«Определение сферы и шара» - Шаровой слой. Определение шара. Вокзалы Западной Европы. Символ шара. Сфера и плоскость. Шаровой сектор. Взаимное расположение сферы и плоскости. Точка. Шаровой сегмент. Планеты имеют форму шара. Определение сферы. Касательная плоскость. Радиус сферы. Площадь сферы. Шар символизировал удачу. Символ будущего.

«Чем отличается сфера от шара» - Уравнение сферы. Определение сферы. Уравнение сферы радиуса R. Предметы окружающей обстановки. Окружность. Координаты центра. Представление о сфере. Вывести уравнение сферы. Центр сферы. Шар. Сфера. Понятие сферы. Круг. Сфера и шар.

«Шар» - Организация творческой исследовательской деятельности учащихся. Три уровня самостоятельной деятельности: репродуктивный (тренировочный); реконструктивный; творческий (поисковый). Конус. Повторение теоретических положений. Тема: «Шар, вписанный в пирамиду, призму, конус». Исследова-тельская практика, процесс работы над темой.

««Сфера и шар» 11 класс» - Расстояние от центра сферы до плоскости. Площадь поверхности сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Радиус сечения. Определение сферы. Сфера и плоскость. Расположение. Сфера. Как изобразить сферу. Шар. Определение сферы, шара. Взаимное расположение окружности и прямой. Координаты центра. Физкультминутка.

«Касательная плоскость к сфере» - Сфера и шар. Площадь сферы. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Уравнение сферы. Взаимное расположение прямой и плоскости. В отличие от боковой поверхности конуса или цилиндра, сферу невозможно развернуть на плоскость. Касательная плоскость к сфере.

«Задачи на шар и сферу» - Шар вписан в цилиндр. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, вписан в один шар. Цели и задачи. Устный тест: «Тела вращения». Шар и сфера. Установите соответствие. Решение задач по готовым чертежам. Конус. Площадь сферы. Работа у доски.

Всего в теме 12 презентаций

Объём шара

После столь длительных подготовок, мы, основываясь на теоретических знаниях изложенных выше, можем приступить к доказательству теоремы о вычислении объёма шара с помощью определённого интеграла.

Теорема . Объём шара радиуса R равен .

Доказательство . Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. 10). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х -- абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:

Так как , то

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при , получим

Теорема доказана.

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью (рис. 11). Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента. Объем шарового сегмента находится при помощи тех же рассуждений из рис. 11, стоит лишь веять не все тело («цилиндр без конуса»), а его часть, отсеченную плоскостью, параллельной основанию. Рассмотрим, например, шаровой сегмент, лежащий выше секущей плоскости, проведенной на высоте х от плоскости основания полушара, т.е. на расстоянии от верхней точки полушара. Величина h называется стрелкой сегмента. Искомый объем будет равен разности объемов цилиндра радиуса R с высотой h и усеченного конуса; так как радиус малого основания конуса равен, то получаем для объема сегмента

Раскрывая скобки и упрощая выражение, приведем его к виду

Эта формула выведена для сегмента, стрелка которого не превосходит радиуса шара. Она остается верна и для сегмента c любой стрелкой. Пусть сегмент со стрелкой - дополнительный к сегменту со стрелкой. Вычислим его объём как разность объёмов шара и сегмента со стрелкой h:

Заменим здесь h через 2R-h 1 :

Раскрывая скобки и производя упрощения, получим

т.е. такую же формулу, что и раньше.

Интересен вывод формулы объёма шарового сегмента с помощью определённого интеграла.

Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рисунке 12 h=AB ), то V шарового сегмента вычисляется по формуле

Действительно, проведём ось Ox перпендикулярно к плоскости (рис. 12). Тогда площадь S(x) произвольного сечения шарового сегмента плоскостью, перпендикулярной к оси Ox, выражается формулой (1) при. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при, получим

Как видите, вычисление объёмов тел с помощью интеграла даёт большой выигрыш во времени.

Величайший учёный Древнего мира – Архимед (ок. 287–212 до н. э.) общепризнанно считается одним из величайших гениев в истории человечества. Его вклад в математику огромен, а имя овеяно легендами. Именно Архимед придумал формулу для определения площади треугольника по его сторонам и вплотную подошёл к понятию определённого интеграла, опередив человечество почти на два тысячелетия. Архимеду принадлежат точные формулировки законов природы, сохранившиеся в неприкосновенности на все времена.

Архимед первый дерзнул исчислить размеры окружающего нас мира. Он определил границы для числа π , доказав, что: 3 10/71 . Но более всего Архимед гордился найденной им формулой, с помощью которой можно найти объём шара , и в память об этом потомки изобразили шар и цилиндр на его могильном камне.

Следуя идеям Архимеда, можно доказать тот результат, который доставил ему высшую творческую радость. Например, докажем теорему: объём шара радиуса 1 равен 4/3 π .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы будем опираться на следующие две формулы стереометрии: объём цилиндра с радиусом основания R и высотой H равен πR 2 H и объём конуса с радиусом основания R и высотой H равен 1/3 πR 2 H . Последнюю формулу также нашел Архимед. Давайте, перейдём к доказательству. Для этого нужно вспомнить детские игрушки, которые называют пирамидками. Вспомним их устройство: имеется подставка с вертикальной палочкой и набор колечек разного размера, но сделанные из одинакового материала. Надо нанизать эти колечки на палочку так, чтобы размеры колечек увеличивались по мере приближения к подставке. Тогда получится фигура, похожая на конус.

По Архимеду доказательство теоремы очень легко понять с помощью подобных игрушек. Только надо сделать не одну – коническую, а три разных – цилиндрическую, когда тоненькие колечки будут иметь радиус 1, и если их собрать вместе, то они образуют цилиндр высоты 1, коническую – из таких же тоненьких колечек, но разных радиусов, из которых можно собрать конус радиуса основания 1, и полушаровую, собрав из колечек полушар радиуса 1.

А теперь возьмём аптекарские весы с плоскими чашами и, как Архимед, поставим на одну чашу собранную из колечек игрушку-цилиндр, а на другую – конус и полушар, причём конус поставим основанием на чашу весов, а полушар – "на голову", чтобы плоское основание полушара было сверху и расположено горизонтально.

Пусть высоты колечек одинаковы и равны δ , где δ – очень малое число. Подсчитаем, каков объём колечек, находящихся на одной и той же высоте h . У цилиндрического колечка этот объём равен πδ , у конического π(1 - h) 2 δ , а у полушарового колечка π(1 - (1 - h) 2)δ (ибо радиус колечка у конуса равен 1 - h , а у полушара, по теореме Пифагора, он равен (1 - (1 - h) 2) 1/2 .

Суммарный объём на каждой из чаш весов оказался одинаковым. Но если δ очень мало, то коническая игрушка будет почти неотличима от конуса, полушаровая – от полушара, а цилиндрическая – всегда цилиндр.

В пределе получаем, что объём полушара радиуса 1 равен объёму цилиндра с радиусом основания и высотой 1, минус объём конуса с радиусом основания и высотой 1. Откуда и следует доказательство теоремы Архимеда: объём шара радиуса 1 равен 4/3 π .

Цели урока:

образовательные:

• обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Тела вращения”;
• вывести формулу объема шара.

Воспитательные:

• показать, что источник возникновения изучаемой темы – реальный мир, что она возникла из практических потребностей; воспитание вычислительных навыков;
• показать связь с историей; воспитание самостоятельности; воспитание стремления к самореализации.

Развивающие: совершенствование, развитие, углубление знаний, умений и навыков по теме; развитие пространственного воображения; развитие мыслительной деятельности: умения анализировать, обобщать, классифицировать.

Оборудование: учебник геометрии 10–11класс, автор Л.С. Атанасян; компьютер; мультимедейный проектор; модели геометрических фигур (шар, цилиндр); презентация .

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний.

1) Устная работа. Соотнесите название фигуры и формулу объема и площади поверхности тел.

1. Цилиндр.
2. Конус.
3. Усеченный конус.

2) Проверка творческой домашней работы . Презентации учащихся по решению задач с открытого банка ЕГЭ, типа В9.

III. Изучение новой темы.

Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.

Вспомните, определение шара и его элементов. (Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.)

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара).

Теорема: Объем шара равен

Доказательство:

Мы уже знаем, что можно вычислять объемы тел с помощью интегральной формулы. V=

Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы объема шара.

(Учитель объясняет вывод формулы объема шара с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях.)

Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом (рис. 178).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М.. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим

Так как S(x)=пr 2 ,то S(x)=п(R 2 -x 2).

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

Теорема доказана.

Физкультминутка (для глаз).

IV. Формирование умений и навыков учащихся.

Проблемная задача. При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трем арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?

Задача (Архимеда ):

Дано: в цилиндр вписан шар.

Найти: отношение объемов цилиндра и шара.

Ответ: 1,5.

Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объем шара в полтора раза меньше объема описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах. (Небольшое сообщение учащихся об Архимеде. )

Задачи из ЕГЭ (В9):

1. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решение: (Опираемся на открытие Архимеда. )

2. Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.

Поверхность шара S 1 = 4пR 2 , стала S 2 = 4пR 2 /9 = 4п (R/3) 2 = 4пr 2

Видим, что r =R/3, т.е. радиус уменьшился в 3 раза.

Объем V 1 = 4/3 ПR 3 , а объем V 2 = 4/3 пr 3 = 4/3 п(R/3) 3 =4/3 пR 3 /27 = V 1 / 27.

V. Итог урока.

Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.

Диагностика (рефлексия).

На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.

Беседа по следующим вопросам:

Что было интересного сегодня на уроке?

Что вызвало трудности?

Какие умения приобрели сегодня?

Где могут пригодиться эти умения?

Домашнее задание.

П.71 № 712, II уровень №714 с презентацией.