Прямоугольном треугольнике все углы. Прямоугольный треугольник
Действия с десятичными дробями.
Сложение и вычитание десятичных дробей.
1. Уравнять количество цифр после запятой.
2. Сложить или вычесть десятичные дроби запятая под запятой по разрядам.
Умножение десятичных дробей.
1. Умножить, не обращая внимания на запятые.
2. В произведении запятой отделить справа столько цифр, сколько их во всех множителях
вместе после запятой.
Деление десятичных дробей.
1. В делимом и делителе перенести запятые вправо на столько цифр, сколько их после запятой
в делителе.
2. Разделить целую часть, поставить в частном запятую. (Если целая часть меньше делителя, то
частное начинается с нуля целых)
3. Продолжить деление.
Действия с положительными и отрицательными числами.
Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.
а – (– в) = а + в
Все остальные случаи рассматриваются как сложение чисел.
Сложение двух отрицательных чисел:
1. результат записываем со знаком «–»;
2. модули складываем.
Сложение чисел с разными знаками:
1. ставим знак большего модуля;
2. вычитаем из большего модуля меньший.
Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.
1. При умножении и делении чисел с разными знаками результат записывается со знаком
минус.
2. При умножении и делении чисел с одинаковыми знаками результат записывается со знаком
плюс.
Действия с обыкновенными дробями.
Сложение и вычитание.
1. Привести дроби к общему знаменателю.
2. Сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить без изменения.
Умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель (по возможности – сократить).
Делитель (вторую дробь) «перевернуть» и выполнить умножение.
Деление.
Умножение.
Выделение целой части из неправильной дроби.
38
5 = 38: 5 = 7(ост.3) = 7
3
5
Перевод смешанного числа в неправильную дробь.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=
1
.
+
Сокращение дроби.
Сократить дробь – разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
6
7
6
7 . Можно короче:
30:5
35:5 =
30
35 =
Например:
30
35 =
.
1.
Разложить знаменатели дробей на простые
множители.
Приведение дробей к общему знаменателю.
5 4
7
16 +
36
80 =
71
80
2. Вычеркнуть одинаковые множители.
3. Оставшиеся множители от знаменателя первой
дроби перемножить и записать как
дополнительный множитель для второй дроби, а
от второй дроби – к первой дроби.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби
на её дополнительный множитель.
9
20 =
35
80 +
Сложение и вычитание смешанных чисел.
Сложить или вычесть отдельно целые части, отдельно дробные.
«Особые» случаи:
«Превратить» 1 в дробь, у которой числитель и
2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
Занять 1 и «превратить» её в дробь, у которой числитель и
знаменатель равны знаменателю данной дроби.
Занять 1 и прибавить знаменатель к числителю.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Перевести смешанные числа в неправильные дроби и выполнить умножение или деление.
Умножение и деление смешанных чисел.
2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7·5
6·2
1·1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7
)- это числа с положительным или отрицательным знаком (целые и дробные) и ноль. Более точное понятие рациональных чисел, звучит так:
Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n , где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3 .
Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.
a/b , где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b ∈ N (b принадлежит натуральным числам).
Использование рациональных чисел в реальной жизни.
В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов, например , тортов или других продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.
Свойства рациональных чисел.
Основные свойства рациональных чисел.
1. Упорядоченность a и b есть правило, которое позволяет однозначно идентифицировать между ними 1-но и только одно из 3-х отношений: «<», «>» либо «=». Это правило - правило упорядочения и формулируют его вот так:
- 2 положительных числа a=m a /n a и b=m b /n b связаны тем же отношением, что и 2 целых числа m a ⋅ n b и m b ⋅ n a ;
- 2 отрицательных числа a и b связаны одним отношением, что и 2 положительных числа |b| и |a| ;
- когда a положительно, а b — отрицательно, то a>b .
∀ a,b ∈ Q (a∨ a>b ∨ a=b)
2. Операция сложения . Для всех рациональных чисел a и b есть правило суммирования , которое ставит им в соответствие определенное рациональное число c . При этом само число c - это сумма чисел a и b и ее обозначают как (a+b) суммирование .
Правило суммирования выглядит так:
m a /n a +m b /n b =(m a ⋅ n b +m b ⋅ n a) /(n a ⋅ n b).
∀ a,b ∈ Q ∃ !(a+b) ∈ Q
3. Операция умножения . Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения , оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c . Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b) , а процесс нахождения этого числа называют умножение .
Правило умножения выглядит так: m a n a ⋅ m b n b =m a ⋅ m b n a ⋅ n b .
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c .
∀ a,b,c ∈ Q (a∧ b⇒ a∧ (a = b ∧ b = c ⇒ a = c)
5. Коммутативность сложения . От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.
∀ a,b ∈ Q a+b=b+a
6. Ассоциативность сложения . Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.
∀ a,b,c ∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)
7. Наличие нуля . Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.
∃ 0 ∈ Q ∀ a ∈ Q a+0=a
8. Наличие противоположных чисел . У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.
∀ a ∈ Q ∃ (−a) ∈ Q a+(−a)=0
9. Коммутативность умножения . От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.
∀ a,b ∈ Q a ⋅ b=b ⋅ a
10. Ассоциативность умножения . Порядок перемножения 3-х рациональных чисел не имеет влияния на итог.
∀ a,b,c ∈ Q (a ⋅ b) ⋅ c=a ⋅ (b ⋅ c)
11. Наличие единицы . Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое рациональное число в процессе умножения.
∃ 1 ∈ Q ∀ a ∈ Q a ⋅ 1=a
12. Наличие обратных чисел . Всякое рациональное число, отличное от нуля имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1.
∀ a ∈ Q ∃ a−1 ∈ Q a ⋅ a−1=1
13. Дистрибутивность умножения относительно сложения . Операция умножения связана со сложением при помощи распределительного закона:
∀ a,b,c ∈ Q (a+b) ⋅ c=a ⋅ c+b ⋅ c
14. Связь отношения порядка с операцией сложения . К левой и правой частям рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число.
∀ a,b,c ∈ Q a⇒ a+c
15. Связь отношения порядка с операцией умножения . Левую и правую части рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное рациональное число.
∀ a,b,c ∈ Q c>0 ∧ a⇒ a ⋅ c⋅ c
16. Аксиома Архимеда . Каким бы ни было рациональное число a , легко взять столько единиц, что их сумма будет больше a .