.Понятие цилиндрической поверхности. 3.Ось цилиндра. 2. Образующие. 1. 1. Основание цилиндра. Осевое сечение. Сечение плоскостью, перпендикулярной к оси. 1.Разработка урока 2.Материалы к уроку. Геометрия 11 класс. Геометрия 11 класс Тема: Цилиндр.

«Урок Объём цилиндра» - Цилиндрическая поверхность. A. О. «Вычисление объёма цилиндра». Н. A1. C. План урока. Самостоятельная работа. C1. Х. 0. B.

«Поверхность цилиндра» - Algebra & Geometria Entertainment. A. Shevchenko R. Trushenkov. Ось цилиндра. Образующие. Основания цилиндра. L. Film by: «Понятие цилиндра». Осевое сечение. L1.

«Цилиндр» - А. Цилиндрическая поверхность. В. Основания цилиндра. Образующие цилиндра параллельны друг другу. Ось цилиндра. Радиус цилиндра.