Сложные математические формулы. Формулы и уравнения, которые изменили мир
Основные виды (численных) формул
Как правило, в формулу входят переменные (одна или более), причём сама формула представляет собой не просто выражение, а некое суждение . Такое суждение может утверждать что-то о переменных, а может - о применяемых операциях. Точный смысл формулы зачастую подразумевается из контекста и его невозможно понять непосредственно из её вида. Можно выделить три распространённых случая:
Уравнения
Уравнение - формула, внешняя (верхняя) связка которого представляет собой бинарное отношение равенства . Однако, важная особенность уравнения заключается также в том, что входящие в него символы делятся на переменные и параметры (присутствие последних, впрочем, необязательно). Например, является уравнением, где x - переменная. Значения переменной, при которых равенство истинно, называются корнями уравнения : в данном случае таковыми являются два числа и −1 . Как правило, если уравнение на одну переменную не является тождеством (см. ниже), то корни уравнения представляют собой дискретное, чаще всего конечное (возможно и пустое) множество.
Если в уравнение входят параметры, то его смысл - для заданных параметров найти корни (то есть значения переменной, при котором равенство верно). Иногда это можно сформулировать как нахождение неявной зависимости переменной от параметра (параметров). Например понимается как уравнение на x (это обычная буква для обозначения переменной, наряду с y , z и t). Корнями уравнения является квадратный корень из a (считается, что их имеется два, разных знаков). Следует отметить, что подобная формула, сама по себе, задаёт лишь бинарное отношение между x и a и её можно понимать в обратную сторону, как уравнение на a относительно x . В данном элементарном случае, речь может идти скорее об определении a через x: .
Тождества
Тождество - суждение, верное при любых значениях переменных. Обычно, под тождеством подразумевают тождественно верное равенство, хотя снаружи тождества может стоять и неравенство или какое-либо другое отношение. Во многих случаях тождество можно понимать как некое свойство используемых в нём операций , например тождество утверждает коммутативность сложения.
С помощью математической формулы довольно сложные предложения могут быть записаны в компактной и удобной форме. Формулы, становящиеся истинными при любом замещении переменных конкретными объектами из некоторой области, называются тождественно-истинными в данной области. Например: «для любых a и b имеет место равенство ». Данное тождество можно вывести из аксиом сложения и умножения в коммутативном кольце , которые сами по себе также имеют вид тождеств.
Тождество может и не включать в себя переменные и являться арифметическим (или каким-то ещё) равенством, как например .
Приближённые равенства
В 7-8 классе изучают решение уравнений графическим способом. В это время на решение даются простые уравнения("с хорошим корнем") которые легко отыскиваются с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но существуют примеры где с корнем немного иначе. Рассмотрим два уравнения:√х=2-х и √х=4-х. Первое уравнение имеет единственный корень х=1, поскольку графики функций у =√х и у =2-хпересекаются в одной точке А(1,1). Во втором случае графики функций у =√х-фс у =4-х также пересекаются в одной точке А(1,1), но с "плохими" координатами. С помощью чертежа, делаем вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В таких случаях говорят не о точном, а о приближённом решении уравнения и записывают так: х≈2,5.
Неравенства
Формула-неравенство может пониматься в обоих описанных в начале раздела смыслах: как тождество (например, неравенство Коши - Буняковского) или же, подобно уравнению, как задача на отыскание множества (а точнее, подмножества области определения), которому может принадлежать переменная, или переменные.
Используемые операции
В данном разделе будут перечислены операции, используемые в алгебре , а также некоторые общеупотребительные функции из математического анализа .
Сложение и вычитание
Возведение в степень
Элементарные функции
Абсолютная величина, знак и т. п.
Приоритет операций и скобки
Приоритет, ранг или старшинство операции или оператора - формальное свойство оператора/операции, влияющее на очередность его выполнения в выражении с несколькими различными операторами при отсутствии явного (с помощью скобок) указания на порядок их вычисления. Например, операцию умножения обычно наделяют бо́льшим приоритетом, чем операцию сложения, поэтому в выражении будет получено сначала произведение y и z, а потом уже сумма.
Примеры
Например:
Функция одного действительного аргумента или однозначная функция;
Функция нескольких аргументов или многозначная функция (график одной из самых замечательных кривых - верзьера Аньези) ;
Не дифференцируемая функция в точке (непрерывная ломаная линия не имеет касательной) ;
- целочисленная функция;
- чётная функция ;
- нечётная функция ;
Функция точки, расстояние от точки до начала (декартовых) координат;
Разрывная функция в точке ;
Параметрически заданная функция (график циклоиды) ;
Прямая и обратная функции;
Интегральное уравнение;
Ссылки
- Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
См. также
- Алгебраическое выражение - математическое обозначение, не выражающее законченную мысль.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Математическая формула" в других словарях:
- (от лат. formula форма, правило, предписание): Математическая формула Формула в Microsoft Excel Химическая формула Эпическая формула Физическая формула Зубная формула Формула цветка Магическая формула Формула технических видов… … Википедия
Формула произведения корангов математическая формула, выражающая коразмерность множества точек, в которых ядро производной отображения имеет заданную размерность, в виде произведения корангов данного отображения в прообразе и образе.… … Википедия
Формула Грассмана математическая формула, описывающая размерность подпространства конечномерного пространства. Выведена немецким ученым Г. Г. Грассманом. Формулировка: Если линейное пространство V конечномерно, то конечномерными… … Википедия
Формула Остроградского математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью: то есть интеграл от дивергенции векторного… … Википедия
Одно из названий современной логики, пришедшей во втор. пол. 19 нач. 20 в. на смену традиционной логике. В качестве др. названия современного этапа в развитии науки логики используется также термин символическая логика. Определение… … Философская энциклопедия
Основные виды (численных) формул
Как правило, в формулу входят переменные (одна или более), причём сама формула представляет собой не просто выражение, а некое суждение . Такое суждение может утверждать что-то о переменных, а может - о применяемых операциях. Точный смысл формулы зачастую подразумевается из контекста и его невозможно понять непосредственно из её вида. Можно выделить три распространённых случая:
Уравнения
Уравнение - формула, внешняя (верхняя) связка которого представляет собой бинарное отношение равенства . Однако, важная особенность уравнения заключается также в том, что входящие в него символы делятся на переменные и параметры (присутствие последних, впрочем, необязательно). Например, является уравнением, где x - переменная. Значения переменной, при которых равенство истинно, называются корнями уравнения : в данном случае таковыми являются два числа и −1 . Как правило, если уравнение на одну переменную не является тождеством (см. ниже), то корни уравнения представляют собой дискретное, чаще всего конечное (возможно и пустое) множество.
Если в уравнение входят параметры, то его смысл - для заданных параметров найти корни (то есть значения переменной, при котором равенство верно). Иногда это можно сформулировать как нахождение неявной зависимости переменной от параметра (параметров). Например понимается как уравнение на x (это обычная буква для обозначения переменной, наряду с y , z и t). Корнями уравнения является квадратный корень из a (считается, что их имеется два, разных знаков). Следует отметить, что подобная формула, сама по себе, задаёт лишь бинарное отношение между x и a и её можно понимать в обратную сторону, как уравнение на a относительно x . В данном элементарном случае, речь может идти скорее об определении a через x: .
Тождества
Тождество - суждение, верное при любых значениях переменных. Обычно, под тождеством подразумевают тождественно верное равенство, хотя снаружи тождества может стоять и неравенство или какое-либо другое отношение. Во многих случаях тождество можно понимать как некое свойство используемых в нём операций , например тождество утверждает коммутативность сложения.
С помощью математической формулы довольно сложные предложения могут быть записаны в компактной и удобной форме. Формулы, становящиеся истинными при любом замещении переменных конкретными объектами из некоторой области, называются тождественно-истинными в данной области. Например: «для любых a и b имеет место равенство ». Данное тождество можно вывести из аксиом сложения и умножения в коммутативном кольце , которые сами по себе также имеют вид тождеств.
Тождество может и не включать в себя переменные и являться арифметическим (или каким-то ещё) равенством, как например .
Приближённые равенства
В 7-8 классе изучают решение уравнений графическим способом. В это время на решение даются простые уравнения("с хорошим корнем") которые легко отыскиваются с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но существуют примеры где с корнем немного иначе. Рассмотрим два уравнения:√х=2-х и √х=4-х. Первое уравнение имеет единственный корень х=1, поскольку графики функций у =√х и у =2-хпересекаются в одной точке А(1,1). Во втором случае графики функций у =√х-фс у =4-х также пересекаются в одной точке А(1,1), но с "плохими" координатами. С помощью чертежа, делаем вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В таких случаях говорят не о точном, а о приближённом решении уравнения и записывают так: х≈2,5.
Неравенства
Формула-неравенство может пониматься в обоих описанных в начале раздела смыслах: как тождество (например, неравенство Коши - Буняковского) или же, подобно уравнению, как задача на отыскание множества (а точнее, подмножества области определения), которому может принадлежать переменная, или переменные.
Используемые операции
В данном разделе будут перечислены операции, используемые в алгебре , а также некоторые общеупотребительные функции из математического анализа .
Сложение и вычитание
Возведение в степень
Элементарные функции
Абсолютная величина, знак и т. п.
Приоритет операций и скобки
Приоритет, ранг или старшинство операции или оператора - формальное свойство оператора/операции, влияющее на очередность его выполнения в выражении с несколькими различными операторами при отсутствии явного (с помощью скобок) указания на порядок их вычисления. Например, операцию умножения обычно наделяют бо́льшим приоритетом, чем операцию сложения, поэтому в выражении будет получено сначала произведение y и z, а потом уже сумма.
Примеры
Например:
Функция одного действительного аргумента или однозначная функция;
Функция нескольких аргументов или многозначная функция (график одной из самых замечательных кривых - верзьера Аньези) ;
Не дифференцируемая функция в точке (непрерывная ломаная линия не имеет касательной) ;
- целочисленная функция;
- чётная функция ;
- нечётная функция ;
Функция точки, расстояние от точки до начала (декартовых) координат;
Разрывная функция в точке ;
Параметрически заданная функция (график циклоиды) ;
Прямая и обратная функции;
Интегральное уравнение;
Ссылки
- Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
См. также
- Алгебраическое выражение - математическое обозначение, не выражающее законченную мысль.
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Перволюди
- Сцепление (механика)
Смотреть что такое "Математическая формула" в других словарях:
Формула - (от лат. formula форма, правило, предписание): Математическая формула Формула в Microsoft Excel Химическая формула Эпическая формула Физическая формула Зубная формула Формула цветка Магическая формула Формула технических видов… … Википедия
Формула произведения корангов - Формула произведения корангов математическая формула, выражающая коразмерность множества точек, в которых ядро производной отображения имеет заданную размерность, в виде произведения корангов данного отображения в прообразе и образе.… … Википедия
Формула Грассмана - Формула Грассмана математическая формула, описывающая размерность подпространства конечномерного пространства. Выведена немецким ученым Г. Г. Грассманом. Формулировка: Если линейное пространство V конечномерно, то конечномерными… … Википедия
Формула Гаусса-Остроградского - Формула Остроградского математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью: то есть интеграл от дивергенции векторного… … Википедия
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - одно из названий современной логики, пришедшей во втор. пол. 19 нач. 20 в. на смену традиционной логике. В качестве др. названия современного этапа в развитии науки логики используется также термин символическая логика. Определение… … Философская энциклопедия
Одним из наиболее сложных видов набора является набор математических формул. Формулы представляют собой тексты, включающие шрифты на русской, латинской и греческой основах, прямого и курсивного, светлого, полужирного начертания, с большим числом математических и других знаков, индексов на верхнюю и нижнюю линии шрифта и различных крупнокегельных знаков. Ассортимент шрифтов для набора формул минимально составляет 2 тыс. знаков. Таблица символов в WORD-98 включает 1148 символов.
Основное отличие формульного набора от всех других видов набора состоит в том, что набор формулы в ее классическом виде производится не параллельными строками, а занимает определенную часть площади полосы.
Формула - математическое или химическое выражение, в котором при помощи цифр, символов и специальных знаков в условной форме выражается соотношение между определенными величинами.
Цифры - знаки, которыми обозначаются или выражаются числа (количества). Цифры бывают арабские и римские.
Арабские цифры : 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Арабские цифры меняют свое значение в зависимости оттого места, которое они занимают в ряду цифровых знаков. Арабские цифры делятся на два класса - 1-й - единицы, десятки, сотни; 2-й - тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и т.д.
Римские цифры . Основных цифровых знаков семь: I - единица, V - пять, X - десять, L - пятьдесят, С - сто, D - пятьсот, М - тысяча. Римские цифры имеют постоянное значение, поэтому числа получаются сложением или вычитанием цифровых знаков. Например: 28 = XXVIII (10 + 10 + 5 + 1 + 1+ 1); 29 = XXIX (10 + 10 -1 + 10); 150 = CL (100 + 50); 200 = СС (100 + 100); 1980 = MDCCCCLXXX (1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10+ 10 + 10); 2002 = MMII (1000 + 1000 + 1 + 1).
Римскими цифрами обычно обозначают столетия (ХV1в.), номера томов (том IX), глав (глава VII), частей (часть II) и т.д.
Символы - буквенные выражения, входящие в состав формулы (например, математические символы: l - длина, λ - частота отказов (усадка), π - отношение длины окружности к диаметру и т.д.; химические символы: Аl - алюминий, РЬ - свинец, Н - водород и т.д.).
Коэффициенты - цифры, стоящие перед символами, например 2Н 2 О; 4sinx. Символы и цифры часто имеют индексы надстрочные (на верхнюю линию) и подстрочные (на нижнюю линию), которые либо поясняют значение индексов, (например, λ с - линейная усадка, G T - теоретическая масса отливки, С ф -фактическая масса отливки); либо указывают на математические действия (например, х 2 , у 3 , z -2 и т.д.); либо указывают число атомов в молекуле и число зарядов ионов в химических формулах (например, СН 4). В формулах встречаются также индексы к индексам: верхний индекс к верхнему индексу - верхний супраиндекс , нижний индекс к верхнему индексу - верхний субиндекс , верхний индекс к нижнему индексу - нижний супраиндекс и нижний индекс к нижнему индексу - нижний субиндекс.
Знаки математических действий и соотношений - сложение « + », вычитания « - », равенства « = », умножения «х»; действие деление обозначается горизонтальной линейкой, которая будет называться дробной или делительной линейкой..
(9.12)
Основная строка - строка, в которой размещены основные знаки математических действий и соотношений.
Классификация формул .
Математические формулы разделяются по сложности набора, зависящей от состава формулы (однострочные, двухстрочные, многострочные) и насыщенности ее различными математическими знаками и символами, индексами, субиндексами, супраиндексами и приставными знаками. По сложности набора все математические формулы условно можно разделить на четыре основные группы и одну дополнительную:
1 группа. Однострочные формулы (9.13-9.16);
2 группа. Двухстрочные формулы (9.17-9.19). Фактически эти ф-лы состоят из 3-х строк;
3 группа. Трехстрочные формулы (9.20-9.23). Фактически эти ф-лы состоят из 5-и строк;
4 группа. Многострочные формулы (9.24-9.26);
Дополнительная группа (9.27-9.29).
При выделении формул в группы сложности учитывалась трудоемкость набора и время, затрачиваемое на набор.
II группа. Двустрочные формулы :
(9.29)
Правила набора текста математических формул .
При наборе математического текста необходимо соблюдать следующие основные правила.
Набирать цифры в формулах прямым шрифтом, например 2ах; Зу .
Сокращенные тригонометрические и математические термины , например sin , cos , tg , ctg , arcsin . Ig , lim и т.д., набирать шрифтом латинского алфавита прямого светлого начертания.
Сокращенные слова в индексе набирать русским шрифтом прямого начертания на нижнюю линию.
Сокращенные наименования физических, метрических и технических единиц измерения , обозначенные буквами русского алфавита, набирать в тексте прямым шрифтом без точек, например 127 В, 20 кВт . Эти же наименования, обозначенные буквами латинского алфавита, набирать также прямым шрифтом без точек, например 120 V , 20 kW , если нет в оригинале других указаний.
Символы (или цифры и символы ), следующие один за другим и не разделенные какими-либо знаками, набирать без отбивки, например 2ху; 4у .
Знаки препинания в формулах набирать прямым светлым шрифтом. Запятые внутри формулы отбивать от последующего элемента формулы на 3 п .; от предыдущего элемента формулы запятая не отбивается; от предшествующей подстрочной литеры запятая отбивается на 1 п .
Многоточие на нижнюю линию набирать точками с разбивкой на полукегельную. От предыдущего и последующего элементов формулы точки отбивать тоже полукегельной, например:
(9.30)
Символы (или цифры и символы), следующие один за другим, не разделять, а набирать без отбивки.
Знаки математических действий и соотношений, а также знаки геометрических образов , как, например, = ,< ,> , + , - , отбивать от предыдущих и последующих элементов формулы на 2 п
Сокращенные математические термины отбивать от предыдущих и последующих элементов формулы на 2 п.
Показатель степени , следующий непосредственно за математическим термином, набирать вплотную к нему, а отбивку делать после показателя степени.
Буквы « d » (в значении «дифференциал» ), δ (в значении «частная производная») и ∆ (в значении «приращение») отбивать от предшествующего элемента формулы на 2 п., от последующего символа указанные знаки не отбиваются.
Сокращенные наименования физических и технических единиц измерения и метрических мер в формулах отбивать на 3 п. от цифр и символов, к которым они относятся.
Знаки ° , " , " отбивать от последующего символа (или цифры) на 2 п., от предыдущего символа указанные знаки не отбиваются.
Знаки препинания, следующие за формулой , не отбиваются от нее.
Строку отточий в формулах набирают точками, используя полукегельную отбивку между ними.
Формулы, набранные в подбор с текстом, отбивать от предыдущего и последующего текстов полукегельной; эта отбивка при выключке строки не уменьшается, а увеличивается. Так же выключают формулы, следующие одна за другой в подбор с текстом.
Несколько формул, помещенных в одной строке, выключенной по центру, отбивать друг от друга пробелом не менее кегельной и не более 1/2 кв.
Мелкие пояснительные формулы, набираемые в одну строку с основной формулой, выключать в правый край строки, или отбивать на две кегельные от основного выражения (если нет иных указаний в оригинале).
Порядковые номера формул набирать цифрами того же кегля, что и однострочные формулы, и выключать в правый край, например:
Х+У=2 (9.31)
Если формула не умещается в формат строки, а переносить ее нельзя, допускается ее набор меньшим кеглем.
Переносы в формулах нежелательны. Во избежание переноса допускается уменьшение пробелов между элементами формулы. Если уменьшением пробелов не удается довести формулу до нужного формата строки, то переносы допускаются:
на знаках соотношения между левой и правой частями формулы (= ,>,< );
на знаках сложения или вычитания (+, - );
на знаках умножения (х). При этом следующая строка начинается со знака, на котором закончилась формула в предыдущей строке. При переносе формул необходимо смотреть за тем, чтобы переносимая часть не была очень маленькой, не разрывались выражения, заключенные в скобки, выражения, относящиеся к знакам корня, интеграла, суммы; не допускается разделение индексов, показателей степеней, дробей.
В нумерованных формулах номер формулы в случае ее переноса ставят на уровне центральной строки перенесенной части формулы. Если порядковая нумерация на умещается в строке, ее помещают в следующей и выключают в правый край. Формулы, числитель или знаменатель которых не умещается в заданном формате набора, набирают шрифтом меньшего кегля, либо шрифтом этого же кегля, но в две строки с переносом.
Если при переносе формулы разрывается делительная линейка или линейка корня, то место разрыва каждой линейки указывают стрелками.
Стрелки нельзя устанавливать около математических знаков.
Однострочные и многострочные формулы.
В однострочных формулах основную строку (без индексов и приставных знаков) следует набирать шрифтом того же кегля, что и основной текст издания (если нет других указаний в оригинале).
Середина кегля всех букв, цифр и знаков основной строки однострочной формулы должна находиться на одной линии, которая носит название средней. При определении средней линии подключки к символам основной строки в расчет не принимаются.
Индексы и показатели степени в многострочной формуле выравниваются по основной линии шрифта.
Однострочные формулы выключаются на середину формата, т.е. в красную строку (если нет особых указаний в оригинале) и отбиваются одна от другой на 4 - 6 п.
Группа формул с однотипной левой или правой частью выравнивается по знаку соотношения, при этом сначала набирается самая длинная формула и выключается в красную строку, остальные равняются по ней, например:
(9.32)
При наборе многострочных формул, если основной текст набирают кг. 10 п., то центральную строку набирают корпусом, числитель и знаменатель - петитом.
Линейка, отделяющая числитель от знаменателя в двухстрочной формуле, по длине должна быть равна более длинному из этих выражений или длиннее его не более чем на 2 - 4 п. Минимальная длина линейки равна кеглю шрифта, которым набирается дробь. Кегль линейки - 2 п., тонкая.
В многострочной дроби основная линейка должна быть на 4 п. длиннее делительных линеек в числителе и знаменателе, например:
(9.33)
Числитель и знаменатель выключаются посередине основной делительной линейки.
Числитель и знаменатель от линейки не отбиваются, исключение составляет знаменатель, в котором преобладают прописные буквы и показатели степени.
Пояснения к формулам, которые начинаются словом «где», набирают или в одну строку с первым символом и отбивкой от него на полукегельную, тогда все последующие пояснения выравниваются по линии тире, например:
А - количество раствора;
В - количество добавок;
или с выключкой слова «где» в левый край отдельной строки, например:
А - количество раствора;
В - количество добавок.
Индексы и показатели степени.
В формулах встречаются индексы первого порядка (индексы) и индексы второго порядка (субиндексы и супраиндексы - индекс к индексу).
В большинстве формул, однострочных и многострочных, содержатся индексы 1-го порядка: надстрочные и подстрочные один под другим.
По своему размеру индексы заметно меньше буквы и цифр основной строки, кроме того, они должны выступать за линию шрифта основной строки. При наборе основной строки шрифтом кг. 10 п. и 8 п. индексы набирают шрифтом кг. 6 п., при наборе основной строки шрифтом кг. 6 п. очко индексов и показателей степени должно быть 4 п., при этом индекс опускают ниже основной строки на 2 п., а показатели степени поднимают выше строки на 2 п.
Двойные (верхний и нижний) индексы должны располагаться строго один под другим.
Супраиндексы и субиндексы набираются шрифтом кг. 4 п.
Индексы и показатели степени набираются вплотную к выражению, к которому они относятся. Если подынтегральное выражение в степени однострочное, знак интеграла набирается шрифтом кг. 10 п., если двухстрочное - шрифтом кг. 12 п., например:
(9.34)
Знак суммы Σ в подключке на верхнюю линию при однострочном показателе степени набирается шрифтом кг. 6 п. или 8 п., при двухстрочном - шрифтом кг. 10 п., например:
(9.35)
Скобки (круглые, квадратные и фигурные) должны быть прямого начертания, кегль скобок выбирается таким, чтобы они могли закрыть все выражение, заключенное в них. Скобки отбиваются от предшествующих символов в формуле на 2 п, от символов, заключенных в скобки, скобки не отбиваются, показатель степени, помещенный за скобкой, от скобки не отбивается. Подряд идущие скобки друг от друга не отбиваются.
Крупнокегельные знаки.
Знак корня √ должен быть по кеглю на 2 п. больше кегля шрифта, которым набирается подкоренное выражение.
Линейка корня набирается двухпунктовой линейкой, по длине равной подкоренному выражению или на 1-2 п. длинее,
(9.36)
Знаки Σ , S (знаки суммы) и П (знак произведения) набираются шрифтом прямого начертания большего кегля, так при наборе формул кг. 8 или 10п.-указанные знаки набираются шрифтом кг. 12 п., при наборе шрифтом кг. 6 п. - приставные знаки в однострочных формулах набираются шрифтом кг. 10 п., в двухстрочных - 16 - 20 п. в зависимости от высоты формулы, а в многострочных формулах - шрифтом кегля, позволяющего перекрыть меньшую по высоте часть формулы, если числитель и знаменатель формулы неодинаковые по высоте, например (ф-ла 9.37) :
Индексы над и под знаками Σ , S, П набираются шрифтом кг. 6 п. и ставятся на середине знака, например:
(9.39)
Знаки Σ , S (знаки суммы) и П (знак произведения) отбиваются от предыдущих и последующих элементов формулы на 2 п.
Знак интеграла ∫ набирается шрифтом большего кегля следующим образом: при наборе однострочной формулы шрифтом кг. 6 п. - ∫ набирается шрифтом кг. 12 п.; при наборе однострочной формулы шрифтом кг. 8 п. или 10 п. - ∫ набирается шрифтом кг. 14 или 16 п.; в двухстрочных формах - ∫ набирается шрифтом, кегль которого выбирается в зависимости от высоты подынтегрального выражения, причем середина знака всегда должна находиться на средней линии формулы, например:
(9.40)
Кегль интеграла без подключек при высоте формулы 36 п. должен быть 28 п., при высоте формулы 48 п. - 36. Индексы над и под знаками интеграла также набираются шрифтом кг. 6 п, приставляются вплотную к ∫ и выключаются по его середине.
Интеграл так же, как и знаки Σ , S (знаки суммы) и П (знак произведения), отбивается от предыдущих и последующих элементов формулы на 2 п., причем эта отбивка в случае длинных индексов может быть увеличена до 12 п. Друг от друга знаки интеграла не отбиваются.
Вертикальные линейки одинарные или двойные должны быть точно равны высоте выражения, заключенного в них, например:
(9.41)
Пробел между строками в группе формульных выражений должен быть равен полукегельной, между колонками цифр - не менее кегельной.
Линейки выбирают кеглем 2 п.
При наборе матриц вертикальные линейки берут двухпунктовые двойные, например:
(9.42)
Формульные выражения в колонках матриц выключаются в красную строку или выравниваются по левому краю колонок.
Вертикальные линейки отбиваются от выражений, заключенных в них, на полукегельную, фигурные скобки - на 6 п.
Все горизонтальные линейки в формулах набираются всегда двухпукнтовыми тонкими.
Длина дробной линейки должна быть такой, чтобы наибольшая часть дроби (числитель и знаменатель) была перекрыта линейкой.
Образование - то, что остается после того, как забыто все, чему учили в школе.
Игорь Хмелинский, новосибирский учёный, ныне работающий в Португалии, доказывает, что без прямого запоминания текстов и формул развитие абстрактной памяти у детей затруднительно. Приведу выдержки из его статьи " Уроки образовательных реформ в Европе и странах бывшего СССР"
Заучивание наизусть и долговременная память
Незнание таблицы умножения имеет и более серьезные последствия, чем неспособность обнаружить ошибки в расчетах на калькуляторе. Наша долговременная память работает по принципу ассоциативной базы данных, то есть, одни элементы информации при запоминании оказываются связанными с другими на основе ассоциаций, установленных в момент знакомства с ними. Поэтому, чтобы в голове образовалась база знаний в какой-либо предметной области, например, в арифметике, нужно для начала выучить хоть что-то наизусть. Далее, вновь поступающая информация попадет из кратковременной памяти в долговременную, если в течение короткого промежутка времени (несколько дней) мы столкнемся с нею многократно, и, желательно, в разных обстоятельствах (что способствует созданию полезных ассоциаций). Однако при отсутствии в постоянной памяти знаний из арифметики, вновь поступающие элементы информации связываются с элементами, которые к арифметике никакого отношения не имеют – например, личностью преподавателя, погодой на улице и т.п. Очевидно, такое запоминание никакой реальной пользы учащемуся не принесет – поскольку ассоциации уводят из данной предметной области, то никаких знаний, относящихся к арифметике, учащийся вспомнить не сможет, кроме смутных идей о том, что он вроде бы что-то когда-то об этом должен был слышать. Для таких учащихся роль недостающих ассоциаций обычно выполняют разного рода подсказки – списать у коллеги, воспользоваться наводящими вопросами в самой контрольной, формулами из списка формул, которым пользоваться разрешено, и т.п. В реальной жизни, без подсказок, такой человек оказывается совершенно беспомощным и неспособным применить имеющиеся у него в голове знания.
Формирование математического аппарата, при котором формулы не заучиваются, происходит медленнее, нежели в противном случае. Почему? Во-первых, новые свойства, теоремы, взаимосвязи между математическими объектами почти всегда используют какие-то особенности ранее изученных формул и понятий. Концентрировать внимание ученика на новом материале будет сложнее, если эти особенности не смогут извлекаться из памяти за короткий промежуток времени. Во-вторых, незнание формул наизусть препятствует поиску решения содержательных задач с большим количеством мелких операций, в которых требуется не только провести определенные преобразования, но и выявить последовательность этих ходов, анализируя применение нескольких формул на два-три шага вперед.
Практика показывает, что интеллектуальное и математическое развитие ребенка, формирование его базы знаний и навыков, происходит значительно быстрее, если большая часть используемой информации (свойства и формулы) находиться в голове. И чем прочнее и дольше она там удерживается, тем лучше.
Возведение в степень
Элементарные функции
Абсолютная величина, знак и т. п.
Приоритет операций и скобки
Приоритет, ранг или старшинство операции или оператора - формальное свойство оператора/операции, влияющее на очерёдность его выполнения в выражении с несколькими различными операторами при отсутствии явного (с помощью скобок) указания на порядок их вычисления. Например, операцию умножения обычно наделяют бо́льшим приоритетом, чем операцию сложения, поэтому в выражении будет получено сначала произведение y и z, а потом уже сумма.
Примеры
Например:
2 + 2 = 7 {\displaystyle 2+2=7} - пример формулы, имеющей значение «ложь»;
Y = ln (x) + sin (x) {\displaystyle y=\ln(x)+\sin(x)} - функция одного действительного аргумента или однозначная функция;
Z = y 3 y 2 + x 2 {\displaystyle z={\frac {y^{3}}{y^{2}+x^{2}}}} - функция нескольких аргументов или многозначная функция (график одной из самых замечательных кривых - верзьера Аньези);
Y = 1 − | 1 − x | {\displaystyle y=1-|1-x|} - не дифференцируемая функция в точке x = 1 {\displaystyle x=1} (непрерывная ломаная линия не имеет касательной);
X 3 + y 3 = 3 a x y {\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy} - уравнение, то есть неявная функция (график кривой «декартов лист »); - нечётная функция ;
F (P) = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle f(P)={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} - функция точки, расстояние от точки до начала (декартовых) координат;
Y = 1 x − 3 {\displaystyle y={\frac {1}{x-3}}} - разрывная функция в точке x = 3 {\displaystyle x=3} ;
X = a [ t − sin (t) ] ; y = a [ 1 − cos (t) ] {\displaystyle x=a\,;\ y=a} - параметрически заданная функция (график циклоиды);
Y = ln (x) , x = e y {\displaystyle y=\ln(x),\ x=e^{y}} - прямая и обратная функции;
F (x) = ∫ − ∞ x | f (t) | d t {\displaystyle f(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}|f(t)|\,dt} - интегральное уравнение.